一元一次方程——等积变形应用题
一元一次方程的应用等积变化问题
一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。
解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。
因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。
下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。
求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。
根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。
因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。
5.3 一元一次方程的应用(2) 等积变形--
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，源自把它改 变成球。解：形状改变，体积不变
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形 边框（如图中阴影部分），已知铺这个边 框恰好用了192块边长为0.75米的正方形 花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑 底面的边长是多少米?
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6
答：纪念碑建筑底面的边长为6米. 方案二
本题还有哪些解法？
1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的 关系，尤其相等关系是建立方程的关键。 2、对于等积变形(面积）问题，它的基本数量关系是相关的 面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的 方法来计算阴影部分的面积，面积不变。
3
x
3
阴影部分的面积= 192块边长为0.75正方形花岗岩的面积 阴影部分的面积= 4个长为(x+3)米、宽为3米的长方形 解： 设纪念碑建筑底面的边长为米，根据题意，得
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6 答：纪念碑建筑底面的边长为6米.
2x 5 x 2 x3
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人， 在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处 植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两 处各多少人？ 分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量 及其关系能用表格去表示吗？
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人， 在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处 植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两 处各多少人？ 分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量 及其关系能用表格去表示吗？ 原有人数 甲 处 23 乙 17 处
列一元一次方程解应用题
列一元一次方程解应用题（一）和、差、倍、分问题：1、一群老人去赶集，集上买了一堆梨，一人1个多一个，一人2个少2个，几位老人几个梨？2、七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？3、一群割草人要把两片草地的草割完．两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家都先在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割，到收工时还剩下一小块，这一小块次日由一个人去割，恰好需要一天工夫．问：这群割草者共有多少人?4、甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙 元。
（二）等积变形问题：1. 已知圆柱的底面直径是60毫米，高为100毫米，圆锥的底面直径是120毫米，且圆柱的体积比圆锥的体积多一半，求圆锥的高是多少？2、请根据图中给出的信息，列出正确的方程．小乌鸦，你飞到装有相同水量的小量筒，就可以喝到水了！ x 58老乌鸦，我喝不到大量筒中的x3、如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形块图，由6个颜色不同的正方形组成，设最小的一个正方形边长为1，求这个矩形块图的面积。
（三）调配问题：1、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有27人，在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，需要从乙队调多少人到甲队？2、七年级三班学生参加义务劳动，原来每组8人，后来根据需要重新编组，每组14人，这样比原来减少3组。
问这个班共有学生多少人？3、某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼，每层楼有6间教室，进出这栋大楼共有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门）. 安全检查中，对这3道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%. 安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这3道门是否符合安全规定？为什么？4、甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树8棵，6棵，10棵.若乙在A地植树10小时后立即转到B 地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早9小时完成，则乙应在A地植树小时后立即转到B地．（四）行程问题。
一元一次方程实际应用题之等积变形问题
一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。
可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。
解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。
2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。
要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。
解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。
解：零件的底面积是x平方厘米。
8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。
3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。
一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)
一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积
变形)
1.假设原长方形的长为x，宽为y，则根据周长公式
2(x+y)=26，可得x+y=13.将长减少1，宽增加2后得到的正方
形的边长为y+2，因此有y+2=x-1.将这两个方程联立解得x=9，y=4，所以原长方形的长为9cm，宽为4cm。
2.圆锥体的体积为1/3πr^2h，圆柱体的体积为πr^2h，两
者相等，因此可得圆柱体的高为8×(30/10)^2=72cm，所以圆
柱体内的水高为8cm。
3.设新的长方形宽为x，则根据折叠后周长不变可得
2x+10=18，解得x=4，因此新的长方形的长为9cm，宽为4cm。
4.正方体的体积为20^3=8000cm^3，盛水量筒的容积为
12×h，其中h为水面升高的高度，因此有12h=8000，解得
h=666.67cm，所以水面升高了666.67/12≈55.56cm。
5.设大长方形面积为S，则重叠部分面积为S/6，小长方
形面积为S/4，阴影部分面积为224cm^2，因此有S/6-S/4=224，解得S=1344，所以重叠部分面积为S/6=224cm^2.
