2020年中考数学一轮专题复习等腰三角形综合运用单元检测(含答案)

等腰三角形综合运用单元检测一、单选题1.如图，坐标平面内一点A （2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（A ．2B ．3C ．4D ．52.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形3.如图，△ABC 的面积等于6，边AC=3.现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ’处。

点P 在直线AD 上，则线段BP 的长不可能是（） A.3B.4C.5D.64.7．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3C ．2︰3︰4D ．3︰4︰5C5.若实数m 、n满足等式|2|0－m ，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是( )A ．12B ．10C ．8D ．66.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定7.如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到B DE 'V ，若B D '，B E '分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是( )A ．△ADF ≌△CGEB ．△B’FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB'F 的面积是一个定值8.如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E 。

若BF=6，AB=5，则AE 的长为（）A.4B.6C.8D.40EFG A BCD9.已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，刚这个等腰三角形的周长为（）A.16B.20或16C.20D.1210.已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( ) A ．30° B ．75°C ．150°D ．125°二、填空题（共有7道小题）11.如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且BD ＝AE ，AD 与CE 交于点F.则∠DFC＝________12.如图，等腰△ABC 的底角为72°，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点E ，垂足为D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于F ，若∠F =30°，DE =1，则BE 的长是_________．14.如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形．DC 与BE 交于点O 。

下列结论中，正确的是 _________ ．①BE=CD ；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO ．15.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为．16.在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则△ABC 是 _________ 三角形． 17.在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝∠C，则∠A 的度数是________．三、解答题（共有7道小题）18.如图，在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠ADE＝60°，DE 交∠C 的外角平分线于E ，证明△ADE 是等边三角形。

B19.如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t＝2 s 时，判断△BPQ的形状，20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

求证：∠B=∠C21.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.22.如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，（1）请判断BD 和AE 的关系，并证明。

（2）如果点D 在△ABC 的内部，上述关系还成立吗？请证明。

23.如图，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE. (1)△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由； (2)试说明AE ∥BC的理由；(3)如图，当图中动点D 运动到边BA 的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想． BB24.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）证明△CEF是等边三角形（3）如果点C不在线段AB上，请直接判断△CEF的形状，不用证明。

参考答案一、单选题（共有10道小题）1.C2.C3.A4.C5.解：∵|m－2|0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．故选：B．6.B7.解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝12(∠FAD＋∠ADF)，由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝12(∠DAF＋∠AFD)，∴∠OFD＋∠ODF＝12(∠FAD＋∠ADF＋∠DAF＋∠AFD)＝120°，∴∠DOF＝60°，HGFB'EOCABD同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG＋B'F＋B'G＝FG＋AF＋CG＝AC(定值)，故选项B正确；C、S四边形FOEC ＝S△OCF＋S△OCE＝S△OCF＋S△OAF＝S△AOC＝13ABCSV(定值)，故选项C正确；D、S四边形OGB'F ＝S△OFG＋S△B'GF＝S△OFD＋△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD＋S△OAF＝S△OCG＋S△OAF＝S△OAC－S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG ＝12•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．8.C9.C.10.B二、填空题（共有7道小题）11.6012.36°13.214.①②15.516.等边17.60°三、解答题（共有7道小题）18.解：过D作AC的平行线交AB于P∴△BDP为等边三角形，BD=BP，∴AP=CD，∵∠BPD为△ADP的外角，∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°∴∠DAP=∠EDC ，在△ADP 和△DEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DCE APD DCAP EDC DAP ∴△ADP ≌△DEC （ASA ），∴AD=DE∵∠ADE=60°∴△ADE 是等边三角形．19.解：△BPQ 是等边三角形．理由如下：当t ＝2 s 时，AP ＝2×1＝2(cm)，BQ ＝2×2＝4(cm)． ∴BP＝AB －AP ＝6－2＝4(cm)．∴BQ＝BP.又∵∠B＝60°，∴△BPQ 是等边三角形．20.证明：∵AD BAC DE AB DF AC ∠⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩平分∴DE=DF在Rt △BDE 和Rt △CDF 中BD CD DE DF =⎧⎨=⎩∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴∠B=∠C21.证明：过点A 作AF⊥BC 于点F.又∵AB＝AC ，∴BF ＝CF.∵BD ＝CE ，∴DF ＝EF.∴AD＝AE.也可以用等边对等角+SAS 来证明22.解：BD=AE ，理由如下：∵△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形∴AC=BC ，DC=EC ，∠ACB=∠DCE=90°∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD即∠BCD=∠ACE在△BCD 和△ACE 中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD=AE（2）类比可证23.证明：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由：∵∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE DC ＝EC ，，∴△DBC ≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB.∴AE ∥BC.(3)结论：AE ∥BC.理由：∵△ABC 、△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60.∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE CD ＝EC ，，∴△DBC ≌△EAC(SAS)．∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB.∴AE ∥BC.24.证明(1):∵△ACM ， △CBN 是等边三角形∴AC="MC,BC=NC," ∠ACM="60°,∠NCB=60° 在△CAN 和△MCB 中AC MC ACN MCB NC BC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△CAN ≌△MCB(SAS)∴AN="BM(2) ∵△CAN ≌△MCB∴∠CAN=∠MCB又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB="180°-60°-60°=60° ∴∠MCF=∠ACE在△CAE 和△CMF 中CAE CMF CA CMACE MCF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△CAE ≌△CMF(ASA)∴CE=CF∴△CEF 为等腰三角形,又∵∠ECF=60°∴△CEF 为等边三角形.（3）等腰三角形，证明略，类比证明。

