广东省惠州市2007届高三第一次调研考试数学试题(理科卷)(200610)
2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题(理科)
2006—2007学年度高三第一次摸底考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数ii -12等于（ ）A ．1 + iB ．1－iC ．－1 + iD ．－1－i 2．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的 表面积等于 （ ） A ．22+ B ．23+ C ．24+ D ．63．给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，第二数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2， 第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入 （ ） A ．i ≤30?；p = p + i －1 B ．i ≤29?；p = p + i + 1 C ．i ≤31?；p = p + i D ．i ≤30?；p = p + i 4．由曲线y 2 = x 与y = x 2所围图形的面积为 （ ）A ．31 B ．32 C ．1D ．25．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程y = 0.66x + 1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 （ ）A ．83%B ．72%C ．67%D ．66% 6．函数f (x ) =－x 3 + x 2 +x －2的零点分布情况为（ ）A ．一个零点，在)31,(--∞内B ．二个零点，分别在)31,(--∞、),0(+∞内C ．三个零点，分别在)31,(--∞、)0,31(-、),1(+∞内D ．三个零点，分别在)31,(--∞、)1,0(、),1(+∞内7．在等差数列{a n }中，a 10 < 0，a 11 > 0，且a 11 >| a 10 |，若{a n }的前n 项和S n < 0，则n 的最大值是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．208．将函数)2||,0()sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象，向左平移3π个单位，所得曲线的一部分如图所示， 则ω、ϕ的值分别为 （ ） A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3πD ．2，－3π9．已知双曲线的两个焦点)0,5(1-F 、)0,5(2F ，P 为双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|= 2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 10．三棱锥P —ABC 中，底面△ABC 是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且PA = 2，则此三棱 锥外接球的半径为 （ ）A ．2B ．5C ．2D ．321 11．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M （M 为常数），称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是 （ ）①x x f sin )(=②x x f lg )(=③xe xf =)(④⎪⎩⎪⎨⎧-<-=>=)1(1)0(0)0(1)(x x x x fA ．①B ．④C ．②③④D ．①③④12．甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的）（ ）A ．21 B ．41 C ．31 D ．61第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.13．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人. 14．已知n xx )21(3-展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为 .15．如图，在直角坐标系xoy 中，O 是正△ABC 的中心， A 点的坐标为（0，2），动点P （x ，y ）是△ABC 内的点（包括 边界）.若目标函数z = ax + by 的最大值为2，且此时的最 优解(x ，y )确定的点P (x ，y )是线段AC 上的所有点，则目 标函数z = ax + by 的最小值为 . 16．给定下列结论：①已知命题p ：1tan ,=∈∃x R x ；命题q ：.01,2>+-∈∀x x R x则命题“q p ⌝∧”是假命题；②已知直线l 1：01:,0132=++=-+by x l y ax ，则l 1⊥l 2的充要条件是3-=ba； ③若31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则βαtan 5tan =； ④圆012422=+-++y x y x 与直线x y 21=相交，所得弦长为2.其中正确命题的序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为23，求C B c b sin sin ++的值.18．（本小题满分12分）某旅游公司为3个旅游团提供a ，b ，c ，d 四条线路，每个旅游团任选其中一条. （Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同线路的概率； （Ⅱ）求恰有2条线路没有被选择的概率；（Ⅲ）求选择a 线路旅游团数的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）设函数xx f )21()(=，数列{a n }满足)()2(1)1(),0(*1N n a f a f f a n n ∈--=+=（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ， 试比较n S 与n T 34的大小，并加以证明.20．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB = 90°，PA ⊥底面ABCD ，AB =2，2=AD ，DC = 1，PA = 4，与M 、N 分别为PB 、PD 的中点，平面CMN 交AP 于点Q .（Ⅰ）求平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）确定点Q 的位置.21．（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(= （Ⅰ）若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值； （Ⅱ）若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长； （Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值.山东省济宁市2006—2007学年度高三年级第一次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分.1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．760 14．32115．－4 16．①③三、解答题：17．解：（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)62s i n (212c o s 2s i n 3++=++=πx x x ……………………………………3分∴函数f (x )的最小正周期ππ==22T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ，解得.326ππππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,6[ππππ ……………………… 6分 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得21)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，在△ABC 中，π<<A 0 ππππ26626+<+<∴A6562ππ=+∴A ，解得.3π=A …………………………………………………8分 又2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ，解得c = 2. △ABC 中，由余弦定理得：32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分由233sin sin sin ===A aC c B b ，得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴==CB cb Cc B b18．解：（Ⅰ）3 个旅游团选择3条不同线路的概率为.834333341==A C P ………………3分（Ⅱ）恰有2条线路没有被选择的概率为.169432223242=⋅=A C C P …………………6分 （Ⅲ）设选择a 线路的旅游团数为ξ，则3,2,1,0=ξ其中642743)1(642743)0(321333=⋅=====C P P ξξ .6414)3(64943)2(333323====⋅==C P C P ξξ ………………………… 10分 ∴ξ的分布列为：从而.4643642641640=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………………… 12分 19．