2 第1讲 分层演练直击高考

1．下列各式中不能化简为PQ →

的是( ) A .AB →＋(P A →＋BQ →

) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C .QC →－QP →＋CQ →

D ．P A →＋AB →－BQ →

解析：选D .AB →＋(P A →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋P A →＝P A →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →

)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →；QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； P A →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →， 显然由PB →－BQ →得不出PQ →

， 所以不能化简为PQ →

的式子是D .

2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |

D ．|－λa |≥|λ|a

解析：选B .对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．

3．(2018·浙江省新高考学科基础测试)设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，|AB →

|＝6，|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|，则|CM →

|＝( ) A ．12 B ．6 C ．3

D ．32

解析：选C .因为|CA →＋CB →|＝2|CM →|，|CA →－CB →|＝|BA →|，所以2|CM →|＝|BA →

|＝6， 所以|CM →

|＝3，故选C .

4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( ) A ．a B ．b C ．c

D ．0

解析：选D .因为a ＋b 与c 共线，所以a ＋b ＝λ1c .① 又因为b ＋c 与a 共线，所以b ＋c ＝λ2a . 由①得b ＝λ1c －a .所以b ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.

5．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A .若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件，故选A .

6．(2018·温州市普通高中模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →

(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1， 2 ]

D ．(0， 2 )

解析：选B .由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →

(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1

k

＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．

7．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →

＝________(用a ，b 表示)． 解析：

如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →

＝－a －b . 答案：b －a －a －b

8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →

|的取值范围是________．

解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →

|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3＜|BC →|＜13.综上可知3≤|BC →

|≤13. 答案：[3，13]

9．(2018·温州质检)如图所示，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →

，若AD →＝15

AB →＋λAC →

(λ∈R )，则λ的值为 ________．

解析：因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →，又CD →∥AG →，可设CD →＝mAG →

，从

而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝⎛⎭⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →

，所以m 3＝15

，λ＝1＋m 3＝6

5.

答案：6

5

10．(2018·杭州中学高三月考)已知P 为△ABC 内一点，且5AP →－2AB →－AC →

＝0，则△P AC 的面积与△ABC 的面积之比等于________． 解析：因为5AP →－2AB →－AC →

＝0， 所以AP →＝25AB →＋15

AC →，

延长AP 交BC 于D ，则53AP →＝23AB →＋13AC →＝AD →

，

从而可以得到D 是BC 边的三等分点，且CD ＝2

3

CB ，

设点B 到边AC 的距离为d ，则点P 到边AC 的距离为23×35d ＝2

5d ，

所以△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为2

5.

答案：25

11．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →

，m ，n ∈R ，求1n ＋1

m

的值．

解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝1

3(a ＋b )

－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋1

3

b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →

， 即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋1

3

λb ，