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2020年中考数学复习专题练：《三角形综合》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《三角形综合》1．如图：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝2，DC＝BC＝4．（1）求sin∠ADC的值．（2）E是四边形内一点，F是四边形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF 的形状．（等腰直角三角形）（3）在（2）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．2．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：，使得△ABC为等边三角形；①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．3．综合与实践：操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．5．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x 轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．如图，在平面内给定△ABC，AB＝AC，点O到△ABC的三个顶点的距离均等于c（c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得∠ABF＝∠ABC．（1）依题意补全图形；（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明；（3）若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的长．8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，垂足为H点，点D是射线AH上的动点，连接CD，以CD为边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）当点D在线段AH上时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（2）当△CDE的面积等于△ABC的面积的时，判断线段CE与△ABC的边是否存在特殊的位置关系？若存在，说出是什么关系并证明；若不存在，请说明理由．9．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为圆心以AM为半径作圆弧，以B为圆心以BN为半径作圆弧，两圆弧相交于点C构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）当∠CAB是锐角时，求△ABC的最大面积？10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是边AC上一点，且CD＝1cm．动点P从点D出发，以1cm/s的速度沿D→A向终点A匀速运动；同时动点Q从点B出发，以1m/s的速度沿B→C向终点C匀速运动，连结PQ，设点P的运动时间为ts，△CPQ的面积为Scm2（1）当PQ＝3时，求t的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）连结DQ，当直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值．11．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．12．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）（1）当a＝2时，则C点的坐标为（，）；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）当a＝2时，在第一象限内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由13．平面直角坐标系中，若点A（a，b），且+＝0，点B（m，m），其中m＞1，R点在x轴正半轴上，RA⊥RB（1）求a、b的值；（2）连接AB交y轴于E，连接ER，若∠ARO＝15°，求的值；（3）点D（﹣1，0）、C（0，1），射线DC分别交线段AR、AB于点S、T，若SC＝n，CT ＝k，试用含n的式子表示k．14．在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（2，4）．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，求AB与两坐标轴的交点C，D坐标；（3）在坐标轴上求作点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标，利用图3解答．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．（1）求线段OC的长；（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．16．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．17．如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ 的值（用含n的式子表示）．18．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE＝CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD＝CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC＝30°，且CF＝CP，求的值．（提示：可以过点A作∠KAF＝60°，AK交PC于点K，连接KB）19．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．20．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1．解：（1）如图1，过点A作AM⊥DC于M，∵∠BCD＝90°，AM⊥CD，∴AM∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCM是平行四边形，且∠BCD＝90°，∴四边形ABCM是矩形，∴AM＝CB＝4，AB＝CM＝2，∴DM＝2，∴AD＝＝＝2，∴sin∠ADC＝＝＝；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：∵∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，BC＝CD，∴△CDE≌△CBF（SAS）∴∠DCE＝∠BCF，CE＝CF，∴∠DCE+∠ECB＝∠BCF+∠BCE，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，且CE＝CF，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）设BE＝k，则CE＝CF＝2k，∴EF＝2k，∵∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，∴BF＝＝＝3k，∴sin∠BFE＝．2．解：（1）当∠BAM＝30°时，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案为：30；（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为：AB＝AC；①如图1中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN；②成立，理由：如图2中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN．3．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝EC＝2．4．解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，＝•BC•AH＝•AC•BM，∵S△ABC∴BM＝＝，∴AM＝＝＝，∴cos A＝＝．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，∴AK＝CK＝，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，∴△ADK∽△CDA，∴＝＝＝＝，设AD＝m，DK＝n，则有，解得m＝，n＝．∴AD＝．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝．5．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t×4t ﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O 为图形G；（2）直线BF与图形G交点只有一个，理由如下：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴BD是直径，∠ADB+∠ABD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∠ABF＝∠ABC，∴∠ABF＝∠ADB，∴∠ABF+∠ABD＝90°，∴∠DBF＝90°，∴BD⊥BF，且OB是半径，∴BF是圆O的切线，∴直线BF与图形G交点的只有一个；（3）∵cos∠ABF＝cos∠ADB＝＝，∴BD＝5，∴AB＝＝＝3，∵∠ABE＝∠ADB，∠BAE＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△ADB，∴，∴∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝．8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，∴BC＝AC＝AB＝8，BH＝HC＝4，∠HAC＝30°，∴AH＝HC＝4，∴DH＝4﹣x，∴DC2＝DH2+CH2＝（4﹣x）2+16∵△CDE是等边三角形，＝CD2＝[（4﹣x）2+16]＝x2﹣6x+16（0≤x≤4）∴y＝S△CDE（2）∵当△CDE的面积等于△ABC的面积的，∴x2﹣6x+16＝××64，∴x＝或，当x＝时，即AD＝，如图1，∴DH＝AH﹣AD＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCH＝30°，∴∠ACE＝∠DCE+∠ACD＝90°，∴CE⊥AC；当x＝时，即AD＝，如图2，∴DH＝AD﹣AH＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠BCE＝∠DCH+∠DCE＝90°，∴CE⊥BC．9．解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．，解得1＜x＜2；（2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解，②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，综上，x＝或；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD＝h，△ABC的面积为S，则S＝xh，①若点D在线段AB上，则+＝x，∴（3﹣x）2﹣h2＝x2﹣2x+1﹣h2，即x＝3x﹣4，∴x2（1﹣h2）＝9x2﹣24x+16，即x2h2＝﹣8x2+24x﹣16．∴S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（≤x＜2），当x＝时（满足≤x＜2），S2取最大值，从而S取最大值；②若点D在线段MA上，则﹣＝x，同理可，得S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（1＜x≤），易知此时S＜，综合①②得，△ABC的最大面积为．10．解：（1）由题意PC＝1+t，CQ＝3﹣t，在Rt△PQC中，∵∠C＝90°，PQ＝3，PC＝1+t，CQ＝3﹣t，∴32＝（1+t）2+（3﹣t）2，解得t＝．∴PQ＝3时，t的值为．（2）S＝•PC•CQ＝•（1+t）（3﹣t）＝﹣t2+t+（0≤t≤3）．（3）∵直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分，∴CD＝2PD或PD＝2CD，∴1＝2t或t＝2，解得t＝或2，当t＝时，S＝﹣×++＝，当t＝2时，S＝﹣×4+2+＝，∴t＝s或2s时，直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．12．解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：﹣2，3；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变；（3）存在，使△PAB与△ABC全等，如图2中，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E则∠CMB＝∠PEB＝90°，∵△CAB≌△PAB，∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP，∴∠CBP＝90°，∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°，∴∠MCB＝∠PBE，在△CMB和△BEP中，，∴△CMB≌△BEP（AAS），∴PE＝BM，CM＝BE，∵C（﹣2，3），B（﹣1，0），∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2，即P的坐标是（2，1）．13．解：（1）∵+＝0，又∵≥0，≥0，∴a＝﹣1，b＝1．（2）如图1中，作AM⊥x轴于M，AH⊥y轴于H，在RM上取一点K，使得AK＝KR，连接AK，AO．∵A（﹣1，1），∴AM＝AH＝1，∵AK＝KR，∴∠KRA＝∠KAR＝15°，∴∠AKM＝∠KAR+∠KRA＝30°，∴AK＝KR＝2AM＝2，MK＝，∴MR＝2+，∴AR＝＝＝+，∵B（m，m），∴OB平分∠EOB，∵OA平分∠EOM，∴OA⊥OB，∴∠AOB＝∠ARB＝90°，∴A，O，R，B四点共圆，∴∠BAR＝∠BOR＝45°，∴△ABR是等腰直角三角形，∴AB＝AR＝2+2，∵AH∥MR，∴∠HAR＝∠ARM＝15°，∴∠EA＝30°，∴AE＝＝，∴＝＝．（3）如图，作SH⊥AD于H．由题意四边形ADOC是正方形，∴∠ACD＝45°＝∠CAT+∠ATC，∵∠CAT+∠SAC＝45°，∴∠SAC＝∠ATC，∵∠ASC＝∠TSA，∴△SAC∽△STA，∴＝，∴SA2＝SC•ST，∵CS＝n，CT＝k，CD＝，∴SH＝DH＝（﹣n），AH＝n，∴AS2＝AH2+HS2＝n2+（﹣n）2＝n（n+k），∴k＝（0＜n＜）．14．解：（1）如图1，过A作AC∥x轴，过B作BC⊥AC于C，BC交x轴于E，AC交y轴于D，∵A （﹣3，﹣2），B （2，4），∴△AOB 的面积＝S △ACB ﹣S △AOD ﹣S △BOE ﹣S 长方形ODCE ，＝﹣﹣﹣2×2，＝15﹣3﹣4﹣4，＝4；（2）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴直线AB 的解析式为：y ＝x +，当x ＝0时，y ＝，∴C （0，），当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝﹣，∴D （，0）；（3）①当点P 在x 轴上时，∵△ABP 的面积为6，∴＝6，∴PD ＝2，如图3，点P 在x 轴的正半轴上，P （，0）；同理得当点P在x轴的负半轴上，P（﹣，0）；②当点P在y轴上时，＝6，∴CP＝，∴P（0，4）或（0，﹣）；综上，点P的坐标是（，0）或（，0）或（0，4）或（0，）．15．解：（1）如图1中，∵A（0，4），∴OA＝4，＝×OB×OA＝8，∵S△AOB∴OB＝4，∵△AOB与△AOC关于y轴对称，∴OC＝OB＝4．（2）如图2中，结论：DG＝GE．理由：作DH∥EC交AC于H．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠DAH＝∠ACO＝45°，∵DH∥OC，∴∠AHD＝∠ACO＝45°，∴∠DAH＝∠AHD，∴AD＝DH，∵AD＝EC，∴DH＝EC，∵∠DHG＝∠GCE，∠DGH＝∠CGE，∴△DGH≌△EGC（AAS），∴DG＝EG．（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD＝DH＝x，则AH＝x，HC＝4﹣x，∵HG＝CG，∴HG＝HC＝2﹣x，∵OA⊥BC，OB＝OC，∴AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBO＝∠DCO，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠CEG＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CEG，∵DH∥CE，∴∠HDG＝∠CEG＝∠DCH，∵∠DHG＝∠DHC，∴△DHG∽△CHD，∴＝，∴＝，解得x＝2，∴AH＝CH＝2，∴H（2，2），∵GH＝GC，∴G（3，1）．16．证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，（2）如图2中，作BM⊥AD交AD的延长线于M，连接CM．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∴∠AMC＝∠ABC＝45°，∵∠CEM＝45°，∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM，∴∠ECM＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCM，∵CA＝CB，CE＝CM，∴△ACE≌△BCM（SAS），∴AE＝BM，∵在Rt∠EMB中，∠MEB＝30°，∵BE＝2BM＝2AE．（3）如图3中，作CH⊥MN于H．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∵CN⊥CM，∴∠NCM＝90°∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM，∵CH⊥MN，∴HN＝HM．∵CD＝DB，∠CHD＝∠BMD＝90°，∠ADH＝∠BDM，∴△CHD≌△BMD（AAS），∴DH＝DM，∵HN＝HM，∴DN＝3DM．17．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．18．（1）解：如图1中．∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△EBC和△DCA中，，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE＝∠DAC，∵∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠DAC+∠ACE＝60°，∴∠AFE＝60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF＝90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH＝60°，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，∵△EBC≌△DCA，∴EC＝AD，∵AD＝AF+DF＝2FH+DF，∴2FH+DF＝EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF＝AF，连接AK、BK，∵∠AFK＝60°，AF＝KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF＝60°，∴∠KAB＝∠FAC，在△ABK和△AFC中，，∴△ABK≌△AFC（SAS），∴∠AKB＝∠AFC＝120°，∴∠BKE＝120°﹣60°＝60°，∵∠BPC＝30°，∴∠PBK＝30°，∴FP＝CK，∴PK＝CK，∵FP＝FK+PK∴FP＝AF+CF，∵CF＝CP，设CP＝9a，∵CF＝2a，∴FP＝7a，∴AF＝5a，∴＝＝．19．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．20．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。

中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）32（B ）33（C ）34（D ）362. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个MECA3. 如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有（第1题）A BCD EA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，ΔABC中，以B 为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC和AB于D、E两点，并连接BD、DE若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 755. 如图(1)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(2)所示．求图(1)与图(2)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？图1 图2A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：46. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm7. 如图，在ABC△中13AB AC==，10BC=点D为BC的中点DE DE AB⊥垂足为点E，则DE等于（）A．1013B．1513C．6013D．7513 ABCDE FG8.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或209．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（） A ． 20° B ． 50° C ． 60° D ． 80°10．把等腰△ABC 沿底边BC 翻折，得到△DBC ，那么四边形ABDC （）11.如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ． 2B ．23C ．3D ．312．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9第11题图AD E F PQC13．已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC =2，则AD 的长是（）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+15．如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为（）A ． 2B ． 3C ．D ． +116.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD =120° ；②BG +DG =CG ；③△BDF ≌△CGB ；④234ABD S AB =△．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二.填空题1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为．4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊEB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A 则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．6. 如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题含答案