解：（Ⅰ）1)21()0()21()(01===∴=f a x f x又)2(1)(1n n a f a f --=+.)21()21(1)21(221+--==∴+n n n a a a ……………………………………………………2分21+=∴+n n a a 即 21=-+n n a a ∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 .122)1(1-=⨯-+=∴n n a n …………………………………………………… 4分（Ⅱ）12)21()21(-==n a n nb 41)21()21(12121==∴-++n n nn b b 即数列{b n }是首项为21，公比为41的等比数列 ])41(1[32411])41(1[2121n n n n b b b S -=--=+++=∴ ……………………………6分)12)(12(153131*********+-++⨯+⨯=+++=-n n a a a a a a T n n n)1211(21)]121121()5131()311[(21+-=+--++-+-=n n n )1211(3234+-=∴n T n ………………………………………………………………8分 故比较S n 与n T 34的大小，只需比较n )41(与121+n 的大小即可即只需比较2n + 1与4n 的大小 ………………………………………………………10分121331)31(41+>+≥+⋅+=+=∴n n C n n n故n n T S 34>（或用数学归纳法证明） …………………………………………… 12分 20．解：解法一：（Ⅰ）如图以A 为原点，AD ，AB ，AP所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0,0,0），)0,0,2(D ，B （0,2,0），)0,1,2(C ，P （0,0,4），M （0,1,2），N （2,0,22）…………2分 ∵PA ⊥面ABCD ，AP ∴为平面ABCD 的法向量，且)4,0,0(=设平面CMN 的法向量),,(z y x =)2,1,22()2,0,2(--=-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222200z y x z x n CN CM 令z = 1得 1,2==y x )1,1,2(=∴n …………………………………………………………………………4分21244),cos(=⋅==n AP 60),(],180,0[),(=∴∈n AP n AP即二面角的大小为60° ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (0,0,a ) 则),1,2(a CQ --=由平面向量基本原理存在唯一实数对),(μλ使CN CM CQ μλ+= 即)2,1,22()2,0,2(),1,2(--+-=-μλa …………………………………… 9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=---=-∴3121:2212222a u a μλλμμλ解得 即Q （0，0，3） ∴Q 点在AP 上且分AP 的比为3：1 ………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）过N 作NG ⊥AD ，∵N 是PD 中点，∴G 为AD 中点连结BD ，则MN ∥BD ，∴MN ∥平面ABCD ，过C 用BD 的平行线l ，则MN ∥l ， 即平面CMN ∩平面ABCD = l过G 作CH ⊥l 交l 于H ，连结NH ，则∠NHG 为平面CMN 与平面ABCD所成二面角的平面角 …………………………………………………………………3分 设A C ∩BD = O ，容易证明AC ⊥BD333323332622=-=-==⋅=⋅=AO AC OC BD AB AD AO 332333321=+=+=∴OC AO CH 又221==PA NG 6033322tan =∠∴===∠∴NHG GH NG NHG 即平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小为60°………………………………6分（Ⅱ）取PA 中点R ，连结MR ，DR ，∵MRAB 21∴MR CD ∴CM ∥DR ，…………………………………………………………………………9分 过N 作NQ ∥DR ，则Q 所求，且PA PQ 41=即Q 分AP 的比为3：1 ……………………………………………………………12分 （注：Ⅰ也可用面积射影定理求） 21．解：（Ⅰ）xax x a x f x F +=+=ln )()( 定义域为),0(+∞∈x 2ln )1()(x xa x F --=∴ ……………………………………………………………2分令ae x x F -=='10)(得 由aex x F -<<>'100)(得由ae x x F -><'10)(得 …………………………………………………………4分即),0()(1aex F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减a e x -=∴1时，F (x )取得极大值11)1(---=+-=a aa e eaa e F ……………………6分 （Ⅱ）kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为(0+∞) k xxx G -='∴ln 2)( 由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k xxx G 在(0+∞)内恒成立 ………8分 令k x x x H -=ln 2)(，则2)ln 1(2)(x x x H -=' 由e x x H =='得0)(∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数当),(+∞∈e x 时0)(<'x H )(x H 为减函数 ……………………………………10分 ∴当x = e 时，H (x )取最大值k ee H -=2)( 故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2ek ≥∴ ………………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）33,22,33===a c c e 即 2,322=-==∴c ab a 则 ∴椭圆的方程为12322=+y x …………………………………………………………2分 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112322x y y x 消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A 则53,562121-==+x x x x 2122122212214)(])1(1[)()(||x x x x y y x x AB -+-+=-+-=∴538512)56(22=+= ……………………………………………………………6分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A⊥ 0=⋅∴，即02121=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112222x y b y a x 消去y 得0)1(2)(223222=-+-+b a x a x b a由0)1)((4)2(222222>-+=-=∆b b a a a 整理得122>+b a ……………8分 又22222122221)1(2ba b a x x b a a x x +-=+=+ 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x 得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a 整理得：022222=-+b a b a ……………………………………………………10分 222222e a a c a b -=-=∴代入上式得221112e a -+= )111(2122e a -+=∴ …………………………………………12分 2221≤≤e21412≤≤∴e 431212≤-≤∴e 211342≤-≤∴e 3111372≤-+≤∴e 23672≤≤∴a 适合条件122>+b a 由此得26642≤≤a 62342≤≤∴a 故长轴长的最大值为6 …………………………………………………………… 14分。
