8.1.2 向量数量积的运算律
高二数学向量数量积的运算律
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
2021新教材人教B版数学必修第三册教师用书：第8章 8.1 8.1.2 向量数量积的运算律含解析
8.1.2向量数量积的运算律学习目标核心素养1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)2．能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点、难点)1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．2．利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？问题向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？提示若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．1．两个向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a．(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.思考：“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？[提示]不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．2．重要公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式(a±b)2＝a2±2a·b＋b2思考：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；向量数量积公式：(a±b)2＝__________.[提示](1)a2－b2 ；a2－b2(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b21．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(2)(a·b)2＝a2·b2. ()(3)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0. ()[提示](1)×.向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确．(2)×.(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2b2cos2θ.(3)√.a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.[答案](1)×(2)×(3)√2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝()A．1B．3C．2D．3或2C[|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则|a－b|＝2.]3．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是()A．0B．aC．b D．cB [b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1.所以a ·(b ·c )＝A ．]4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. －16 [AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →)＝AM →2＋AM →·MC →＋AM →·MB →＋MB →·MC →＝|AM →|2＋(MB →＋MC →)·AM →＋|MB →||MC →|cos π＝9－25＝－16.]向量数量积的运算律的应用12(1)e 1·e 2；(2)(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)；(3)(e 1＋e 2)2. [解] (1)e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12. (2)由(1)可知e 1·e 2＝12，|e 1|＝|e 2|＝1， 所以(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋3e 2·e 1＋4e 1·e 2－2e 22＝－6|e 1|2＋3×12＋4×12－2|e 2|2 ＝－6＋72－2＝－92.(3)(e 1＋e 2)2＝(e 1＋e 2)·(e 1＋e 2)＝e 21＋e 1·e 2＋e 2·e 1＋e 22 ＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3.求向量的数量积时，常用到的结论 (1)a 2＝|a |2；(2)(x a ＋y b )·(m c ＋n d )＝xm a ·c ＋xn a ·d ＋ym b ·c ＋yn b ·d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；(3)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(4)(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2b·c ＋2a·c .同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件.[跟进训练]1．(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，则(2a －b )·(a ＋3b )＝________.(2)已知向量a ，b 满足|b |＝5，|2a ＋b |＝53，|a －b |＝52，则|a |＝________. (1)0 (2)563 [(1)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a·b －a·b －3b 2＝2|a |2＋5a·b －3|b |2 ＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.(2)由已知有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a·b ＋b 2＝75，a 2－2a·b ＋b 2＝50，将b 2＝|b |2＝25代入方程组，解得|a |＝563.]向量的夹角与垂直问题【例2】 (1)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7，则a ，b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4D ．2π3(2)已知|a |＝2，|b |＝1，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝a ＋5b ，d ＝m a －2b ，求m 为何值时，c 与d 垂直．(1)A [设a 与b 的夹角为θ， 由题意得(3a －2b )2＝7， 所以9|a |2＋4|b |2－12a·b ＝7， 又|a |＝|b |＝1，所以a·b ＝12， 所以|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以a ，b 的夹角为π3.] (2)[解] 由已知得a·b ＝2×1×cos 60°＝1. 若c ⊥d ，则c·d ＝0. 所以c·d ＝(a ＋5b )·(m a －2b ) ＝m a 2＋(5m －2)a·b －10b 2＝4m ＋5m －2－10＝9m －12＝0，所以m ＝43. 故当m ＝43时，c 与d 垂直．1．求向量夹角问题一般有两种思路(1)数量积a·b 与模积|a ||b |好求解，直接用变形公式cos θ＝a·b|a ||b |求值定角． (2)a·b 与|a ||b |不好求，可采用寻求两者关系，再用变形公式cos θ＝a·b |a ||b |求值定角．2．两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a ，b 夹角为锐角的等价条件是a·b >0且a 与b 不同向共线． (2)a ，b 夹角为钝角的等价条件是a·b <0且a 与b 不反向共线． (3)a 与b 垂直的等价条件是a·b ＝0.[跟进训练](1)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94(2)已知a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值．