22谓词逻辑表示法
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。
谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。
它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
第9讲谓词逻辑公式
2012-2-22
一阶逻辑
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合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
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一阶逻辑
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字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
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a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
2012-2-22 一阶逻辑 22
赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
2012-2-22
一阶逻辑
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一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
2012-2-22 一阶逻辑 18
合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现
2.2谓词逻辑
22
2.2.3 谓词公式
4．量词的辖域
量词的辖域：位于量词后面的单个谓词或者用括弧括起 来的谓词公式。 约束变元与自由变元：辖域内与量词中同名的变元称为 约束变元，不同名的变元称为自由变元。
例如：
( x)(P(x, y) → Q (x, y))∨R(x, y) (P(x, y) → Q (x, y)) ：( x)的辖域，辖域内的变元x是 受（ x）约束的变元，R(x, y)中的x是自由变元。
( x)( y) F(x, y) 表示对于个体域中的任何两个个体x
和y，x与y都是朋友。
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2.2.3 谓词公式
全称量词和存在量词出现的次序将影响命题的意思。 例如： ( x)( y)(Employee(x) → Manager(y, x)) :
“每个雇员都有一个经理。”
( y)( x)(Employee(x) → Manager(y, x)):
“有一个人是所有雇员的经理。”
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2.2.3 谓词公式
3. 谓词公式
定义2.2 可按下述规则得到谓词演算的谓词公式：
(1) 单个谓词是谓词公式，称为原子谓词公式。 (2) 若A是谓词公式，则﹁A也是谓词公式。 (3) 若A，B都是谓词公式，则A∧B，A∨B，A→B，
A B也都是谓词公式。
(4) 若A是谓词公式，则 ( x) A，( x)A也是谓词公式。 (5) 有限步应用（1）－（4）生成的公式也是谓词公式。
公式中的所有y都是自由变元。
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（3）∧： “合取”（conjunction）——与。
“我喜欢音乐和绘画”： Like (I, music) ∧ Like (I, painting)
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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谓词逻辑的基本原理和推理方法
谓词逻辑的基本原理和推理方法谓词逻辑是数理逻辑的一种形式，它主要研究陈述句的真值和推理关系。
本文将探讨谓词逻辑的基本原理和推理方法，以帮助读者进一步理解和运用这一重要的逻辑体系。
一、谓词逻辑的基本原理谓词逻辑是由Richard Montague在20世纪50年代提出的，它是一种基于谓词和量词的逻辑形式。
谓词是描述个体和关系的词汇，而量词则表示个体的范围。
基于这些基本元素，谓词逻辑涉及命题的真值判断和逻辑推理。
1. 命题的真值判断在谓词逻辑中，命题的真值可以通过公式化的方式进行判断。
具体而言，谓词逻辑使用谓词和个体常量构建公式，通过赋值给个体常量和谓词变量来确定命题的真假。
这种方法可以使我们更加准确地判断复杂命题的真值。
2. 逻辑运算符谓词逻辑中常用的逻辑运算符包括否定、合取、析取、蕴涵和双条件。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行复合运算，并获得更加精确的逻辑推理。
3. 量词的运用量词在谓词逻辑中起着重要作用，它用来限定命题的个体范围。
通常使用的量词有普遍量词和存在量词，分别表示“对于所有的”和“存在一个”。
量词的运用使得我们能够对具有普遍性或存在性的命题进行精确的描述和推理。
二、谓词逻辑的推理方法谓词逻辑在推理中有着广泛的应用。
下面介绍几种常用的推理方法。
1. 求解真值通过给定谓词和量词的赋值，可以求解命题的真值。
这种方法可以通过证明或反证法来进行，根据不同的情况选择合适的推理策略。
2. 归结推理归结推理是一种通过消解规则进行推理的方法。
它通过将多个命题进行归结，从而得到新的命题。
这种方法在人工智能领域得到广泛应用。
3. 等词推理等词推理是一种通过等词的等同性进行推理的方法。
它通过推导两个等词相等的命题，从而间接地得出新的命题。
等词推理在代数逻辑和数学中有着重要的应用。
4. 形式化推理形式化推理是一种将命题转化为形式逻辑公式来进行推理的方法。
通过将推理过程形式化，可以减少人为因素的干扰，提高推理的准确性和可靠性。
2.2--谓词逻辑表示法
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人工智能
7. 谓词逻辑表示知识的举例
例1：用谓词逻辑表示下列知识： 武汉是一个美丽的城市，但她不是一个沿海城市。 如果马亮是男孩，张红是女孩，则马亮比张红长得 高。 解：按照知识表示步骤，用谓词公式表示上述知识。 第一步：定义谓词如下： BCity(x)：x是一个美丽的城市 HCity(x)：x是一个沿海城市 Boy(x):x是男孩 Girl(x):x是女孩 High(x,y):x比y长得高
标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n 元谓词符号集、量词
·谓词演算
合法表达式 (原子公式、合式公式)， 表达式的演算化简方法，标准式 (合取 的前束范式或析取的前束范式)
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人工智能
·语法元素
常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和 后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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2 基本概念
函数符号与谓词符号 · 若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f
为n元函数符号。 若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为 n元谓词符号。 如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二 元谓词. 一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓 词表达了个体之间的关系.