2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35 D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件AB 1B1A1D1C CD（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）A ．4B ．C ．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η． （19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e x xf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． （22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D（2）B（3）A（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36 （14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =设SD与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AOOB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin ． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x xg x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x xg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x +=，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221221)(1)()432k BD x x kx x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解： （Ⅰ）由题设：11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<．当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=-+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+ 所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
惠州市2007届高考调研(一)数学试卷分析(精)
惠州市2007届高考调研(一)数学试卷分析(文科)11．导数知识欠缺,不知利用导数求曲线在某点处斜率,或者即使求出导数,也不知代坐标求斜率．平均分1.49，难度系数0.298．12．求解中不注意审题,忽略条件中”正实数”的要求．平均分2.04，难度系数0.408． 13．关于空间几何命题判断,空间想象能力不够．平均分3.255，难度系数0.651．14．关于选做题,不注意填写所选题号,有时题目虽然解题正确,但无序号表题,故不能得分．平均分1.98，难度系数0.396．总之,对于填空题不够规范,例如,直线方程不化简,填写时不注意要求．填空题平均分8.765，难度系数0.43825．15．数列：平均分2.5，难度系数0.2083．⑴．大部分同学只做了第⑴小题，第⑵小题不会做或没有做对．平均分估计为6分． ⑵．知道公式1(1)2n n n s na d -=+，但运算错了的同学有一部分． ⑶．已知公式2(1)n b n n =+时，不会裂项求和，而是用数学归纳法证明122n b b b +++<（证明是错误的）．16．平均分3.4，难度系数0.2833．本题考查概率(古典概率)属于常规容易题,相当大部分学生对基础知识,基本概率掌握不牢误解题意,抛掷两枚骰子得到的情形作答成为21种,出现了倍数的情形．作答为7种,另一部分学生混乱,表达混乱,再有一部分无解答步骤,所以整体得分率较低．17．(三角函数) 平均分5.7，难度系数0.4071．该题考查了三角函数的二倍角公式,正(余)弦函数的和(差)角公式的应用,特殊角的三角函数值,三角函数的周期性,以及简单的三角方程等知道,属中等偏易的基础题,特别是与向量的解决是本题的另一亮点．从学生答题抽样情况看,主要存在以下问题：⑴．对二倍角公式不熟悉,特别是二倍角公式的常用．⑵．对特殊角的三角函数值记忆不准确,如sin63ππ==．⑶．该题解题方法较多,特别是第(1)问：可化为cos cos )0x x x +=,同学们直接两边除以cos x 而无解,说明思维的严密性不够．⑷．个别学生对向量的垂直与平行的关系容易混淆,导致起步失分．⑸．对单调区间的求法,大多数同学是用整体代换的思想去求解,问题出现在不会解不等式,因此,同学们对于综合科知识还较欠缺．㈠．值得商榷的地方：文科学生,对形如sin(2)3x π+= ㈡．备考建议：①．加强基础知识的教学．②．关注学生的学习,找到适合学生的学习方法及教法,真正为学生服务,自己的教法尽量适合学生．③．注意学科知识内部的整合,特别是学科知识的交汇点处例题,将是高考命题的方向． 18题(立几) 平均分4.9，难度系数0.35．① 从试题本身而言,前两问相对而言比较基础简单,而第三问就感觉有点超出学生的能力范围,不常规．② 从得分情况来看,估计平均分大概在4—6分左右,大多数同学得分0分,只有少部分同学得满分．③ 从学生答题情况来看,主要存在以下几个问题：⑴很多学生都认为FM AD 或FM AB⑵不会做辅助线⑶知识点,概念,定理含糊不清， 在做第2问时,很多学生都是认为1FM BD ⊥,就可以推出11FM DD B ⊥面B ,有的同学干脆就是东拉西扯一点边都没沾上．在做第3问时,很多学生的答案是45°,但并不是题目所要求的二面角,学生几乎都把1BD 与平面ABCD 所成的线面角当成了二面角．⑷书写不规范,推理论证的依据不充分．⑸也有相当一部分学生采用向量法,但是建立不正确． ④ 答题方法而言有以下几种：(二面角) ⑴定义法 ⑵射影法 ⑶向量法⑤ 启示：要加强学生基础知识,要培养学生的空间感书写,论证更要加强,明确方法,尤其常用方法．19题分析：平均分3.3，难度系数0.275．本题考查三次函数,利用求导解决极值,单调性,方程根的问题,难度适当,学生解答情况,中等水平学生都能解决第1问的解,尖子生第二问基本能解决,得分率平均3分左右． 20题分析：平均分0.1，难度系数0.00715．该题为解析几何题，经批改后,总结如下：该题得分较低,分数得0—2分,小部分得7—9分,很少得满分． ①常见错误： 第一问：1．第一问没有使用A,B 为抛物线上的点推出12,,x x m σ与的关系,只用“AB PB λ=”推导证明．2．第1问中,由“AB PB λ=”推出“APPBλ=”对向量运算概念不清． 3． 第1问中,欲证“()QP QA QB λ⊥-”即证“()1QP QA OB λ⋅-=-”将“向量垂直的积为0”与“两直线垂直,斜率相乘为-1”混淆．4． 第一问中,对γ取特殊值,来证明．5． 第一问运算量较大,大部分学生运算过程混乱,或是为得出所需结论,跳过关键运算步骤．第一部错误暴露原因小结：运算能力的薄弱,对向量相关的基础知识点理解不清晰． 第二问：1． 受第一问运算的影响,第二问动笔的不多．2． 第二问分数只算出交点的坐标,但会有因y 将(4,4)-舍掉． 3． 第二问最多的错误是将AB 作为所求圆的直径来计算． 4． 第二问同样暴露了运算能力的问题． ② 其它解法问题：第一问： 211(,)4x A x 222(,)4x B x ，由1212()44x x AP PB x x m m λλλ-=⎧⎪=⇒⎨-=-⎪⎩ ② 2212(,()44x xQA QB x x m m λλλ-=-+-+ ③ 将②③结合得,12(,0)QA QB x x λλ-=-()0()QP QA QB QP QA QB λλ∴-=⇒⊥-第二问：① 求出切线斜率,结合A 点点坐标,求得过A 点与切线垂直的直线方程． ② 求出AB 的中垂线方程．结合①②求得交点即为所求圆的圆心, 即得圆的方程．总之:文科试题题型合理,知识覆盖率90%以上,试题很有梯度,区分度高,基础题占试卷的110左右,难度题为选择题第10题,5分,解答题第18题第3问,4分,第19题第2问,8分,第20题,14分．试题适合新课标要求．平均分59.2，难度系数0.395，试题偏难，调研二要吸取教训． 今后解题注意：① 计算量降低, ② 有关内容考查难度过大,如二面角计算,解析几何等． 学生解答情况见阅卷组的分析．惠州市2007届高考调研(一)数学试卷分析(理科)9．读程序,新增内容,对于条件的满足很多同学理解错误,导致答错．平均分3.4425，难度系数0.6885．10．关于几何概型问题,很多同学对于基本有利事件有误,或者计算出错,分数化小数取余出错．平均分3.985，难度系数0.797．11．关于定积分问题,部分学校未讲究选修,这部分内容未学,以致此题得分不高．平均分3.55，难度系数0.71．12．题目的理解不正确,很多读不懂题,得分率偏低．平均分0.565，难度系数0.113． 13．关于命题正确选择,答题不全面．平均分2.073，难度系数0.4145．14．此题为“三选一”,很多同学三题全做,结果后两题虽正确,但因为第一题错误不能得分,因此．此题丢分较亏．平均分2.455，难度系数0.491．总之，理科选择题得分大多的是10~~15分之间,失分较多． 理科15题：平均分9.2675，难度系数0.7723．本题考察三角函数的化简和求值,从试卷反映情况来看,,绝对部分学生对常用公式(两倍角的正切,余弦及和角公式)掌握得较好,大部分学生都注意了角的范围对函数的影响,知道应该取舍,出现的主要问题是学生运算能力差,有不少同学解错简单的方程及简单的乘除运算错,还有些化简的手法不太简明,总体来说,学生对这部分内容掌握得还好． 理科16题分析：平均分5.79，难度系数0.4825．本题考查概率知识,较好地体现了新课程的阅读理解能力的要求，但文字传述及图表冗长,学生对本类型题目缺乏心理素质来应对,大约13以上的学生全部空白,少数学生做得较好,但也存在表达不规范的问题,希望在以后的教学中加强学生对文字题的理解(应用题)的解题教学和应对心理训练及表达训练!理科17题：平均分5.145，难度系数0.3675．与文科15题基本类似．但理科前面比文科多了一些运算要求：求1,a d ，所以有少数同学算不出1,a d ．建议：在提倡简便方法解数列问题的同时，要加强计算1,a d 的基本方法（解方程组）的训练． 18题 (立几)评价：平均分9.1175，难度系数0.65125．一. 试题情况：试题不错,是一道比较常规的题目,能够考察学生空间概念及数量关系,立体几何的几个重要方法都可在题目中体现,题目难度也适中． 二. 学生答题情况：① 第一问答对的可能是3成左右,大部分同学推理不严密,不知道用勾股定理,还有约2成的同学默认,AO BCD ⊥平面而建立空间直角坐标系．② 第二问做到cos cos 44OBM OBM ∠=∠=的约有65﹪,但能得出正确结果的约45﹪．③ 第3问做对的约3成,很多同学建立坐标用法向量,但是或是坐标写错或算错数,方法很多同学都会,但得到正确结果的没有一半． 