初中数学《圆》全章讲义有例题培训讲学

《圆》
内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；
5、切线及切线长定理；
6、弧长及扇形面积。

【知识要点1】
圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

例1 已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB上的点，且AC＝BD．求证：AD＝BC．
例2 如图，在⊙O中，AB，CD为⊙O的两条直径，AE＝BF，求证四边形CEDF 是平行四边形．
点与圆的位置关系
1、点在圆内⇒d r
<⇒点C在圆内；
2、点在圆上⇒d r
=⇒点B在圆上；
3、点在圆外⇒d r
>⇒点A在圆外；
【知识要点3】
直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r
>⇒无交点；
2、直线与圆相切⇒d r
=⇒有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d r
<⇒有两个交点；
d
r d=r r d 【知识要点4】
圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r
>+；
外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r
=+；
相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r
-<<+；
内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r
=-；
内含（图5）⇒无交点⇒d R r
<-；
r
R
d
图3r
R d
r R
d
图4
r
R
d
图5
r
R
d
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②AB CD
⊥③CE DE
=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD
∴弧AC=弧BD
例3如图，CE为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AB⊥CE，垂足为点D，设⊙O的半径为r，AB＋CD＝2r，CD＝1，求⊙O的半径．
例4如图，在⊙O中，AB＝2CD．试判断与2是否相等，并说明理由．
O
E
D
C
B
A
O
C D
A B
圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
【知识要点7】
圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

F
E D
C
B
A
O
C
B
A O
D
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
A O
例
5
如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且
＝，求证：AC ＝AE ．
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A ，B 重合)，设∠OAB ＝α ，
∠C ＝β ．
(1)当α ＝35°时，求β 的度数；
(2)猜想α 与β 之间的关系，并给予证明．
【知识要点8】
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
E
D
C
B
A
【知识要点9】
切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

【知识要点10】
切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
经典心理压力测试题 看你的压力程度
核心提示：你有心理压力吗，你想知道你在生活中处理心理压力的能力吗?在下面的测验中找出最接近你实际生活的一种情况,如果没有经历过这类事情,可选择最接近你的想法的一种。

1、生日，婚礼……，免不了花钱。

N
M
O
P
B
O
A、你不想在这类场合出现，以免花钱买礼物；
B、尽管不少花钱，可在各种场合，你还是乐天选择小巧而特别的礼物；
C、只在对你很重要的场合送礼；
2、你的自行车与别人的车相撞，你不得不与对方约个时间解决这个问题。

A、这件事引起的焦虑和不安使你失眠；
B、这并非重要的事情，只是生活中发生的许多事情中的一件，你会在问题解决后，做点自己喜欢的事情，以便尽快忘掉那不愉快的事；
C、开始时你不去管它，只要在解决问题的那一天到来时再想办法应付它；
3、你的家具或电器由于水管破裂被损坏了，而且发现你的财产保险不能完全弥补损失。

A、你很失望，痛苦地抱怨保险公司；
B、开始自己修复家具；
C、考虑撤销保险，并向有关事务机关投诉；
4、你由于某件生活中的小事和邻居发生了争执，却没能解决任何问题。

A、回到家，你拼命喝酒，想轻松一下，忘掉这件事；。