建模案例讲解PPT
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数学建模-第四篇-典型案例分析课件
问题
☞ (1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计 划, 使总费用最小（给出总费用).
☞ (2)请就(1)的模型分析: 哪个钢厂钢管的销 价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个 钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总 费用的影响最大，并给出相应的数字结果.
☞ (3)如果要铺设的管道不是一条线, 而是一 个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就 这种更一般的情形给出一种解决办法, 并对图 二按(1)的要求给出模型和结果.
§2.4 流量估计 1. 拟合水位~时间函数.
2. 确定流量~时间函数.
3. 一天总用水量的估计.
§2.5 算法设计与编程
1．拟合第1.2时段的水位，并导出流量.
2. 拟合供水时段的流量.
3. 一天总用水量的估计. 4. 流量及总用水量的检验.
Watertower.m
32Biblioteka 302826
24
22
20
★ 空气阻力的影响 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
v(m/s）
8.0 8.5 9.0
h (m)
1.8 1.9 2.0 2.1
1.8 1.9 2.0 2.1
1.8 1.9 2.0 2.1
1度
2度
60.7869 61.6100 62.3017 62.9012
43.5424 41.5693 39.7156 37.9433
§1.2 问题的分析 d
d
球心偏前
0
△x
0 D
篮球入框
D
☞不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件 ☞考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件 ☞保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差 ☞考虑空气阻力的影响
数学建模入门PPT课件
y
•
a
o
•
•
b
x
CHENLI
19
4 模型求解
证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由
2
g(0)0,f(0)0,可得
f()0,g()0,
2
2
令 h ( ) f ( ) g ( )则 , h ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) 0 ,
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类： 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
CHENLI
13
5）按建模目的分类： 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分类：
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
优决策控制等。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
CHENLI
11
模型的分类
1）按变量的性质分类：
离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理
以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方
法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计
算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数
近似、有效数字等）。
CHENLI
10
5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最
•
a
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•
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4 模型求解
证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由
2
g(0)0,f(0)0,可得
f()0,g()0,
2
2
令 h ( ) f ( ) g ( )则 , h ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) 0 ,
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类： 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
CHENLI
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5）按建模目的分类： 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分类：
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
优决策控制等。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
CHENLI
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模型的分类
1）按变量的性质分类：
离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理
以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方
法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计
算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数
近似、有效数字等）。
CHENLI