三. 启示：① 明确方法：立几是难度不太的题,只要明确几类常用方法,一般的学生都能做． ② 加强运算的准确性,要是算错数了,得分会很低． 19题答题分析：平均分1.365，难度系数0.0975．该题为解析几何题,经批改后,总结如下：① 该题得分较低,分数得0—2分,小部分得7—9分,很少得满分．② 常见错误：第一问： 1． 第一问没有使用A,B 为抛物线上的点推出12,,x x m σ与的关系,只用“AB PB λ=” 推导证明．2． 第1问中,由“AB PB λ=”推出“APPBλ=”对向量运算概念不清． 3． 第1问中,欲证“()QP QA QB λ⊥-”即证“()1QP QA OB λ⋅-=-”将“向量垂直的积为0”与“两直线垂直,斜率相乘为-1”混淆．4． 第一问中,对γ取特殊值,来证明．5． 第一问运算量较大,大部分学生运算过程混乱,或是为得出所需结论,跳过关键运算步骤．第一部错误暴露原因小结：运算能力的薄弱,对向量相关的基础知识点理解不清晰．第二问： 1． 受第一问运算的影响,第二问动笔的不多．2． 第二问分数只算出交点的坐标,但会有因y 将(4,4)-舍掉． 3． 第二问最多的错误是将AB 作为所求圆的直径来计算． 4． 第二问同样暴露了运算能力的问题． ③ 其它解法问题：第一问： 211(,)4x A x 222(,)4x B x ，由1212()44x x x x m m AP PB λλλ-=-=-⎧=⇒⎨⎩ ②2212(,()44x xQA QB x x m m λλλ-=-+-+ ③ 将②③结合得,12(,0)QA QB x x λλ-=-()0()QP QA QB QP QA QB λλ∴-=⇒⊥-第二问：③ 求出切线斜率,结合A 点点坐标,求得过A 点与切线垂直的直线方程． ④ 求出AB 的中垂线方程．结合①②求得交点即为所求圆的圆心, 即得圆的方程． 理科20题试题分析：平均分0.185，难度系数0.0132． 本题得分率较低,主要原因有以下几点：① 前19题的计算量较大,大部分学生没有时间做20题．② 20题第一问需用反证法,虽然一部分学生知道用反证法,但相当一部分学生不知道反证法的步骤,证明过程不够严谨,传述不规范．③20题第二问需要对所证不等式变形,考察相应函数的单调性,同时需用到导数的性质,但学生在这方面的能力较弱．④20题第二问主要考察导数,函数与不等式的综合应用,能力要求较高．总之：数学理科试卷，有不少题具有新意，个别题目是原创题．有一定的梯度和区分度．由于第一轮复习没有结束，各学校复习进度也不一样，很自然较难考出好成绩．平均分65.7，难度系数0.438，试题偏难，调研二要吸取教训．各分数段分析：可以看出：要提高理科数学平均成绩必须抓好41~66分这一群体学生的成绩，要提高文科数学平均成绩必须抓好30~84分这一群体学生的成绩，怎么抓?首先，我们要分析文、理科学生数学能力的差异；其次，我们要研究对策．文、理科学生数学能力的差异是显著的．在数学上，理科学生更善于反思，能主动寻找新旧知识的联系，通过新知识的学习深化对旧知识的理解，从而有意识地整合知识，提高解题的能力，增强学好数学的自信心，激发内心对数学美的欣赏，进一步提高数学成绩来证实自己的能力，形成良好的循环．而文科学生缺乏反思的意识，不能行之有效地自我控制学习的内容，不会主动寻找已学的有关知识来理解新内容、解决新问题，更缺乏对数学美的欣赏．思维方式的差异：文理学生在对待同一问题时，由于他们所持的态度和采取的行为方式有较大的差异，文科学生更倾向于借助形象思维分析问题，理科学生更倾向于进行抽象思维的逻辑思考，理科学生观察数学问题常常是全方位和多角度的，文科学生往往是局部、孤立的．理科学生往往能够通过多个不同角度对题中的数、形、结构等方面的特征进行审查和对比联想，并尝试移植方法，使问题熟悉化、简单化，而文科学生往往只停留在“认知”阶段，或虽有深入，但也不善于分解转化问题．理科中的优秀学生观察事物经常具有“动中窥静，静中思动”的良好观察品质，他们能利用运动和静止的辨证关系来观察、分析和处理数学问题，使解题左右逢源，得心应手，游刃有余．数学思维能力的差异：在数学抽象概括能力方面，文理科学生有较大的差异，理科学生在收集数学材料所提供的信息时，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作，文科学生的概括能力较差，积极性也不高，在数学推理能力方面，理科学生在逻辑推理方面有较大的优势，而文科学生更乐于直觉推理．在选择判断能力方面，理科学生在判断选择中较少受表面非本质因素的干扰，判断的准确率较高，判断迅速，对做出的判断具有清晰的认识，能区分逻辑判断和直觉猜测，他们具有明显的追求最合理的解法，探究最清晰、最简单同时也是最“优美”的解法的心理倾向；而文科学生则更注重的题型的记忆．在数学探索能力方面，理科学生表现出来的灵活性，对数学问题的监控能力及思维过程中的自我意识，提出问题，大胆猜测等能力，都明显地好于文科学生．造成这些差异的原因是多方面的，这里不一一分析．有什么对策呢？1．序渐进，加强学法指导：①．帮助学生提高听课效率：做到精力高度集中②．做好复习和总结：③．科学训练：2．正视差异，因材施教：3．要重视“读（阅读、理解）、写（书写表达）、算（心算、口算、数字计算、字母运算）、记（记忆）、练（规范练习）”能力的提高．我们在课堂教学的过程中，要时刻关注培养学生什么能力？通过什么途径来培养这些能力？教学语言要注意些什么？怎样通过语言的表现力、感染力来凝聚学生的思维能力？谢谢大家！。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-广东卷
绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221,ni i i ni i x y n x ybay b x x n x==-==--∑∑. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1x x >-B.{}1x x <C.{}11x x -<<D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21-D.2-3.若函数21()s in (),()2f x x x R f x =-∈则是A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A B C D5.已知数|a n |的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =A. 9B. 8C. 7D. 66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A. i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A. 15B. 16C. 17D. 188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,a b S ∈，对于有序元素对(,)a b ,在S 中有唯一确定的元素a ﹡b 与之对应）.若对任意的,a b S ∈,有a﹡(b ﹡)a b =,则对任意的,a b S ∈,下列等式中不．恒成立的是 A. (a ﹡b )﹡a a = B. [a ﹡(b ﹡)a ]﹡(a ﹡b )a =C. b ﹡(b ﹡b )b =D. (a ﹡b )﹡[b ﹡(a ﹡b )b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若向量,a b满足1,a b a == 与b 的夹角为120°，则a a a b ⋅+⋅= .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22 (0)y p x p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4 ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩，(参数t R ∈),圆C 的参数方程为2c o s 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[]02θπ∈，)，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =ax b +;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O .椭圆9222yax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记B E x = V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223.f x a x x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,)()n n n n f a a a a n f a +==-=' ,(1)求αβ、的值；(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>;(3)记ln (1,2,)n n n a b n a βα-==- ,求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案一. CADBB CBA 二. 9.1910.1211. 54x =-12.22n n + ,12 ,(1)(2)2n n n --13. (0,2), 14. 6, [1, 1]- 15. 30, 3三.解答题16.(1)解:A C =设AC 中点为M,则c o s s in 55A M A A A B===(2)解:(3,4),(3,4)A C c A B =--=--,若A ∠是钝角,则253(3)1603A C AB c c ⋅=--+<∴> . 17. 