数学必修1专题1：抽象函数的单调性
【课件】函数的单调性(第1课时)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
抽象概括：由特殊函数f (x)=x²到一般函数的单调性f(x)=x² 类比 一般函数f(x)定义域为R 定义域为Dy 轴右边：(0 ,+0)) 区间IC D
总结新知用定义证明函数单调性的步骤：1.取值 即设x₁,x₂是该区间内的任意两个值，且x₁ <x₂2.作差变形 即作差f(x₁)-f(x₂) (或f(x₂)-f(x₁)), 并 通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差 的符号的方向变形；(变形至利用x₁,x₂ 可以判断)3.定号 确定差f(x₁)-f(x₂) ( 或f(x₂)-f(x₁) 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；4.判断根据定义作出结论
=—x —6—
y65433 -2 0-1
2+1十-1-1+-2+-3-4
-3 -22 4 6 x
v=2x
s手
4
2
单调区间为定义域单调递增单调区间为定义域单调递减
增函数减函数
函数的单调性
学习新知【 例1】根据定义，研究函数 f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.解：函数f(x)=kx+ b(k≠0) 的定义域是R,Vx ₁,x₂∈R, 且x₁<x₂, 则f(x₁)-f(x₂)=(kx₁+b)-(kx₂+b)=k(x₁-x₂)由x₁<x₂ , 得x₁-x₂<0. 所以①当k>0 时，k(x₁—x₂)<0. 于是，f(x₁)-f(x₂)<0, 即f(x₁)<f(x₂ ).这时f(x)=kx +b 是增函数 .② 当k<0 时 ，k(x₁-x₂)>0. 于是，f(x₁)-f(x₂)>0, 即f(x₁)>f(x₂). 这时f(x)=kx +b 是减函数 .
高一数学必修1-函数的单调性-精品PPT课件
y2
1
x -2 -1 O 1 2
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：函数f(x)=1/x在(0，
+∞)上的单调性呢？
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有 f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
练习：证明函数 f (x) -2x 1 在 R上是
减函数.
小结:
• 1.函数的单调性概念; • 2.增(减)函数的定义; • 3.增(减)函数的图象特征; • 4.增(减)函数的判定; • 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x2 2
单调增区间为, 0 单调减区间为0,
1.3.1 函数的单调性
抽象函数的单调性
抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。
思路：添项法。
类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。
函数满足：或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，判断()f x 在R 上的单调性。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
2、定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x)< 2。
例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f yx f -=且当01x <<时，()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f ； 2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式2(21)2f x -<3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。
抽象函数的奇偶性与单调性-完整版课件
二、抽象函数的奇偶性与单调性的证明 4、已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y) =f(x)+f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且 试求f(x)在区间 ［-2，6］上的最值.
5、函数f (x)对任意的 x, y R ，都有 f (x y) f (x) f ( y) 1
，并且当x 0 时 f (x) 1
.
（1）证明：f (x) 在R上是增函数；
（2）若 f (4) 5 ，解不等式 f (3m2偶性解不等式 1、已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
且f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．
变式1、若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单 调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．
变式2、已知偶函数 f (x) 是定义在 [0, 上) 单调递增，
解不等式 f (2x 1) f (1)的x的取值范围．
3
2、已知偶函数 f (x) 是定义在 [2, 1上] 单调递减函数，
则 f (3), f (1), f (2)的大小关系为 ＿＿＿＿
3、定义在R上的奇函数 f (x)满足 f (x 4) f (x) ，
且在区间[0，2]单调递增，试比较 f (1), f (3), f (4) 的大小
3.2.1函数的单调性5—赋值法与配凑法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修1
①解:令x=y=0，则f(0)f(0)=f(0) ∴f(0)[f(0)-1]=0 ∴f(0)=0或f(0)=1
∵f(x)是定义域在R恒不等于零的函数 ∴f(0)=1
例2:设f(x)是定义域在R恒不等于零的函数，且对
x,y∈R满足f(x)f(y)=f(x+y)，且f(x)>0
①求f(o)的值，
②设当x<0时，都有f(x)>f(0),证明f(x)在R上是减函数
练1:已知f(x)对x,y∈R恒有f(x+y)=f(x)+f(y) 且x>0时，f(x)<0，证明f(x)在R上是减函数
解:设x1,x2∈R,且x1<x2 ∴x2-x1>0
∵x>0时，f(x)<0
凑已知
∴f(x2-x1)<0
∵f(x1）-f(x2)=f(x1）-f[(x2-x1)+x1)]
=f(x1）-f(x2-x1)+f(x1)
f
(x2 )
f (x1)
f (x1 •
x2 ) x1
f (x1)
f
( x2 ) x1
f (x1)
f (x1)
f ( x2 ) x1
∵0
x1
x2 ,
x2 x1
1
f
(x2 )
f
( x1 )
0
必修一数学抽象函数习题精选含答案
1.抽象函数的图像判断单调性
例1．如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是( )
A.增函数且最小值为 B.增函数且最大值为
C.减函数且最小值为 D.减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在 上的偶函数 满足 ，并且 在 上为增函数。若 ，则实数 的取值范围.
