人教版A版高中数学高二版必修5习题一元二次不等式及其解法

[A 基础达标]
1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12
B. ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－23 解析：选 A.因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12. 2．下列四个不等式：
①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
解析：选C.①显然不可能； ②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；
③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
④中不等式可化2x 2－3x ＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.
3．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭
⎫13，＋∞，则ab 等于( ) A ．－24
B ．24
C ．14
D ．－14 解析：选 B.由已知可得－12，13
是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋13＝－b
a ，⎝⎛⎭⎫－12×13＝－2a ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，
所以ab ＝24. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )
A ．(0，2)
B ．(－2，1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1，2)
解析：选B.由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得
x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，
所以－2＜x ＜1.
5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )
A ．{x |x >5a 或x <－a }
B ．{x |x <5a 或x >－a }
C ．{x |－a <x <5a }
D ．{x |5a <x <－a }
解析：选B.因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12
，所以5a <－a .所以不等式的解为x >－a 或x <5a .故选B.
6．不等式2x 2－x ＋1>0的解集是________．
解析：由Δ＝1－4×2<0，则原不等式的解集为R .
答案：R
7．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为________． 解析：原不等式组可化为⎩
⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，
－1<x <1，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}
8．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －
2>0的解集为________．
解析：因为ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，
所以⎩
⎨⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 所以bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，
解得x >1或x <－2.
答案：{x |x >1或x <－2}
9．解下列不等式：
(1)(5－x )(x ＋1)≥0；
(2)9x 2－6x ＋1<0.
解：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．
(2)因为Δ＝0，方程9x 2－6x ＋1＝0有两相等实根，x 1＝x 2＝13
，所以不等式9x 2－6x ＋1<0的解集为∅.
10．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.
(1)当m ＝1时，求不等式f (x )> 0的解集；
(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32，3，求m 的值．
解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0，
因此所求解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.
(2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，
由题意知32
，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根， 因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝m
m ＋132×3＝m m ＋1⇒m ＝－97.
[B 能力提升]
1．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )
A ．a <α<β<b
B ．a <α<b <β
C ．α<a <b <β
D ．α<a <β<b
解析：选A.因为α，β为f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋
2与x 轴交点的横坐标．因为a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．
可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
2．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．
解析：由题意解得32<[x ]<152
，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.
答案：[2，8)
3．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.
解：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .
(1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；
(2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ，此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }；
(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0，此时解集为∅.
综上所述，原不等式的解集为：
当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }；
当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }；
当a ＝0时，∅.
4．(选做题)(2016·广东云浮月考)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a .
(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；
(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－3x＋2，
因为f(x)>0，
所以x2－3x＋2>0，
令x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)因为f(x)<0，
所以f(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)<0，令(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1，
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为空集；
当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．。