高等数学积分表推导全过程
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１
(一)含有ax+b 的积分
1.C b ax a
b ax d b ax a dx ++=++=+⎰⎰ln 1)(11b ax 2.()()C u a b ax b ax d a dx u u
u +++=
++=+⎰⎰)1()()(b ax 1b ax 3.
C b ax b b ax a
b ax b ax d a b dax b ax b ax a dx b ax b b ax a dx b ax ax a dx b ax x ++-+=++-++=+-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰)ln (1
)(111222 4.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+-++=+--+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰b ax b ax d b b ax d b b ax d b ax a dx b ax b abx b ax a dx b ax x a a dx b ax x )()(2)()(12)(11232222222 C b ax b b ax b b ax a +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-+=
ln )(2)(2112
23 5.
()C x
b
ax b x C a b b ax b C ax b ax b dx ax b ax b a b ax x dx ++-=++++-=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎰⎰ln 1ln ln 1ln 1ln ln 111)(11 6.()()C x b
a
b ax b a bx x dx b a b ax dx b a dx x b dx bx a b ax b a x b b ax x dx +-++-=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+⎰⎰⎰⎰⎰ln ln 11111222222222
C x
b
ax b a bx +++=
ln 12 7.()()()()C b ax a b b ax a b ax dx a b b ax dx a dx b ax a b b ax a b ax xdx ++⋅++=+-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+=+⎰⎰⎰⎰1ln 11122222 C b ax b b ax a +⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=
ln 12 8.()()()()()⎰⎰⎰⎰
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-=+-+-=+--+=+C b ax b b ax b ax a b ax dx a b b ax xdx a b a x dx b ax a b a bx b ax a dx b ax x 23222222
2
22
22ln 21221
9.
()()()()C x
b
ax b b ax b C b x b ax b b ax b x dx b b ax dx b a b ax b adx b ax x dx ++-+=+++-+=++-+-=+⎰⎰⎰⎰ln 11ln ln 111222
2222 （二）含有b ax +的积分
10.
()()C b ax a
b ax d b ax a dx b ax ++=++=
+⎰⎰3
321 11.()()()()()⎰⎰⎰+-=
++-+=
+-++=+3
2
32
5
22315232521b ax b ax a
C b ax a b b ax a dx b ax a b dx b ax b ax a dx b ax x C + 12.
()
()()⋅--+=+-+-++=+⎰⎰⎰⎰b ax a
a b b ax a dx b ax a b dx b ax x a b dx b ax b ax a
dx b ax x
23152
[
272
21
2
73
222
2
2
()()()()
C b ax b abx x a a
C b ax a
b b ax +++-=
++-+3
2223
33
2
3
812151052
32]
２
13.
()()=++-+=++-+=+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰
C b ax a
b b ax a
b ax b ax d a b dx b ax a b ax dx a b dx b ax b ax a b ax xdx 2
32
2232
11
()C b ax b ax a
++-=
232
2 14.
()()()()+++-++=+-+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
b ax d b ax a b
b ax d b ax a
b ax dx a b b ax xdx a b dx b ax b ax a dx b ax x 3233222
222121
()
C b ax b bx x a a
b ax dx a
b +++-=+⎰
2
223
2
2
843152
15.
⎰+b
ax x dx 当b>0时，有
C b
b ax b b ax b b ax d b b ax b b ax b ax b a b ax x dx +++-+=+⎪⎭⎫
⎝⎛++--++=+⎰⎰ln 1112 当b<0时，令ax+b=t,则dx=dt a
a b t d
1
=- C b t b b t d b t b b t d b t b t d b t t a b t dt
a b ax x dx +--=-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰arctan 211211221
22 C b b
ax b
+-+-=
arctan 2
所以=+⎰b ax x dx ()()
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<+-+->+++-+0arctan 10ln 1b C b b ax b
b C b b ax b
b ax b 16.
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-=+-++=+-++=+b a dx x b b
ax b b ax abx
b ax x dx b a dx bx b ax b ax b ax x dx b a dx b
ax bx b ax b ax x
dx 2222222222222
⎰⎰⎰+-
+-=+-'-'-=+b ax x dx b a bx b ax b ax x dx b a dx v v u v u b
ax x dx 222
17.
⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=+++=+b
ax x dx b b ax b ax x dx b dx b ax a dx b ax x b b ax a dx x b ax 2)(
18.
⎰⎰⎰⎰⎰
+⋅-+-=+++=+++=+b
ax x dx
b a b bx b ax b b ax x dx a b ax x dx b dx b ax x b b ax x a dx x b ax 21)(222