连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
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连续型随机变量的分布与例题讲解
(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m
(t )
m 1
( t )m
e
dt 1 e
( x )m
(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。 （三） 对数正态分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本 内
容
备 注
其中， ， 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
2.4连续型随机变量的概率密度
中间大，左右对称”。
决定了图形的中心位置，
决定了图形中峰的陡峭程度。
正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明：
⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
0 其它
则称随 X服 机从 变 a， 区 量 b上 间的均匀
记作 X ~ U [a , b]或 X ~ R [a, b]
均匀分布的概率背景
如果随机 X服 变从 量区 a，间 b上的均匀分布 变， 量 X在区a， 间b上的任意一个 取子 值区 的间 概上 率与
间的长度成正 该比 子， 区而 间与 的位置无关
例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
fx c4x2x2 0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵P ． X1．
解： ⑴．由密度函数的性质 f xdx 1
0
2
得 1 f xdxfxdxfxdxfxdx
2
x
由高等数学中我 的们 知有 识： ，f (x)
⑴．曲线关于 x直对线称，
这表明：对于h任 0， 意有 的
PhXPXh
0 h h x
正态分布密度函数的图形性质
⑵．当x 时，f x取到最大值 f 1
2
x离越远，f x的值就越小．这表明对，于
解： 当x 2 时，
x
F x f t dt
0
1
2
x
ftd tftd tftd tftdt
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
连续型随机变量
分布函数 F(x)
定义： F(x) P X x
性质: 0≤F(x)≤1； F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
应用：※ (1) P(a X b) F(b) F(a)
(2) P X c 1 F(c)
(3)P X d F(d)
定义：设函数 Biblioteka (x) 在区间 规定：上连续,
称此函数为 f (x) 在
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f (x) 0( x );
2.归一性： f (x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f (x) kx, 0 x 1
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C
xC
1 x1 C ( 1)
1
ln | x | C
ex C
ax C
ln a
不定积分的基本公式
sin x C
cos x C
tan x C cot x C
f (x)dx 1
设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔
1.概率密度函数的几何解释
[密度函数定义]
x
F (x) f (t)dt
[密度函数求区间概率]
b
P(a X b) f (x)dx a
2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零. 即，不可能事件与零概率事件的关系：
2-3连续型随机变量的概率密度函数
1 dx ba a
b a b
a
b
1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长 度成正比,与该区间的位置无关.
2.指 数 分 布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150
f x dx
b a b
a
b
1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长 度成正比,与该区间的位置无关.
2.指 数 分 布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150
f x dx
概论论与数理统计讲义 (5)
长度在 10.05 0.12 内为合格品，试求螺栓为合格品 的概率。
解： 根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…
解： 根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…
2-4_连续型随机变量及其概率密度
第2.4节 连续型随机变量及密度函数
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义 定义
设 X 为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在 非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义 定义
设 X 为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在 非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。
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连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求 的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
e− d ≈ . .
.
()是分段表
达的, 求 ()
时也分段求.
当 x ≤ 0 时, F(x)=0.
当 x＞0 时, () = න ()d = න e− d = − e− .
−∞
所以
− e− ,
() = ൝
,
> ,
≤ .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的
概念与性质
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
离散型 可能值为离散可列个点,如,次品数.
随机
变量 连续型
可能值为某个区间,如,年降水量.
←分布律
←？
1. 概率密度函数定义
设()是随机变量 的分布函数, 若存
在非负函数 (), 使对任何实数 ,有
知识点2.5
故
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
− = + ,
→−
= + .
→
−
π
+
= − = ,
π
+
= + = .
即
= ,
⇒
= .
π
,
⇒ () =
+ ,
,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
(2) − < <
=
− −
= +
−= .
(3)随机变量 的概率密度为
′
() = () = ൞ −
+
()d
→
= .
由此可得
{ ≤ ≤ } = { < ≤ } = { ≤ < } = { < < }.
连续型随机变量取值落在
某一区间的概率与区间的开闭无关
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
若 是连续型随机变量, { = } 是不可能事件, 则有
,
,
− < ≤ ,
其他.
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例2 设连续型随机变量 的分布函数为
,
= + ,
,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
求： (1)系数 , 的值;
(2) − < < ;
(3)随机变量 的概率密度.
解
(1)因为 是连续型随机变量, 所以 () 连续.
+∞
e− d = − ⅇ− ฬ = = ,
解得 = . 于是 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
+∞
(2) { > . } = න
+∞
()d = න
.
(3) 由密度函数的定义知
+∞
(2) 归一性: න
() = ;
−∞
(3) { < ≤ } = − ( ) = න () ;
y
()
o
x1
x2
x
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
同时得以下计算公式
{ ≤ } = () = න ()d;
= = .
若 = = , 则不能确定 = 是不可能事件.
若 为离散型随机变量,则
= 是不可能事件 ⇔ = = .
可见, 由 = , 不能推出 = ∅.
同样的, 由 =1, 不能推出 = .
称 为几乎不可能事件, 为几乎必然事件.
()
() = න () d
−∞
则称 为连续型随机变量, 称 ()为 X 的概
率密度函数, 简称概率密度.
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
2. 概率密度函数的性质
这两条性质是判定一个函数
() 是否为某个变量的概率
密度函数的充要条件.
(1) 非负性: () ≥ 0；
−∞
+∞
{ > } = − () = න
()d .
(4) 若 f (x)在点 x 处连续, 则有′ () = ().
知识点2.5
注意
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
对于任意可能值 ,连续型随机变量取 的概率等于零, 即
{ = } = .
证明
{ = } =