(1)B [由题意知cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝m·n 34|n |2＝13，所以m·n ＝14|n |2＝14n 2，因为n ·(t m ＋n )＝0， 所以t m ·n ＋n 2＝0，即14t n 2＋n 2＝0，所以t ＝－4.] (2)[解] 由已知|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13， 所以(a ＋b )2＝13.即a 2＋2a·b ＋b 2＝13，所以2a·b ＝6.所以(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2－4a·b ＝1. 即|a －b |＝1，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝3－4＝－1， 故cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝－1313.向量数量积在平面几何证明中的应用【例3】 (1)点O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OA →·OC →，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心(2)如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .[思路探究] (1)恰当利用数量积的运算律，对已知等式变形，证明有关直线垂直．(2)选择基底表示AF →和DE →，转化为证明向量垂直．(1)B [因为OA →·OB →＝OB →·OC →， 所以OB →(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝0， 所以OB →⊥CA →，同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →， 所以O 是△ABC 的垂心．](2)[证明] 设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .利用向量法证明几何问题的方法技巧(1)利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系. (2)进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.(3)将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.[跟进训练]3．在边长为1的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 是线段CD 上一点，满足|CE →|＝2|DE →|，如图所示，设AB →＝a ，AD →＝B ．(1)用a ，b 表示BE →；(2)在线段BC 上是否存在一点F 满足AF ⊥BE ？若存在，确定F 点的位置，并求|AF →|；若不存在，请说明理由．[解] (1)根据题意得：BC →＝AD →＝b ， CE →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →＝－23a ， 所以BE →＝BC →＋CE →＝b －23a ．(2)结论：在线段BC 上存在使得4|BF →|＝|BC →|的一点F 满足AF ⊥BE ，此时|AF →|＝214.理由如下：设BF →＝tBC →＝t b ，则FC →＝(1－t )b ，(0≤t ≤1)， 所以AF →＝AB →＋BF →＝a ＋t b ，因为在边长为1的菱形ABCD 中，∠A ＝60°， 所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，因为AF ⊥BE ，所以AF →·BE →＝(a ＋t b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23t a ·b －23a 2＋t b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23t ×12－23＋t ＝0， 解得t ＝14，从而AF →＝a ＋14b ， 所以|AF →|＝AF →2＝a 2＋12a·b ＋116b 2＝1＋12×12＋116＝214.1．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较实数a ，b ，c向量a ，b ，ca ≠0，a ·b ＝0⇒b ＝0 a ≠0，a ·b ＝0b ＝0 a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝ca·b ＝b·c (b ≠0)a ＝c|a ·b |＝|a |·|b | |a·b |≤|a |·|b | 满足乘法结合律不满足乘法结合律2.在求向量的模时，计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.3．辨明1个易错点实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b·c )，这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．已知|a |＝3，|b |＝2，则(a ＋b )·(a －b )＝( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．－5C [因为|a |＝3，|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝9－4＝5.]2．已知▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．2B ．5C ．6D ．8C [AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×42－29×32＝6.故选C ．]3．已知向量|a |＝2|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则|a ＋2b |＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6A [因为向量|a |＝2|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4|a ||b |·cos 120°＋4＝4.所以|a ＋2b |＝2.]4．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |＝________. 3 [因为|2a －b |＝1，所以|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝4＋|b |2－4|b |cos 30°＝1，即|b |2－23|b |＋3＝0，所以(|b |－3)2＝0，所以|b |＝ 3.]5．如图，已知△ABC 中，C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB ．求证：AD ⊥CE .[证明] 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则AD →·CE → ＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →·⎝⎛⎭⎫CA →＋AE → ＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE → ＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22 ＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0. 所以AD ⊥CE .。
2021学年高中数学8.1.2向量数量积的运算律学案含解析人教B版必修三.doc
