第六章 Metropolis抽样与动力学方法
马尔可夫链蒙特卡洛方法中的哈密尔顿蒙特卡洛算法解析(九)
马尔可夫链蒙特卡洛方法中的哈密尔顿蒙特卡洛算法解析在统计学、计算机科学和物理学等领域，马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法一直被广泛应用于随机抽样和模拟。
其中，哈密尔顿蒙特卡洛算法是MCMC方法的一种重要变种，它通过模拟哈密尔顿动力学系统来实现对目标分布的抽样。
本文将对哈密尔顿蒙特卡洛算法进行详细解析，介绍其基本原理、算法流程和应用场景。
1. 哈密尔顿蒙特卡洛算法的基本原理哈密尔顿蒙特卡洛算法是由物理学中的哈密尔顿力学系统所启发而来的，它模拟了粒子在势能场中的运动过程。
在MCMC方法中，通常需要从目标分布中抽样，而哈密尔顿蒙特卡洛算法则通过构造Hamiltonian函数来实现对目标分布的抽样。
Hamiltonian函数H(q, p)定义为系统的动能和势能之和，其中q表示系统的位置，p表示系统的动量。
通过Hamiltonian函数，可以得到系统在状态空间中的一组微分方程，即哈密尔顿方程。
在哈密尔顿蒙特卡洛算法中，需要通过数值积分的方式来模拟粒子在状态空间中的运动轨迹，从而实现对目标分布的抽样。
2. 哈密尔顿蒙特卡洛算法的具体流程在哈密尔顿蒙特卡洛算法中，需要依次进行以下步骤：（1）初始化系统状态。
根据目标分布的维度，随机初始化系统的位置和动量。
（2）模拟系统的运动轨迹。
通过数值积分的方法，模拟系统在状态空间中的运动轨迹，直到达到一定的时间步长或者满足一定的条件为止。
（3）接受或拒绝新状态。
根据Metropolis准则，判断新状态是否被接受，从而更新系统的状态。
（4）重复上述步骤，直到满足终止条件。
可以根据需要设置不同的终止条件，如达到一定的迭代次数或者满足一定的收敛准则。
3. 哈密尔顿蒙特卡洛算法的应用场景哈密尔顿蒙特卡洛算法在统计学和物理学等领域有着广泛的应用。
其中，一些具体的应用场景包括：（1）贝叶斯推断。
哈密尔顿蒙特卡洛算法可以用于贝叶斯推断问题的求解，特别是在高维参数空间中的情况下，相比于传统的MCMC方法有着更高的效率和收敛速度。
马文淦《计算物理学》习题
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H 0 ( x ) = 1, H1 ( x ) = x , = H n +1 ( x ) 2 x H n ( x ) − 2n H n −1 ( x ). （7）Mathematica 语言编写一个从某点出发求多元函数的局部极小或极大 值的程序包。 （8）用 Mathematica 语言编写一个程序包，它能实现平面图形的（a）平 移， （b）旋转， （c）对 x 坐标轴的反射。
第三章、Monte Carlo 方法的若干应用（习题）
（1）利用 Monte Carlo 方法计算三维、四维、五维和六维空间的单位半径 球的体积。 （2）利用分布密度函数 f ( x ) = A e − x 做重要抽样来求积分，并分析误差与 投点数的关系。
I =∫
+∞ 0
x 5/2 e − x d x.
∑
j =1
l
1 π4 ≥ ξ , 1 j4 90
然后置 x = −
1 ln(xxxx 2 3 4 5 ) ，其中 ξi 为 [0,1] 区间均匀分布的伪随机数。 L （11）对正则高斯分布抽样： ( x − µ )2 1 = p( x ) d x exp − d x. 2 σ 2 σ 2p （12）Gamma 函数的一般形式为 = f ( x) d x an x n −1 e − ax d x ( x ≥ 0) ( n − 1)!
