薄板的振动固有频率的求解
振动频率 计算公式
振动频率计算公式振动频率是指物体在单位时间内完成的振动周期个数，通常用赫兹（Hz）来表示。
振动频率是描述振动特性的重要参数，它与物体的质量、弹性系数以及外界施加力的特性密切相关。
为了计算振动频率，我们可以运用以下公式：振动频率（f）= 1 / 振动周期（T）其中，振动周期是指振动一次所需的时间。
在许多情况下，物体的振动周期可以根据其特性来确定。
当物体以简谐振动进行时，其振动周期可以通过以下公式计算：振动周期（T）= 2π√(m/k)其中，m代表物体的质量，k代表物体的弹性系数。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算振动频率的情况。
例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的安全性，需要计算地震时建筑物的振动频率。
在机械振动领域，计算机械设备的振动频率可以帮助我们判断其是否处于正常工作状态，以及是否需要进行维护和修理。
此外，振动频率的计算还在科学研究中具有重要意义。
在物理学中，我们常常要研究各种物体的振动特性，例如声音的传播速度和频率，光的波长和频率等。
通过计算振动频率，我们能够更好地了解物体的振动特性，并通过对振动频率的调整来达到特定的目的。
在实际操作中，我们可以通过一些测量工具来计算振动频率，例如振动计、光谱仪和声谱仪等。
这些工具可以记录物体振动的周期和幅度，进而计算出振动频率。
总结起来，振动频率是描述物体振动特性的重要参数，它与物体的质量、弹性系数和外界施加力的特性密切相关。
通过计算振动频率，我们能够更好地了解物体振动的本质，从而在工程、科学研究和实际应用中做出准确的判断和决策。
多种方法计算水中薄板的固有振动频率
多种方法计算水中薄板的固有振动频率水中薄板的固有振动频率是指薄板在水中自然振动的频率，它是一个极为重要的参数，在工程设计和科学研究中有着广泛的应用。
下面，将介绍多种方法计算水中薄板的固有振动频率。
方法一：理论计算法理论计算法是一种基于物理原理、数学公式和动力学方程的计算方法。
该方法通常需要建立薄板的数学模型，包括弹性模量、材料密度和板厚等参数，然后根据振动方程推导出薄板在水中的固有振动频率。
这种方法通常适用于理论研究和数值模拟，计算精度较高，但需要大量的计算工作。
方法二：实验测量法实验测量法是通过实验手段直接测量水中薄板的振动频率，包括自由振动法和迫振法两种。
自由振动法是指将薄板挂在两个支点上，将薄板振动后测量振动频率；迫振法是指向薄板施加外力，使其振动，并测量振动频率。
这种方法的优点是测量精度高、适用范围广，但需要专业的实验设备和技术。
方法三：有限元法有限元法是一种基于数值计算的方法，它将薄板分解成许多小单元，然后计算每一个小单元的振动状态和响应，最终得到整个薄板的振动频率。
这种方法通常需要借助计算机完成大量的计算工作，计算结果与实验结果比较相近，但需要大量的计算工作。
方法四：解析法解析法是一种基于数学理论的计算方法，它通过对薄板的动力学方程进行解析，得到薄板振动的解析表达式，从而计算出薄板的固有振动频率。
这种方法通常对薄板的几何形状和材料参数有一定的限制，但是具有计算精度高、计算速度快等优点。
总之，计算水中薄板的固有振动频率的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际应用中，可以根据需要和情况选择不同的方法，以获得最好的计算结果。
数据分析是数据科学和统计学领域中的重要组成部分，可以为我们提供有关各种情况或事件的信息和见解。
在进行数据分析时，需要将数据收集、整理和归纳总结，然后进行分析并得出结论。
本文将选取某一组数据进行分析。
首先，需要明确分析的对象是什么，比如是一组公司的销售数据、学生的考试成绩等等。
第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
固有频率的计算方法
固有频率的计算方法
那什么是固有频率呢？简单说呀，就像是一个物体它自己天生就有的一种振动频率。
比如说，你拿个小弹簧，它在那晃悠的时候，就有个它自己特有的频率，这就是固有频率啦。
对于一些简单的系统，像单自由度弹簧 - 质量系统，计算固有频率就不是特别难哦。
这个系统里呀，固有频率和弹簧的劲度系数k还有质量m有关。
它的计算公式是ω = √(k / m)，这里的ω就是固有角频率啦。
你可以想象一下，弹簧硬邦邦的（k 大），质量又小，那它晃悠起来就会快快的，固有频率就高。
要是弹簧软软的，质量又很大，那晃悠起来就慢悠悠的，固有频率就低。
再说说弦振动的固有频率计算呢。
这就和弦的长度L、张力T还有线密度ρ有关啦。
它的频率公式是f = (n / 2L)×√(T / ρ)，这里的n是正整数，代表着振动的模式。
就好像弦在那弹奏的时候，不同的振动模式就有不同的固有频率，就像吉他弦，你按不同的地方，它发出的音高就不一样，这就是因为改变了弦的有效长度之类的，导致固有频率变了。
对于一些复杂的结构呢，计算就比较麻烦啦。
有时候得用到有限元分析这种高大上的方法。
不过原理也还是和那些简单系统有点联系的。
比如说一个复杂的机械结构，它可以看成是好多小的部分组成的，每个小部分都有点像咱们前面说的弹簧 - 质量系统。
然后通过一些复杂的数学计算和模拟，就能算出这个复杂结构的固有频率啦。
固有频率 计算公式
固有频率计算公式在我们的物理世界中，固有频率可是一个相当重要的概念，而与之紧密相连的就是固有频率的计算公式啦。
先来说说啥是固有频率。
想象一下，你有一个秋千，你轻轻推它一下，它就会按照一定的节奏来回摆动，这个节奏就是秋千的固有频率。