8．1.2 向量数量积的运算律[课程目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[填一填]平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．[答一答]应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律．同学们在学习中容易错误地认为：由b·c＝c·a(其中c≠0)，可以约去c而得到b＝a.事实上，a与b完全可以方向不同．处理等式b·c＝c·a 的手段是移项提取，即c·(a－b)＝0，所以c⊥(a－b)．(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律．由于实数满足(a·b)·c＝a·(b·c)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．可以这样理解：(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，显然a与c不一定同向，所以二者一般不相等．类型一向量数量积的运算律[例1]给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．[解析]因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝(a ·b )(a ·c )－(a ·c )(a ·b )＝0，故④正确． [答案] ④向量的数量积a ·b 与实数a ，b 的乘积a ·b 有联系，同时有许多不同之处．例如，由a ·b ＝0不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．[变式训练1] 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③|a |－|b |<|a －b |；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的序号是①③④.解析：根据向量的数量积的分配律知①正确； 因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0， ∴(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，②错误；因为a ，b 不共线，所以|a |，|b |，|a －b |组成三角形三边， ∴|a |－|b |<|a －b |成立，③正确； ④正确．故正确命题的序号是①③④. 类型二 利用数量积求长度[例2] 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 夹角θ＝π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.[分析] 解本题首先求a ·b ，再考虑|a ±b |，|3a ＋b |与a ·b 的联系求解． [解] a ·b ＝|a ||b |cos θ＝252， |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝53， |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5， |3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝513.此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.[变式训练2]已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.解：已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2 3.(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a－4b|＝419.(3)因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，所以|(a＋b)·(a－2b)|＝12.类型三利用数量积解决垂直问题[例3]已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝m a－3b.当m为何值时，c与d垂直？[分析]可利用c⊥d⇔c·d＝0构造方程求m.[解]若c⊥d，则c·d＝0，即(3a＋5b)·(m a－3b)＝0，即3m a2－9a·b＋5m a·b－15b2＝0.由a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝3，得27m－27＋15m－60＝0，解得m＝2914.向量的垂直问题主要借助于结论a⊥b⇔a·b＝0，把几何问题转化为代数问题.[变式训练3] 如图，已知平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且|a |＝|b |，试用a ，b 表示BD →，AC →并计算BD →·AC →，判断BD →与AC →的位置关系．解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →＝b ，∴BD →＝AD →－AB →＝b －a .而AC →＝a ＋b ， ∴BD →·AC →＝(b －a )·(b ＋a )＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2.又∵|a |＝|b |，∴BD →·AC →＝0，即BD →⊥AC →. 类型四 用向量解决平面几何问题[例4] 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥CD .[证明] 设PD →＝λCD →，并设正三角形ABC 的边长为a ， 则有P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →， 又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →，设P A →＝kEA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →， 于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k ，解得λ＝17.∴PD →＝17CD →，∴CP →＝67CD →，∵CD →＝23BA →－BC →，∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＝17BC →＋47BA →， ∴BP →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17BC →＋47BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＝221BC →·BA →－17BC →2＋821BA →2－47BA →·BC →＝221a 2cos60°－17a 2＋821a 2－47a 2cos60°＝0， ∴BP →⊥CD →，∴BP ⊥CD .(1)解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系.(2)如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算.)[变式训练4] 四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形？并说明理由．解：四边形ABCD 是矩形，理由如下： ∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )， ∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|c |2＋2c ·d ＋|d |2. 由于a ·b ＝c ·d ， ∴|a |2＋|b |2＝|c |2＋|d |2，① 同理有|a |2＋|d |2＝|c |2＋|b |2，②由①②可得|a |＝|c |，且|b |＝|d |，即四边形ABCD 两组对边分别相等． ∴四边形ABCD 是平行四边形．由a ·b ＝b ·c ，有b ·(a －c )＝0，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c ，代入上式得b ·(2a )＝0，即a ·b ＝0，∴a ⊥b ，即AB ⊥BC . 综上所述，四边形ABCD 是矩形． 类型五 平面向量数量积的综合应用[例5] 设平面内两非零向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 和t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (t )的最小值．[分析] 本题主要以向量为载体考查函数的有关知识，由已知条件x ⊥y ，即x ·y ＝0，可以得到函数关系式k ＝f (t )，然后利用函数性质求最值．[解] (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又x ⊥y ，∴x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0， ∵|a |＝2，|b |＝1， ∴－4k ＋t 2－3t ＝0， 即k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14(t －32)2－916，即函数的最小值为－916.以向量为载体考查函数的性质、平面几何、解析几何、立体几何等是近几年高考热点问题，一定要认真掌握.