随机变量的特征函数

第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21Λ和n 个复数n z z z Λ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3. 常用的分布函数特征表习题与解答4.11. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1Λ=-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ,()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+L 试求X 的特征函数.解 设r X X X ,,,21Λ是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++=Λ21,所以X 的特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为010()22itx ax itxax a at e e dx ee dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰(cos sin )(cos sin )22ax axa atx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰=.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx a x tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：⎰+∞∞-+=dx ax e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==iX E,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==i X E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 的3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 的独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).证：因为 ,)(,)()1()1(21====it ite Y eX et e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 的独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++.9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性：若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ证 因为2)21()(nX it t --=ϕ,2)21()(mY it t --=ϕ,所以由X 与Y 的独立性得2)()21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=ϕϕϕ,这正是2χ分布2χ(n+m)的特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ10. 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~Λ=λ.试用特征函数的方法证明:∑==ni i n n Ga X Y 1),(~λ.证 因为1)1()(--=λϕitt i X ,所以由诸i X 的相互独立性得n Y 的特征函数为n Y itt n--=)1()(λϕ,这正是伽玛分布),(λn Ga 的特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n .11. 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下：+∞<<-∞-+⋅=x x x p ,)(1)(22μλλπ,其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,(1) 试证X 的特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布的可加性；(2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+,但是X 与不独立； (3) 若n X X X ,,,21Λ相互独立,且服从同一柯西分布,试证：)(121n X X X n+++Λ 与X i 同分布.证 (1) 因为μ-=X Y 的密度函数为+∞<<-∞+⋅=x yx p ,1)(22λλπ,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-.由此得μ+=Y X 的特征函数{}{}t t i t t i t t Y Y X λμϕμϕϕμ-===+exp )(exp )()(.下证柯西分布的可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,的柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1)(22=+∞<<-∞-+⋅=i x x x p i i μλλπ.若1X 与2X 相互独立,则(){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212121λλμμϕϕϕ+-+==+,这正是参数为2121,λλμμ++柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知,21X X +服从参数为2121,λλμμ++的柯西分布.(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(ϕ,{}t t Y -=exp )(ϕ,所以 )2()()(2t t t X X Y X ϕϕϕ==+{}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ϕϕ=. 由于Y=X,当然X 与Y 不独立.此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+不能推得X 与Y 独立.(3) 设i X 都服从参数为λμ,的柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμϕ-=exp )(.由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 的特征函数为 []{}t t i n t nλμϕ-=exp )/(,即 ∑=n i i X n 11与X 1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.12.设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),试证：p (x )关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X 的特征函数为)(t X ϕ.先证充分性,若)(t X ϕ是实的偶函数,则)()(t t X X ϕϕ=-或)()(t t X X -=-ϕϕ,这表明X 与-X 有相同的特征函数,从而X 与-X有相同的密度函数,而-X 的密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点是对称的.再证必要性.若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同的密度函数,所以X 与-X 有相同的特征函数.由于-X 的特征函数为)(t X ϕ,所以)()(t t X X ϕϕ=-=________)(t X ϕ,故)(t X ϕ是实的偶函数.13.设n X X X ,,,21Λ独立同分布,且都服从N (2,σϕ)分布,试求∑==ni i X n X 1___1的分布.解：因为X j 的特征函数为2/22)(t t i j e t σϕϕ-=,所以由诸X i 互相独立得___X 的特征函数为)2/(22))/(()(n t t i n i X e n t t σϕϕϕ-==这是正态分布N (n /,2σϕ)的特征函数,所以由唯一性定理知∑==ni i X n X 1___1~N (n /,2σϕ)。