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5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最
3DMAX教程建模PPT课件
创建NURBS对象
NURBS曲线和NURBS曲面都分为两类，即点曲线（面）和CV曲线（面）。其 中，点曲线和点曲面控制比较简单，调整曲线或曲面上的控制点即可调整 其形状，如下面左图所示；CV曲线和CV曲面的控制比较复杂，需通过调整 曲线和曲面上由控制点组成的控制晶格来调整曲线、曲面的形状，如下面 右图所示。
通过对象的右键快捷菜单：如下图所示，选中要进行多边形建模的三维对象， 然后在“修改”面板的“修改器堆栈”中右击对象的名称，从弹出的快捷菜单 中选择“转换为：可编辑多边形”菜单项即可。使用该方法时，对象的性质发 生改变，因此，我们将无法再利用其创建参数来修改对象。
为三维对象添加“编辑多边形”修改器：如下图所示，选中要进行多边形建模 的三维对象，然后打开“修改”面板中的“修改器列表”下拉列表，从中选择 “编辑多边形”。使用该方法时，对象的性质未变，只是增加了一个修改器。 因此，我们仍可利用其创建参数来修改对象。
网格建模
“曲面属性”卷展栏的作用
可编辑网格处于不同的子对象修改模式时，“曲面属性”卷展栏的界面也
不同相同，如下图所示。
修改对象设 为“顶点” 时的操作界
面
修改对象设为 “面”、“多边 形”或“元素”
时的操作界面
修改对象设 为“顶点” 时的操作界
面
当可编辑网格处于“顶点”修改模式时，“曲面属性”卷展栏用来设置顶 点的颜色、照明度和透明度；当可编辑网格处于“面”、“多边形”或 “元素”修改模式时，“曲面属性”卷展栏用来设置面、多边形、元素使 用的材质ID和平滑组号；当可编辑网格处于“边”修改模式时，“曲面属 性”卷展栏用来设置边的可见性。
单击四边形 或三角形面
片按钮
单击并拖动 鼠标创建面
片栅格
《数学建模案例》课件
《数学建模案例》PPT课 件
本课程将带你深入了解数学建模的基本概念、流程和方法，并通过真实案例 解析，帮助你实战体验数学建模的魅力。
数学建模的基本概念
定义
数学建模是用数学工具和方法研究现实问题，提出数学模型、进行分析和求解的过程。
意义
数学建模可以帮助我们理解和解决复杂实际问题，并为决策提供科学依据。
存在的问题和挑战
数学建模面临数据获取、模型不确定性和求解难 题等挑战。
重要性
数学建模是培养创新思维、科学素养和解决实际 问题的重要途径。
发展的趋势
随着信息技术的发展，数学建模将更加智能化、 复杂化和实用化。
数学建模实战体验
1
选
2
从多个问题选择一个感兴趣的项目进行
研究。
3
结果报告
4
呈现研究结果和解决方案，并与其他团 队交流讨论。
组队
与同学们组队，合作解决真实问题。
模型的建立、求解、验证、优化
学习并实践数学建模的全过程，通过团 队协作完成项目。
总结
意义和应用价值
数学建模在科学研究、工程技术和决策分析等领 域具有广泛的应用和重要的价值。
特点
数学建模具有抽象性、理论性和实际可行性的特点，Байду номын сангаас一个综合运用数学、科学、技术和经 济知识的过程。
数学建模的流程和方法
1
模型的求解
2
利用数学分析和计算工具，求解数学模
型得到问题的解。
3
模型的优化
4
根据问题的要求和实际情况，对数学模 型进行改进和优化。
模型的建立
根据问题的具体情况，选择适当的数学 工具和方法，构建数学模型。
模型的验证
通过与现实数据和观察结果的比较，验 证数学模型的有效性。
本课程将带你深入了解数学建模的基本概念、流程和方法，并通过真实案例 解析，帮助你实战体验数学建模的魅力。
数学建模的基本概念
定义
数学建模是用数学工具和方法研究现实问题，提出数学模型、进行分析和求解的过程。
意义
数学建模可以帮助我们理解和解决复杂实际问题，并为决策提供科学依据。
存在的问题和挑战
数学建模面临数据获取、模型不确定性和求解难 题等挑战。
重要性
数学建模是培养创新思维、科学素养和解决实际 问题的重要途径。
发展的趋势
随着信息技术的发展，数学建模将更加智能化、 复杂化和实用化。
数学建模实战体验
1
选
2
从多个问题选择一个感兴趣的项目进行
研究。
3
结果报告
4
呈现研究结果和解决方案，并与其他团 队交流讨论。
组队
与同学们组队，合作解决真实问题。
模型的建立、求解、验证、优化
学习并实践数学建模的全过程，通过团 队协作完成项目。
总结
意义和应用价值
数学建模在科学研究、工程技术和决策分析等领 域具有广泛的应用和重要的价值。
特点
数学建模具有抽象性、理论性和实际可行性的特点，Байду номын сангаас一个综合运用数学、科学、技术和经 济知识的过程。
数学建模的流程和方法
1
模型的求解
2
利用数学分析和计算工具，求解数学模
型得到问题的解。
3
模型的优化
4
根据问题的要求和实际情况，对数学模 型进行改进和优化。
模型的建立
根据问题的具体情况，选择适当的数学 工具和方法，构建数学模型。
模型的验证
通过与现实数据和观察结果的比较，验 证数学模型的有效性。
高中教育数学必修第二册湘教版《6.2 数学建模案例1 烧开水问题》教学课件
检验与改进 1．取旋钮39°的位置，烧一壶开水，记录所得实际用气量是不是 0.121 8 m3.如果基本吻合，就可以依此作结论了．如果相差太大，特 别是当用气量大于0.121 8 m3时，最小值点就肯定不是39°，说明上 述三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直到
结果与实际比较接近就可以了． 实际上，如果我们取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，求出
评价与推广 该模型建立过程中的假设条件太强．该模型只考虑通过改变阀门位 置来达到节约燃气用量的目的，有一定的局限性，实际过程中也可以 考虑通过控制阀门大小，每次只烧半壶水，分两次完成烧水的方法来 实现节约燃气用量的目的．阀门位置改变时，燃气量的变化与阀门本 身设计也有关，而在该模型中没有讨论．
2．在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的 燃气量，得到了几组实验数据，如下表：
位置项目
18° 36° 54° 72° 90°
开始时燃气 读表数/m3
9.080 8.958 8.819 8.670 8.498
水开时燃气 读表数/m3
9.210 9.080 8.958 8.819 8.670