[变式训练5] 设a 与b 是两个互相垂直的单位向量，当k 为整数时，向量m ＝k a ＋b 与向量n ＝a ＋k b 的夹角能否等于60°？证明你的结论．解：不能．证明如下：∵向量a 与b 是两个互相垂直的单位向量， ∴|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0. 又|m |2＝(k a ＋b )2＝k 2＋1， |n |2＝(a ＋k b )2＝k 2＋1， m ·n ＝(k a ＋b )·(a ＋k b )＝2k ， ∴2k ＝k 2＋1·k 2＋1×cos60°，即4k ＝k 2＋1，解得k ＝2±3，这与k 为整数矛盾，∴m 与n 的夹角不能等于60°.1．设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |＝( C ) A ．37 B ．13 C.37 D.13解析：|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.2．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( D ) A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b ，可设b ＝λa ，又a ⊥c ，则a ·c ＝0，所以c (a ＋2b )＝c ·(1＋2λ)a ＝(1＋2λ)ac ＝0.故选D.3．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( C ) A ．－8 B.92 C ．－92D ．8解析：由题意，|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝cos60°＝12.∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21－2e 22＋7e 1·e 2＝－8＋72＝－92. 4．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为－13.解析：∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ， ∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13.。
高二数学向量数量积的运算律
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
Hale Waihona Puke （4）cos a b| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a,b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b b, a AOB
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
高中数学人教B版必修第三册 第八章 8.1.2
8．1.2 向量数量积的运算律学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等．知识点 向量数量积的运算律 1．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 2．向量数量积的运算性质多项式乘法 向量数量积 (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2思考 若a ·b ＝b ·c (b ≠0)，是否可以得出结论a ＝c ? 答案 不可以． 理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |， b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．λ·(a ·b )＝λa ·λb .( × )2.AB →·AC →＋AB →·CD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AD →.( √ ) 3．若(λa )·b ＝0，则a ⊥b .( × ) 4．|a |2－|b |2＝(a ＋b )·(a －b )．( √ )一、求两向量的数量积例1 (1)已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.(2)在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 是CD 的中点，求AE →·BD →的值． 解 AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2－12AB →·AD →＝1－12×4－12×2×1×12＝－32.反思感悟 求两向量的数量积的两种常见题型(1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解． (2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解．跟踪训练1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，点E ，F 满足AE →＝2EB →，AC →＝2FC →，点D 为BC 的中点．求EF →·AD →.解 如图所示，E 为AB 的三等分点，F 为AC 的中点，设AB →＝a ，AC →＝b ，∴|a |＝3，|b |＝4且〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×12＝6，∴EF →·AD →＝(AF →－AE →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →＝⎝⎛⎭⎫12b －23a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝－13a 2－112a ·b ＋14b 2＝－13×9－112×6＋14×16＝12.二、求向量的模和夹角例2 (1)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，则|3a ＋b |＝________. 答案 20解析 ∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2 ＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5， ∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20.(2)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思感悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，再求角．注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练2 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a －b 的夹角．解 方法一 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，使|OA →|＝|OB →|，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， ∴BA →＝a －b . 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |， 即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|，∴∠AOC ＝60°，∠AOB ＝120°， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 的夹角为30°. 方法二 |a |＝|b |＝|a ＋b |，∴a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴a 2＝b 2＝－2a ·b ， ∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝a 2－⎝⎛⎭⎫－12a 2＝32a 2. |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3a 2＝3|a |，∴cos 〈a ，a －b 〉＝a ·(a －b )|a |·|a －b |＝32a 2|a |·3|a |＝32.又0°≤〈a ，a －b 〉≤180°， ∴〈a ，a －b 〉＝30°， ∴a 与a －b 的夹角为30°. 