2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对mn第3题图21CBAD第4题第5题二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：．10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为12～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___ __° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.14、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，求∠EBC 的度数.CABDBFDE AC15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分 21、问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ ___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互OCBA② ABCO①O C B AED③不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ABCE D m（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ．（3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是（填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答：．测试题答案一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( D ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ D ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( C ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ D ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ A ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°mn第3题图21CBAD第4题第5题6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ C ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= 3cm . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为 40°9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形： △ADF≌△BEC ． 10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为 75°11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= 2 ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为 10或1112～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___66.5___° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CABDBFDE AC∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°14、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，求∠EBC 的度数.解：在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°得：∠ABC=∠C=72°.由AB的垂直平分线交AC得AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=72°-36°=36°.15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、问题引入：(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．解：(1)第一个空填：90°＋2α；第二个空填：90°＋3α．第三个空填：120°－3α．(2) 答案：120°－3α．过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－ 1n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－1n (180°＋∠A)＝n−1n·180°－αn ．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状. OCBA② ABCO①O C B AED③ABCE Dm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠B DA ＝∠CEA=90° ∵∠BAC＝90°∴∠BA D+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠AB D=90°∴∠CAE=∠AB D又AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE (2)∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）由（2）知，△A DB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE ∵B F=AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ααα根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ．（3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO 和△PDE 中∴△BPO≌△PDE（AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP 和△CPD 中∴△ABP≌△CPD（AAS ），∴AP=CD．（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是（填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答：．解：●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ，１、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ， ∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MF=21AC ．又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线， ∴EG ⊥AC 且EG=21AC ，∴MF=EG ．同理可证DF=MG ． ∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA=90°．同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴MD=ME ． 2、MD ⊥ME ；∵MG ∥AB ，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°.即MD ⊥ME ； ●类比探究答：等腰直角三解形。

中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。

两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。

2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。

（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。

（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。

2020年中考数学一轮复习练习题第23课时等腰三角形(含答案)

第 23 课时等腰三角形一、选择题 (每题 5 分，共 25 分 )1． [2018 ·安雅 ]如图，在△ ABC 中， AB＝AC，∠ C＝72°， BC＝5，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC 于点 D，则线段AD 的长为 ()A．2 2B．23C．5D．62． [2018 ·州湖 ]如图， AD， CE 分别是△ ABC 的中线和角均分线．若AB＝ AC，∠ CAD＝20°，则∠ ACE 的度数是 ()A．20°B． 35°C．40°D． 70°3． [2019天·水 ]如图，等边三角形OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为 ()A ． (1,1)B． (1， 3)C．( 3， 1)D．( 3， 3)4． [2019 ·充南]如图，在△ ABC 中， AB 的垂直均分线交AB 于点 D ，交 BC 于点 E，若BC＝ 6， AC＝ 5，则△ ACE 的周长为 ()A．8B．11C．16D． 175．如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的角均分线交于点E，过点 E 作 MN ∥ BC，分A．6B．7C．8D． 9二、填空题 (每题 5 分，共 25 分 )6． [2019 ·安广 ]等腰三角形的两边长分别为 6 cm， 13 cm，其周长为 ________cm.7． (1)[2018 成·都 ]等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________；(2)[2018 绥·化 ] 已知等腰三角形的一个外角为130 °，则它的顶角的度数为________ ．8． [2019 ·威严 ]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特点值”．若等腰三角形A BC 中，∠ A＝ 80°，则它的特点值k＝ ________.9． [2019 ·三州黔 ]如图，以△ ABC 的极点 B 为圆心， BA 的长为半径画弧，交BC 边于点D，连结 AD.若∠ B＝ 40°，∠ C＝ 36°，则∠ DAC 的大小为 ________．10． [2017 ·博淄 ] 如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中， D 为 BC 边上的随意一点，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF ⊥ AC，垂足分别为 E， F ，则 DE ＋ DF ＝ ________.三、解答题 (共 10 分)11． (10 分 )[2019 眉·山 ]如图，在四边形 ABCD 中 AB∥DC，点 E 是 CD 的中点， AE＝BE.求证：∠ D ＝∠ C.(30 分)12． (10 分)[2018 镇·江 ]如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 E， F 在边 BC 上， BE＝ CF ，点 D 在 AF 的延伸线上， AD＝ AC.(1)求证：△ ABE≌△ ACF ；(2)若∠ BAE＝ 30°，求∠ ADC 的度数．13． (10 分 )[2018 宁·波 ]如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC， D 是 AB 边上一点(点 D 与 A， B 不重合 )，连结 CD ，将线段CD 绕点 C 按逆时针方向旋转90°获得线段CE，连结 DE，交 BC 于点 F ，连结 BE.(1)求证：△ ACD≌△ BCE；(2)当 AD ＝ BF 时，求∠ BEF 的度数．14． (10 分 )如图，已知点 D 在等边三角形ABC 的边 AB 上，点 F 在边 AC 上，连结DF 并延伸，交BC 的延伸线于点E， EF＝ DF .求证： AD ＝ CE.(10 分)15． (10 分)如图，在等边三角形ABC 中，点 E 在边 AB 上，点 D 在边 CB 的延伸线上，且 DE＝ EC.(1)特别状况，探究结论．当点 E 为 AB 的中点时，如图①，确立线段AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB (填“ >”“或<“”＝”)；(2)特例启迪，解答题目．解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE________DB (填“>”“或<”“＝”)．原因以下：如图②，过点 E 作 EF∥ BC，交 AC 于点 F(请你达成解答过程)；(3)拓展结论，设计新题．若△ ABC 的边长为10， AE＝ 2，求 CD 的长．①②参照答案1． C 2.B 3.B 4.B 5.D6． 327.(1)80 °(2)50或° 80°8或19.34 ° 10.2 311.略8.4512． (1)略 (2)75°13.(1)略 (2)67.5 °14．略15.(1) ＝(2) ＝，解答过程略(3)12。