解: (1) 散点图略(2) 4166.5i i i X Y ==∑ 4222221345686i i X ==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ; ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y b X =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+(3) 100x =, 1000.70.3570.35y =⨯+=吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨) 18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 (,)m n则,0,0m n m n =-⎧⎪<>⎪= 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a = 椭圆的方程为221259xy+= , 右焦点为 (4,0)F .设存在点(,)Q x y C ∈满足条件,则2222(2)(2)8(4)16x y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩解得412(,)55Q故存在符合要求的点412(,)55Q .19.解: (1)11) (032V x x x =-⋅<<即336V x =-(0x <<;(2)226)1212V xx '=-=-,(0,6)x ∴∈时,0;V '>(6,x ∴∈时,0;V '<6x ∴=时()V x 取得最大值.(3)以E 为空间坐标原点,直线EF 为x 轴,直线EB 为y 轴,直线EP 为z 轴建立空间直角坐标系,则(0,60),(3,60),(3,0)A C A C --=;(0,0,6)6,0,0)(6,0,6)P F P F ∴=- ,设异面直线AC 与PF 夹角是θ1c o s 7θ∴==20.解:若0a =,则()23f x x =-有唯一零点为3[1,1]2∉-,故0a =不符合要求;由2()2230f x a x x a =+--=2232(21)32(21)x a x x a x -∴-=-∴=-, [1,1]x ∈-且2x ≠±.由2222(261)(21)xx x a x -+'=-当22610x x -+=时,13[1,1],2x -=∈-2312x +=>,当1[1,(,)22x x ∈---时,0a '>,a 在两个区间上分别递增;当1(,),(22x x ∈时, 0a '<,a 在两个区间上分别递减;A由1x =-时,5,a =1x =时,1a =,12x =时,2a =-3(,[1,)2a +∴∈-∞-+∞分析如图:解法二: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有 零点, 所以 0a ≠令 ()248382440a a a a ∆=++=++=得2a =当32a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()()()()11150f f a a -⋅=--≤即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩ 解得5a ≥或32a --<因此a 的取值范围是2a ≤或 ; 1a ≥21解:(1) 由 210x x +-=得12x -±=12α-+∴=12β--=(2)(数学归纳法)①当1n =时,112a =>命题成立;②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立,即2k a >21511118221212222k k k k k a a a a a α+++∴==+-≥⋅=++,又等号成立时2k a =2k a ∴>时,1k a β+>1n k ∴=+时命题成立;由①②知对任意*n N ∈均有n a α>.(3) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+∴=-=++1n a β+∴-=22221()(1)()212121n n n n n n a a a a a a βββββ+--+---==+++同理 1n a α+∴-=2()21n n a a α-+21111()ln2lnn n n n n n n n a a a a a a a a ββββαααα++++----∴=∴=----∴ 12n n b b += 又111lnln4ln2a b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为4ln2公比为2的等比数列;∴()()14ln122421ln122nnn S +-==--。
2007广东高考数学(理科)考试及详解
2007年广东卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．s s ss图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ） Ａ．15Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装图3 图1 图2身高/cm有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa=+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）图5图418．（14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x=相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图6所示，等腰ABC △的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF△的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P-（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF20．（14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 取值范围．21．（14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6AB2007年（广东卷）数学（理科B ）参考答案一．选择题 CDDC BBCA 1．101110x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩故选（C ）2．(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++为纯虚数2b ⇒=，故选（D ）3．22111()sin (12sin )cos 2222f x x x x =-=--=- 故选（D ） 4．60(01)60(1 1.5)80( 1.5)60(1.5 2.5)t t s t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩，故选（C ）5．182(5)6n n n a s s n a -=-=-⇒=，k=8，（或5＜2k －10＜8）故选（B ） 6．计算4567A A A A +++，由算法框图知，8i < 故选（B ） 7．A D →11件，B C →4件，B A →1件，共16件，故选（C ） 8．()a b a b **=∴当a b =时()b b b b **=，又[()]()()a b a a b b a b a ****=**=；()[()]()a b b a b a b a b ****=**=，故选（A ） 二．填空题9．411()()()669P AB P A P B ==⋅= 10．2cos12012⋅+⋅+=a ab a a a b = 11．线段OA 的垂直平分线方程为152(1)(,0)24y x F -=--⇒⇒准线方程54x =-12．21(1)2n n n C ++=；12；21(1)(2)2n n n n n C ---⋅=13．参数方程化普通方程得直线方程为60x y +-=，圆的方程为22(2)4x y +-= 因此圆心为(0,2)，圆心到直线的距离为d ==14．41(2)236f ---=-+=；21()5211x f x x x -≤⇒≤-⇒-≤≤三．解答题16．（1）当5c =时，5,5,cos sin AB BC AC A A ===∠=⇒∠=（2）AC BC c ==,A 为钝角222AB AC AB +<⇒2225(3)16c c +-+<253c ∴>17．（1）（略）（2）97,22x y ==，4166.5i i i x y ==∑，42186i i x ==∑，414221466.5630.786814i ii i i x y x yb x x==--===--∑∑0.35a y bx =-=，故现线性回归方程为0.70.35y x =+（3）当100x =时，70.35y =，9070.3519.65-=，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤。
广东省惠州市2007届高三第一次调研考试数学
