线性代数：LA3-6 线性变换及其矩阵表示
线性变换考研知识点总结
线性变换考研知识点总结一、线性变换的基本概念1.1 线性空间线性空间是指一个集合V，其上有两种运算：向量的加法和数乘，满足一定的性质，即：（1）对于任意u，v∈V，有u+v∈V；（2）对于任意k∈F（其中F是一个字段），有ku∈V；（3）满足加法交换律、结合律、分配律和单位元存在。
1.2 线性变换的定义设V和W是两个线性空间，若存在一个映射T: V→W，满足以下条件：（1）对于任意u，v∈V，有T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）对于任意k∈F和任意u∈V，有T(ku) = kT(u)。
则称T为从V到W的线性变换。
1.3 线性变换的矩阵表示设V是n维线性空间，B = {v1, v2, ..., vn}是V的一组基，W是m维线性空间，C = {w1, w2, ..., wm}是W的一组基。
若T: V→W是一个线性变换，则存在一个m×n的矩阵A，使得对于任意u∈V，都有T(u)在基C下的坐标向量等于A乘以u在基B下的坐标向量。
1.4 线性变换的性质（1）零变换：对于任意线性空间V，零变换T：V→V定义为T(u) = 0，对于任意u∈V都有T(u) = 0。
（2）恒等变换：对于任意线性空间V和其基B，存在一个单位矩阵I使得对于任意u∈V 都有I(u) = u。
二、线性变换的基本定理2.1 线性变换的核与值域（1）核：对于线性变换T: V→W，其核Ker(T)定义为Ker(T) = {u∈V | T(u) = 0}，即T的所有零空间。
（2）值域：对于线性变换T: V→W，其值域Im(T)定义为Im(T) = {T(u) | u∈V}，即T所有可能的输出向量。
2.2 线性变换的满射与单射（1）满射：若线性变换T: V→W的值域等于W，即Im(T) = W，则称T是满射的。
（2）单射：若对于任意非零向量u，若T(u)≠0，则称T是单射的。
2.3 线性变换的秩和零度若线性变换T: V→W，则其秩rank(T)等于T的值域Im(T)的维数；零度nullity(T)等于T 的核Ker(T)的维数。
04 线性变换及其矩阵
酉矩阵 U： UHU=I 正交矩阵 C 和酉矩阵 U 有如下性质 1）det C= ±1; |det U|=1. 2） C−1 = CT ;U −1 = U H 3） 正交（酉）矩阵的逆，乘积仍为正交（酉）矩阵
3, 线性变换相关的空间 ★象空间
R(T ) = {β | ∃α ∈Vn (F ), s.t.β = T (α)}
dimR(T)为线性变换 T 的秩 ★零空间
N (T ) = {α | T (α) = 0}
dimN(T)为线性变换 T 的零度。 [例] 求线性变换TA 的象空间和零空间。
4. 线性变换的运算
a2n
an1 an2
ann
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎦
=
[α1,
α 2
,
,
α n
]
A
1.