2022届中考数学一轮复习专题测试22 等腰三角形【含答案】

2022届中考数学一轮复习专题测试专题２２等腰三角形（满分：100分时间：90分钟）班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2020·四川雅安市·中考真题）已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位、、共线，ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设置摆放（C点与E点重合），点B C F运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，当点C在EF的中点左侧时，设AC 交DE 于点H ，则CE=t ，HE=ECtan ∠33t ，则S=S △CEH =12×CE×HE=123t=232，可知图象为开口向上的二次函数，当点C 在EF 的中点右侧时，设AB 与DE 交于点M ，则EC=t ，BE=a-t ，3BE 3(a t)，∴S=)2222333334224a a t at a --=-+-，可知图象为开口向下的二次函数；当点C 在F 点右侧且B 在EF 中点的左侧时，)222233333t a at --=+，可知图象为开口向下的二次函数；当点C 在F 点右侧且B 在EF 中点的右侧时，此时BF=2a-t ，3BF 3(2a t)， ∴22233S (2a t)t 23at 23a 22，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 2．（2020·广东中考真题）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】D【分析】由CD ∥AB 得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt △AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．【详解】解：∠四边形ABCD 是正方形，∠CD ∥AB ，∠∠EFD=∠FEB=60°，由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，∠∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，∠∠AB’E=30°，设AE=x,则BE=B’E=2x，∠AB=AE+BE=3x=3，∠x=1，∠BE=2x=2，故选：D．【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．→→匀速运动到点3．（2020·山东东营市·中考真题）如图1，点P从ABC的顶点A出发，沿A B C,C图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则ABC的边AB的长度为（）A．12B．8C．10D．13【答案】C【分析】→→匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可根据图象可知点P沿A B C求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，点P与点B重合时，CP即BC最长，为13，所以，△ABC是等腰三角形，∴AB 的长=22213122510-=⨯=故选：C【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC 与AC 的长度．4．（2020·山东威海市·中考真题）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知40AB cm =，则图中阴影部分的面积为（）A ．225cmB ．21003cmC ．250cmD ．275cm【答案】C【分析】如图，设OF ＝EF ＝FG ＝x ，可得EH ＝2x ＝20，解方程即可解决问题．【详解】解：如图，设OF ＝EF ＝FG ＝x ，∴OE ＝OH ＝2x ，在Rt △EOH 中，EH ＝2x ，由题意EH ＝20cm ，∴20＝2x ，∴x ＝2∴阴影部分的面积＝（2）2＝50（cm 2），故选：C ．5．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，12OA A △为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（）A ．2）nB ．2）n ﹣1C ．（22）nD ．（22）n ﹣1 【答案】B【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．【详解】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，∴OA 22；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴OA 3＝2＝22)；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴OA4＝23(2)．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝42)，……∴OA n2）n﹣1，故选：B．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．6．（2020·山东烟台市·中考真题）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AOB中，射线OC交边AB 于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝12(180°﹣140°)＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2020·四川中考真题）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到A BC ''△．此时恰好点C 在A C ''上，A B '交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】D【分析】由旋转的性质得出BC =BC '，∠ACB =∠A 'C 'B =60°，则△BCC '是等边三角形，∠CBC '=60°，得出∠BEA =90°，设CE =a ，则BE 3，AE =3a ，求出34AE AC =，可求出答案．【详解】∵∠A =30°，∠ABC =90°，∴∠ACB =60°，∵将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '，∴BC =BC '，∠ACB =∠A 'C 'B =60°，∴△BCC '是等边三角形，∴∠CBC '=60°，∴∠ABA '=60°，∴∠BEA =90°，设CE =a ，则BE 3，AE =3a ， ∴13CE AE =， ∴34AE AC =， ∴△ABE 与△ABC 的面积之比为34．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，ABC 中，AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，EF 是AC 的垂直平分线，交AD 于点O .若OA =3，则ABC 外接圆的面积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．9π【答案】D【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD 是BC 的垂直平分线，从而可得点O 即为ABC 外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．【详解】AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线AD BC ∴⊥，且AD 是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一）AD ∴是BC 的垂直平分线 EF 是AC 的垂直平分线∴点O 为ABC 外接圆的圆心，OA 为外接圆的半径3OA =ABC ∴外接圆的面积为29OA ππ=故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 9．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( )A ．7B ．7或6C ．6或﹣7D ．6【答案】B【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即△=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论．【详解】当m =4或n =4时，即x =4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k =6；当m =n 时，2x ﹣6x +k+2=0∵1a =，6b =-，2c k =+，∴()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿，解得：7k =，综上所述，k 的值等于6或7，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．10．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，半径为2cm ，若2cm BC =，则A∠的度数为（）A ．30°B ．25°C ．15°D ．10°【答案】A【分析】连接OB 和OC ，证明△OBC 为等边三角形，得到∠BOC 的度数，再利用圆周角定理得出∠A ．【详解】解：连接OB 和OC ，∵圆O 半径为2，BC=2，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2020·青海中考真题）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，已知120BOC ∠=︒，3cm DC =，则AC 的长为________cm ．【答案】6cm【分析】根据矩形的性质可得对角线相等且平分，由120BOC ∠=︒可得30ACD ∠=︒,根据30所对直角边是斜边的一半即可得到结果．【详解】∠四边形ABCD 是矩形，∠90ABC DCB ∠=∠=︒，AC BD =，OAOA OB OD ===，AB DC =， ∠3cm DC =，∠3cm AB =，又∠120BOC ∠=︒，∠=30ACD OBC ∠∠=︒，∠在Rt △ABC 中，26ACAB cm ==．故答案为6cm．【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键．12．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边ABF，连接,FE FC，则EFA的度数是____________．【答案】66°【分析】由ABCDE是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠F AB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=AE，∠EAB=108°，∵△ABF是等边三角形，∴AB=AF，∠F AB=60°，∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，∴∠EF A=180180486622EAF︒-∠︒-︒==︒．故答案为：66°．【点睛】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．【答案】5【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴22228610AD BD+=+=，∵E为AB的中点，∴DE=12AB=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．14．（2020·山东滨州市·中考真题）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．【答案】80︒【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案为：80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质．15．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，∠=︒，则2142∠的度数为________．【答案】102°【分析】∠的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．根据题意可求出BAC【详解】三角形ABC为等边三角形∴∠=︒BAC60a b//214260102∴∠=∠+∠=︒+︒=︒BAC故答案为：102︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2020·四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．（1）求CD的长度．（结果保留根号）（2）求OD的长度．2 1.4143≈1.732）【答案】（1）CD的长度为3cm；（2）OD的长度为18.9cm【分析】（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE 中利用三角函数sin60°=CD DE ，求出CD 的长．（2）首先设出水箱半径OD 的长度为x 厘米，表示出CO ，AO 的长度，根据直角三角形的性质得到CO=12AO ，再代入数计算即可得到答案．【详解】解：（1）在Rt CDE △中，6078cm CED DE ∠=︒=，，·60393cm CD DE sin ∴=︒=答：CD 的长度为3cm ；（2）设水箱半径OD 的长度为x 厘米，则CO=（3）厘米，AO=（154+x ）厘米，∵∠A=30°，∴CO=12AO ， 393+x=12（154+x ），解得：3≈154-135.096≈18.9cm ．答：OD 的长度为18.9cm ．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键．17．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB 和线段CD 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB 为边的正方形ABEF ，点E 和点F 均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD 为边的等腰三角形CDG ，点G 在小正方形的顶点上，且CDG ∆的周长为1010+EG ，请直接写出线段EG 的长．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，5【分析】（1）根据正方形的判定作图可得；（2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案．【详解】解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求；（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得22+=125【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．=，以AB为直径的⊙O与BC相交于点18．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在ABC中，AB ACD，过点D作⊙O的切线交AC于点E．⊥；（1）求证：DE ACBC=，求DE的长．（2）若⊙O的半径为5，16【答案】（1）见详解；（2）4.8．（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．【详解】解：连接OD，如图：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）连接AD，如（1）图，∵AB为直径，AB=AC，∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，∴CD=BD=1116822BC=⨯=，∠ADC=90°，∵AB=AC=2510⨯=，由勾股定理，得：221086AD=-=，∵11861022ACDS DE∆=⨯⨯=⨯⨯，∴ 4.8DE=；本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．19．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边角形ADE ，连接BE 、CE ．（1）求证：BAE CDE △≌△；（2）求AEB ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)15°．【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=CD ，∠BAD=∠CDA ，利用等边三角形的性质得到AE=DE ，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；(2)由AB=AD=AE ，得到∠ABE 为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB ，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∠AB=CD ，且∠BAD=∠CDA=90°，∠∠ADE 是等边三角形，∠AE=DE ，且∠EAD=∠EDA=60°，∠∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，∠∠BAE=∠CDE ，在∠BAE 和∠CDE 中:=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD BAE CDE AE DE ，∠()△≌△BAE CDE SAS ．(2)∠AB=AD ，且AD=AE ，∠∠ABE 为等腰三角形，∠∠ABE=∠AEB ，又∠BAE=150°，∠由三角形内角和定理可知：∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．故答案为：15°．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE 是等腰三角形且∠BAE=150°是解题关键．20．（2020·吉林长春市·中考真题）（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．（问题解决）（1）如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．（规律探索）（2）由（问题解决）可知，图①中的A DE ∆'为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．（结论应用）（3）在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则AD AB=___________．【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3）35 【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可．（2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题．（3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADA′=90°，由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA=DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ，∴∠QFP=∠FPQ，∴QF=QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG=GQ=FQ=PF，∵QF=QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m，∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，∴∠DQD′=30°，∵∠D′=90°，∴113322FD DF FQ m QD D F'==='='=，，由翻折可知，3AD QD PQ CQ FQ m='====，，∴52AB CD DF FQ CQ m==++=，∴332552ADAB m==．故答案为：35．【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。

2020年中考数学总复习专题演练《三角形综合》(含解析)

中考数学复习专题训练：《三角形综合》1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B，∠A＝∠C＝45°，∠D＝60°，∠E＝30°．（1）如图（1），若∠AFE＝75°，求证：AB∥DE；（2）如图（2），若∠AFE＝α，∠BGD＝β，则α+β＝度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE与AC相交于点H，连接CE，BH，若DG＝2CG＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，PC ＝PA ，设∠APB ＝α，∠BPC ＝β．（1）如图1，当点P 在△ABC 内， ①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且PC ＝PA ，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A 作∠DAP ＝120°，且AD ＝AP ，连接DP ，DB ，发现两个不同的三角形全等： ≌ 再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG 交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE ＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE 的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B 停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，以AB 为斜边向上作等腰直角△ABC ，BC 交y 轴于点D ，C （﹣2，4）．（1）如图1，求点B 的坐标；（2）如图2，动点E 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正半轴运动，设运动时间为t 秒，连接CE ，设△ECD 的面积为S ，请用含t 的式子来表示S ；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E 在OD 的延长线上时，点F 在直线CE 的下方，且CF ⊥CE ，CF ＝CE ．连接AD ，取AD 的中点M ，连接FM 并延长交AO 于点N ，连接FO ，当S △NFO ＝10S △AMN 时，求S 的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB ＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE 与CD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD 于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP ＝36﹣4＝32，∴P （0，﹣32），∵B （﹣4，0），∴BP 的中点Q 的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t 的值为或36．点Q 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）． 4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE ＝75°，∠A ＝45°，∴∠ABE ＝75°﹣45°＝30°，∵∠E ＝30°，∴∠E ＝∠ABE ，∴AB ∥DE ；（2）解：如图（2），△ABF 中，∠AFE ＝∠A +∠ABE ＝α①，△BGE 中，∠BGD ＝∠E +∠CBF ＝β②，①+②得：α+β＝∠A +∠E +∠CBF +∠ABE ＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE ∥AB ，∴∠CGH ＝∠ABC ＝90°，∵S △CEH ＝S △BEH ，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM ＝AM ，∴S △DMF ＝S △AMF∵△DMF ≌△AMN ，∴S △DMF ＝S △AMN ，∴S △NFA ＝2S △AMN∵S △NFO ＝10S △AMN∴S △NFO ＝5S △NFA ，∴5AN ＝ON ，∵OA ＝6，∴AN ＝1，∴AN ＝6﹣t ＝1，∴t ＝5，∴S ＝t ﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt △AOC 中，A （﹣2，0），∠A ＝60°，∴OA ＝2，∠ACO ＝∠ABC ＝30°∴AC ＝2OA ＝4，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝8，即OB ＝AB ﹣OA ＝8﹣2＝6，则B （6，0）；（2）如图1所示，在Rt △MCP 中，MP ＝t ，∠MCP ＝30°，∴CP ＝2MP ＝2t ，在Rt △CQP 中，∠CQP ＝30°，CP ＝2t ，∴PQ ＝4t ，即d ＝4t ；（3）如图2所示，过P 作PM ∥y 轴，交BC 于M ，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．20．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．。