1．给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选 一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选择五个位置， 在要求精度较高的情况下，可以探究更多的位置)．因为关闭时，燃 气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大 时，旋钮转了90°.为了方便计算，将0°～90°五等分，如图，分别 以18°，36°，54°，72°，90°来确定五个位置(其他位置选取方 法，同学们可以自己进行尝试)．
所需燃气量 /m3 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
数学建模介绍PPT课件
•对任意的，有f()、 g()
•至少有一个为0，
16
本问题归为证明如下数学命题： 数学命题:（本问题的数学模型）
已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的 ，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在0， 使f(0)= g(0)=0
模型求解 证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由 f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0
的解答
解
释
数学模型 的解答
12
实践
理论
实践
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成 数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答
将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 象 用现实对象的信息检验得到的解答
13
4、建模实例：
例1、椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 模型假设 • 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面
• 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模 有关的概念：
3
• 原型（Prototype）
• 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、 管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、 实际问题等。
• 模型（Model)
• 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、 提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有 直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、 数学模型等。
• 一个原型可以有多个不同的模型。
4
数学模型：
由数字、字母、或其他数学符号组成、描 述实际对象数量规律的数学公式、图形或算 法称为数学模型
数学建模：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
5
【大学竞赛】数学建模 钢管订购和运输优化模型PPT
综合案例分析
建模案例：钢管订购和运输优化模型
2000年“网易杯”全国大学生数学建模竞赛B
a
1
一.问题的提出
二.基本假设
1.沿铺设的主管道已有公路或者有施工公路. 2.1km 主管道钢管称为一单位钢管，在主管道上，每千
米卸1单位的钢管. 3.公路运输费用为1单位钢管每千米0.1万元
（不足整千米部分按整千米计算） 4.在计算总费用时，只考虑运输费用和购买钢管的费用， 而不考虑其他的费用（诸如中转费用）
5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km,铁路每增加1 至100km,1单位钢管运输的运价增至5万元.
6.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量 7.销售价和运输价不受市场价格变化的影响
a
2
三. 符号说明
第 个钢厂, 第 个钢厂的最大产量，
输送天然气的主管道上的第 个点， 第 个钢厂 1 单位钢管的销售价格，
1）将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图.
所以可先求出钢厂 S i 到铁路与公路相交点 b j 的最短路径.如图3
a
4
1200
690
720
1100 202
20
1150
195
306
450 80
30 290
320 160
160
690
70
70
170 520
88
462
a
5
图-4
a
6
2）计算单位钢管从S 1 到 A j 的最少运输费用
x ij { 0 , [ 500 , s i ]}, i 1, 7
j1
7
x ij 1, j 1, 5171
i1
x ij { 0 ,1}, i 1, 7 , j 1, 5171
建模案例：钢管订购和运输优化模型
2000年“网易杯”全国大学生数学建模竞赛B
a
1
一.问题的提出
二.基本假设
1.沿铺设的主管道已有公路或者有施工公路. 2.1km 主管道钢管称为一单位钢管，在主管道上，每千
米卸1单位的钢管. 3.公路运输费用为1单位钢管每千米0.1万元
（不足整千米部分按整千米计算） 4.在计算总费用时，只考虑运输费用和购买钢管的费用， 而不考虑其他的费用（诸如中转费用）
5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km,铁路每增加1 至100km,1单位钢管运输的运价增至5万元.
6.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量 7.销售价和运输价不受市场价格变化的影响
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2
三. 符号说明
第 个钢厂, 第 个钢厂的最大产量，
输送天然气的主管道上的第 个点， 第 个钢厂 1 单位钢管的销售价格，
1）将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图.