（2）证明解：（1）令 得 ， 或 。
若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾， 。
（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由
，
（3）由 得
得 （2）
从（1）、（2）中消去 得 ，因为
即 。
例9. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ,若 时，有 .（1）判断函数 在 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+ )＜f( ).
例7．已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。
解：设 且 ，则 ， ，则
，
，故 为增函数，
又
因此不等式 的解集为 。
五、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。
例8.设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。（1）证明 ；
解：（1）设任意x1,x2∈［－1,1］,且x1<x2.由于f(x)是定义在 上的奇函数，
∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1).因为x1<x2,所以x2+(－x1)≠0,
由已知有 ＞0，∵x2+(－x1)=x2－x1>0
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。
复合函数及抽象函数的单调性ppt课件
例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数， 且在区间（-∞，0]上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。
(0<a<3)
.
例2： 定 R 义 上 在的 f函 (x)满 数足 ： (1)f(2)1 (2)f(xy)f(x)f(y) (3)xy时 f， (x)f(y) (4)f(x)f(x3)2 求x的 取 值 . 范 围 解(3 ： )知 f(x )在 由 R 上减 f(4 ) f( ， 2 ) f(2 ) 又 2
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以 应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
【解题思路】 x∈某区间A
t∈性
g ( x )在A上的 单调性
关键是A的端点如何确定？
.
【解】设t =－x2 + 2
.
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数
则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
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数学必修1专题1：抽象函数的单调性
1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析
(1) 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f
令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-
在R 上任取21x x ，，且使21x x <
0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <
由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数
(2) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，
满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=，则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x
f -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <
0)()1()()()(1
21212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数
(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f y
x
f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f
任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)(
)()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数
2. 简短评价
(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；
(2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样：求出)0(f 或)1(f ；令x y -=或x
y 1=
针对练习：
1. 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足1)2(=f ，且对于定义域内任意x 、y 都有)()()(y f x f xy f +=成立，那么=+)4()1(f f _______
2. 定义在R 上的函数)(x f 满足xy y f x f y x f 2)()()(++=+ )(R y x ∈，，2)1(=f ，则=-)3(f _______
3. 已知函数)(x f 在定义域()∞+，0上为增函数，且满足)()()3(y f x f xy f +=，1)3(=f
(1) 求)27()9(f f ，的值；
(2) 解不等式2)8()(<-+x f x f
4. 设函数)(x f 对任意的R b a ∈，，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且当0>x 时，1)(>x f
(1) 求证：)(x f 是R 上的增函数
(2) 若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f
5. 设函数)(x f 是定义域为R ，并满足)()()(y f x f y x f +=+，1)3
1
(=f ，且当0>x 时，0)(>x f
(1) 求)0(f 的值；
(2) 判断函数的奇偶性；
(3) 如果2)2()(<++x f x f ，求x 的取值范围
6. 已知函数)(x f 对一切R y x ∈，，都有)()()(y f x f y x f +=+，若a f =-)3(，则是否可以用a 表示)12(f
7. 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=
(1) 求)1(f
(2) 证明：)(x f 在定义域上是增函数
(3) 如果1)3
1(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围 8.(河南省许昌市四校高一（上）期中联考)已知定义域为（0，+∞）的函数)(x f 满足：①x ＞1时，
0)(<x f ；②1)2
1(=f ③对任意的正实数x ，y ，都有)()()(y f x f xy f += (1) 求证：0)1(=f ，)()1(x f x
f -=； (2) 求证：)(x f 在定义域内为减函数；
(3) 求不等式2)5()2(-≥-+x f f 的解集．
9.(湖南永州市祁阳四中高一（上）期中数学试卷)已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()()(y x f y f x f +=+，当x ＜0时2)1(0)(=<f x f ，；
(1) 求证：)(x f 为奇函数；
(2) 求)(x f 在[﹣3，3]的最值；
(3) 当t ＞2时，0)2log (log )log (2222<--+t f t k f 恒成立，求实数k 的取值范围．
10. 已知函数)(x f 定义域为[﹣1，1]，若对任意的]11[，，
-∈y x ，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，有0)(>x f
(1) 证明：)(x f 为奇函数；
(2) 证明：)(x f 在[﹣1，1]上为单调递增函数；
(3) 设1)(=x f ，若12)(2+-<am m x f ，对所有]11[，，-∈y x ，]11[，-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围。
11. 已知)(x f 的定义域为()∞+，0，且满足)()()(1)2(y f x f xy f f +==，
，又当y x >时，)()(y f x f >
(1) 求)4()1(f f 、的值；
(2) 如果2)3()(≤-+x f x f ，求x 的范围
12. 设)(x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且对任意()∞+∈，、
0y x 都有)()()(y f x f y x f -= (1) 求)1(f
(2) 若1)4(=f ，解不等式2)1
()6(>-+x f x f。