三、与垂直有关的问题例3 已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 由题意知，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝m ·n 34|n |2＝13，所以m ·n ＝14|n |2＝14n 2，因为n ·(t m ＋n )＝0， 所以t m ·n ＋n 2＝0， 即14t n 2＋n 2＝0， 所以t ＝－4.反思感悟 解决有关垂直问题时利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练3 已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，求向量a 与b 夹角的大小． 解 设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°， 即a 与b 的夹角为60°.平面几何中利用向量数量积证明垂直问题典例 已知O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE ⊥BC . 证明 AE →＝OE →－OA →＝OB →＋OC →，BC →＝OC →－OB →， ∵AE →·BC →＝(OB →＋OC →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OB →2， 又O 为△ABC 的外心．∵|OA →|＝|OC →|＝|OB →|，∴OC →2－OB →2＝0， ∴AE →·BC →＝0， ∴AE →⊥BC →，∴AE ⊥BC .[素养提升] 用向量表示题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题体现了逻辑推理的核心素养．1．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a ·b 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 B解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，M 为BC 上一点，且BM →＝2MC →，则AM →·NM →等于( )A ．48B ．36C ．24D ．12答案 C解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →) ＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23AD →·⎝⎛⎭⎫12AB →－13AD → ＝12AB →2－29AD →2 ＝12×82－29×62＝24，故选C. 4．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为________． 答案 π6解析 |a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，设向量a 与a －b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·(a －b )|a ||a －b |＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]， 所以θ＝π6.5．已知向量a ·b 满足|a |＝3，|b |＝4，且|a ＋b |＝|a －b |，则|2a －3b |＝________. 答案 6 5解析 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴(a ＋b )2＝(a －b )2， 得a ·b ＝0， ∴|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×9＋9×16＝6 5.1．知识清单：(1)向量数量积的运算律．(2)利用向量数量积证明垂直、求夹角、模．2．方法归纳：数形结合，转化与化归． 3．常见误区：忽视向量数量积不满足结合律．1．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 答案 A解析 方法一 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 方法二 由题意知2a ＝b ， ∴|2a ＋3b |＝|4b |＝4|b |＝16.2．已知|a |＝4，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则(a ＋b )·(2a －b )等于( ) A ．32 B ．24 C ．26 D ．8 答案 B解析 依题意a ·b ＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝32－4－4＝24.3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 C解析 ∵(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0，∵a ·b ＝－12b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|b ||b |＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°.4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1 答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.5.如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝60°，DC →＝2BD →，则AD →·BC →等于( )A.32 B ．－92C.12 D ．－32答案 D解析 令AB →＝a ，AC →＝b ，则|a |＝|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝12，∴a ·b ＝3×3×12＝92，∴BC →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23a ＋13b .∴AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ·(b －a )＝－23a 2＋13a ·b ＋13b 2＝－23×9＋13×92＋13×9＝－32. 6．已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6， 所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.7．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 ∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →) ＝OA →·OB →－OA →2＝OA →·OB →－9＝0，即OA →·OB →＝9.8．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝33，且∠BAC ＝30°，点D 为BC 的中点，则AD 的长为________． 答案792解析 由题意得AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)＝14⎝⎛⎭⎫16＋2×4×33×32＋27＝794，∴|AD →|＝792. 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 上的投影的数量．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a ·b ＝4×16－3×9－4a ·b ＝61，解得a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋9－12＝13，∴|a ＋b |＝13. (2)设a 与a ＋b 的夹角为θ，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴a 在a ＋b 上的投影的数量为|a |cos θ＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝101313.10.如图，等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝2AD ＝2DC .证明：AC ⊥BC .证明 令AB →＝a ，AD →＝b ， 则DC →＝12a ，且|a |＝2|b |，∴AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b ，∵AC →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝b 2－14a 2 ＝b 2－14×4b 2＝0，∴AC →⊥BC →，∴AC ⊥BC .11．