所以可先求出钢厂 S i 到铁路与公路相交点 b j 的最短路径.如图3
a
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1100 202
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30 290
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170 520
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图-4
a
6
2）计算单位钢管从S 1 到 A j 的最少运输费用
x ij { 0 , [ 500 , s i ]}, i 1, 7
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x ij 1, j 1, 5171
i1
x ij { 0 ,1}, i 1, 7 , j 1, 5171
数学建模算法(共10张PPT)
• function [D,path]=floyd(a)
•
n=size(a,1);
• D=a;
• path=zeros(n,n);
• for i=1:n
•
for j=1:n
•
if D(i,j)~=inf
•
path(i,j)=j;
•
end
•
end
•
end
•
for k=1:n
•
for i=1:n
•
for j=1:n
数学建模算法
第1页，共10页。
• Dijkstra算法 • 1.定义概览 • Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算
法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径 。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到 扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最 短路径算法，在很多专业课程中都作为根本内容有 详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注 意该算法要求图中不存在负权边。 • 问题描述：在图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的 长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路 径。〔单源最短路径〕
•
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
•
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
•
path(i,j)=path(i,k);
•
end
•
end
•
end
•
end
第7页，共10页。
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。 Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明 从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的 最短路径的距离。 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 从任意一条单边路径开始。 D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); end path(i,j)=j; Floyd-Warshall算法〔Floyd-Warshall algorithm〕是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同 时也被用于计算有向图的传递闭包。 end 所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明 从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的 最短路径的距离。 所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，那么权为无穷大。 Floyd-Warshall算法〔Floyd-Warshall algorithm〕是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同 时也被用于计算有向图的传递闭包。 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过假设干个节点k到j。
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实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、 高分别为10、14.5、19和3、2、4，两者左侧 面、前面、下面之间的距离分别为6、7、9，r ＝1，则边距如下表：
u1
u1
u3
u4
u5
u6
6
1
7
5.5
6
9
在r=1时，求符合条件的最优切割方案，及此时的 最少费用。
选择第一步路径： W（V1,V2）=14.5×19 W（V1,V4）=10×19 W（V1,V10）=10×14.5 故第一步选择V1－V10
r=1时，求得最短路为： V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为 374
对应的最优切割排列为： M6－M3－M5－M1－M4－M2，费用为374元.
2． e≠ 0的情况
当e ≠ 0时，即当先后两次垂直切割的平面 不平行时，需加调刀费e.希望在图1的网
络图中某些边增加权来实现此费用增加. 在所有切割序列中，四个垂直面的切割 顺序只有三种可能情况：
返回
• 我们希望通过在图1的网络图中的某些边上增加权,
来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某 些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，
需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，
就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能 直接利用图1的网络图进行边加权来求最短路径.
修改思路：由前表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集 {(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且 情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二） 的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分 是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集 {(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就 形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性. 对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.
d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短 路径.
实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4 －V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割 序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.
• (1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石 材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材 在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.
(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程， 若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即 当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到
• (3)根据准则知第一刀有三种选择， 即第一刀应切M1、 M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)， (V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向 道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路， 对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为 最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方 式.
１．假设水平切割单位面积的费用为r，垂 直切割单位面积费用为1；
２．当先后两次垂直切割的平面（不管它们 之割前，刀具已经调整完毕，即 第一次垂直切割不加入刀具调整费用；
4．每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.
P66 720
<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费 用比e=0时的费用增加e.
<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一 个，总费用比e=0时的费用增加2e.
<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费 用增加3e.
在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列
情形，及在图G中对应有向路的必经点如下表（z=0,1,2）：
垂直切割面排列情形
有向路必经点
情况一 （一） 情况一 （二） 情况二 （一） 情况二 （二） 情况三 （一） 情况三 （二）
M1－M2－M3－M4 M3－M4－M1－M2 M3－M1－M2－M4 M1－M3－M4－M2 M1－M3－M2－M4 M3－M1－M4－M2
(1,0,z),(2,0,z),(2,1,z) (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z) (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z) (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z) (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z) (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)
建模案例： 最优截断切割问题
(图论的应用)
张亚梅
从一个长方体中加工出一个已知 尺寸、位置预定的长方体（这两个 长方体的对应表面是平行的），通 常要经过6 次截断切割.设水平切割 单位面积的费用是垂直切割单位面 积费用的r倍.且当先后两次垂直切 割的平面（不管它们之间是否穿插 水平切割）不平行时，因调整刀具 需额外费用e.试设计一种安排各面 加工次序（称“切割方式”）的方 法，使加工费用最少
• 由此准则,只需考虑 2!P26!6种2! 切90割方式.即在 求最少加工费用时，只需在90个满足准则的 切割序列中考虑.
• 不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6， 故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在 M6前的切割方式.
