线性代数6.5-线性变换的矩阵表示

即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
一、线性变换的矩阵表示式
设n阶矩阵 a 11 a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2 n ( , ,L , ), A= αn = α1 α2 M M M L a nn a n1 a n 2 a 1i a 2i , 其中α i = 定义 R n 中的变换 y = T ( x )为 M a ni
( 2)
r Tα = i = α , r Tβ = j = β , r Tγ = i + r = α + β , j
即
1 0 1 T (α , β , γ ) = (α , β , γ ) 0 1 1 . 0 0 0
此例表明： 此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵． 有不同的矩阵．
T ( x ) = Ax , ( x ∈ R n ),则T为线性变换 . 设 e 1 , e 2 ,L , e n 为单位坐标向量 , 那么 a 11 a 12 L a 1n 1 a 21 a 22 L a 2 n 0 A e1 = M = α 1 , LL , M M M 0 a n1 a n 2 L a nn a 11 a 12 L a 1n 0 a 21 a 22 L a 2 n 0 Aen = M = α n , M M M 1 a n1 a n 2 L a nn
L a1n L a2 n , L L L ann
那末， 那末，A 就称为线性变换 T 在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n下的 矩阵． 矩阵．
显然, 矩阵A由基的象 T (α 1),L , T (α n )唯一确定.
现在, 假设A是线性变换 T在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 下 的矩阵 , 也就是说基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 在变换 T下的象为 T (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A 那么, 变换T需要满足什么条件呢 ?
D p1 = 3 x 2 = 0 p1 + 3 p 2 + 0 p 3 + 0 p 4 , D p 2 = 2 x = 0 p1 + 0 p 2 + 2 p 3 + 0 p 4 , D p 3 = 1 = 0 p1 + 0 p 2 + 0 p 3 + 1 p 4 , D p 4 = 0 = 0 p1 + 0 p 2 + 0 p 3 + 0 p 4 ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
在线性空间 R[ x ]n 中, 定义变换 d f ( x ), f ( x ) ∈ R[ x ]n σ ( f ( x )) = dx 则由导数性质可以证明 : σ是 R[ x ]n 上的一个线性 变换, 这个变换也称为 微分变换 .
现取 R[ x ]n 的基为1, x , x 2 ,L , x n − 1 , 则有
a 11 a 12 A= , a 21 a 22 求T在基 α 2 ,α 1 下的矩阵 .
解
0 1 (α 2 ,α 1) = (α 1 ,α 2 ) , 1 0 0 1 P= , 1 0 求得 P
−1
即
0 1 = , 1 0
于是T在基(α 2 ,α 1)下的矩阵为
n
二、线性变换在给定基下的矩阵
定义１ 设 T 是线性空间 Vn中的线性变换，在 Vn 定义１ 中的线性变换， 中取定一个基α 1 ,α 2 ,L,α n，如果这个基在变换 T 下的象为 T (α 1 ) = a11α 1 + a21α 2 + L + an1α n , T (α ) = a α + a α + L + a α , 2 12 1 22 2 n2 n LLLLLLLLLLL T (α n ) = a1nα 1 + a2 nα 2 + L + annα n ,
即
α i = A e i = T (e i )
( i = 1,2,L , n)
因此 , 如果一个线性变换 T有关系式 T ( x ) = Ax , 那么矩阵 A应以T (e i )为列向量 . 反之, 如果一个线性变换 T使T (e i ) = α i ( i = 1,2, L , n), 那么 T ( x ) = T [(e 1 , e 述, 综上所述 可知
R 中任何线性变换 T , 都可用关系式 T ( x ) = Ax 表示, 其中 ( x ∈ R n)
A = (T (e 1), T (e 2 ),L , T (e n )) a 11 a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2 n , = M M M L a nn a n1 a n 2 e 1 , e 2 ,L , e n 为单位坐标向量 .
记T (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) = (T (α 1 ), T (α 2 ),L , T (α n )), 上式
可表示为
T (α 1 ,α 2 ,L,α n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n ) A
其中
a11 a21 A= L a n1
a12 a 22 L an 2
T ( β1 , β 2 ,L, β n ) = ( β1 , β 2 ,L, β n )B
于是
( β 1 , β 2 ,L , β n )B = T ( β 1 , β 2 ,L , β n )
= T [(α 1 ,α 2 ,L,α n )P ] = T[(α1 ,α2 ,L,αn )]P
= (α 1 ,α 2 ,L,α n ) AP
若A是T的矩阵, 则T的秩就是 R( A).
若T的秩为 r , 则T的核 S T 的维数为 n − r .
由基 α 1 ,α 2 ,L,α n 到基 β 1 , β 2 ,L, β n 的过渡矩阵为 V P ， n中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵依次为 A 和 B ，那末 B = P − 1 AP .
证明 Q ( β 1 , β 2 ,L, β n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n )P
T (α1 ,α 2 ,L,α n ) = (α1 ,α 2 ,L,α n ) A,
T (α )的坐标为
x1 x2 T (α ) = A . M xn
因此按坐标表示, 因此按坐标表示,有 因此按坐标表示 有
T (α ) = Aα .
例1 在 P[ x ]3 中, 取基 p1 = x 3 , p 2 = x 2 , p 3 = x , p 4 = 1, 求微分运算 D的矩阵 . 解
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
例3 在 R 3中, T表示将向量投影到 xOy平面的线性 变换,即 r r r r r T ( xi + yj + zk ) = xi + yj , r r r (1)取基为 i , j , k , 求T的矩阵; r r r r r ( 2)取基为 α = i , β = j , γ = i + j + k , 求T的矩阵 . r r Ti = i , 解 r r (1) Tj = j , r r Tk = 0, 1 0 0 r r r r r r T ( i , j , k ) = ( i , j , k ) 0 1 0 . 即 0 0 0
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
σ ( x n − 1) = ( n − 1) x n − 2
因此, σ在基1, x , x 2 ,L , x n − 1 下的矩阵为 0 0 1 0 L 0 0 0 2 L A=M M M M 0 0 0 L n − 1 0 0 0 L 0
以A为矩阵的线性变换 T由上式唯一确定 .
结论
在V n中取定一个基后 ,由线性变换 T可唯一地 确定一个矩阵 A,由一个矩阵 A也可唯一地确定一 个线性变换 T .
在给定一个基的条件下 , 线性变换与矩阵是一 一对应的.
从关系式 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 T M M xn x n 可知 : 在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 下, x1 x2 α的坐标为 α = ; M xn
= T ( x1 e1 + x 2 e 2 + L + x n e n) = x 1 T ( e 1) + x 2 T ( e 2 ) + L + x n T ( e n ) = (T (e 1), T (e 2 ),L , T (e n )) x = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x = Ax .