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A.π6 B.2π3 C.π3 D.5π6 答案 C解析 由向量垂直，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12. 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3. 12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则β的余弦值为( )A ．－23B ．－223 C.223 D.23 答案 C解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223. 13．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 ∵b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝0或|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，因为AC →·BE →＝1，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1，即1－12AB →2＋12|AB →|cos 60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.15．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2 ＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18. 故选B.16．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa ＋b 与a －2b 垂直？解 (1)∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴|a ＋b |＝|c |.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2，∴a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)假设存在，∵(μa ＋b )⊥(a －2b )， ∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0，∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0，∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0，∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512， 使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
课时作业6：8.1.2 向量数量积的运算律
8.1.2 向量数量积的运算律1．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定2．已知向量a ，b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |等于( )A ．7B ．6C ．5D ．44．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．6．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，i ，j 为相互垂直的单位向量，那么a ·b ＝________.7．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |.8．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．9．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围．参考答案1．【答案】B【解析】|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2.因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1.所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定．2．【答案】A【解析】由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，θ＝π4. 3．【答案】A【解析】|3a －b |＝(3a －b )2＝9|a |2＋|b |2－6a ·b ＝9＋25－6×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49＝7.故选A. 4．【答案】A【解析】a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32. 5．【答案】－13【解析】∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13. 6．【答案】－637．解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12； 又|a |＝1，∴|b |＝22. ∵a ·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22. 8．解：∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是π3， ∴m·n ＝|m||n |cos π3＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 9．(1)证明：因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0，所以(a －b )⊥c .(2)解：因为|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos120°＋2k cos120°＋2cos120°>1.所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2.所以实数k 的取值范围为{k |k <0，或k >2}．。
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章 向量数量积的概念 向量数量积的运算律
如 图（1 ）, 当〈 a， b 〉 <π2 时，������′������′的 方向与b的方向相同，而且
| ������′������′|＝|a|cos〈a，b〉；
图（1）
如
图（2）
,当〈a
，b〉
＝π时
2
，
������′������′为零向量，即| ������′������′|＝0；
如
图
（
3
）
另外，我们还能得到数量积的如下性质. （3）a，b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即
������ ⊥ ������ ⇔ ������ · ������＝0.
（4）如果a，b都是非零向量，则
cos〈a，b〉＝
������∙������ ������ ������
.
点拨 1.性质（1）中，当且仅当������ ∥ ������时，等号成立，此性质 可用来解决不等式的相关问题. 2.性质（2）用数量积来求向量的模.实现了实数运算与 向量运算的相互转化. 3.性质（3）可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等 量关系. 4.性质（4）是数量积定义的变形，又称为夹角公式， 建立了向量与三角函数的联系.
π
例如，下图中向量a与b的夹角为π4，即〈a，b〉＝ 4 .
类似地，上图中， 向量a与c的夹角为π2，即〈a，c〉＝π2； 向量a与d的夹角为0，即〈a，d〉＝0； 向量a与e的夹角为π，即〈a，e〉＝ π .
根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一 确定的，而且
0≤〈a，b〉≤π， 〈a，b〉＝〈b，a〉. 当〈a，b〉＝π2时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. 由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时， 规定零向量与任意向量垂直.