• 为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图的一个有向 赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在 网络图上加上坐标轴 x，y，z，图G(V,E)的含义为：
• 由于调整垂直刀具为3次时，总费用 需增加3e， 故我们先安排这种情况 的权增加值e，每次转刀时，给其待 切弧上的权增加e.增加e的情况如图 2中所示.再来判断是否满足调整垂直 刀具为二次、一次时的情况，我们 发现所增加的权满足另外两类切割 序列.
综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图 Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求 出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权 分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：
Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即
为这一切割过程的费用.
• 相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用为：
且W(Vi,Vj)=(xj-xi)×(bi×ci)+(yj-yi)×(ai×ci) +(zj-zi)×(ai×bi)×r
• 其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的 左右面、上下面、前后面之间的距离.
∣
实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、 高分别为10、14.5、19和3、2、4，两者左侧 面、前面、下面之间的距离分别为6、7、9，r ＝1，则边距如下表：
u1
u1
u3
u4
u5
u6
6
1
7
5.5
6
9
在r=1时，求符合条件的最优切割方案，及此时的 最少费用。
选择第一步路径： W（V1,V2）=14.5×19 W（V1,V4）=10×19 W（V1,V10）=10×14.5 故第一步选择V1－V10
r=1时，求得最短路为： V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为 374
对应的最优切割排列为： M6－M3－M5－M1－M4－M2，费用为374元.
2． e≠ 0的情况
当e ≠ 0时，即当先后两次垂直切割的平面 不平行时，需加调刀费e.希望在图1的网
络图中某些边增加权来实现此费用增加. 在所有切割序列中，四个垂直面的切割 顺序只有三种可能情况：
返回
• 我们希望通过在图1的网络图中的某些边上增加权,
来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某 些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，
需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，
就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能 直接利用图1的网络图进行边加权来求最短路径.
修改思路：由前表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集 {(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且 情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二） 的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分 是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集 {(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就 形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性. 对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.
d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短 路径.
实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4 －V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割 序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.
• (1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石 材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材 在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.
(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程， 若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即 当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到
• (3)根据准则知第一刀有三种选择， 即第一刀应切M1、 M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)， (V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向 道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路， 对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为 最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方 式.
１．假设水平切割单位面积的费用为r，垂 直切割单位面积费用为1；
２．当先后两次垂直切割的平面（不管它们 之割前，刀具已经调整完毕，即 第一次垂直切割不加入刀具调整费用；
4．每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.
P66 720
<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费 用比e=0时的费用增加e.
<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一 个，总费用比e=0时的费用增加2e.
<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费 用增加3e.
在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列
情形，及在图G中对应有向路的必经点如下表（z=0,1,2）：
垂直切割面排列情形
有向路必经点
情况一 （一） 情况一 （二） 情况二 （一） 情况二 （二） 情况三 （一） 情况三 （二）
M1－M2－M3－M4 M3－M4－M1－M2 M3－M1－M2－M4 M1－M3－M4－M2 M1－M3－M2－M4 M3－M1－M4－M2
(1,0,z),(2,0,z),(2,1,z) (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z) (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z) (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z) (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z) (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)
建模案例： 最优截断切割问题
(图论的应用)
张亚梅
从一个长方体中加工出一个已知 尺寸、位置预定的长方体（这两个 长方体的对应表面是平行的），通 常要经过6 次截断切割.设水平切割 单位面积的费用是垂直切割单位面 积费用的r倍.且当先后两次垂直切 割的平面（不管它们之间是否穿插 水平切割）不平行时，因调整刀具 需额外费用e.试设计一种安排各面 加工次序（称“切割方式”）的方 法，使加工费用最少
• 由此准则,只需考虑 2!P26!6种2! 切90割方式.即在 求最少加工费用时，只需在90个满足准则的 切割序列中考虑.
• 不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6， 故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在 M6前的切割方式.
• 为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图的一个有向 赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在 网络图上加上坐标轴 x，y，z，图G(V,E)的含义为：
• 由于调整垂直刀具为3次时，总费用 需增加3e， 故我们先安排这种情况 的权增加值e，每次转刀时，给其待 切弧上的权增加e.增加e的情况如图 2中所示.再来判断是否满足调整垂直 刀具为二次、一次时的情况，我们 发现所增加的权满足另外两类切割 序列.
综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图 Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求 出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权 分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：
Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即
为这一切割过程的费用.
• 相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用为：
且W(Vi,Vj)=(xj-xi)×(bi×ci)+(yj-yi)×(ai×ci) +(zj-zi)×(ai×bi)×r
• 其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的 左右面、上下面、前后面之间的距离.