第二章 线性规划问题解的性质分析
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
第2章 线性规划
目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4
线性规划问题解的概念和性质
线性规划问题解的应用之一是生产计划问题，通过合理安排生产计划，最大化利润并满足市场需 求。
线性规划问题解的生产计划问题需要考虑多种因素，如生产成本、市场需求、产品价格等，以制 定最优的生产计划。
线性规划问题解的生产计划问题可以通过建立数学模型进行求解，利用计算机软件进行优化和模 拟。
线性规划问题解的生产计划问题在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高企业的生产效率和 经济效益。
线性规划问题的标准形式
初始解的求解方法
初始解的判断准则
初始解的调整策略
迭代过程：通过不断迭代更新解，逐步逼近最优解 终止条件：当迭代过程中解的变化小于预设阈值或达到最大迭代次数时，终止迭代 收敛性：算法收敛于最优解的充分必要条件是所有约束条件都是“可行”的 算法复杂度：迭代次数与问题规模呈指数关系，需要选择合适的算法和参数
方案。
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定义：在给定风险 水平下最大化收益， 或在给定收益水平
下最小化风险
应用场景：股票、 债券等金融资产的
投资组合配置
线性规划问题解的 应用：通过线性规 划方法找到最优投 资组合，实现风险
和收益的平衡
线性规划问题解的 概念和性质：在投 资组合优化问题中， 线性规划方法用于 求解最优解，其概 念和性质对于理解 和应用投资组合优
解的唯一性：线性 规划问题有唯一最 优解
解的稳定性：最优 解不会因约束条件 的微小变化而发生 大的改变
解的敏感性：当目 标函数系数或约束 条件发生变化时， 最优解可能会发生 改变
算法原理：通过 不断迭代，寻找 最优解
适用范围：线性 规划问题
求解步骤：确定 初始解，计算目 标函数值，迭代 更新解
第2章线性规划
线性规划数学模型的三个要素： 决策变量、目标函数、约束条件
线性规划数学模型（4）
线性规划数学模型的一般形式的其他表示方式：
（2） max(min)
s.t.
n
z c j x j
j 1
n
aij x j
(, )bi (i 1,, m)
j1
x j 0( j 1,n)
2 0 0
B2 1 1 0
1 0 1
对应的基解分别为 x 1 (0,0,2,2,5) 和 x 2 (1,0,0,3,6) ，其中 x1 为基本可行解， x2 不是基本可行解。
线性规划的基本概念
●线性规划的基矩阵(基)、基变量、非基变量
目标函数 约 束 条 件
d、bi≥0
“bi≤0” —— 乘“-1” ， -bi≥0
线性规划数学模型（8）
练习题：将线性规划数学模型转化为标准形式
1、min z= 2x1-2x2+3x3
-x1+ x2+ x3 = 4
-2x1+ x2 - x3≤6
x1 ≤0, x2 ≥0 ，x3无约束
2、min z= x1+x2 x1- x2+2 x3 ≥2
可行解 满足线性规划所有约束条件的各变量的 一组值X=（x1，x2，…，xn）T，称为线性规划 问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。 最优解 使线性规划的目标函数达到以最优值 （依照具体问题，或者是极大值，或者是极小 值）的可行解称为线性规划问题的最优解。 上述两个概念，对于一般形式、标准形式都适 用，而下述概念，仅适用于标准形式。
基解 在标准形式线性规划的约束方程组中，对应 基B，令所有非基变量都等于零，求解约束方程组 AX=b，可惟一得出基变量的一组值，这些值和取 零的非基变量的值合起来，称为线性规划问题的基 解或基本解。 基的个数不超过 Cnm，一个基对应一个基解，故基解 的个数也不超过 Cnm。基解中非零分量的个数不会大 于约束方程的个数m。若一个基解的基变量中有取 零值的，则此基解称为退化的，否则称为非退化的 。
第二章线性规划
线性规划研究的问题主要有以下两类。 (1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹规划这些有限资源完成最大 任务。 (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少资源来完成它。 线性规划要研究的两类问题中都有一个限制条件：第一类问题是给出一定量的人力、 物力和财力等资源；第二类问题是给定一项任务。这种限制条件可以用一组线性方程组或 线性不等式组来描述。限制条件所要达到的结果称为“目标”，第一类问题的目标是利用有 限资源完成最大任务，第二类问题的目标是以最少资源完成给定任务。可以用一个线性函 数来描述这种目标，称这个线性函数为目标函数。 由此可见，各类问题尽管限制条件与目标不相同，但规划的目的就是使这些资源发挥 最大限度的作用，从而完成最多最大的任务。换句话说，也就是资源的最优利用问题。用 数学形式表示的话，规划的目的就是在给定的限制条件(或称约束条件)下，求目标函数的极 值问题(包括极小值和极大值)。 下面用一个例题来说明线性规划问题的特点。