2020年中考数学专项训练：等腰三角形(含答案)

课时训练等腰三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.如图K19-1,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为()图K19-1A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°2.[2017·雅安]一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是()A.12B.13C.14D.12或143.[2018·淄博]如图K19-2,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN 平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为()图K19-2A.4B.6C.4√3D.84.[2017·天津]如图K19-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图K19-3A.BCB.CEC.ADD.AC5.[2016·无锡]如图K19-4,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )图K19-4A.√7B.2√2C.3D.2√36.[2018·临沂]如图K19-5,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()图K19-5B.2A.32C.2√2D.√107.[2019·常德]如图K19-6,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D',D,B三点在同一直线上,则∠ABD的度数是.图K19-68.[2019·东营]如图K19-7,在平面直角坐标系中,△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是.图K19-79.[2016·泰州]如图K19-8,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于.图K19-810.[2018·遵义]如图K19-9,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B为度.图K19-911.[2019·眉山]如图K19-10,在四边形ABCD中,AB∥DC,点E是CD的中点,AE=BE.求证:∠D=∠C.图K19-1012.[2018·宁波]如图K19-11,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.图K19-1113.[2019·重庆B卷]如图K19-12,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.图K19-12|拓展提升|14.[2018·绵阳]如图K19-13,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=√2,AD=√6,则两个三角形重叠部分的面积为()图K19-13A.√2B.3-√2C.√3-1D.3-√315.[2017·连云港]如图K19-14,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K19-14【参考答案】1.D [解析]∵AC=CD=BD=BE ,∠A=50°, ∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB ,∠BDE=∠BED. ∵∠B +∠DCB=∠CDA=50°, ∴∠B=25°.∵∠B +∠EDB +∠DEB=180°, ∴∠BDE=∠BED=12(180°-25°)=77.5°,∴∠CDE=180°-∠CDA -∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°,故选D .2.C [解析]一元二次方程x 2-7x +12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:①腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;②腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.3.B [解析]∵MN ∥BC ,∴∠ANM=∠ACB ,∠NMC=∠MCB ,∵CM 平分∠ACB ,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB ,∴∠NMC=∠NCM ,∴MN=NC ,∵MN 平分∠AMC ,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC , ∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM , ∵∠A=90°,∴∠AMN=30°, ∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3, ∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6, 故选B .4.B [解析]由AB=AC ,可得△ABC 是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B 与点C 关于直线AD 对称,连接CP ,则BP=CP ,因此BP +EP 的最小值为CE ,故选B .5.A [解析]∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2, ∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2√3. ∵CA=CA 1,∴△ACA 1是等边三角形,AA 1=AC=BA 1=2, ∴∠BCB 1=∠ACA 1=60°.∵CB=CB 1,∴△BCB 1是等边三角形, ∴BB 1=2√3, ∴BD=DB 1=√3, 又∵BA 1=2,∠A 1BB 1=90°, ∴A 1D=√A 1B 2+BD 2=√7. 故选A .6.B [解析]∵AD ⊥CE ,BE ⊥CE ,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC +∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB +∠DCA =90°,∴∠DAC=∠ECB ,又∵AC=CB ,∴△ACD ≌△CBE ,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE -CD=3-1=2,故选B .7.22.5° [解析]根据题意可知△ABD ≌△ACD',∴∠BAC=∠CAD'=45°,AD'=AD ,∴∠ADD'=∠AD'D=180°-45°2=67.5°,∵D',D ,B 三点在同一直线上,∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°. 8.√33,0 [解析]设CE 交x 轴于点F ,因为△ACE 是等边三角形,所以∠CAD=30°,那么CF=12AC=1.由勾股定理求得AF=√3.因为CD 2=DF 2+CF 2,CD=2DF ,所以可求得DF=√33.由“HL”定理易知△ABO 与△DCF 全等,所以AO=DF=√33.所以OD=AF -AO -DF=√3−√33−√33=√33,即点D 的坐标为√33,0.9.20° [解析]过点A 作AD ∥l 1,如图,则∠BAD=∠α=40°.∵l 1∥l 2,∴AD ∥l 2.∴∠DAC=∠β. ∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°, ∴∠β=∠DAC=∠BAC -∠BAD=60°-40°=20°.10.37 [解析]因为AD=AC ,E 为CD 的中点,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=12(180°-∠DAC )=74°,因为BD=AD ,所以∠B=12∠ADC=37°.11.证明:∵AE=BE ,∴∠EAB=∠EBA , ∵DC ∥AB ,∴∠DEA=∠EAB ,∠CEB=∠EBA , ∴∠DEA=∠CEB.在△DEA 和△CEB 中,{DE =CE ,∠DEA =∠CEB ,AE =BE ,∴△DEA ≌△CEB (SAS),∴∠D=∠C.12.解:(1)证明:∵线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE , ∴∠DCE=90°,CD=CE. 又∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DCE , ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ∵{CD =CE ,∠ACD =∠BCE ,AC =BC , ∴△ACD ≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°,AC=BC , ∴∠A=45°, ∵△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE ,∠CBE=∠A=45°. 又AD=BF ,∴BE=BF , ∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°.13.解:(1)(方法一):∵AB=AC ,∠C=42°, ∴∠B=∠C=42°,∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-42°-42°=96°. ∵AD ⊥BC ,∴∠BAD=12∠BAC=12×96°=48°. (方法二):∵AB=AC ,∠C=42°, ∴∠B=∠C=42°. ∵AD ⊥BC 于点D , ∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-42°=48°. (2)证明:∵EF ∥AC ,∴∠CAF=∠F , ∵AB=AC ,AD ⊥BC , ∴∠CAF=∠BAF , ∴∠F=∠BAF ,∴AE=FE.14.D [解析]过点A 作AF ⊥CE 于点F ,设AB 与CD 的交点为M ,过点M 作MN ⊥AC 于点N ,如图所示. ∵△ECD 为等腰直角三角形,CE=CD ,∴∠E=45°. ∵AE=√2,AD=√6,∴AF=EF=1,CE=CD=2=1+√3,∴CF=√3,∴AC=√AF 2+CF 2=2,∠ACF=30°, ∴∠ACD=60°.设MN=x ,∵△ABC 为等腰直角三角形,CA=CB , ∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x , 又∵CN=√3=√33x , ∴AC=AN +CN=x +√33x=2, 解得x=3-√3,∴S 阴影=S △ACM =12×AC ×MN=3-√3. 故选D .15.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.。