第四章、有， 数值求解正方形场域 （ 0 ≤ x ≤ 1，
的拉普拉斯方程：
∇2ϕ ( x, y ) = 0; ( x,0) ϕ = ( x,1) 0, ϕ= (0, y ) ϕ= (1, y ) 1. ϕ=
（2）用有限差分法发展一个程序，数值求解极坐标下的泊松方程：
动力学蒙特卡罗模拟方法简介
式：
ˆ
ˆ
exp
H kBT
dxdp
exp
H kBT
dxdp
设体系的哈密顿量H=p2/2m+V(x),即可分解为动能和势能两部分，
又设粒子坐标x≤q时体系处于组态A，则有：
对δ函数的系综kA平B均可12通 2过kmBMTet1ro2 polxisMqC方A 法计算出来：计算
粒子落在[q-w,q+w]范围内的次数相对于Metropolis行走总次数
可以对跃迁进行局域化处理。每条跃迁途径只与其近邻的体 系环境有关，这样可以极大地减少跃迁途径的数目，从而简 化计算。
2、无拒绝方 法
直接法、第一反应法、次级反应
法等。
2.1 直接法
效率高，最常用
每一步需要产生两个在(0,1]上平均分布的随机数r1和r2，分别 用于选定跃迁途径和确定模拟的前进时间。设体系处于态i， 将每条跃迁途径j想象成长度与跃迁速率kij成正比的线段。将 这些线段首尾相连。如果r1ktot落在线段jk中，这个线段所代 表的跃迁途径jk就被选中，体系移动到态jk，同时体系时间 根据时间步长方程前进。
kˆ
(1)设共有M条反应途径，选择反应速率最大值kmax，设为 。
生成在[0,M)区间内均匀分布的随机数r；
(2)设j=INT(r)+1;
• 每一步只需要生成一
动力学模拟计算方法探究
动力学模拟计算方法探究动力学模拟计算方法（Molecular Dynamics Simulation，以下简称MD）是一种利用计算机对分子运动进行模拟的方法。
它可以在原子和分子水平上揭示材料或生物分子的动态性质。
MD方法广泛应用于物理学、化学、材料科学、生物学等领域。
MD方法的基本原理是根据牛顿力学模拟粒子间相互作用。
模拟系统中每个原子或分子的位置和速度都是由牛顿方程决定的。
通过揭示这些微观运动，我们可以了解更多关于分子结构、运动和相互作用的信息。
MD方法的具体步骤包括建立模型、设定初始条件、进行能量最小化和长时间动力学模拟。
建立模型需要确定分子的种类、数量、分子间力场等。
设定初始条件需要给每个原子或分子分配初始位置和速度。
能量最小化是为了使模拟系统处于一个平衡状态，避免模拟过程中分子浮动太大。
长时间动力学模拟是模拟分子在一段时间内的运动轨迹。
MD方法的优点在于可以模拟现实中很难或不可能观察到的物理和化学现象。
例如，MD方法可以模拟蛋白质分子的折叠过程，以及纳米材料的力学性质等。
同时，MD方法还可以为实验提供预测信息，缩短实验的周期和成本。
除了在基础研究中的应用外，MD方法也在工业生产过程中得到广泛应用。
例如，MD方法可以帮助设计材料的性质，提高材料的稳定性和生产效率。
同时，MD方法也可以帮助设计新的药物和生物分子，为药物研发和生物医学领域的重大疾病提供治疗方案。
然而，MD方法也存在一些局限性。
一方面，模拟系统必须是孤立的，没有外界干扰，这对一些材料和生物物质来说是不可行的。
另一方面，MD方法需要极高的计算能力和存储资源，计算成本也比较高。
为了弥补这些局限性，近年来出现了许多改进MD方法的技术。
例如，Monte Carlo方法可用于处理超过百万级别的分子，Metropolis-Coupled Monte Carlo方法可用于处理高度非均匀和外部约束系统，快速多极子算法（Fast Multipole Method）可用于处理大型电动力学模拟等。
动力学蒙特卡洛方法(KMC)及相关讨论
动力学蒙特卡洛方法(KMC)及相关讨论动态模拟在目前的计算科学中占据着非常重要的位置。
随着计算能力和第一原理算法的发展，复杂的动态参数（扩散势垒、缺陷相互作用能等）均可利用第一原理计算得出。
因此，部分复杂的体系动态变化，如表面形貌演化或辐射损伤中缺陷集团的聚合-分解演变等，已可以较为精确的予以研究。
KMC——动力学蒙特卡洛方法（kinetic Monte Carlo）原理简单，适应性强，因此在很多情况下都是研究人员的首选。
此外，KMC在复杂体系或复杂过程中的算法发展也非常活跃。
本文试图介绍KMC方法的基础理论和若干进展。
KMC方法基本原理在原子模拟领域内，分子动力学(molecular dynamics, MD)具有突出的优势。
它可以非常精确的描述体系演化的轨迹。
一般情况下MD的时间步长在飞秒(s)量级，因此足以追踪原子振动的具体变化。
但是这一优势同时限制了MD在大时间尺度模拟上的应用。
现有的计算条件足以支持MD到10 ns，运用特殊的算法可以达到10 s的尺度。
即便如此，很多动态过程，如表面生长或材料老化等，时间跨度均在s 以上，大大超出了MD的应用范围。