0.1x1 0.17x2 0.14x3 0.22x4 0.07x5 ≥140 000 平均信用度不低于 6，即
非负约束，即
(11x1 8x2 10x3 4x4 10x5 ) /(5106 ) ≥6 xi ≥ 0 ， i =1, 2, 3, 4, 5
综上所述，该问题的数学模型可以表示为
16
第二章 线性规划
三、人力资源问题的数学模型
例 2-4 某商场因为每天顾客的数量不同，所以每天需要的营业员人数也不同。经过统 计分析，商场对营业员的需求量如表 2-5 所示。按照规定，营业员每周工作五天后，连续 休息两天。问：应如何安排营业员的作息，既能满足工作需要，又使得雇佣的营业员人数 最少？
表 2-3 产品规格
产品名称 X
0.1x1 0.17x2 0.14x3 0.22x4 0.07x5 ≥140 000 平均信用度不低于 6，即
非负约束，即
(11x1 8x2 10x3 4x4 10x5 ) /(5106 ) ≥6 xi ≥ 0 ， i =1, 2, 3, 4, 5
综上所述，该问题的数学模型可以表示为
16
第二章 线性规划
三、人力资源问题的数学模型
例 2-4 某商场因为每天顾客的数量不同，所以每天需要的营业员人数也不同。经过统 计分析，商场对营业员的需求量如表 2-5 所示。按照规定，营业员每周工作五天后，连续 休息两天。问：应如何安排营业员的作息，既能满足工作需要，又使得雇佣的营业员人数 最少？
表 2-3 产品规格
产品名称 X
第2章 线性规划图解法
-8
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
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§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
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例2.6 将下面的线性规划问题化为标准形： max s = x1+2x2-3x3
x1 2 x2 x3 5 2 x1 3 x2 x3 6 x1 x2 x3 2 3 x2 12 x1 , x2 , x3 0
解 引进非负变量x4，x5，x6，min s x 2 x 3 x 1 2 3 则原问题的标准形为： x1 2 x2 x3 x4 5 2 x1 3 x2 x3 x5 6 松弛变量 x1 x2 x3 2 3 x2 x6 12 x1 , , x6 0 剩余变量
其中
Ax b s.t . x 0 c=(c1，c2，…，cn)
a1n a2 n amn
价值向量
约束矩阵
a11 a12 a a A 21 22 a m1 am 2
资源向量 b1 x1 待定决策向量 b x 2 b x 2 b x m n
[0,1] x x(1) (1 ) x(2) 0,
Ax A[x (1) (1 ) x ( 2) ] Ax (1) (1 ) Ax ( 2) b
x x(1) (1 ) x(2) S
（二）线性规划问题解的性质
x2 A B 2x1+5x2=19 C
O
D x1 2x1+5x2=0
例2.2 若将例2.1中的目标函数改为S=x1+2x2
x1 4 x2 3 s.t . x1 2 x2 8 x1 , x2 0
x2
A B
x1+2x2=8
C
BC边上每一 点的坐标都 是最优解
O D
①画直线x-y+5=0，确定不等式x-y+5≥0表示的区域； ②画直线x+y=0，确定不等式x+y≥0表示的区域； ③画直线x=3，确定不等式x≤3表示的区域； ④取公共区域部分。
y x+y=0 A
-4 -2 4 2
x-y+5=0 C
o
2 4
B
x
x=3
基本概念： (1) z= 2x+y
x 4 y 3 (2). 3 x 5 y 25 x 1
定理2 x是基础可行解 x是可行域S中的极点. Ax b 证 设LP问题: min s = cx s.t . x0 S是其可行域， “” 即若x是可行域S中的极点，则x是基础可行解. ; (1). 当x 0时, 显然x是基础可行解
(2). 当x 0且为极点时,
设x的所有非零分量为xi1 , xi2 ,, xik (k m), 其所对应的列向量为Pi1 , Pi2 ,, Pik (k m), 问题转化为说明向量组Pi1 , Pi2 ,, Pik 线性无关.
例2.3、若目标函数为 min s = 2x1+2x2
x2
⑵作目标函数 的等值线
⑶确定最优点 因此，最优解 为 x1=1, x2=0
O C B
x1 x2 1 s.t . x1 2 x2 0 x1 0, x2 0
2x1+2x2=10
A
D x1
相应的目标函数 最小值为 s=2。
x2 B 2x1+5x2=19
A
C
O
D
2x1+5x2=0
x1
(3). 确定最优点
先确定目标函数值增大的方向，沿着这个方向平 行移动直线 s= 2x1+5x2，当移动到 B点时，s值就在可 行域上达到最大,从而确定B点就是最优点，
x2 3 x1 2 x 2 8
得最优解为x1=2，x2=3。 相应的目标函数的最大值为 S=2×2+5×3=19.
