反三角函数与简单三角方程

1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。

2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有 解，求出三角方程的解集；(2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简 单的三角方程的解； (3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 女口：若 sin 〉=Sin :,贝U Sin =Q (T )k :;若 cos 〉= cos ：,则〉=2k 二二卩若 tan : = tan ：,贝V a = k .■-；若 CotI=Cot ：,贝y a = k 二■ L； (4) .会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

【例题精讲】A. y = a r c s Xn X E 【-1,1 】B. y = -arcsinx , X 1-1, 11C. y"+arcsXnχw[-1, 1】D. y =二-arcsinx , X ∣-1, 11分析与解:X, ,需把角X 转化至主值区间IL 22ππX ,又 sin(二 -X)=Sinx = y22由反正弦函数定义，得 H -x=arcsiny ■ X -二- arcsiyι又由已知得 -1三y 二1例1.函数y = Sin X , 「兀X _2，.所求反函数为 y -二- arcsinx , 1-1, 1 ]例 4.函数 y = arccos(cosx), X -3SinX 二 1,2而y =arccosu 在丨-1, 1上为减函数√3 -二 a r c c o∙s—^arCCOSarCCd)S2 即O^y ,故选（B ）6π-2IfrO二2X ,解析式可化简为y = arccos （cosκ） =S-X ,X 0, 2 -π 1 X√2，0fX , X - I o ,显然其图象应为（A ）-X ,例5.函数y=arccos(sin x)，X (23）的值域为（C.-，B.0,D.-，Iι6分析与解:欲求函数值域, 需先求 U=Sin X , X (3三）的值域。

3JI-—:：X 3 √3即- —：：12分析与解:例6.使arcsinx . arccosx 成立的X 的取值范围是（此时 arcsinx ∙ arccosx 不成立，故 X 0例 7.右 0 ：：: ：•：：:—, 2 arcsin cos(? - )arccos ∣si n( ■: :)1 = π A.- 2 分析与解: π π C. 2、； D. 2-;- 2 2 π B.- 2 这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。

ar csi ©os 』心 M = a rcs i pi n) = -arcs in ((S) n ar ccdss n* +α) ]= ar cco&i n)=兀 - arc co S((S) n π ^∣ππ-二-a r c c ocso s 』-：)-二-(- )~ 二,ππ-原式=（-〉厂（2 * ） = 2 ,故选（A ）A. 0,√21B.,l lC. -1,DΛ-1, 0分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求 X 数式中分离出来，为此只需对 arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可, 的取值范围，故需把 不妨选用正弦函数。

X 从反三角函若x^0 ,贝U arcsin X lf，0 ,而 arccosx , 」 12又 arcsXn arccαs .sin( arcx⅛insin( arcx)oS即 X 1-x 2解不等式,得 |x| 2若X • 0,贝U arcsinx ■π "I ( π,arccosx 乏 0, 2 . 2、r而y = Sinx 在区间| 0 ,(2)3的角，若设〉=arcsin(--),则易得 Sin J53 3,原题即是求Sin2＞的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类 5是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。

