误差合成与分配
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测量误差的合成和分配
对测量结果可采用正确度，精密度 和准确度三种评价方法。 1．正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。 系统误差愈大，正确度愈低；系统误差 愈小，正确度愈高。
2．精密度 表示测量结果中随机误差的大小 程度，也简称为精度。随机误差的大 小可用测量值的标准偏差 x 来衡量, x 越小，测量值越集中，测量的精 密度越高；反之，标准确偏差 x 越 大，测量值越分散，测量精密度越低 。
测量时应兼顾误差大小、测 量的难易程度及其他因素选择 最佳测量方案。
式中 y ——被测量 y 的相对误差； x1——直接测量 x 的绝对误差； 1 x 2——直接测量 x 的绝对误差。 2
同理，当被测量 y 由m个分项合成时, 误差传递公式为
y
i 1
m
f xi xi
(2-21)
(2-22)
y
i 1
m
ln f xi xi
i 式中 x—— 第i个测量分项的测量值； x—— i 直接测量量 x i 的绝对误差。
3．抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时， 就可以不考虑次要分项的误差，或酌情 分给次要分项少量误差比例，确保主要 项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把 误差在这几个主要误差项中分配，考虑 采用等准确度或等作用分配原则。
2.5
2.5.1
测量结果的描述与处理
测量结果的评价
–12.4344→12.43 –0.69499→0.69 63.73501→63.74 25.3250→25.32
–17.6955→17.70
123.1150→123.12
• 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.69499→0.6950→0.695→0.70。
误差的合成与分配
y 2 2 x f 1 2 x 1 2 2 ... x f n 2 x n 2 2 2 1 n i j x fi x fj x i2j2
y N 2 x f 1 2x 1 N 2 ... x f n 2x n N 2 2 1 n i j x f i x fj x iNjN
y 2 fx 1 2 ,x 2 2 , ,x n 2
y N fx 1 n ,x 2 n , ,x n n
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
函数随机误差为：
f
f
f
y 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 ... x n x n 1
f
f
f
y 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 ... x n x n 2
sin c o s
可得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f
f
1n f
c o s( x 1 x 1 x 2 x 2 ... x n x n ) c o si 1 x i x i
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接
测量最大直径 D，直接测得其
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
yf(x1,x2,...xn)
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
第三章 误差的合成和分配
3-4
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
《误差理论与数据处理(第6版)费业泰》课后习题答案
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
6
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
第4讲-误差合成与分配
2.7 测量误差的合成与分配
实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的； 在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。
当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总 误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。
•测量误差的合成 •测量误差的分配
1
2.7.1 误差传递公式 总误差与分项误差的关系是各种各样的，如和差关系、
19
2.7.5 等作用分配
是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定 相等，但它们对测量误差总合的作用是相同的，即
——
1
=
——
2
= • • • = —— n
x1
x2
xn
根据系统误差合成公式可得:
y
j =———— n——xj
20
[例] 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上 消耗的功率。已测出电流为100mA，电压为3V，算出 功率为 300 mW。 若要求功率测量的系统误差不大于 5%，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述 功率误差的要求？
系统误差的合成可用式 = j 计算, 现设其 j=1
中第K项误差K为微小误差。根据有效数字的规则， K可忽略不计的判断准则如下：
23
当总误差取一位有效数字时，若 K <(0.1~0.05) , 则K可忽略；
当总误差取二位有效数字时，若 K <(0.01~0.005) , 则K可忽略。
2. 随机误差的微小准则
y = B • A+ A • B
y= A+ B 当都有正负号时, 应取 y=± (|A | + | B |) (2)商函数的合成误差
设y=A/B, A与B的误差为A与B, 则
y = —1— A – —A— B
实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的； 在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。
当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总 误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。
•测量误差的合成 •测量误差的分配
1
2.7.1 误差传递公式 总误差与分项误差的关系是各种各样的，如和差关系、
19
2.7.5 等作用分配
是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定 相等，但它们对测量误差总合的作用是相同的，即
——
1
=
——
2
= • • • = —— n
x1
x2
xn
根据系统误差合成公式可得:
y
j =———— n——xj
20
[例] 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上 消耗的功率。已测出电流为100mA，电压为3V，算出 功率为 300 mW。 若要求功率测量的系统误差不大于 5%，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述 功率误差的要求？
系统误差的合成可用式 = j 计算, 现设其 j=1
中第K项误差K为微小误差。根据有效数字的规则， K可忽略不计的判断准则如下：
23
当总误差取一位有效数字时，若 K <(0.1~0.05) , 则K可忽略；
当总误差取二位有效数字时，若 K <(0.01~0.005) , 则K可忽略。
2. 随机误差的微小准则
y = B • A+ A • B
y= A+ B 当都有正负号时, 应取 y=± (|A | + | B |) (2)商函数的合成误差
设y=A/B, A与B的误差为A与B, 则
y = —1— A – —A— B
第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
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f f x2 可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) x1 x1 x2 f xn xn
, xn xn )
得到
f f y x1 x2 x1 x2
f xn xn
函数标准差计算
或 y
（3-2）
2, , n) f xi (i 1, 为各个输入量在该测量点 误差传递系数 ( x1 , x2 , , xn )
处的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
2
2
或 令 则
f ai xi
f f 2 y x12 x2 x1 x2
（3-14）
y a12 x12 a22 x 22
ρ ij=0
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
2
2
f 2 xn xn
f 2 xn xn
y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
（3-1）
函数系统误差计算公式
• 若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…， ⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
y f f f x1 x2 ... xn x1 x2 xn
函数误差的概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
, xn x1 , x2 , 与被测量有函数关系的各个直接测量值
• 5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
• 6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
例２
•
用量块组做标准件的测量
相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组 由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：