2020年中考数学一轮复习：几何基础与三角形过关测试卷含解析

2020年中考数学一轮复习：几何基础与三角形过关测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，每小题只有一个正确答案，共24分）1．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝（）A．120°B．110°C．100°D．80°2．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．93．（3分）如图，直线EO⊥AB于O，CD平分∠EOB，则∠BOC的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°4．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A．40°B．65°C．75°D．115°5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 6．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．77．（3分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．248．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝度．10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为．11．（3分）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝度．12．（3分）某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝cm．16．（3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝：4，其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．求证：AD＝CF．18．（6分）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．19．（6分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想：；证明：．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．六、（本小题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值是；（3）如图4，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，每小题只有一个正确答案，共24分）1．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝（）A．120°B．110°C．100°D．80°【分析】根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF＝180°，∵∠DCE＝80°，∴∠BEF＝180°﹣80°＝100°．故选：C．2．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．9【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边＞两边之差，即4﹣3＝1，而＜两边之和，即4+3＝7，即1＜第三边＜7，∴只有5符合条件，故选：B．3．（3分）如图，直线EO⊥AB于O，CD平分∠EOB，则∠BOC的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°【分析】根据直线EO⊥AB，可知∠EOB＝90°，根据CD平分∠EOB，可知∠BOD＝45°，再根据邻补角的定义即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵CD平分∠EOB，∴∠BOD＝45°，∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°，故选：C．4．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A．40°B．65°C．75°D．115°【分析】由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．【解答】解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝65°．故选：B．5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．【解答】解：A、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；B、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；C、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；故选：A．6．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．7【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝6，可知AP最大不能大于6．此题可解．【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的长不能大于6．故选：D．7．（3分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．24【分析】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得．【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为4．∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝16．故选：B．8．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【解答】解：C点所有的情况如图所示：故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝110度．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故答案为：110．10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为120°．【分析】先利用邻补角可计算出∠BDC＝30°，再利用平行线的性质得∠ABD＝∠BDC ＝30°，接着根据角平分线定义得∠CBD＝∠ABD＝30°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．【解答】解：∵∠CDE＝150°，∴∠BDC＝180°﹣150°＝30°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴∠C＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为120°．11．（3分）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝95度．【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案为：95．12．（3分）某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是6．【分析】先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．【解答】解：∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和＝1080°﹣360°＝720°，设多边形的边数是n，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6．故答案为：6．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是15．【分析】过D作DE⊥AB于E，由BD＝5，BD：CD＝5：3，即可求得CD的长，然后由角平分线的性质，求得DE的长，继而求得答案．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵BD＝5，BD：CD＝5：3，∴CD＝3，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，∴DE＝CD＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积是：AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：15．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为8cm．【分析】由于DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD，由此推出△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可求得△ACD的周长．【解答】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，而AC＝3cm，AB＝5cm，∴△ACD的周长为3+5＝8cm．故答案为：8．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝5cm．【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：516．（3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝：4，其中正确结论的序号是①②③④．【分析】①根据已知得出∠CAF＝30°，∠GAF＝60°，进而得出∠AFB的度数；②利用ASA证明△ADG≌△ACF得出答案；③利用△AGO≌△AFO，得出AO＝CO＝AC，进而得出BO＝CO＝AO，即O为BC的中点；④利用假设DG＝x，∠DAG＝30°，得出AG＝x，GE＝3x，进而得出答案．【解答】解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．∴∠CAF＝30°，∴∠GAF＝60°，∴∠AFB＝90°，∴AF丄BC故①正确；∵AD＝AC，∠DAG＝∠CAF，∠D＝∠C＝60°，∴△ADG≌△ACF故②正确；∵△ADG≌△ACF，∴AG＝AF，∵AO＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴△AGO≌△AFO（HL），∴∠OAF＝30°，∴∠OAC＝60°，∴AO＝CO＝AC，BO＝CO＝AO，∴O为BC的中点故③正确；假设DG＝x，∵∠DAG＝30°，∴AG＝x，∴GE＝3x，④∵DE＝DG+GE＝4x∴AG：DE＝：4故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．求证：AD＝CF．【分析】求证边相等，要先想到利用全等三角形的性质，这是一般思路．根据ASA证明△AED≌△CEF求解．【解答】证明：∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF．又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴△AED≌△CEF．∴AD＝CF．18．（6分）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．【分析】（1）本题首先作出图形．（2）要使△ACF≌△AEF，添加AF⊥CE或∠CAF＝∠EAF后可分别根据AAS判定△ACF ≌△AEF．【解答】解：（1）作图如右；（2）取点F和画AF正确（如图）；添加的条件可以是：添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF；添加∠CAF＝∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可）19．（6分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想：BE∥DF，BE＝DF；证明：连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．【分析】首先连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．由四边形ABCD是平行四边形，可得BO＝OD，AO＝CO，又由CE＝AF，可得OE＝OF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，则可得BE∥DF，BE＝DF【解答】答：猜想：BE∥DF，BE＝DF．证明：证法一：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形．∴BC＝AD，∠1＝∠2，∵在△BCE和△DAF中，，∴△BCE≌△DAF（SAS），∴BE＝DF，∠3＝∠4，∴BE∥DF．证法二：如图2，连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．故答案为：BE∥DF，BE＝DF；连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A+∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5；【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC＝BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB ＝∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB．（2）因为∠DBC＝50°，BC＝BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC．∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠CEB，在△ABD和△ECB中，∵∠A＝∠CEB，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠BCE，又∵BC＝BD∴△ABD≌△ECB；（2）解：∵∠DBC＝50°，BC＝BD，∴∠EDC＝（180°﹣50°）＝65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣65°＝25°．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【分析】（1）由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF＝∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAF＝∠CAF，∴点O在∠BAC的角平分线上．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．【解答】解：（1）猜想：AB＝AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CD，∴AB＝AE+DE＝AC+CD．（2）猜想：AB+AC＝CD．证明：在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．∵AD平分∠F AC，∴∠EAD＝∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．∴∠FED＝∠ACB，又∵∠ACB＝2∠B∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴EB＝ED．∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．∴AC+AB＝CD．六、（本小题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值是2；（3）如图4，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．【分析】（1）由题意易得PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是P A+PC 的最小值；（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长＝MN，只要求MN的长就行了．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝＝；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，P A+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝，∴A′C＝2，即P A+PC的最小值是2；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝5，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN＝＝＝5．即△PQR周长的最小值等于5．故答案为：；2．25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM 的度数．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°。