有什么方法可以克服这种局限呢？当体系处于稳定状态时，我们可以将其描述为处于维势能函数面的一个局域极小值（阱底）处。
有限温度下，虽然体系内的原子不停的进行热运动，但是绝大部分时间内原子都是在势能阱底附近振动。
偶然情况下体系会越过不同势阱间的势垒从而完成一次“演化”，这类小概率事件才是决定体系演化的重点。
因此，如果我们将关注点从“原子”升格到“体系”，同时将“原子运动轨迹”粗化为“体系组态跃迁”，那么模拟的时间跨度就将从原子振动的尺度提高到组态跃迁的尺度。
这是因为这种处理方法摈弃了与体系穿越势垒无关的微小振动，而只着眼于体系的组态变化。
因此，虽然不能描绘原子的运动轨迹，但是作为体系演化，其“组态轨迹”仍然是正确的。
此外，因为组态变化的时间间隔很长，体系完成的连续两次演化是独立的，无记忆的，所以这个过程是一种典型的马尔可夫过程(Markov process)，即体系从组态到组态，这一过程只与其跃迁速率有关。
metropolis准则和物理退化过程
metropolis准则和物理退化过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：《metropolis准则和物理退化过程》引言：从古至今，人类一直在探索自然界的奥秘，物理学作为自然科学的一个重要分支，帮助我们理解世界的运行规律。
而在物理学中，metropolis准则是一个重要的概念，在研究物理退化过程中起到了关键作用。
本文将分析metropolis准则和物理退化过程之间的关系，帮助我们更好地理解物质世界的变化。
一、metropolis准则的基本概念metropolis准则最早由意大利数学家Metropolis提出，是一个关于随机模拟算法中接受与拒绝的准则。
在物理模拟中，我们经常需要通过随机采样来模拟系统的运行情况，而metropolis准则则帮助我们判断是否接受新的状态。
其基本原理是：如果新状态的能量小于当前状态的能量，则接受新状态；如果新状态的能量大于当前状态的能量，则按照一定的概率接受新状态。
metropolis准则的应用在物理模拟中非常广泛，可帮助我们高效地模拟复杂的系统。
二、物理退化过程的定义物理退化过程是指物质系统在外部作用下从一个有序状态变为一个无序状态的过程。
热力学第二定律告诉我们，自然界中所有的系统都趋向于熵的增加，即系统的有序度会不断下降。
这种有序度的下降就是物理退化过程。
比如，水从高处向低处流动，热传导导致温度均匀化等过程都是物理退化过程的例子。
三、metropolis准则和物理退化过程的关系在物理学中，metropolis准则被广泛应用于模拟系统的状态变化。
而在物理退化过程中，系统的状态也会不断变化，有序度逐渐减小。
可以说，物理退化过程也可以看作是系统状态的一个转移过程，而metropolis准则则可以帮助我们理解系统在状态之间的转移规律。
当系统在有序状态和无序状态之间转移时，我们可以利用metropolis准则来判断系统是否接受新的状态，从而更好地理解物理退化过程。
例如，在研究热平衡下系统的状态变化时，可以通过metropolis准则来模拟系统的状态转移，帮助我们理解系统的行为。
蒙特卡罗方法PPT课件
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蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
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5.1 基本思想和一般过程
• Buffon投针实验
• 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计 值
L
d
p 2L
d
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• 长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？
分布的随机数的抽样，进行大量的计算随机模拟实验，从中获得随机变量 的大量试验值。各种概率模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分 布的随机变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基本、 最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩形分布)。随机数就 是具有这种均匀分布的随机变量。对于其他复杂概率模型的概率分布可以 用数学方法在此基础上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工 具。
方法就叫做简单抽样法或非权重随机抽样法。
• 随机抽样法的真正优势表现在对较高维积分的近似求解，诸如在多体动力
学和统计力学中所遇到的问题。蒙待卡罗方法对较高维体系的积分误差仍
