信号处理及其应用：第5章 数字滤波器基础
数字滤波器原理及应用
数字滤波器原理及应用
数字滤波器是一种对数字信号进行滤波处理的设备或算法，它可以去除信号中的噪声、增强信号的特定频率成分，或者改变信号的频率响应。
数字滤波器在信号处理、通信系统、控制系统等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数字滤波器的原理及其在实际应用中的一些常见情况。
数字滤波器的原理主要基于数字信号处理的理论，它可以分为时域滤波和频域滤波两种类型。
时域滤波是指对信号的幅度响应进行处理，常见的时域滤波器包括移动平均滤波器、中值滤波器等；而频域滤波则是对信号的频率成分进行处理，常见的频域滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
在实际应用中，数字滤波器可以用于语音信号处理、图像处理、生物医学信号处理等领域。
例如，在语音信号处理中，数字滤波器可以去除环境噪声，提高语音的清晰度；在图像处理中，数字滤波器可以去除图像中的噪声，增强图像的清晰度和对比度；在生物医学信号处理中，数字滤波器可以去除生理信号中的干扰，提取出有效的生物特征。
除了以上应用外，数字滤波器还广泛应用于通信系统中。
在数字通信系统中，数字滤波器可以用于解调、调制、通道均衡等环节，以提高通信系统的抗干扰能力和传输效率。
此外，数字滤波器还可以用于控制系统中的信号处理，例如对传感器信号进行滤波处理，以提高控制系统的稳定性和精度。
总的来说，数字滤波器是一种十分重要的信号处理工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过对数字滤波器的原理及应用进行深入了解，可以帮助我们更好地理解数字信号处理的基本原理，并且能够在实际工程中更加灵活地运用数字滤波器来解决各种信号处理问题。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
数字滤波器
数字滤波器1. 引言数字滤波器是一种用于处理数字信号的系统，用于去除信号中的噪声或者不需要的频率成分。
在实际应用中，数字滤波器广泛应用于通信系统、音频处理、图像处理等领域。
本文将介绍数字滤波器的概念和分类，并重点讨论常见的数字滤波器设计方法。
2. 数字滤波器的概念数字滤波器是一种离散的系统，其输入和输出都是离散的信号。
数字滤波器的作用是通过对输入信号进行采样和量化，利用一定的数学算法对信号进行处理，从而实现对信号频域的控制。
数字滤波器通常由一个差分方程或者一组差分方程描述，也可以通过离散时间传输函数或者差分方程的频率响应来描述。
数字滤波器可以分为两种类型：无限脉冲响应滤波器（IIR）和有限脉冲响应滤波器（FIR）。
3. 无限脉冲响应滤波器（IIR）无限脉冲响应滤波器是一种反馈系统，具有递归性质。
其输出取决于前一个输出和当前输入，并且具有无限长度的脉冲响应。
IIR滤波器的设计方法主要包括：•构造差分方程：可以通过对连续时间滤波器进行离散化来构造差分方程。
•传递函数设计：可以通过指定所需的幅频响应和相位响应来设计传递函数。
•构造频率响应：可以根据频率响应的要求，设计滤波器的频率特性。
IIR滤波器的优点是可以实现非常窄的带通、带阻等滤波特性，但由于其递归特性，容易产生数值不稳定性和相位失真的问题。
因此，在实际应用中需要进行稳定性和相位校正的处理。
4. 有限脉冲响应滤波器（FIR）有限脉冲响应滤波器是一种非递归系统，其输出只依赖于当前输入和有限个历史输入。
FIR滤波器的设计方法主要包括：•窗口函数设计：可以根据所需的滤波特性选择合适的窗口函数，如矩形窗口、汉宁窗口等。
•频率采样：可以通过对所需频率进行采样，然后通过反傅里叶变换得到滤波器的冲激响应。
•最小二乘设计：可以通过最小化输出与期望响应之间的误差来设计FIR滤波器。
FIR滤波器的优点是具有稳定的相位特性和线性相应，且易于实现。
然而，FIR 滤波器通常需要更多的计算资源，特别是在滤波器阶数较高时。
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降 到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响 应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤 波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的 允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻 带的容限。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR） 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点 滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计 数字滤波器 5.6 设计 设计IIR滤波器的频率变换法 滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法 平面变换法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和 型滤波器 型滤波器和IIR型滤波器 型滤波器和 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉 冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤 波器的差分方程为