中考数学专题复习《等腰三角形》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《等腰三角形》测试卷（附带答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图在▱ABCD中AD=5AB=3DE平分∠ADC交BC边于点E则BE=（）A．2B．3C．4D．52．如图在▱ABCD中∠B=40°，AB=AC将△ADC沿对角线AC翻折AF交BC于点E 点D的对应点为点F则∠AEC的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°3．菱形ABCD如图E为AD上一点F为CB延长线上一点EF⊥AC于点P交AB于G若AE=13AD则AGFC的值为（）A．13B．15C．25D．164．如图△ABC是等腰三角形∠BAC=90°BC=7．点D在BC上且BD:CD=2:5．连接AD将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE连接BE DE．则△BDE的面积是（）A．4B．5C．6D．75．如图在△ABC中AB=AC=6∠BAC=120°以边BC为直径作⊙O与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E则弧DE的长为（）A．3πB．2πC．√3πD．2√3π6．如图EF为半圆形量角器直径直角三角板ABC与半圆形量角器如图放置其中斜边AB 与半圆形量角器交于A D两点AC经过点F AB∥EF若BD=8AF=BF则AD长度是（）A．4B．4√3C．6D．4√67．如图矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E过点A作AF⊥DE交DE于F点连接FO若DF=√2CD=3则FO的长为（）A．1B．23C．12D．148．如图△ABC中∠ABC=45°CD⊥AB于D BE平分∠ABC且BE⊥AC于E与CD相交于点F H是BC边的中点连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF=AC②CE=12BF③△DGF是等腰三角形④BD+DF=BC⑤S△BDFS△BCF=BDBCA．5B．4C．3D．2二填空题9．已知：等腰△ABC，BA=BC点D在AB上点E在BC的延长线上AD=CE连接DE 交AC于点F作DH⊥AC于点H∠HDF−∠E=30°CE=6，CF=2则HF的长为．10．如图矩形ABCD的对角线相交于O AE平分∠BAD交BC于E若∠CAE=15°则∠COE=度．11．如图菱形ABCD中∠ABC=135°DH⊥AB于H交对角线AC于E过E作EF⊥AD 于F若△DEF的周长为2 则菱形ABCD的边长为．12．如图在△ABC中∠B=90°AB=4BC=6以AC为斜边作等腰直角三角形ADC 连接BD则BD的长为．13．如图平行四边形A BCD的对角线AC BD相交于点O AB⊥AC AB=3∠ACB= 30°点P从点A出发沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q设点P的运动时间为t秒在点P的运动过程中当△APO是等腰三角形时t的值为．14．如图在△ABC中AB=AC点D为线段BC上一动点（不与点B C重合）连接AD 作∠ADE=∠B=40°DE交线段AC于点E下列结论：①∠DEC=∠BDA②若AB=DC则AD=DE③当DE⊥AC时则D为BC中点④当△ADE为等腰三角形时∠BAD=40°．正确的有．（填序号）15．如图已知A，B为反比例函数y=4x图象上两点连接AB线段AB经过原点O C为反比例函数y=kx(k<0)在第四象限内图象上一点当△CAB是以AB为底的等腰三角形且CA AB =58时k的值为．16．如图已知直线L：y=x+2交x轴于点A交y轴于点A1点A2A3…在直线L上点B1 B2B3…在x轴的正半轴上若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形直角顶点都在x轴上则△A2024B2023B2024的面积为．三解答题17．如图在△ABC中CD是AB边上的高．AB(1)若∠ABC=∠ACB=15°请证明：CD=12(2)若∠ABC=30°CD=3点E是BC边上的中点求AC+AE的最小值．18．如图已知△ABC中∠B=90°AB=8cm BC=6cm P Q是△ABC边上的两个动点其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm点Q从点B开始沿B→C 方向运动且速度为每秒2cm它们同时出发设出发的时间为t秒．(1)当t=2秒时求PQ的长(2)求出发时间为几秒时△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动则当点Q在边CA上运动时求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．19．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)如图1 连接BD．①请你探究AE与BD之间的关系并证明你的结论②求证：AE2+AD2=2AC2．(2)如图2 若AE=2,AC=2√5点F是AD的中点求CF的长．20．如图在▱ABCD中∠BAD的平分线交边BC于点E交边DC的延长线于点F．(1)如图1 求证：CE=CF(2)如图2 若∠ABC=90°,G是EF的中点分别连结CG，BG，DG求证：DG⊥BG(3)如图3 若∠ABC=120°四边形CFGE为平行四边形分别连结DB，DG试判断△BDG的形状并证明．21．【问题背景】已知：在△ABC中AB=AC点D E分别为直线BC上两动点探究线段BD DE EC三条线段之间的数量关系：（1）如图1 当∠BAC=90°时点D E分别为线段BC上两动点且∠DAE=45°猜想BD DE EC三条线段之间存在的数量关系式直接写出你的猜想__________【问题拓展】（2）如图2 当动点E在线段BC上动点D运动在线段CB延长线上时其它条件不变（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【问题迁移】（3）如图3 当∠BAC=60°时点D E在边BC上2BD−DE=3点F在边AB上点F到AC的距离是2√3且∠DFE=30°CE=7求△FDE的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD为平行四边形AD=5AB=3∵AD∥BC,CD=AB=3,BC=AD=5∵∠ADE=∠DEC∵DE平分∠ADC∵∠ADE=∠CDE∵∠DEC=∠CDE∵CE=CD=3∵BE=BC−CE=5−3=2．故选：A．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形∵AD∥BC∵∠DAC=∠ACB∵∠B=40°，AB=AC且AD∥BC∵∠B=∠ACB=40°，∠BAD=140°∵∠DAC=∠ACB=40°由折叠的性质可知∠DAC=∠FAC=40°∵∠AEC=180°−(∠ACB+∠FAC)=180°−(40°+40°)=100°．故选：C．3．解：∵菱形ABCD∵∠AEF=∠F∠EAC=∠ACF∠BAC=∠DAC AD=BC∵△APE∽△PFC∵∠AGE=∠BGF∵△AEG∽△BGF∵EF⊥AC∵在△AGP和△AEP中{∠BAC=∠DAC AP=AP ∠APG=∠APE∵△AGP≌△AEP∵AG=AE∵AE=13AD∵AE=13BC∵设AG=AE=x则BG=2x∵AG GB =12∵BF=2x ∵FC=5x∵AG FC =x5x=15故选：B．4．解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE ∵AD=AE，∠DAE=90°∵∠EAB+∠BAD=90°在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C=∠ABC=45°∵∠EAB=∠CAD∵△EAB≌△DAC(SAS)∵∠C=∠ABE=45°，CD=BE∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°∵BC=7，BD：CD=2：5∵BD=2，CD=BE=5∵S△BDE=12BD⋅BE=12×2×5=5故选：B．5．解：如图连接OA,OD,OE,CE∵∠BAC=120°AB=AC=6(180°−∠BAC)=30°∴∠CBE=∠BCD=12∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∴∠BCE=90°−∠CBE=60°∵∠DCE=∠BCE−∠BCD=30°∴∠DOE=2∠DCE=60°∵AB=AC=6OB=OC∴AO⊥BC∴OB=AB⋅cos∠CBE=AB⋅cos30°=3√3∴OD=OE=OB=3√3∴弧DE的长=60×3√3π=√3π180故选：C．6．解：如图连接OD DF．∵AD∥EF∠BAC=30°∵∠AFE=∠CAB=30°∠DOF=2∠CAB=60°∵OD=OF∵△ODF是等边三角形∵∠OFD=60°∵∠AFD=∠OFD−∠AFE=60°−30°=30°∵∠DAF=∠AFD=30°∵AD=DF∵FA=FB∵∠A=∠ABF=30°∵∠AFB=180°−30°−30°=120°∵∠BFD=∠AFB−∠AFD=120°−30°=90°∵DF=12DB∵BD=8∵AD=DF=4．故选：A．7．解：四边形ABCD为矩形CD=3∴AB=CD=3∠ADC=∠BAD=90°，OD=OB ∵DE平分∠ADC∴ADE=∠CDE=12∠ADC=45°∴△ADE为等腰直角三角形∴AD=AE∵AF⊥DE∴DF=EF，∠AFD=90°∴△ADF为等腰直角三角形∴AD=√DF2+AF2=√2DF=2∴AE=AD=2∴BE=AB−AE=3−2=1∵DF=EF，OD=OB即点F O分别为DE、BD的中点∴OF为△BDE的中位线∴OF=12BE=12故选：C．8．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC∵∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°∵∠A=∠DFB∵∠ABC=45°，∠BDC=90°∵∠DCB =90°−45°=45°=∠DBC∵BD =DC在△BDF 和△CDA 中{∠BDF =∠CDA∠A =∠DFB BD =CD∵△BDF≌△CDA (AAS )∵BF =AC 故①正确．∵∠ABE =∠EBC =22.5°，BE ⊥AC∵∠A =∠BCA =67.5°∵BA =BC∵BE ⊥AC∵AE =EC =12AC =12BF 故②正确 ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC =45°∵∠ABE =∠CBE =22.5°∵∠BDC =90°，BH =HC∵∠BHG =90°∵∠BDF =∠BHG =90°∵∠BGH =∠BFD =67.5°∵∠DGF =∠DFG =67.5°∵DG =DF∵△DGF 是等腰直角三角形故③正确．∵△BDF≌△CDA∵DF =AD∵BC =AB =BD +AD =BD +DF 故④正确∵BE 平分∠ABC∵点F 到AB 的距离等于点F 到BC 的距离∵ S △BDFS △BCF = BD BC 故⑤正确所以正确的结论是①②③④⑤ 共5个故选：A ．9．解：如图过点D作DG∥BC交AC于点G．∵BA=BC∵∠A=∠BCA∵DG∥BC∵∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF∵∠A=∠DGA∵DA=DG∵AD=CE∵DG=CE=6在△DFG和△EFC中{∠DFG=∠CFE ∠DGF=∠EFC DG=EC∵△DFG≌△EFC(AAS)∵GF=CF=2，∠GDF=∠E∵∠HDF−∠E=30°∵∠HDG=∠HDF−∠GDF=30°∵DH⊥AC∵GH=12DG=3∵HF=GH+GF=3+2=5．故答案为：5．10．解：在矩形ABCD中AO=BO=CO=DO∠ABC=90°∵∠CAE=15°AE平分∠BAD∴∠BAE=∠BEA=45°∴AB=BE∴∠BAC=60°OA=OB∴△AOB是等边三角形∴∠BAC=60°AC=BO∴∠BCA=30°AB=12∴BE=BO又∵∠DBC=∠ACB=30°在△BOE中∠BOE=(180°−∠DBC)÷2=75°∴∠COE=180°−60°−75°=45°．故答案为：45．11．解：∵四边形ABCD是菱形∠ABC=135°∵AD∥BC∠DAC=∠BAC∵∠DAB=45°∵DH⊥AB EF⊥AD∵EF=EH∵AH=DH∵∠ADH=45°且EF⊥AD∵∠ADH=∠DEF=45°∵DF=EF∵DE=√2EF∵∵DEF的周长为2∵DE+EF+DF=2∵(2+√2)EF=2∵EF=2−√2∵EH=2−√2DE=2√2−2∵DH=DE+EH=√2∵AH=DH=√2∵AD=√2AH=2∵菱形ABCD的边长为2故答案为：212．