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8.1.2 向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.【知识导学】知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律 a ·b ＝□01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a .(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知|a |＝2，b 在a 上的投影的数量为－2，则a ·(a －b )＝________. (2)已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________.(3)已知|a |＝6，|b |＝8，〈a ，b 〉＝120°，则|a 2－b 2|＝________，|a －b |＝________，|a 2＋b 2|＝________.答案 (1)8 (2)－7 (3)28 237 100题型一 求向量的夹角例1 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． [解] 设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝12.∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32， |a |＝a 2＝e 1＋e 22＝|e 1|2＋|e 2|2＋2e 1·e 2＝1＋1＋1＝ 3. |b |＝b 2＝e 2－2e 12＝ |e 2|2－4e 1·e 2＋4|e 1|2＝1＋4－4×12＝ 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－323×3＝－12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 金版点睛求向量a ，b 夹角θ的思路(1)解题流程求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练1] 已知|a |＝3，|b |＝5，|a ＋b |＝7，求a ·b 及a 与b 的夹角． 解 ∵|a ＋b |＝7，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝34＋2a ·b ＝49，∴a ·b ＝152.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1523×5＝12.又∵θ∈[0，π]，故a 与b 的夹角θ＝60°. 题型二 求向量的模例2 已知x ＝1是方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0的根，且a 2＝4，〈a ，b 〉＝120°. 求：(1)向量b 的模；(2)向量λb 的模． [解] (1)∵a 2＝4，∴|a |2＝4，即|a |＝2. 把x ＝1代入方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0，得 1＋|a |＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－3，则a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2|b |cos120°＝－3， ∴|b |＝3.(2)由(1)知|b |＝3， ∴|λb |＝|λ||b |＝3|λ|. 金版点睛极化恒等式求模长(1)两个结论①(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； ②(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.证明 ①(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＋b ·a ＋b ·b ＝a 2＋2a ·b ＋b 2. ②(a ＋b )·(a －b )＝a ·a －a ·b ＋b ·a －b ·b ＝a 2－b 2. 说明：下列结论也是成立的： (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d .(2)由上述结论，我们不难得到4a ·b ＝(a ＋b )2－(a －b )2， 即a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．我们把该恒等式称为“极化恒等式”． (3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2等． 提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方． [跟踪训练2] (1)已知|a |＝63，|b |＝1，a ·b ＝－9，则〈a ，b 〉＝( ) A ．120° B ．150° C ．60° D ．30°(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a －b |，|a ＋b |.答案 (1)B (2)见解析解析 (1)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－963×1＝－32，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝150°，故选B.(2)解法一：|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a·b＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝52＋52＋2×5×5×co s π3＝5 3.|a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a·b＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝52＋52－2×5×5×co s π3＝5.解法二：以a ，b 为邻边作▱ABCD ，设AC ，BD 相交于点E ，如图所示．∵|a |＝|b |且∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∴|a －b |＝|DB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →| ＝2|AB →|2－|BE →|2＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5 3.题型三 用向量数量积解决垂直问题例3 已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a －b )⊥c .[证明] 证法一：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.∴(a －b )⊥c .证法二：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接AB ，AC ，BC 的三条线段围成正三角形ABC ，O 为△ABC 的中心，∴OC ⊥AB . 又∵BA →＝a －b ，∴(a －b )⊥c . 金版点睛要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练3] 若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．A ，B ，C 均不是答案 C解析 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得CB →·(AB →＋AC →)＝0， 又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0. ∴|AB →|＝|AC →|.∴△ABC 为等腰三角形．1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于( )A.32 B ．－32C.23 D ．－23答案 B解析 由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C解析 (a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |×4×12－6×16＝－72.解得|a |＝6.3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A 解析 |a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a ·b＝12＋12－2·1·cos〈a ，b 〉＝2－2cos60°＝1.4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案 －8或5解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，则49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b .由a ，b ，c 为单位向量，得a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4a 2－4a ·b －3b 2＝61，所以4×42－4×4×3cos θ－3×32＝61，cos θ＝－12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°. (2)因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a ＋b |＝13，同样可求得|a －b |＝37.。