第五节 线性变换的矩阵表示式
第五节线性变换的矩阵表示式
= T[(1, ···, n)P] =T[(1, ···, n)]P
= (1, ···, n)AP = (1, ···, n)P-1AP ,
因为 1, ···, n 线性无关, 所以
B = P-1AP .
证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的
过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , ···, n 下的坐标分别为
x1
x2
xn
,
x1
T
( )
A
x2
xn
,
即按坐标表示, 有
T() = A .
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , ···, n , 如果这个基
在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1) a111 a212 an1n ,
T
(2 )
a121 a222
an 2 n
,
T (n ) a1n1 a2n2 annn ,
a2n
ann
,
那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , ···,
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), ···, T(n)
唯一确定.
如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , ···, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
0 1
0 0 .
0 0 0
(2)
TTTiijj
线性变换及其矩阵表
层图：
传统机械按键设计要点
按
PCB
键
A
： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键
设计间隙建议留
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要考虑成型工艺，合
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设
J :C a,b C a,b,
J
f
x
x
a
f
x
dx,
这是一个线性变换。
例5 考虑V=Pn[x]∩C[a,b]，易有DJ(f(x))=f(x)，但是 JD(f(x))=f(x)-f(a)。
因此DJ≠JD。
6
下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3 中，T x1, x2 , x3 (2x1, x2 , x2 x3 ). × 2．在 Pn[ x] 中，T f ( x) f 2( x). × 3．在线性空间V中，T , V 非零固定. √ 4．在 C nn中，T X AX , A C nn 固定. × 5．复数域C看成是自身上的线性空间，T( x) x . √ 6．C看成是实数域R上的线性空间， T( x) x . 7
例6 设线性空间R3中的线性变换T为：
T ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ),
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例基7I：设fP0n[x]1中, f的1 线x性, f2变换x2T2! 为, ：, fTn(f(xxn)n)!=,f ’(x)，
基II： g0 1, g1 x, g2 x2, , gn xn,
组基下的矩阵为 A
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换的矩阵表示与相似矩阵
线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支，研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中，线性变换是其中一个重要的概念，它可以用矩阵表示，并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中，线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例，设有向量v=(v₁, v₂)，线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂)，则可以使用矩阵v来表示v的线性变换，即：[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中，矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算，尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v，如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立，则称矩阵v和v相似，矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例，设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义，我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说，v为一个2×2的可逆矩阵，假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，则v可表示为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立，只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说，要使得两个矩阵相似，只需保证其对应位置上的元素相等即可。
线性变换的矩阵表示
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
线性变换的矩阵表示式
§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式()T x Ax =()n x R ∈ 简单明了地表示出中的一个线性变换. 我们自然希望中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换有关系式()Ax x T =，那么矩阵应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么必有关系式()11122(),,()n n n T x T e e x T x e x e x e ==+++⎡⎤⎣⎦1122()()()n n x T e x T e x T e =+++()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα===总之，中任何线性变换，都能用关系式()()nR x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =.把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基n αα,,1 ，如果这个基在变换下的象（用这个基线性表示）为11112121212122221122(),(),(),n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为11(,,)(,,)n n T A αααα=， （5）其中1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么，就称为线性变换在基n αα,,1 下的矩阵 .显然，矩阵由基的象()()n T T αα,,1 唯一确定.如果给出一个矩阵作为线性变换在基n αα,,1 下的矩阵，也就是给出了这个基在变换下的象，那么根据变换保持线性关系的特性，我们来推导变换必须满足的关系式：中的任意元素记为in i i x αα∑==1，有 11()()n n i i i i i i T x x T ααα====∑∑121((),,())n n x x T T x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121(,,)n n x x A x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即112211(,,)(,,)n n n n x x x x T A x x αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （6）这个关系式唯一地确定一个变换，可以验证所确定的变换是以为矩阵的线性变换.总之。
《线性变换的矩阵》课件
3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这个关系式唯一地确定一个变换 T, 可以验证 所确定的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换. 总之, 以 A 为矩阵的线性变换 T 由关系式 (1) 唯一确定.
定义 6 和上面一段讨论表明, 在 Vn 中取定一
个基以后, 由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵 A , 由一个矩阵 A 也可唯一地确定一个线性变换 T , 这样, 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的 关系. 由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , · · ·,
由上例可见, 同一个线性变换在不同的基下 有不同的矩阵. 一般地, 我们有
定理 2 设线性空间 Vn 中取定两个基
1 , 2 , · · ·, n ; 1 , 2 , · · ·, n .
由基 1 , 2 , · · ·, n 到基 1 , 2 , · · ·, n 的过渡 矩 阵为 P, Vn 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵 依次为 A 和 B , 那么 B = P-1AP.
= x1T(e1) + x2T(e2) + · · ·+ xnT(en)
= (T(e1), T(e2), · · ·, T(en))x
= ( 1 , 2 , · · ·, n)x = Ax .