再比如一把吉他的弦，当你拨动它，它也会以一种特定的频率振动发声，这也是它的固有频率。
固有频率的计算公式呢，对于不同的物理系统会有所不同。
咱们先从最简单的弹簧振子说起。
弹簧振子的固有频率公式是f = 1 / (2π) ×√(k / m) ，这里的 f 就是固有频率，k 是弹簧的劲度系数，m 是振子的质量。
我给你讲讲我之前的一个经历。
有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式，有个特别调皮的学生就问我：“老师，这公式有啥用啊？难道我以后去荡秋千还得算一算它的固有频率？”当时全班都哄堂大笑。
我笑着回答他：“你可别小瞧这个公式，虽然咱们平常荡秋千可能用不上，但在很多工程领域，比如桥梁设计、机械制造，那可是非常关键的。
”我接着给他举了个例子，“假如一座桥的固有频率和经过车辆产生的振动频率接近，那就可能发生共振，桥就有可能出危险啦。
”咱们再来说说单摆的固有频率。
单摆的固有频率公式是f = 1 / (2π)× √(g / l) ，这里的 g 是重力加速度，l 是单摆的摆长。
我记得有一次带着学生们去实验室做单摆实验。
大家都兴致勃勃地摆弄着器材，测量摆长，记录时间。
有个小组的同学怎么都测不准数据，急得满头大汗。
我走过去一看，原来是他们的摆长测量有误差，绳子没有拉直。
我帮他们纠正了错误，最后他们成功算出了单摆的固有频率，那种兴奋劲儿，别提多有成就感了。
在实际生活中，固有频率的应用可多了去了。
比如建筑物要避免与地震波的频率接近，不然在地震时就容易遭到严重破坏。
还有各种乐器的设计，通过调整琴弦的长度、粗细和张力，来改变固有频率，从而发出美妙的音乐。
总之，固有频率的计算公式虽然看起来有点复杂，但它在我们理解和解释物理现象，以及在实际的工程和技术应用中，都发挥着极其重要的作用。
振动体系固有频率计算公式分析
从上式可 以看 出， 邓柯 莱公式 是在 左端 略去 高频项 得 到的 ，
因而它给 出的基频将低于实际值 。
． ３ 文献 ［ ４ ］ 计算方法 时， 仅涉及到积分 和求和 ， 所 以 比直 接求解 自由振动 微分方 程 方 １
Ｉ Ｅ ｌ ［ （ ） ］ ｄ ｘ ，
甜 ＝＿————————— ——一 — — — — — — — — 一 （ Ｌ １ Ｊ ）
去
＋ Ａ ｍ ） 击 ＋ Ａ ｍ （ ３ ）
Ｊ ｍ （ ） （ ） ｏ ｋ ＋ ∑ （ ）
［ ６ ］ “ 西气东输”中天然气合理 应用方式研 究［ Ｍ］ ． 北京 ： 中国建
筑 工 业 出版 社 ． ２ ０ ０ ８ ．
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ｌｉ ｎ ｆ ｅ ｎ ｕ ｒ ｂ ａ ｎ － ｒ ｕ ｒ ａ ｌ ｇ ａ ｓ ｐ ｌ ａ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ
有一定优越性 的计算公式 ， 对实际工程 中振动体系 固有频率 的计算有重要 的意义 。
关键词 ： 振动体 系 ， 固有频率 ， 计算公式
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｕ ３ １ １ ． １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
便得多 。用瑞利法求固有频率 ， 必需 知道振型 函数 Ｕ（ ） ， 而精确
（ ｘ ） 事先往 往 不知 道 ， 所 以必 须先 假定 一个 Ｕ（ ） 来 进行 计 在结构振动体 系问题 的研究 中， 计算 系统 的各 阶 固有频 率 ， 的Ｖ 算 ， 由此得 到的结 果就 有一 定的近似 性 。一般 来说 ， 很 难精 确地 尤其是基本 固有频率 ， 是十分重要 的。相应 的计算 多 自由度振动 故利用 假设高 阶振型 的方法用上式求得 的 系统 的固有频率方法有很 多种 ， 主要 有矩阵迭 代法 、 瑞利法 、 邓柯 假设 出高 阶振型 函数 ， 往往误差较大 ， 因此瑞利法通常 只计算基本频 率。通 常 莱法 、 传递矩阵法 、 变换 法（ Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 法、 Ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｓ 法、 Ｑ Ｒ法 ） 、 子空 间迭 高阶频率 ， 弹性 曲线 ） 作为 代法 、 模态综合法 等… 。 由于 计算机 和有 限元 软件 的快速 发展 ， 情况下可以取结构在某种静荷载作用下 的挠 曲线 （ 振型 曲线。 虽然 目 前 我们 可以借助于它们计算很 复杂的结构 ， 但 是在某些 场
第二章 薄板振动分析
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。
薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。
为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。
设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。
图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。
为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。
根据假定（4），剪切应变分量为零。
由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。