6.(1) 第一个中的水体积为π(4^2)×16=256π，第二个的底
面积为π(8^2)=64π，因此第二个中的水高为256π/64π=4cm。
2) 将1插入2后，1中的水体积为π(4^2)×10=160π，2中的水体积为π(8^2)×10=640π，因此水位上升了640π-
256π=384π，所以水面升高了384π/(π(8^2))≈1.5cm。
实际问题与一元一次方程(9)利息增长率等积变形等问题
小颖的父母存三年期教育储蓄，三年 后取出了5000元钱，你能求出本金是多少 吗？
教育储蓄利率 一年 2.25 2.70 三年 六年 2.88
解：设开始存入的本金 为 x元 , 得 x(1+2.70%×3)=5000 解得：x≈4626 答：本金为4626元.
三、等积变形问题
有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形
实际问题与一元一次方程(9)
----利息增长率等积变形等问题
一、增长（下降）率问题 增长量 增长率= 增长前的量 100％
增长后的量= 增长前的量+ 增长量 增长后的量= 增长前的量(1+ 增长率)
例1
1. 某校去年3500人,今年比去年增加20％, 700 人,今年4200 则增加 人.
2. 某商品单价240元,降价30％后单价 是 168 元. 3. 一工厂今年生产2.2万吨化肥,比去年 增长10％,则去年生产 万吨,计划明 年比今年翻两番,则明年生产 万吨.
解：
设负的场数为x，则平的场数为2x，那 么胜的场数为8－x－2x. 依题意得，3(8－x－2x)＋2x＝17， 解得x＝1，则8－x－2x＝5， 答：胜了5场．
五、浓度问题 有含盐8%的盐水40克，要使盐水含 盐20%，则需加盐多少克？ 解：设加盐x克,根据题意得： 40x8%+x=(40+x)20% 解得 x=6 答：加盐6克
3、本息 =本金 + 利息 =本金×（1+利率×期数）
4.本金+利息-利息税 实得本利和
1. 某学生按定期一年存入银行100元，若年利率为 2.5%，则一年后可得利息_______ 2.5 元；本息和为 _________ 102.5元（不考虑利息税）； 2. 小颖的父母给她存了一个三年期的教育储蓄1000 81元； 元，若年利率为2.70%，则三年后可得利息____ 1081元； 本息和为_____ 3. 某人把100元钱存入年利率为2.5%的银行，一年 0.5 元； 后需交利息税______ 4. 某学生存三年期教育储蓄100元，若年利率为 100 ×p% ×3 元；本息和 p%，则三年后可得利_______________ 为_____________________ 100（1+ p% ×3）元.
20道一元一次方程应用题
列一元一次方程解应用题一、数字问题1、一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，正好等于这个两位数的十位数字与个位数字对调后的两位数，请问这个两位数是多少？2、有一个三位数，其各位数字之和为16.，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
二、等积变形问题cm.求原来3、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是450003正方形铁皮的边长。
4、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？5、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。
求锻造后的圆钢的长。
6、用长7.2m的木料做成如图所示的“日”字形窗框，窗的高比宽多0.6m。
求窗的高和宽。
（不考虑木料加工时损耗）7、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
三、利润率问题8、丽丽的妈妈到百盛商场给她买一件漂亮毛衣，售货员说：“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10％，只卖144元，丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？9、一种商品，甲提出按原价降低10元后卖掉，用售价的10％作积累；乙提出将原价降低20元卖掉，用售价的20％仍做积累，经测算两种积累一样多．则这种商品的原价是多少？10、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？11、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？四、调配问题12、某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？13、甲乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
4-3一元一次方程的应用(二) 等积变形问题2022-2023学年鲁教版(五四制)六年级上册
变式训练
1.两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为4cm 和8cm，高分别为39cm和10cm。我们先在第二个容 器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中。问：倒 完以后，第一个容器中的水面离瓶口有多少厘米？
容器1
容器2
变式训练
2. 如图所示，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为
4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽
方形的面积比(1)中长方形的面积增大了0.33㎡。
(3)设正方形的边长为xm。根据题意，得，
4x=10
解这个方程，得 x=2.5 2.5×2.5=6.25(㎡) 6.25－6.09=0.16(㎡)
这个正方形的边长为 2.5 m，它的面积比 (2)中长方形的面积增大了0.16㎡。
点拨
5.76
6.09
谢谢
9cm 20cm
X cm 10cm
合作交流
• 题设已经给出了等量关系：锻压过程中圆 柱体积不变，几变形后的体积等于变形前 的体积。
• 未知量是？ 已知量是？
例1：
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的 长、宽各为多少米？ （2）使得这个长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的 长、宽各为多少米？这个长方形（1）中的长方形相比， 面积有什么变化？ （3）使得这个长方形的长与宽相等，即围成一个正方 形，此时正方形的边长是多少米？它的面积与（2）中 的长方形的面积相比又有什么变化？