解：当在AC上方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠DFB=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=α+45°∠BAD=∠BAC+∠DAC=(90°−α)+45°=135°−α∴∠DAE=180°−∠BAD=α+45°∵∠EAD=∠FCD∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF∵∠DEA=∠B=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形在Rt△ABC中AC=√AB2+BC2=2√13∵S四边形ABCD=S△ABC+S ADC=S△ABD+S BDC∴12AB⋅BC+12AC×12AC=12AB⋅DE+12BC⋅DF即4×6+12×(2√13)2=4DE+6DF=10DF解得DF=5即正方形BFDE的边长为5∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=5√2当在AC下方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠EBF=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=45°−α∠BAD=∠BAC−∠DAC=(90°−α)−45°=45°−α∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF AE=FC∵∠DEA=∠EBF=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形即BE=BF∵AB=4,BC=6∴AB+BE=BC−BF即4+BE=6−BE解得BE=1即正方形BFDE的边长为1∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=√2综上所述BD的长为5√2或√2故答案为：5√2或√2．13．解：如图所示作点E G M使得AE=OE AG=AO AO=MO当点P分别运动到点E G M时△APO是等腰三角形①当点P运动到点E：此时∠BFE=∠DEF=2∠EAO=2∠ACB=60°又∵∠ABC =90°−∠ACB =60° 且AE ∥BF∴四边形ABFE 为等腰梯形∴AE =OE =12EF =12AB =32∴t 1=32②当点P 运动到点G ：此时AG =AO =12AC =√32AB =3√32∴t 2=3√32③当点P 运动到点M ：AO =MO作OT ⊥AM 交AM 于点T ∠CAD =∠AMO =30°根据等腰三角形三线合一得：AM =2AT =2AO ⋅√32=√32AC =√32⋅AB ⋅√3=92∴t 3=92．答：点P 的运动时间为32或3√32或92． 14．解：①∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠ADE =40° ∵∠BAD =∠CDE∵AB =AC∵∠B =∠C∵由三角形内角和定理知：∠DEC =∠BDA 故①正确 ②∵AB =AC∵∠B =∠C =40°由①知：∠DEC =∠BDA∵AB =DC∵△ABD ≌△DCE (AAS )∵AD =DE 故②正确③∵DE ⊥AC∵∠DEC =90°∵∠CDE=50°∵∠ADC=90°∵AD⊥BC∵AB=AC∵BD=CD∵D为BC中点故③正确④∵∠C=40°∵∠AED＞40°∵∠ADE≠∠AED∵△ADE为等腰三角形∵AE=DE或AD=DE当AE=DE时∠DAE=∠ADE=40°∵∠BAC=180°−40°−40°=100°∵∠BAD=60°当AD=DE时∠DAE=∠DEA=70°∵∠BAD=30°故④不正确．∵正确的有①②③故答案为：①②③．15．解：如图：作AE⊥y轴于E CF⊥y轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称∵AC=BC，OA=OB∵OC⊥AB∵∠CFO=∠COA=∠AEO=90°∵∠COF+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°∵∠COF=∠OAE∵△CFO∽△OEA∵S△COF S△AOE =(COOA)2∵CA AB =58AO=OB∵CA:OA=5:4又∵AC2=OA2+OC2∵CO:OA=3:4∵S△COF S△AOE =(COOA)2＝916即12|k|12×4=916∵k<0∵k=−94故答案为：−94．16．解：y=x+2交y轴于点A1∴A1(0，2)∵△A1OB1是等腰直角三角形∴B1(2，0)∵若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形∴A2(2，4)B2(6，0)A3(6，8)B3(14，0)∴S△A1OB1=12×2×2=21S△A2B1B2=12×4×4=23S△A3B2B3=12×8×8=25…S△An B n−1B n=22n−1∴△A2024B2023B2024的面积为=24047故答案为：24047．17．（1）证明：∵∠ABC=∠ACB=15°CD是AB边上的高．∵AB=AC,∠CAD=30°∵CD=12AC=12AB（2）延长CD到C′使C′D=CD=3连接AC′,C′E如图：∵CD是AB边上的高∵BD是CC′的垂直平分线∵AC′=AC∴AC+AE=AC′+AE≥C′E,即AC+AE的最小值为C′E∵∠ABC=30°,CD=3∴BC=2CD=6∵ 点E是BC边上的中点∴CE=3=CD∵BC=C′C=6∠BCD=∠C′CE∴△BCD≌△C′CE(SAS)∴BD=C′EBD=√BC2−CD2=√62−32=3√3∴C′E=3√3即最小值为3√3．18．（1）解：∵AP=2×1=2(cm)BQ=2×2=4(cm)∵BP=AB−AP=8−2×1=6(cm)∵∠B=90°∵PQ=√BQ2+BP2=√42+62=2√13(cm)（2）解：根据题意得：BQ=BP即2t=8−t解得：t=83即出发时间为83秒时△PQB是等腰三角形（3）解：分三种情况：当CQ=BQ时如图1所示：则∠C=∠CBQ∵∠ABC=90°∴∠CBQ+∠ABQ=90°∠A+∠C=90°∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ∵CQ=AQ∵∠B=90°AB=8cm BC=6cm∴AC=√82+62=10(cm)∴CQ=AQ=12AC=5(cm)∴BC+CQ=11(cm)∴t=11÷2=5.5（秒）．当CQ=BC时如图2所示：则BC+CQ=12(cm)∴t=12÷2=6（秒）．当BC=BQ时如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E∵S△ABC=12AB×BC=12AC×BE则BE=AB⋅BCAC =6×810=4.8(cm)∴CE=√BC2−BE2=3.6(cm)∴CQ=2CE=7.2cm∴BC+CQ=13.2cm∴t=13.2÷2=6.6（秒）．由上可知当t为5.5秒或6秒或6.6秒时ΔBCQ为等腰三角形．19．（1）解：①AE=BD理由如下：∵∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠BCD又∵CA=CB,CE=CD,∵△ACE≌△BCD(SAS)∵AE=BD②∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD ∵∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠CEA=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°∵∠ECA=∠DCB在△ECA和△DCB中{CE=CD ∠ECA=∠DCB AC=BC∴△ECA≌△DCB(SAS),∵AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°,∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°∴△ADB是直角三角形∴AD2+BD2=AB2,∴AD2+AE2=AB2,∴AE2+AD2=2AC2．（2）解：过点C作CH⊥DE于H如图：∵AC2+BC2=2AC2,AD2+AE2=AB2,AE=2,AC=2,∴AD=6,∴DE=AE+AD=8,∵点F是AD的中点∴AF=DF=3,∴△ECD是等腰直角三角形∴CH=DH=EH=4,∴HF=DH−DF=1,∴CF=√GH2+HF2=√42+12=√17．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∵AB∥CD,AD∥BC∵∠F=∠BAF∠CEF=∠DAF∵AF平分∠BAD∵∠BAF=∠DAF∵∠F=∠CEF∵CE=CF．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90°∵四边形ABCD是矩形∵AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°∵∠BCF=90°∵G是EF的中点∵CG=EG=FG∵△CEG和△CFG都是等腰直角三角形∵∠ECG=∠F=45°∵∠ADC=90°∵∠DAF=45°∵△DAF是等腰直角三角形∵DA=DF∵BC=DF∵△BCG≌△DFG(SAS)∵∠BGC=∠DGF∵∠BGC−∠DGC=∠DGF−∠DGC=∠CGF=90°∵DG⊥BG．（3）解：△BDG是等边三角形理由如下：如图延长AB、FG交于点H连接DH∵FG∥CE,CE∥AD∵FH∥BC∥AD∵AH∥DF∵四边形AHFD是平行四边形∵∠DFA=∠FAB=∠DAF∵DA=DF∵四边形AHFD是菱形∵FD=FH,AD=AH∵∠ABC=120°∵∠DFH=∠DAH=60°∵△FDH和△ADH都是等边三角形∵∠DFG=∠DHB=∠FDH=60°,FD=HD ∵四边形BCFH是平行四边形∵BH=CF∵FG=CE,CE=CF∵FG=BH在△DFG和△DHB中{FG=BH∠GFD=∠BHD, FD=HD∵△DFG≌△DHB(SAS)∵∠FDG=∠HDB,DG=DB∵∠BDG=∠HDB+∠HDG=∠FDG+∠HDG=∠FDH=60°∵△BDG是等边三角形．21．解：（1）DE2=BD2+EC2证明：如图将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB FD=DB∠FAD=∠BAD∠AFD=∠ABD∵∠BAC=90°∠DAE=45°∵∠BAD+∠CAE=45°,∠FAD+∠FAE=45°∵∠CAE=∠FAE又∵AE=AE,AF=AB=AC∵△AFE≌△ACE∵∠DFE=∠AFD+∠AFE=45°+45°=90°∵DE2=FD2+EF2∵DE2=BD2+EC2（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD又∵AB=AC∵AF=AC∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB∵∠FAE=∠EAC又∵AE=AE∵△AFE≌△ACE∵FE=EC∠AFE=∠ACE=45°∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°,∵∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°∵在Rt△DFE中DE2=FD2+EF2即DE2=BD2+EC2（3）过点F作FH∥AC交BC于点H作FG⊥AC于点G则FG=2√3∵∠BAC=60°∵∠AFG=30°AF∵AG=12AF)2+(2√3)2又∵AF2=AG2+FG2即AF2=(12解得：AF=4或AF=−4（舍）又∵AB=AC∵△ABC是等边三角形∵BA=BC又∵FH∥AC∵∠BFH=∠A=∠C=∠FHB=∠B=60°∵BF=BH=FH即AF =CH =4∵EH =EC −EH =7−4=3将△FDB 沿直线FD 对折得△FMD 连ME 过E 点作EN ⊥DM 交DM 的延长线于点N ∵△FBD ≌△FMD∵FB =FM BD =DM ∠BFD =∠MFD ∠FBD =∠FMD∵∠BFH =60° ∠DFE =30°∵∠BFD +∠HFE =30°,∠DFM +∠MFE =30°∵∠HFEE =∠MFE又∵FE =FE,FH =FB =FM∵△FHE ≌△FME∵∠FME =∠FHE =60° EM =EH =3∵∠DME =∠FMD +∠FME =60°+60°=120°∵∠NME =60°∵∠MEN =30°∵MN =12EM =32 EN =√MF 2−MN 2=√32−(32)2=32√3∵DN =DM +MN =BD +MN =BD +32 又∵2BD −DE =3∵DE =2BD −3在Rt △DNE 中 DE 2=DN 2+EN 2 即(2BD −3)2=(BD +32)2+(32√3)2解得：BD =0（舍）或BD =5∵DE =7 BF =BH =BD +DE +EH =5+7+3=15过点F 作FQ ⊥BC 于点Q∵∠BFQ=30°∵BQ=12BF=152FQ=√BF2−BQ2=√152−(152)2=152√3∵S△DEF=12DE⋅FQ=12×7×152√3=105√34．。

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