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注意:
在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
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（2）复合命题：由联结词、标点符号 和原子命题等复合构成的命题，称为复合 命题。
注意：所有这些命题都应具有确定的真值。
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➢3.命题逻辑
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所谓命题逻辑就是研究命题和命题之间 关系的符号逻辑系统。通常用大写字母P、Q、 R、S等来表示命题。如：
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·语法元素
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常量符号。
变量符号。
函数符号。
谓词符号。
联结词： ┐、∧、∨、→、 。
量词： 全称量词、 存在量词。和
后面跟着的x叫做量词的指导变元。
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➢2 基本概念
函数符号与谓词符号
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·若函数符号f中包含的个体数目为n,则称f为n元
函数符号。 ·若谓词符号P中包含的个体数目为n,则称P为n元
谓词符号。
如：father(x)是一元函数,less(x,y)是二元谓词.
一般一元谓词表达了个体的性质,而多元谓词表达 了个体之间的关系.
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谓词的阶
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如果谓词P中的所有个体都是个体常量、变元、 或函数，则该谓词为一阶谓词。
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注意：
（1）因为命题变元可以表示任意命题，所 以它不能确定真值，故命题变元不是命题。
（2）当命题变元P用一个特定的命题取代 时，P才能确定真值，这时也称为对P进行指 派。
（3）当命题变元表示原子命题时，该变元 称为原子变元。
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➢谓词逻辑
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谓词逻辑：根据对象和对象上的谓词 （即对象的属性和对象之间的关系），通过 使用连接词和量词来表示世界。
主要思想：世界是由对象组成的，可以 由标识符和属性来区分它们。在这些对象中， 还包含着相互的关系。
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注意:可以用真值表的方法表明联结词的功能:
P
Q
¬P P∧Q P∨Q P→Q P↔Q
FFTFFTT
FTTFTTF
TFFFTFF
TTFTTTT
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▪2.2.2 谓词逻辑
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➢2.2.1 命题逻辑
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➢1.命题的含义：
在逻辑系统中，最简单的逻辑系统是命题逻辑。 所谓命题就是具有真假意义的陈述句。如“今天下 雨”、“雪是黑的”、“1+100=101”、“人是会 死的”等等。这些句子在特殊的情况下都具有
“真 (Ture)”和 “假（False)”的意义，都是命题。
一个命题总是具有一个值，称为真值。真值只
有“真”和“假”两种，一般分别用符号T和F表示。
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➢2.命题类型：
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命题有两种类型：
（1）原子命题：不能分解成更简单的 陈述语句，称为原子命题。
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▪4.语法
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➢命题逻辑的符号包括以下几种：
（1）命题常元：True(T)和False(F)； （2）命题符号：P、Q、R、T等； （3）联结词： ① ¬； ②∧；③∨；
④ →； ⑤ 。 （4）括号：( )。
➢命题逻辑主要使用这5个联结词，通过这 些联结词，可以由简单的命题构成复杂的复 合命题。
P：今天下雨
P就是表示 “今天下雨”这个命题的名。 表示命题的符号称为命题标识符，P就是命 题标识符。
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➢介绍几个概念
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命题常量：如果一个命题标识符 表示确定的命题，就称为命题常量。
命题变元：如果命题标识符只表 示任意命题的位置标志，就称为命题变 元。
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➢1 语 法
·一阶谓词演算
❖ 标点符号、括号、逻辑联结词、常量符 号集、变量符号集、n元函数符号集、n
元谓词符号集、量词
·谓词演算
❖ 合法表达式 (原子公式、合式公式)，
表达式的演算化简方法，标准式 (合取
的前束范式或析取的前束范式)
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如果谓词P中某个个体本身又是一个一阶谓词， 则称P为二阶谓词。
余者类推。
个体变元的取值范围称为个体域。个体域可以 是无限的，也可以是无限的。把各种个体域综合在 一起作为讨论的范围的域称为全总个体域。
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➢注意:
➢ 在命题逻辑中，每个表达式都是句 子，表示事实。
➢ 在谓词逻辑中，有句子，但是也有 项，表示对象。常量符号、变量和 函数符号用于表示项，量词和谓词 符号用于构造句子。
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▪5.语义
➢ ¬: 否定(Negation),复合命题¬Q表示否定 Q的真值的命题,即“非Q”
➢ ②∧: 合取(Conjunction),复合命题P∧Q 表示P和Q的合取,即“P与Q”
➢ ③∨: 析取(Disjunction),复合命题P∨Q 表示P或Q的析取,即“P或Q”
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第2章 知识表示
2.1 概 述 2.2 谓词逻辑表示法
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▪2.2 谓词逻辑表示法
➢ 谓词逻辑表示法是一种重要的知识表
示方法,是到目前为止能够表示人类思维 活动规律的一种最精确的形式语言,是知 识的形式化表示、定理的自动证明等研究 的基础，在人工智能中具有重要的作用。
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▪5.语义
➢ ④ →: 条件(Condition),复合命题P→Q表示 命题P是命题Q的条件,即“如果P,那么Q”
➢ ⑤ ↔: 双条件(Bicondition),复合命题P↔Q 表示命题P、命题Q相互作为条件,即“如果 P,那么Q；如果Q,那么P”