总之 , Rn 中任何线性变换 T 都能用关系式 T(x) = Ax ( x Rn ) 表示, 其中 A = (T(e1), · · ·, T(en)). 把上面的讨论推广到一般的线性空间, 我们
即
x1 x1 x2 x2 T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n ) A . x x n n
(1)
a22 a 12 a21 . a11
定义 7 线性变换 T 的像空间 T(Vn) 的维数,
称为线性变换的秩.
显然, 若 A 是 T 的矩阵, 则 T 的秩就是 R(A).
若 T 的秩为 r , 则 T 的核 ST 的维数为 n - r.
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , ,. . , , 请单击返回按钮 若想结束本堂课 若想结束本堂课 请单击返回按钮 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , ,. . , 请单击返回按钮 若想结束本堂课 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 请单击返回按钮 .. .. 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮.
记 T(1 , 2 , · · ·, n) = (T(1), T(2), · · ·, T(n)), 上式可表示为
T(1 , 2 , · · ·, n) = (1 , 2 , · · ·, n)A ，
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 其中 A , a a a n2 nn n1 那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , · · ·,
3
p2 x ,
2
p3 x,
求微分运算 D 的矩阵.
p4 1 ,
解
Dp1 3x2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 ,
Dp2 2x 0 p1 0 p2 2 p3 0 p4 , Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1p4 , Dp4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
证 按定理的假设, 有
(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)P , P 可逆;
及 T(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)A ,
T(1, · · ·, n) = (1, · · ·, n)B .
于是 ( 1, · · ·, n)B = T(1, · · ·, n)
所以 D 在这组基下的矩阵为
0 3 A 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
0 0 . 0 0
例 13 在 R3 中, T 表示将向量投影到 xOy
平面的线性变换, 即
T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为 i , j , k , 求 T 的矩阵;
例 14 设 V2 中的线性变换 T 在基 1 , 2 下
的矩阵为
a11 A a 21
a12 , a22
求 T 在基 2 , 1 下的矩阵.
解
即
0 1 ( 2 , 1 ) (1 , 2 ) 1 0 ,
0 1 P 1 0 ,
(2)
T i , T j , T i j ,
1 0 1 即 T ( , , ) ( , , ) 0 1 1 . 0 0 0
三、线性变换在不同基下的矩阵的关系
= T[(1, · · ·, n)P] =T[(1, · · ·, n)]P
= ( 1, · · ·, n)AP = (1, · · ·, n)P-1AP ,
因为 1, · · ·, n 线性无关, 所以
B = P-1AP . 证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的 过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
第五节
线性变换的矩阵表示式
主要内容
线性变换在基下的矩阵 举例
线性变换在不同基下的矩阵的关系
一、线性变换在基下的矩阵
上节例 11 中, 关系式 T(x) = Ax ( x Rn )
简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换. 我们 自然希望 Rn 中任何一个线性变换都能用这样的 关系式来表示. 为此, 考虑到 1 = Ae1, 2 = Ae2 , · · ·, n = Aen (e1 , e2 , · · ·, en 为单位坐标向量), 即
n 下的坐标分别为
x1 x2 , T ( ) x n
即按坐标表示, 有 T() = A .
x1 x2 A , x n
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
p1 x ,
求得
Hale Waihona Puke 0 1 P 1 0 ,
1
于是 T 在基 (2 , 1) 下的矩阵为
0 1 a11 a12 0 1 a21 a22 0 1 B 1 0 a a a a 1 0 1 0 21 11 12 22
i = T(ei)
( i = 1, 2, · · ·, n )，
可见如果线性变换 T 有关系式 T(x) = Ax, 那么矩 阵 A 应以 T(ei) 为列向量. 反之, 如果一个线性变 换 T 使 T(ei) = i ( i = 1, 2, · · ·, n ), 那么 T 必有关 系式 T(x) = T[(e1 , · · ·, en)x] = T(x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen)
i , 求 T 的矩阵. (2) 取基为 j , i j k ,
解
(1)
T i i , j , T j T k 0 ,
1 0 0 即 T (i , j , k ) (i , j , k ) 0 1 0 . 0 0 0
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), · · ·, T(n) 唯一确定. 如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , · · ·, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
变换 T 下的像, 那么, 根据变换 T 保持线性关系的 特性我们来推导变换 T 必须满足的关系式.
Vn 中的任意元素记为
xi i ,
i 1
n
于是有
T ( xi i ) xiT ( i )
i 1 i 1
n
n
x1 x2 (T (1 ),T ( 2 ), , T ( n )) x n x1 x2 (1 , 2 , , n ) A , x n
有
定义 6 设 T 是线性空间 Vn 中的线性变换,
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , · · ·, n , 如果这个基 在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1 ) a111 a21 2 an1 n , T ( ) a a a , 2 12 1 22 2 n2 n T ( n ) a1n1 a2 n 2 ann n ,