分析：由题意知，长方形的周长始终是不变的，即
长方形的周长=10m
在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系。
解:(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m。
根据题意，得
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一元一次方程解应用题
————等积变形问题
复习：常用几何图形的计算公式
长方形的周长= 长方形的面积=
三角形的周长= 三角形的面积=
圆的周长= 圆的面积=
长方体的体积= 圆柱体的体积=
想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变
1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
问题1
（1）用一根长8米的铁丝围成一个长方形．使长方形的宽比长少1米，求这个长方形的面积．（2）用一根长8米的铁丝围成一个正方形，求这个正方形的面积．
（3）用一根长8米的铁丝围成一个圆，求这个圆的面积．
（4）在周长相等的长方形、正方形、圆中，谁的面积最大谁的面积最小
精讲例题
1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少
等量关系：
解设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表
锻压前锻压后
底面半径
高
体积
练习：
1、如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（计算时 取.要求结果误差不超过1毫米）
思考：题目中有哪些已知量和未知量
它们之间有什么关系如何设未知数
已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）
未知：圆钢的高
相等关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积
设未知数：设应截取圆钢x 毫米。
2.已知一圆柱形容器底面半径为,高为,里面盛有1m深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少
小结：说说列方程解应用题的一般步骤：
1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数.
2、用代数式表示有关的量.
3、根据等量关系列出方程.
4、解方程，求出未知数的值.
5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．一元一次方程
——销售问题
一 知识要点
概念：标价：在销售时标出的价（称 原价 、 定价）
售价：在销售商品时的售出价格（有时叫 卖价 、 成交价）
进价：购进商品时的价格（有时也叫 成本价）
打折：卖货时,按照标价乘以十分之几或百分之几十。
售价=原价×折扣 （售价=成本×（1+利润率）×折扣）
利润：在销售过程中的纯收入。
利润率：利润占进价的百分比 。
1、利润＝ － ， 利润= ×
当利润值为 时赢利，当利润值为 时亏损。
2、%100-%100⨯=⨯=进价
进价售价进价利润利润率 3、解答利润和折扣问题的基本思路：最终售价-进价=利润
4、商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
二、强化练习
1、某商品以每件200元的价格购进一批羊毛衫，每件标价为400元，出售时打8折，此题中，成本价为 ，标价为 ，售价为 ，利润为 ，利润率为
2、商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元.利润率是
3、一批校服每套的进价为200元，利润率为10%，则这批校服每套利润是_______元,售价是______元 。
三、 实际应用
（1）求标价
例题1：某商品打折后，商家仍然可以获得25%的利润。
如果该商品的进价是每件元，那么该商品在货价上的标价是多少
2、一商场把某型号的液晶电视机按标价的九折出售，仍可获利20%。
若该电视的进价是2400元，那么该型号电视的标价是多少元
3、某商场以1200元的价格购进甲种跑步机，按标价1800元的9折出售；乙种跑步机进价2000元，按标价3200元的8折出售。
那种跑步机的利润率更高
（2）、求成本价（进价）
1.某商品的标价为165元，若优惠10%出售，仍可获利10%，那么该商品的进价是多少
2、一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，•结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为_________．
3、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
（3）、求折扣
1、某种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么，此商品是按几折销售的
2、某商品的进价为1250元，按进价的120%标价，商店允许营业员在利润率不低于8%的情况下打折销售，问营业员最低可以打几折
（4）求数量
1.商店里有种型号的电视机，每台售价1200元，可盈利20%，现有一客商以11500元的总价购买了若干台这咱型号的电视机，这样商店仍有15%的利润，问客商买了几台电视机
提高题
1、果品公司购进苹果万千克，每千克的进价是元，运费的开支为1840元，预计损耗为1%，如果希望全部销售后能获利17%，问每千克苹果零售价应当定为多少元
2、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时元，若每月用电量超过a千瓦
则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为元，则九月份共用电多少千瓦•应交电费是多少元
3、某学校准备组织部分教师和学生到泰山旅游，其中教师22名。
学校分别联系了甲、乙两家旅行社，其定价相同并且都有优惠条件，甲旅行社对教师免费，学生按八折收费；乙旅行社对教师和学生都按折收费。
经过核算，学校发现甲、乙旅行社实际收费总额相同。
问该学校共有多少学生参加此次旅游。