广东省惠州市2007届高三第一次调研考试数学试题(理科卷)(2006.10)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题（每小题5分，共40分）1、化简=+-ii13 A ．i 21- B. i 21+ C. i +2 D. i -22、命题：“设b a bc ac R c b a >>∈则若22,,,”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0 B. 1 C. 2 D. 33、幂函数①1-=x y 及直线②x y =③1=y ④1=x将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函 数23-=xy 的图象在第一象限中经过的“卦限”是A Ⅳ ⅦB Ⅳ ⅧC Ⅲ ⅧD Ⅲ Ⅶ4、某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的 平均分为M ，如果把M N ，那么M ：N 为A 4140B 4041 C 2 D 15、函数),52sin(2)(ππ+=x x f 若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为A 4B 2C 1D 216、等比数列{}n a 前n 项的积为T n ，若1863a a a 是一个确定的常数,那么数列25171310,,,T T T T ,中也是常数项的是 A 10T B 13T C 17T D 25T7、从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、香港、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只能游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A 240种 B 300种 C 144种 D 96种8、设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 都成立，则当[]1,1-∈a 时，t 的取值范围是A 22≤≤-tB 202≥=-≤t t t 或或C 2121≤≤-tD 21021≥=-≤t t t 或或第Ⅱ卷(填空题、解答题共110分)二、填空题（每小题5分，共910、如图在边长为25cm 为23cm 是11.=-⎰dx x x )32(2212、我们知道：“过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线 P A 、PB ，其中A 、B 为切点， 则POB POA ∠=∠.”这个性 质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个： （注意：不要求证明结论的正确性）13．关于二项式2006)1(-x ,有下列三个命题：①该二项式展开式中非常数项的系数和是1-；②该二项式展开式中第10项是1996102006xC ；③当2006=x 时，2006)1(-x 除以2006的余数是1，其中正确的命题序号是(把你认为正确的序号都填上) 14、（本小题有三个小题供选作，考生只能在①、②、③题中选做一题！多做不给分！） ①圆C ：{θθcos 1sin +==x y （θ为参数）的普通方程为 ，设O 为坐标原点，点M ),(00y x 在C 上运动，点P ),(y x 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为②、若BE 、CF 是△ABC 的高，且BCEF S S 四边形=ABC △，则A ∠= ③、已知,143,,=+∈b a R b a 则22b a +的最小值为 三、解答题（6个小题，共80分）15．（本题满分12分）已知πθπθ22,222tan <<-=.⑴求θtan 的值； ⑵求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.16．（本题满分12分）月饼是一种时间性很强的商品，若在中秋节前出售，每盒月饼将获利5元，若到中秋节还没能及时售完，中秋节之后只能降价出售，每盒将亏损3元，根据市场调查，销量（百盒）的概率分布如下：.(1)设订购量为x 百盒时,获利额为y 元,下表表示与x 对应的y 的分布列，请在空格处填入适当的y 的值，并计算相应的获利期望值Ey ;第10题图17．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21),(,133*=∈=b a N n S b n n 且，2153=+S S （1） 求数列{}n b 的通项公式； （2） 求证：221<+++n b b b18．（本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、中点，2====BD CD CB CA ，2==AD AB .⑴求证：BCD AO 平面⊥⑵求异面直线CD AB 与所成角的余弦值； ⑶求点E 到平面ACD 的距离.19．（本题满分14分）如图过抛物线y x 42=的对称轴上任一点)(,0(m m p 作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.⑴设点P 满足),1,(-≠=λλλ为实数 证明：);(λ-⊥⑵设直线的方程是AB 0122=+-y x ， 过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.20.(本题满分14分)已知函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ，常数α为方程x x f =)(的实数根.⑴若函数)(x f 的定义域为I ，对任意[][],,,,0b a x I b a ∈⊆存在使等式)()()()(0x f a b a f b f '-=-成立, 求证: 方程x x f =)(不存在异于a 的实数根⑵求证：当;)(,成立总有时x x f a x <>⑶对任意1x ，2x ，若满足2)()(,1,12121<-<-<-x f x f a x a x 求证EB惠州市2007届高三第一次调研考试 数学试题(理科卷)(2006.10) 参考答案9、729 10、62596 11、3412、过抛物线)0(22>=p py x 外一点P 作抛物线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为抛物线的焦点，则PFB PFA ∠=∠（如果学生写出的是椭圆或双曲线，只要正确就给满分）13、①③14、①14)12(,1)1(2222=+-=+-y x y x ② 90° ③ 251三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15、(1)由22tan -=θ解得22tan -=θ或2tan =θ 3分 22tan ,2,22-=∴<<∴<<θπθππθπ 7分 (2)原式=223)22(1)22(1tan 1tan 1cos sin 1sin cos 1+=-+--=+-=+--+θθθθθθ 12分 16、（（2）由上表可见：预订400盒月饼时获利的数学期望Ey 最大，因此最合理 17、(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由33332,21S a b a ==得 2分 即d a d a 334211+=+，得d a =1 4分1:,21138,,211153===+=+d a d a S S 解得得又 6分所以)1(2,11+==-+=n n b n n a n n 8分(2))111(2)1(2+-=+=n n n n b n 10分得2)111(221<+-=+++n b b b n 14分 18 (1)证明略 5分 (2) 异面直线CD AB 与所成角的余弦值为4211分 (3) 求点E 到平面ACD 的距离为72114分19解：（1）直线AB 的斜率存在可设直线AB 的方程为m kx y +=代入抛物线并化简得0442=--m kx x 2分设A 、B 两点的坐标分别是A （),11y x ),(22y x B 则21,x x 是方程0442=--m kx x 的两根,所以m x x 421-= 3分由点P 满足),1,(-≠=λλλ为实数得2121,01x xx x -==++λλλ即点Q 是点P 关于原点的对称点,故点)2,0(),,0(m m Q =-从而的坐标是))1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x λλλλλ-+--=+-+=-)(λ-⊥])1([221m y y m λλ-+-=])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+=2212144)(2x mx x x x m +⋅+=0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 6分所以)(λ-⊥ 7分 (2)由⎩⎨⎧==+-yx y x 401222得点A,B 的坐标分别是(6,9)、)4,4(- 由y x 42=得x y x y 21,412='=所以，抛物线在点A 处切线的斜率为3|6='=x y 9分设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧-++=-+--=--2222)4()4()9()6(3169b a b a a b 11分解得：223,23=-=b a 2125)4()4(222=-++=b a r 13分所以,圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x 14分 20、(1)用反证法，设方程x x f =)(有异于α的实根β,即αβββ>=不妨设,)(f ,则)()(αβαβf f -=-,在α与β之间必存在一点c ，αβ>>c由题意等式)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ成立， 3分因为βα≠所以必有1)(='c f ，但这与1)(0<'<c f 矛盾因此，若β也是方程x x f =)(的根，则必有αβ=,即方程x x f =)(不存在异于α的实数根. 6分(2)令)()(x f x x h -= 7分0)(1)(>'-='x f x h )(x h ∴为增函数 8分又)(,0)(,,0)()(x f x x h x f a h >>>∴=-=即时当ααα 9分 (3)不妨设)()(,)(,1)(0,2121x f x f x f x f x x ≤∴<'<≤即为增函数 10分x x f x f -∴<-')(,01)(函数又 为减函数 11分12122211)()(0,)()(x x x f x f x x f x x f -≤-≤∴-≥-即 12分即2||||||.|||)()(|12121212<-+-≤--≤-ααx x x x x x x f x f ,2|)()(|21<-∴x f x f 14分。