已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为
2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2
2
n f f f 2 ij xi xj xn 2 1i j xi x j xn
2
xi xi 第i个直接测得量 的标准差
线性函数的系统误差计算
函数形式为线性关系的函数系统误差为
（3-3）
线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 （3-5）
因
则有
（3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
• 如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关 系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其 系统误差为
求测量结果。
求解：
• 1. 建立函数关系式
• 2.计算直径D0值 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为
3.计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
• 4.计算各误差传递系数值
对于式(3—1)
若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分 量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy， 而得不到函数的标准差σy。
函数随机误差的数学模型
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 , 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
( x1 , x2 , , xn )
f xi 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 y xi
处的误差传递系数
相关系数的讨论
若定义
•
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时， 相关项
则有
本章重点和难点
★函数系统误差和函数随机误差的概念 ★随机误差的合成 ★未定系统误差和随机误差的合成 ★误差分配 ★微小误差取舍准则 ★最佳测量方案的确定 重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的 异同点；
了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
• 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题， 但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进 行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度， 需要采用间接测量。 • 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一 定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计 算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是 各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函 数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究 误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差？
解：量块组尺寸的系统误差为
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
二、函数随机误差计算
• 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各 测量值的标准差之间的关系。
, xn xn )
得到
f f y x1 x2 x1 x2
f xn xn
函数标准差计算
或 y
（3-2）
2, , n) f xi (i 1, 为各个输入量在该测量点 误差传递系数 ( x1 , x2 , , xn )
处的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
2
2
或 令 则
f ai xi
f f 2 y x12 x2 x1 x2
（3-14）
y a12 x12 a22 x 22
ρ ij=0
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
y2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
2
2
f 2 xn xn
f 2 xn xn
y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy f f f dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
（3-1）
函数系统误差计算公式
• 若已知各个直接测量值的系统误差⊿x1，⊿x2，…， ⊿xn 由 y 的全微分，函数系统误差 ⊿y的计算公式
y f f f x1 x2 ... xn x1 x2 xn
函数误差的概念
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
, xn x1 , x2 , 与被测量有函数关系的各个直接测量值
• 5.计算系统误差值
将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得
• 6.给出测量结果
通过修正可消除所求得的直径系统误差△D，则被测直径的实际尺寸为
例２
•
用量块组做标准件的测量
相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组 由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：
已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为
2
f f 2 2 x1 x2 x1 x2
2
2
n f f f 2 ij xi xj xn 2 1i j xi x j xn
2
xi xi 第i个直接测得量 的标准差
线性函数的系统误差计算
函数形式为线性关系的函数系统误差为
（3-3）
线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
正弦函数的系统误差计算公式
函数 系统误差 （3-5）
因
则有
（3-6） 同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。
例1 用弓高弦长法间接测量大直径D
• 如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关 系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其 系统误差为
求测量结果。
求解：
• 1. 建立函数关系式
• 2.计算直径D0值 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为
3.计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
• 4.计算各误差传递系数值
对于式(3—1)
若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分 量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy， 而得不到函数的标准差σy。
函数随机误差的数学模型
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 , 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
( x1 , x2 , , xn )
f xi 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 y xi
处的误差传递系数
相关系数的讨论
若定义
•
若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时， 相关项
则有
本章重点和难点
★函数系统误差和函数随机误差的概念 ★随机误差的合成 ★未定系统误差和随机误差的合成 ★误差分配 ★微小误差取舍准则 ★最佳测量方案的确定 重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的 异同点；
了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
• 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题， 但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进 行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度， 需要采用间接测量。 • 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一 定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计 算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是 各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函 数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究 误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差？
解：量块组尺寸的系统误差为
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
二、函数随机误差计算
• 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各 测量值的标准差之间的关系。