(完整版)数字信号处理习题集(5-7章)
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题:1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）.解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式,并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj e H 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题:3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H 2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
数字滤波器原理及应用
数字滤波器原理及应用数字滤波器是一种能够通过数学运算对数字信号进行处理的重要工具。
它的原理基于对信号进行采样和离散化，然后利用数学算法对采样后的数字信号进行滤波处理，以实现去除噪声、平滑信号、提取特定频率成分等目的。
数字滤波器在信号处理、通信系统、控制系统等领域具有广泛的应用。
原理介绍数字滤波器主要根据其处理信号的方式可以分为FIR（有限脉冲响应）和IIR（无限脉冲响应）两种类型。
FIR滤波器的输出仅由输入信号和滤波器的系数决定，它具有稳定性和线性相位的优点，适用于需要精确控制频率响应的场合；而IIR滤波器则包含反馈回路，具有更高的计算效率，但可能引入稳定性和相位失真等问题。
数字滤波器的设计过程通常包括滤波器类型选择、频率响应设计、滤波器参数计算和滤波器实现等步骤。
常用的设计方法包括窗口法、频率采样法和最小最大法等，根据具体的应用需求选择适合的设计方法和滤波器类型。
应用领域数字滤波器在实际应用中有着广泛的应用。
在通信系统中，数字滤波器用于抑制噪声、滤除干扰、解调信号等，提高了通信质量和可靠性。
在音频处理中，数字滤波器可以去除杂音、平滑音频信号，提高音频的清晰度和质量。
在医疗领域，数字滤波器可用于生理信号处理、医学影像处理等，帮助医生准确诊断病情。
此外，在雷达信号处理、控制系统中、生产检测中等领域，数字滤波器的应用也很常见。
未来发展随着数字信号处理技术的不断发展和智能化要求的增加，数字滤波器的应用将会更加广泛。
未来，数字滤波器可能会与人工智能技术结合，实现更智能化的信号处理和控制，进一步提高系统性能和效率。
同时，随着物联网、5G等技术的普及，数字滤波器会在更多的领域展现出其重要作用，为各种应用场景提供更好的信号处理解决方案。
总的来说，数字滤波器作为一种重要的信号处理工具，在现代科技发展中发挥着重要作用。
通过不断地研究和创新，数字滤波器的应用将会越来越广泛，为各个领域带来更多的发展机遇和应用潜力。
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
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IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
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举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
信号处理及其应用：第5章 数字滤波器基础
映射关系为 p s2 22 ， 2 22
s
如果令|λ1|=|λ3|=λC，有
2 13
c
32 22 3
3 1
B
，λC原型带宽
转换后的得到的带通滤波器的中心频率是两
个截止频率几何平均，带宽是两截止频率之 差，与原型低通滤波器的带宽相等。
23
设计过程：
i）确定带通指标B、Ω1、Ω2、Ω3、ΩZ、通带衰
设计过程：
i）确定带阻指标B、Ω1、Ω2、Ω3、ΩZ、通带衰
减δ1、阻带衰减δ2。
ii）设计低通滤波器：c
31 3 1
、z
22z 22 z2
，
求出H（p）。
iii）令 p 22s ，求出Hz（s）
s2 22
4）带通、带阻滤波器的其他设计方法
带通=低通×高通（串联或级联）
26
带阻=低通+高通（并联） 注意：截止频率
28
2）无源高通
H
S
TS TS 1
S
S
对应硬件电路：
C
U0 R RCS
Ui
1 CS
R
1 RCS
Ui
R
U0
电气特性：属于高通滤波器，低频段，电容 相当于断路，没有信号输出，U0 0 ；高频段， 电容相当于短路，有信号出， U0 。Ui
29
3）有源一阶滤波器
Y2
Ui
Y1
Z2 -
U0
Z1
+
H (S ) Z2 Y1
例 试确定巴特沃斯滤波器的传递函数。 要求：fc=2kHz, 阻带边界频率fz=4kHz, 衰减
δz≥15dB. （增益≤-15dB）
15
5.5.2 切比雪夫滤波器 特点：①通带有波纹 ②阻带衰减快
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理想滤波器不是因果系统，因此其在物理上 是不可实现的。
物理上可实现的因果系统只对幅频特性加以 改进，即：在通带与阻带之间增加过渡带， 在通带内允许有规定范围内的偏差，在阻带 内达到规定的衰减即可。
6
δp—通带误差带或波纹度
δz—阻带误差带
p —通带边界频率 Z —阻带边界频率
若 ， H (P ) 0.707 H (O ) P C ——-3dB带宽频率， 截止频率。