2007年高考.广东卷.理科数学试题及解答
绝密★启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n i x yx n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝ A.2 B.21C.21-D.-23.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A. B C. D.5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k=A.9B.8C.7D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10. 若向量,与,1==的夹角为120°，则∙+∙＝11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22 p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案9.91 10.21 11.x= -25 12.2)1(+n n ，12，2)1)(2(--n n n13.(0，2)，22 14. 6，[ -1，1] 15.30°，3三、解答题16. 解：(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--当c=5时，(2,4)AC =- cos cos ,A AC AB ∠=<>=进而sin 5A ∠=(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞)17. 解： (1)如下图(2)y x ini i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5x =46543+++=4.5y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i12=32+42+52+62=86266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18. 解： (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -=22 即nm -=4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m92y252x故圆的方程为(x +2)2+y 2=8 (2)a=5，∴a 2=25，则椭圆的方程为+ =1其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。
惠州一中2007届数列单元检测
南充市高2006届第一次高考适应性考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分；每小题只有一个选项符合要求）。
⑴（理）=+-ii i 1)1( A 、 iB 、i -C 、1D 、-1 （文）若函数)10(≠<=a a y x 在[0，1]上的最大值与最小值之和等于3，则a=A 、41B 、21 C 、2 D 、4 ⑵在等比数列}{n a 中，若2365π=a a ，则=)sin(74a a A 、21 B 、0 C 、1 D 、-1 ⑶（理）=+-→xx x x x 230lim A 、0B 、21C 、1D 、-1 （文）若函数221+=-x y 的反函数)(1x f y -=图象经过一个定点，则这个定点的坐标是 A 、（1，2）B 、（2，1）C 、（1，3）D 、（3，1） ⑷已知P 、q 为简单命题，则“p 且q ”为假是“p 或q ”为假的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要A 、⎩⎨⎧≥+--≥0221y x yB 、⎩⎨⎧≤+--≥0221y x y C 、⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD 、⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x ⑹在等差数列}{n a 中，前n 项和为Ｓn ，若==8442,31s s s s 则A 、81B 、31C 、91D 、103 ⑺设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)0()0(12)(21x x x x f x 若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是A 、（-1，1）B 、（-1，+∞）C 、（-∞，-2）∪（0，+∞）D 、（-∞，-1）∪（1，+∞）⑻（理）若函数x b x a x f cos sin )(-=对任意的实数x 都有)4()4(x f x f -=+ππ成立，则直线02=+-c by ax 的倾斜角为A 、arctan2B 、arctan(-2)C 、2arctan -πD 、2arctan +π (文)已知53sin =α，α是第二象限的角，且tan(α+β)=1,则tan β= A 、-7 B 、7 C 、43- D 、43 ⑼b、b b 、b a b a a 1log 1log log ,10则已知<<<的大小顺序是 A 、b b b a a b log 1log 1log << B 、bb b a a b 1log log 1log << C 、b b b a b a 1log 1log log << D 、b b b b a a 1log log 1log << ⑽已知双曲线12222=-bx a x 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a b x m x 离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形一定是A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形⑾（理）在函数x x y ln =（0，5）上是A 、单调增函数B 、单调减函数C 、在上递增在上递减)51()1,0(，e ，e D 、上递减在上递增在)51()1,0(，e ，e （文）曲线处的切线方程是在点),(12e e x e y =A 、2-=ex yB 、2+=ex yC 、e x y +=2D 、e x y -=2 ⑿将一个四棱锥的每个顶点都染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为A 、240种B 、300种C 、360种D 、420种第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）⒀已知n x )21(-的展式中，二项式系数的和是64，则它的二项式的中间项是__________; ⒁奇函数.________3123的值为则处有极值在c b a ，x cx bx ax y ++=++= ⒂（理）已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+ 7，若E η=34，ξ的分布列如右表，则m 的值为_____________.(文)某校有教职工x 人，高一学生1200人，高二学生1000人，高三学生800人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知从高二抽取的人数为5人，则教职工的人数是____________;⒃将正整数排列成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16………………其中第i 行第j 列的那个数记为i j M ，则数表中的2008应记为___________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）⒄（本小题满分12分） 已知向量)()(cos),3,cos 2(),sin 2,(cos 为常数m m b a x f x b x x a +∙=== ① 求函数)(x f 的最小正周期；② 当的值求为的最大值与最小值之和函数时m ，x f ，x 3)(]6,6[ππ-∈⒅（本小题满分12分）（理）已知a>0,设命题P:函数x a y )1(-=在R 上是单调递减； 命题q ：R ；a x x 的解集为>-++|)7||3lg(|如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的范围 （文）设关于x 的不等式.|)7||3lg(|a x x >-++①当a=1时，解这个不等式；②当a 为何值时，这个不等式的解集为R 。