是
，而这时梯形定则给出的误差变为1/m2/D，这里D为维数。
1m
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5.3.1 简单抽样 • 将其推广到多维的情况
模拟这个概率过程。对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积 分、解线性方程组及偏微分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就 必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的问题的 解。
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5.1 基本思想和一般过程 • (2) 实现从已知概率分布的抽样 • 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须实现从已知概率
metropolis算法
metropolis算法对于在银行和股票交易中，常用到了一种叫做barbettin原理的算法，也许有人还不知道这个原理，那么我就来告诉大家什么是这种算法吧。
Metropolis算法是由James M。
B。
Turkis和William L。
Shifman共同创造的，这个原理指出当价格波动幅度很大时，为了获得较高收益率，投资者需要将买卖数量按比例缩小或扩大。
该理论最早在股票市场上得到应用。
Metropolis算法的英文名是 Metropolis algorithm ，是根据道氏理论创造的一种期权定价模型，它是在布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)算法基础上改进而成的，它又称为布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)算法(BRS)是在研究的过程中，根据期权定价的历史经验教训，结合了Black-Scholes的思想和布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)对期权定价公式的构造，发展了对期权定价的方法。
1。
定义Metropolis算法首先将X轴分成N等份，每份为1/N，如果N=3，表示总期望收益值为R(X)其中， C是该期权合约的固定费用， S是期权到期时股票价格。
假设， X轴的数字与该期权合约的期望值R(X)有一个不小于1的相关性。
为了使假设成立，一般要求C>0。
将此类型看作单位布莱克-斯科尔斯期权，其期权的收益以X轴的百分比表示，称为定义B。
2。
计算Metropolis算法首先将X轴分成N等份，每份为1/N，如果N=3，表示总期望收益值为R(X)其中， C是该期权合约的固定费用， S是期权到期时股票价格。
假设， X轴的数字与该期权合约的期望值R(X)有一个不小于1的相关性。
为了使假设成立，一般要求C>0。
将此类型看作单位布莱克-斯科尔斯期权，其期权的收益以X轴的百分比表示，称为定义B。
3。
收益性质对每一组n个股票组合，根据该组内各股票的风险、收益状况以及各股票在组内的权重，采用Metropolis算法分别确定每一股票组合的标准离差(SD)。
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1、CTRW是基于观测的理论； 2、CTRW将扩散过程分为两个步骤：跳跃和等待； 3、粒子的扩散行为由跳跃步长和等待时间的统计规律决定。
CTRW的数值策略
r (t ) r (0) 2 正常扩散：
K1t 1
r (t ) r (0) 2 欠扩散：
K t , [0,1)
Metropolis抽样与动力学方法
《蒙特卡罗方法》讲义 第六部分
内容提要
正则系综平均量的计算
Metropolis抽样方法 连续时间随机行走（CTRW） 热浴法
配分函数
正则系综平均量的计算
配分函数：
1、怎样得到平衡态甚至非平衡定态的系综分布？ 2、如何避免计算配分函数？ 3、在其他方法都失效的情况下如何抽样？
答案尽在Metropolis方法！
目标：抽取符合正则系综分布
障碍：配分函数
Hale Waihona Puke 的样本点。解决方案：Metropolis（抽样）方法
解决方案：Metropolis（抽样）方法——继续
解决方案：Metropolis（抽样）方法——结论
耗散（输运）系统
布朗运动理论是基于观测的理论
有没有同样基于观测角度 的数值模拟方法呢？ 朗之万方程是动力学 有。此即 “连续时间随机行走”理论 简称：CTRW
常用的欠扩散等待时间分布函数：
r (t ) r (0) 2 超扩散：
K t , (1,2]
对Levy分布常见的抽样方法为：
一维欠扩散粒子，处于线性倾斜势U ( x) Fx中，