即 若对于x (1) ，x (2) ∈S，x=α x (1) +(1-α) x (2) ∈S （0≤α≤1），则称S为凸集。 例如： (2) x (2) x (2) x (1) x (1) x (2) x (2) x (1) x x
(1)
x (1)
3. 极点 (顶点)
若凸集S中的点x，不能成为S中的内点，则称x为S的 极点（顶点）。 即， 若对于x (1) x (2) ∈S, 不存在α (0<α<1), 使 x=α x (1) +(1-α) x (2) 则称x为S的极点（顶点）。
2x1+2x2=10
A B D O C x1
2x1+2x2=6
2x1+2x2=2
例2.5、min s =2x1+2x2
x1 x2 1 s.t . x1 x2 2 x1 0, x2 0
x2
如图，
没有可行解， 故没有最优解。
O x1
-x1+x2=1
x1+x2= -2
a1 j a Pj 2 j a mj
( j 1,2,, n)
•
非标准形问题的标准化
下面举例说明如何将非标准形线性规划问题 化为标准形。
（1）目标函数 若问题的目标函数为最大化 max s = cx， 则 可化为求 min s’ = －cx，即可。 （2）约束条件 a) 约束为≤形式的情形。如 2x1-x2+3x3≤18 则加入一个非负变量x4≥0，改为： 2x1-x2+3x3+x4=18 变量x4称为松弛变量。
（二）线性规划问题解的性质 定理1 线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。 Ax b 证 设LP问题: min s = cx s.t . x 0 S是其可行域， 对于x (1) x (2) ∈S, α [0,1]
考查 x=α x (1) +(1-α) x (2) ∈S
由于x (1) , x ( 2) S , x (1) 0, x ( 2) 0, Ax (1) Ax ( 2) b
LP问题
min s = cx
min s = cx
Ax b s.t . x 0
向量表示
n x j Pj b s.t . j 1 x 0
A ( P1 , P2 ,, Pn )
a1 j a Pj 2 j 是约束条件中 x j的系数, ( j 1,2,, n) a mj Pj也称为 x j 对应的向量.
解 (1). 确定可行域 先作: x1≥0 x2≥0 再作： x1 ≤4 x2 ≤3 x2 A B C
O x1 +2 x2 ≤8
D
x1
得可行域(见上图)
(2). 作目标函数的等值线 目标函数s=2x1+5x2 它代表是以 s 为参数 的一族平行线 由小到大给s 赋值，可得一 组平行线，而 位于同一直线 上的点具有相 同的目标函数 值，因而称为 等值线。
A（5，2） B（1，1） 3x+5y-25=0
1 x
2. 两个变量的线性规划问题的图解法一般过程
对于仅具有两个变量的线性规划问题，利用 作图的方法求最优解，简单、直观。 例2.1 max s = 2x1+5x2 x1 4 x 3 约束条件 2 x1 2 x2 8 x1 , x2 0
反证法 若向量组 Pi1 , Pi2 ,, Pik 线性相关 则一组不全为零的数 1 , , k , 使得 1 Pi1 2 Pi2 k Pik 0
定理2 x是基础可行解 x是可行域S中的极点.
1 o
y
x, y
问题2：
x y 1 0
1
x
l：x+y-1=0 y 1 x+y-1＜0 o x+y-1＞0 1 x
以二元一次不等式 x + y-1 ＞0的 解为坐标点的集合 表示什么图形？
l：x+y -1=0
练习
x y50 画出不等式组 x y 0 表示的平面区域。 x 3 解：
§2.3 线性规划问题解的性质
（一）几个概念
1. 可行解、基础可行解、最优解、基础最优解 我们把满足约束条件的 设线性规划问题 ( 0) x min s = cx 1 ( 0) x2 ( 0) x Ax b x ( 0) x 0 n 称为LP问题的可行解。 使目标函数取最小值的可行解，称为最优解。
若 x(0)=0，或 x (0)的非零分量所对应的系数列向 量组线性无关时，称可行解x (0)为基础可行解。使目 标函数取最小值的基础可行解，称为基础最优解。
2. 凸集 点集中任意两点的连线段整个均是该点集的点， 称该点集为凸集。
连接 n 维点集合S中任意两点 x (1) ，x (2)的线段 仍在S内，则称S为凸集 。
(2) 约束条件也有多种形式
这种多样性不仅给研究带来不便，而且使你难以寻 找一种通用解法。
人们发现：线性规划问题的各种不同形式可以相互 转化。因此，只需给出一种形式的解法。
线性规划问题的标准形式如下： min s = c1x1+c2x2+…+cnxn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 一般有 m n, m, n 0 a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 s.t . am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 矩阵表示 x1 0, x2 0, , xn 0 min s = cx
x1
因此，最优解有无穷多个。
例2.3、若目标函数为 min s = 2x1+2x2
约束条件为
x1 x2 1 s.t . x1 2 x2 0 x1 0, x2 0