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广东省惠州市2007届高三第一次调研考试数学试题(理科卷)(2006.10)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题（每小题5分，共40分）1、化简=+-ii13 A ．i 21- B. i 21+ C. i +2 D. i -22、命题：“设b a bc ac R c b a >>∈则若22,,,”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0 B. 1 C. 2 D. 33、幂函数①1-=x y 及直线②x y =③1=y ④1=x将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函 数23-=xy 的图象在第一象限中经过的“卦限”是A Ⅳ ⅦB Ⅳ ⅧC Ⅲ ⅧD Ⅲ Ⅶ4、某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的 平均分为M ，如果把M N ，那么M ：N 为A 4140B 4041 C 2 D 15、函数),52sin(2)(ππ+=x x f 若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为A 4B 2C 1D 216、等比数列{}n a 前n 项的积为T n ，若1863a a a 是一个确定的常数,那么数列25171310,,,T T T T ,中也是常数项的是A 10TB 13TC 17TD 25T7、从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、香港、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只能游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A 240种 B 300种 C 144种 D 96种8、设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 都成立，则当[]1,1-∈a 时，t 的取值范围是A 22≤≤-tB 202≥=-≤t t t 或或C 2121≤≤-t D 21021≥=-≤t t t 或或第Ⅱ卷(填空题、解答题共110分)二、填空题（每小题5分，共30910、如图在边长为25cm 为23cm 是11.=-⎰dx x x )32(20212、我们知道：“过圆心为O 的圆外一点P 作它的两条切线 P A 、PB ，其中A 、B 为切点， 则POB POA ∠=∠.”这个性 质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个： （注意：不要求证明结论的正确性）13．关于二项式2006)1(-x ,有下列三个命题：①该二项式展开式中非常数项的系数和是1-；②该二项式展开式中第10项是1996102006xC ；③当2006=x 时，2006)1(-x 除以2006的余数是1，其中正确的命题序号是(把你认为正确的序号都填上) 14、（本小题有三个小题供选作，考生只能在①、②、③题中选做一题！多做不给分！） ①圆C ：{θθcos 1sin +==x y （θ为参数）的普通方程为 ，设O 为坐标原点，点M ),(00y x 在C 上运动，点P ),(y x 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为②、若BE 、CF 是△ABC 的高，且BCEF S S 四边形=ABC △，则A ∠= ③、已知,143,,=+∈b a R b a 则22b a +的最小值为 三、解答题（6个小题，共80分）15．（本题满分12分）已知πθπθ22,222tan <<-=.⑴求θtan 的值； ⑵求)4sin(21sin 2cos22πθθθ+--的值.16．（本题满分12分）月饼是一种时间性很强的商品，若在中秋节前出售，每盒月饼将获利5元，若到中秋节还没能及时售完，中秋节之后只能降价出售，每盒将亏损3元，根据市场调查，销量（百盒）的概率分布如下：. (1)设订购量为x 百盒时,获利额为y 元,下表表示与x 对应的y 的分布列，请在空格处填入适当的y 的值，并计算相应的获利期望值Ey ;第10题图17．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21),(,133*=∈=b a N n S b n n 且，2153=+S S （1） 求数列{}n b 的通项公式； （2） 求证：221<+++n b b b18．（本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、中点，2====BD CD CB CA ，2==AD AB .⑴求证：BCD AO 平面⊥⑵求异面直线CD AB 与所成角的余弦值； ⑶求点E 到平面ACD 的距离.19．（本题满分14分）如图过抛物线y x 42=的对称轴上任一点)(,0(m m p 作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.⑴设点P 满足),1,(-≠=λλλ为实数 证明：);(λ-⊥⑵设直线的方程是AB 0122=+-y x ， 过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.20.(本题满分14分)已知函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ，常数α为方程x x f =)(的实数根.⑴若函数)(x f 的定义域为I ，对任意[][],,,,0b a x I b a ∈⊆存在使等式)()()()(0x f a b a f b f '-=-成立, 求证: 方程x x f =)(不存在异于a 的实数根⑵求证：当;)(,成立总有时x x f a x <>EB⑶对任意1x ，2x ，若满足2)()(,1,12121<-<-<-x f x f a x a x 求证惠州市2007届高三第一次调研考试 数学试题(理科卷)(2006.10) 参考答案9、729 10、62596 11、3412、过抛物线)0(22>=p py x 外一点P 作抛物线的两条切线PA 、PB （A 、B 为切点），若F 为抛物线的焦点，则PFB PFA ∠=∠（如果学生写出的是椭圆或双曲线，只要正确就给满分）13、①③14、①14)12(,1)1(2222=+-=+-y x y x ② 90° ③ 251三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15、(1)由22tan -=θ解得22tan -=θ或2tan =θ 3分22tan ,2,22-=∴<<∴<<θπθππθπ 7分 (2)原式=223)22(1)22(1tan 1tan 1cos sin 1sin cos 1+=-+--=+-=+--+θθθθθθ 12分 16、（（2）由上表可见：预订400盒月饼时获利的数学期望Ey 最大，因此最合理 17、(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由33332,21S a b a ==得 2分 即d a d a 334211+=+，得d a =1 4分1:,21138,,211153===+=+d a d a S S 解得得又 6分所以)1(2,11+==-+=n n b n n a n n 8分(2))111(2)1(2+-=+=n n n n b n 10分得2)111(221<+-=+++n b b b n 14分18 (1)证明略 5分 (2) 异面直线CD AB 与所成角的余弦值为4211分 (3) 求点E 到平面ACD 的距离为72114分 19解：（1）直线AB 的斜率存在可设直线AB 的方程为m kx y +=代入抛物线并化简得0442=--m kx x 2分设A 、B 两点的坐标分别是A （),11y x ),(22y x B 则21,x x 是方程0442=--m kx x 的两根,所以m x x 421-= 3分由点P 满足),1,(-≠=λλλ为实数得2121,01x xx x -==++λλλ即点Q 是点P 关于原点的对称点,故点)2,0(),,0(m m Q =-从而的坐标是))1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x λλλλλ-+--=+-+=-)(λ-⊥])1([221m y y m λλ-+-=])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+=2212144)(2x mx x x x m +⋅+=0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 6分所以)(λ-⊥ 7分(2)由⎩⎨⎧==+-y x y x 401222得点A,B 的坐标分别是(6,9)、)4,4(- 由y x 42=得x y x y 21,412='=所以，抛物线在点A 处切线的斜率为3|6='=x y 9分设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧-++=-+--=--2222)4()4()9()6(3169b a b a a b 11分 解得：223,23=-=b a 2125)4()4(222=-++=b a r 13分所以,圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x 14分 20、(1)用反证法，设方程x x f =)(有异于α的实根β,即αβββ>=不妨设,)(f ,则)()(αβαβf f -=-,在α与β之间必存在一点c ，αβ>>c由题意等式)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ成立， 3分因为βα≠所以必有1)(='c f ，但这与1)(0<'<c f 矛盾因此，若β也是方程x x f =)(的根，则必有αβ=,即方程x x f =)(不存在异于α的实数根. 6分(2)令)()(x f x x h -= 7分0)(1)(>'-='x f x h )(x h ∴为增函数 8分又)(,0)(,,0)()(x f x x h x f a h >>>∴=-=即时当ααα 9分 (3)不妨设)()(,)(,1)(0,2121x f x f x f x f x x ≤∴<'<≤即为增函数 10分x x f x f -∴<-')(,01)(函数又 为减函数 11分12122211)()(0,)()(x x x f x f x x f x x f -≤-≤∴-≥-即 12分即2||||||.|||)()(|12121212<-+-≤--≤-ααx x x x x x x f x f ,2|)()(|21<-∴x f x f 14分。