解：(1)设 arcsin( -3)=〉，则 Sin- 35■ . 2,二 CoSa=S∙1 _ sin G34.s i ∣2 匚-2s i n cos ： = 2 ( ) ( ) 口 5 5 25、 1(2) 设 arccos ,贝U CoS 二3例 9.知函数 f (x) = arccos(x 2 -x) 2arcs in -3⑵ tan 1arccos1.5 12 3丿例8.求值：(I)Sin Γ兀 二上 ,上-22 问题的关键24 .Sin = J-CoS2 OtIJ 1 -cos ：3Cttg2 SinG 2(2.2"1 1 即 tg arccos(1)求函数的定义域、值域和单调区间;解不等式:f (X) ：： f (2x 1)解: (1 )由 -仁 x 2-x 汨得一2< x<1.5X 2 _x=(x_：)2 十[_4,1]2 4 4∙ f (x)的定义域为[^ 5 v 5］,值域为［0,二- 2arccos 1]4又’％ ［宁1］时,g(x) =x 2 - X 单调递减，y =arccosx 单调递减，从而f (x)递增∙∙∙ f (x)的单调递增区间是1 1 + J5] 1 -∙.√5 1^1 [' ,'],同理f (x)的单调递减区间是[「2 222分析：arcsin(-3)表示52425 即 Si n ∣2arcsi1 口卄21 21f (x) ：： f (2x 2)即P arccos(x -x) ：：： arccos[(2x ?)-(Zx ?)]2 21即 arccos(x -x) ：： arccos(4x )4x 2_x>4x 2」I4简单的三角方程例1.写出下列三角方程的解集解：(1)把垃彳看成一个亀z-^=tπ+c -D^ 二解集⅛ = kπ+c>i)k ∙ →j, k ∈ Z} (2)cos3x = --∣ -,- 3x = 2k 兀 士扌兀 解集{x ∣x =年 ± 辛，k ∈ Z) ⑶把丘看成一个角仮二 k 兀 + arctg3, X = (k 兀 + arctg3)2 解集{x ∣x=(k π +arctg3)2, k ∈ Z}例2.求方程tan(3χ ')4解；应有3x÷7=tΛ3χ=kπ+-^j4 3 12x = ⅛÷⅞(k ∈ZX≡O≡)-5 JO当k = 0τ h 2, £ A r 5⅛, X 分别等于着学，警，警36 36 36 36⅛.(这些解，称为特)解，所以在[0, 2兀]上的解集是3636i 兀 13τ 25τr 37π 49τ 61τr ⅛j ^3?J ^36^, ~36, ~36, ~W '解不等式组得1 1 X ：：-2 6•••不等式的解集为（-丄」）2 6Tl逅(I)Sin(X亏盲⑵ 2cos3 X 1=0；(3) cot 、、X = 3说明如何求在指定区间上的解集？（1）先求出通解，（2）让k取适当的整数,（3）写指定区间上的解.例 3.解方程2sin2x、、3cosx • 1 = 0解：方程化为2COS2X-X 3cosx _ 3 = 0CoSX =-二解集为{x∣x = 2kπ + -J k∈Z)6说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解.例4.解方程①3sin X - 2CoS x = 0② 2sin2X -3S in xcosx -2COS2 x = 02 解：①以CoSK(T 3sκ = 0不是方程的解)得tgx = E9 解集为(XlX = +arctg- J k∈ Z)②除以cos2χ 化为2tg2χ-3tgx-2=0 .求出在指定区间上的特解,•:解集为国X = W -arctg-⅛j;X =k兀+ arctg2J k∈Z).说明关于SinX, cosx的齐次方程的解法：方程两边都除cos n x(n=1 , 2, 3,∙∙∙ )(V cosx=0不是方程的解), 转化为关于tgx的方程来解.例 5.解方程：(1) ι3sin2x-cos2x=1 (2) 5Sin 3x-12COS3 x =6.5思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程解：①除以2,得-^-Sin2⅛ -cos2x = y Jsιn2xcos3O Q- co≡2xsiii30? =；,sin(2x - 30fl) = £，k2x-30 ° =k180 ° +(-1) 30°∙∙∙ x=k90 ° +(-1)k15 ° +15 ° (k ∈Z)所以解集是{x∣x=k90 ° +(-1)k15 ° +15 ° , k ∈Z}512 1②除以13得：—sιn3x--cos3x =-,5 V 19设小8 =^J S mG 塔8 =y,郦=67° 23?,⑴当异讦〉1时，原方程的解集是空集， √a 2 ÷ b 2 ⑵当^?时，^COE θ = ! 22 , an θ √a 2 + b 2√a 2 + b 2Ib_r蔦3为辅助角)・坯略如山萨歹解集是叭-(-l)k a r ca n^=L=-θ},其中k ∈ Z I 这是利S 辅助角，扌巴原方程归为 √a 2+b 2最简单的三角方程.2例 6.解方程 2sin X ■ 3cosx = 0 . 解 原方程可化为 2 (1- cθx ) 3)cos , 02即 2cos x-3cosx-2=0 .解这个关于cosx 的二次方程，得1 CoSX=2 , CoSX =2由CoSX =2 ,得解集为■-；1由cosx = — —，得解集为〈X x = 2k 兀2C2兀所以原方程的解集为\"2心亍“2 .2 2［说明］方程中的Sin X 可化为1 -cos X ,这样原方程便可看成以 cosx 为未知数的一元二次方程, 时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解.