则 H ( j) 2 H ( j) H ( j) H (s) H (s) |s j 是 2 的函数。
如果知道了幅度平方函数 A(2 ) 便可分离 出 H (s)，由此可以得到系统传递函数。
10
2）由幅度平方函数，求传递函数 已知 A(2 ) A(s2 )2s2 H (s)H (s) 如何确定 H (s) ？根据 H (s) 和H (s)的特点 若H (s)有一极(零)点 S j 则 H (s) 对应有一极(零)点 S j 因此,只要将 A(s2 ) 的极零点合理分配给 H (s) 和 H (s) 即可，在分配时考虑： （1）系统稳定，极点全在左半平面。 （2）最小相位系统，零点全在左半平面。
例 试确定巴特沃斯滤波器的传递函数。 要求：fc=2kHz, 阻带边界频率fz=4kHz, 衰减
δz≥15dB. （增益≤-15dB）
15
5.5.2 切比雪夫滤波器 特点：①通带有波纹 ②阻带衰减快
1)切比雪夫多项式，n阶表达式，分段函数
Cn
(x)
cos(n cos1 ch(nch 1 x)
x)
| x | 1 | x | 1
5.4.2无失真传输条件
设滤波器的传递函数为H(S)，冲激响应为h(t)。
则： 时域
：H (s)
Y (s) X (s)
Y(s) H (s) X (s)
h(t) L1[H (s)]
y(t) h(t) x(t)
x( )h(t )d
2
Y () H () X ()
频率响应 H ( j) H (s) |s j H ( j) e j( j) 无失真传输：输出的信号幅度是输入信号的 比例放大，时间上允许有一定的滞后，但波
7
系统增益归一化，分贝值 G() 20lg H ()
H () max
系统衰减
() 20lg H () H () max
5.4.4模拟滤波器的一般设计方法
模拟滤波器设计主要是从幅频特性H( j) 入手，
而幅频特性不是实函数，因此从幅度平方函
数
H ( j入)手2 ，因为
H (与j) 2 H (具j有)
无论|x|≤1还是|x|>1, 切比雪夫多项式的递推 公式是一致的
Cn1 (x) 2xCn (x) Cn1 (x)
无论x取何值，均有C0(x)=1 ， C1(x)=x
16
2)切比雪夫滤波器幅度平方函数，n阶 ：
| H () |2 A(2 )
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2Cn
2
(
p
)
式中n为阶次，ε为波纹度<1，Ωp为波纹边界 频率点。一般在设计滤波器时给出Ωp，波纹 度ε或衰减δ（dB），然后确定阶次n，查表 便可得到H(s)
18
5.5.3 频率变换 由低通滤波器的传递函数，通过变量变换（映 射），可以设计高通、带通、带阻滤波器。 1）低通到高通的变换 设低通滤波器为HL（p） p j HL ( j) 频响
高通滤波器为HH（s）S j HH ( j)频响 有对应关系：λ→±∞ <==>Ω→0
λ→0<==>Ω→±∞ 所以，λ与Ω成反比，λ∝1/Ω，即p与s成反比。
11
例：
A(2 ) 2 2
1 4 ，求 H (s)
因此设计滤波器的数学模型的关键是找到合 适的幅度平方函数 A(2 ) ，目前常用的两种幅 度平方函数是巴特沃斯函数和切比雪夫函数。
12
5.5模拟滤波器的设计
5.5.1 巴特沃斯滤波器
巴特沃斯幅度平方函数：
A(2
)
1
(
1
)2n
c
式中n为滤波器阶次
第五章 数字滤波器基础
本章讲授：模拟滤波器的设计；模拟滤波器 的实现；离散系统的时域分析；离散系统的z 域分析；离散系统的频率响应。 5.4模拟滤波器的基本概念及设计方法 5.4.1基本概念 滤波—对信号进行频率选择，突出有用信号， 抑制干扰。 滤波器—具有一定的传输选择特性的信号处理 装置。
1
模拟滤波器：输入输出都是模拟信号，主要 由放大器、RCL网络构成，分为有源、无源 滤波器，是一种线性时不变系统。
切比雪夫滤波器的特点是无零点，极点分布 在长轴在虚轴，短轴在实轴上的椭圆上，而 不是巴特沃斯滤波器在Ωc为半径的圆上
17
长轴:Ωpshε 短轴:Ωpchε
通带波纹度与ε有关，在１~
1 1 2
之间变化
例 设计切比雪夫低通滤波器，要求通带边界频 率fc = 2kHz，通带波纹δ1=1dB，阻带起始频 率fz=4kHz，在Ωz处衰减δz>15dB。
相似的波形
8
H j
1 0.707
H j 2
C
1
0.5
C
9
1）幅度平方函数特点：
h（t）为实函数，由傅里叶变换的奇偶性：
H ( j) H ( j)
由于 所以
H ( j) 2 H ( j) H ( j) H ( j) 2 H ( j) H ( j)
可证 H (s)H (s) 是 S 2 的函数，令 s j
特点：
1）Ω=Ωc时, 止频率
A(2) 12，Ωc为-3dB 频率，即截
13
2)通带具有最大平坦幅度特性：Ω↑，幅度单 调下降。
3)阶次n ↑，曲线趋近于理想滤波器。 4)H(s)无零点，极点分布在|s|=Ωc 为半径的圆
上，称巴特沃斯圆。
14
例：n=4，求H(s)
用归一化频率求传递函数，分母多项式的系 数是固定的。因此可以通过查表的方法求出 10阶以内的传递函数表达式
形上没有畸变，即：y(t) kx(t tD )
法一：利用傅氏变换的延时特性
法二：稳态输出与正弦信号输入关系
3
H ( j) k
() ()
系统对于所有频率的信号，放大倍数k相同， 延迟时间τ相同。一般要求在信号有效频带 （通带）内满足即可。
4
5.4.3滤波器的理想特性与实际特性 理想滤波器性能要求：无失真的传输有用信 号，完全抑制干扰信号 ①在通带内，满足无失真条件 ②在阻带，幅频为零 根据通带、阻带：低通、高通、带通、带阻。