由此得，αn3xcos674 23 1 - cos3xsm674 23 1 =—, ≡(3x^67o 2?')二+，:⅛∙67" 23y =klS0o +(-l)h 30o ,于是 x=k60 ° +(-1)k 10° +22 ° 38', (k ∈ Z)•••原方程的解集为{x ∣x=k60 ° (-1)k l0° +22° 38', k ∈ Z} ak说明 将方程加口耳+ bcos^ = C(ELbc 丰0)化为./ ∙Sinx + J√a 2 +b 2 √a 2 ÷ B 2,k Z .3当厶-0【拓展提高】例1.若方程cos2x — 2Sin x ∙ m _1 =0存在实数解，求 m 的取值范围. 解一 由原方程，得2sin 2 X 2sin x - m = 0 , m CX Sin X 02解这个以Sinx 为未知数的一元二次方程，因为所以m 的取值范围为一1 4 . 1 2,」［说明］有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以 未知数的一元二次方程的 .■: - 0 ,而且必须考虑解二 由原方程得2sin X ■ 2sin x -m = 0 ,21 2得 m = 2sin X 2sin X= 2(sin X )-2 1因为一1乞Sinx 乞1 ,所以 m _4 .2所以m 的取值范围为-1 4 . 1 2,」［说明］当方程Sin X =t （t 为常数）有解时，必须满足 t ≤1 ,1 1则原题就转化为求 m = 2（t） ,^ ∣-1,11的最大值、最小值问题. 2 2例2.求方程Sin2x =cos （蔥「x ）的解集. 解一 由原方程得 2sin X CoSX = -cosx ,1 得 cosx =0 , SinX = 2Γπ〕由 CoSX=O ,得解集为 f χ X =k 兀 +—, Z hI 2 J.2 Sin 要使方程有解，只需1 1?0)-0∣-1,11内.TrK Tr所以原方程的解集为 gχχ=k 兀十二或x = k^-(-1)二，k^Z 》•26解二 由原方程得Sin 2x = — CoSX ,即 Sin 2x = sin( x)23 兀3 JT得 2x = 2kX 或 2x = 2k 二 二-( x),2 23 二， 2k 二 二 即 X =2k或 X , k ：= Z . 2 3 63応2k TT Tr所以原方程的解集为^X X =2k 兀+——或X = ---- — 一，Z , •2 3 6解三 由原方程得Sin Z= — cosx ,TC即 cos( — 2x) = COSX2/口Jl得 2x 2k 二 X 或 2x 2-X ,2 22k^:■: 即 x=2k 或 X, k Z .2 36Tr2 kττ Tr所以原方程的解集为 g x X= 2k 兀一 或X=- ,k^Z 2 36［说明］由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合•对于两个相等 的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解.(1) sin ： =Sin ：,则：=2k C ；'或：=2k 二 二--,k Z ;(2) cos = cos ：,则〉=2k 亠/ 或〉=2k 二--,k ∙ Z ； (3) tan 匚-tan ：,则：-“，k Z .1由S i nX「2，得解集为XX =k 二一(_1)K 1,k Z .6【巩固练习】反三角函数1. arcta n(ta n )的值是53 二D.—51D. arc tan(-2) = arc cot( ) 23.函数f(x) =arcsin(tan x)的定义域是X5.函数y -二∙ arctan —的反函数是2I -TT Q JT6.求y =sinx 在 ， 上的反函数.IL 2 228.研究函数 目=arccos x - x 的定义域、值域及单调性CQS -52 - 5 二 ( Jr) B. Sin arcs in=π1 I 4丿」"4 I3丿 3( ) A. arc CQS∖ ∖cos — =CQS I arc cos —4 丿I 4 J C.2B.5 2.下列关系式中正确的是 A.Γ ZL叮B. k 二π一一，k 二C. ^-,(k1).4D. 2k 二JI,2k 二 44.在J ∣上和函数y = χ相同的函数是A. y = arccos(cosx)B. y = arcsin(sin x)C. y = sin( arcs in x)D. y = cos(arccosx)7.比较 arccos ∣ -—I 4丿arccosarc cot(-丄)2C. arc CQS3.(1) 方程 tan3x = tgx 的解集是{x ∣ X = k ∏ , k ∈ Z}.9.计算：COSarccodrccos 」 :5I 13刀10.求下列函数的定义域和值域:1y = arccos ——; J X2 X(2) y = arcsi n( — X + x); (3) y = arccot(2 — 1),11JT解：(1) y = arccos ——,0< ——≤ 1, ∙'∙ x ≥ 1, y ∈ [0,).√x V X 22 2(2) y = arcsi n(— X + x), — 1 ≤ — X + 1 - 5/1.5 ≤ x ≤2 2由于—& 1=-(X - 2)2+1≤ y ≤ arcsin14(3) y = arccot(2 — 1),由于 2 — 1> — 1, ∙ 0< arccot(2 — 1)<—, ∙ X ∈ R, y ∈ (0,—).4411.求函数y = (arccosx)2 — 3arccosx 的最值及相应的 X 的值。