定义：把
A
称为 T
在基
{α 1
,
α 2
,
,
α n
}
下的矩阵。
对
P4
[X]上的线性变换
D
=
d dx
，
i) 求 D 在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。
ii)求向量 p(x) = 10− 2x + 2x2 + 3x3 在变换 D 下的象。
四， 正交变换和酉变换 讨论内积空间[V；（α，β）] 中最重要的一类变换。
1 定义
如果变换 T 保持内积： (T α,T β) = (α, β) ，称为内积空间上的正交变换。
空间为欧氏空间，称为正交变换； 空间为酉空间，称为酉变换。
线性变换及其矩阵表
层图：
传统机械按键设计要点
按
PCB
键
A
： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的
开关 键
按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键
设计间隙建议留
0.05~0.1mm，以防按键
死键。
3.要考虑成型工艺，合
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设
J :C a,b C a,b,
J
f
x
x
a
f
x
dx,
这是一个线性变换。
例5 考虑V=Pn[x]∩C[a,b]，易有DJ(f(x))=f(x)，但是 JD(f(x))=f(x)-f(a)。
因此DJ≠JD。
6
下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3 中，T x1, x2 , x3 (2x1, x2 , x2 x3 ). × 2．在 Pn[ x] 中，T f ( x) f 2( x). × 3．在线性空间V中，T , V 非零固定. √ 4．在 C nn中，T X AX , A C nn 固定. × 5．复数域C看成是自身上的线性空间，T( x) x . √ 6．C看成是实数域R上的线性空间， T( x) x . 7
例6 设线性空间R3中的线性变换T为：
T ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ),
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例基7I：设fP0n[x]1中, f的1 线x性, f2变换x2T2! 为, ：, fTn(f(xxn)n)!=,f ’(x)，
基II： g0 1, g1 x, g2 x2, , gn xn,
组基下的矩阵为 A
线性代数——线性变换
2 1 1 1 1 1 1 2 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 r1 r2 4 r3 2 4 9 1 1 2
1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
三、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
思考题
设 A 为任一实矩阵 R( A A)与R( A)是否相等? ,
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 0, 当Ax 0时, x
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
c3 c 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 I 0 0
矩阵 I 称为矩阵 A 的标准形.
特点： I的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零.
0 3 3 4 3
1 4 1 1 2 1 r2 (3) 0 1 1 2 3 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3
1 1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 0 1 1 2 3 3 r 3r 4 2 0 5 5 3 6 0 0 3 3 4 3 0
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
线性代数6-3线性变换及其矩阵
,,
n与1,
2
,,
是线性空间
n
V
中的两组基 ,并且由基 1,2 ,,n到基1, 2 ,, n
的过渡矩阵为 P,V中的线性变换在两组基 下的矩阵
分别为A, B,则有B P1AP.
证明
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P T 1,2,,n 1,2,,n A, T 1, 2,, n 1, 2,, n B
该基下的坐标(x1, x2 ,, xn )和该基的像T (1),T (2 )
,T (n )所确定 3.线性变换矩阵
由于T (1),T (2 ),T (n )是V中的向量,所以可由1,
2 ,n线性表示.所以有
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
a22
an2
a2n
(
,
1
ann
,,
2
),
n
a
i
2i
,
a ni
定义Rn中的变换 y T (x)为 T( x) Ax,( x Rn),
则T为线性变换.
总结:要证一个变换 T 是线性变换，必须证 T 保持 加法和数量乘法，即
证毕.
定理表明：A 与B 相似,且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵．
例４ 设V 2中的线性变换T在基 1 , 2下的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 , 1下的矩阵.
解
(
2
,
1)
(
1 ,
2)
0 1
1 , 0
线性代数 线性变换
5) 零变换 O: V V , O(v) = 0
2. 线性变换的性质
设 L: VW 是一个线性变换，则有 (i) L(0) = 0
(ii) L(−v) = −L(v) ， vRn.
(iii) 设 v1, ... , vk ∈ V , α1,...,αk ∈ , 有 L(α1v1 +···+αkvk) = α1 L(v1) + ···+ αk L(vk)
称 ker (L)为L 的核, L(S5 设线性算子L(x) = (x1, 0)T: 2 2 . 则ker(L)= Span(e2) ; L( 2) = Span(e1) .
定理1
设 L : V W 是一个线性变换, S是V 的一个子空间. 则 i) ker(L) 是V 的子空间. ii) L(S) 是W 的子空间.
例 2 设 f : ，对应关系为 f (x) = ax+b ，它是线性映射吗？ 答：f 是 上的一个线性映射当且仅当 b = 0.
例 3 证明：A Rmn , 映射 L(x) = Ax是从 n m的线性变换.
x=(x1, x2)T
y
1) L(x)=(x1, x2)T 2 2
x
x
L(x)
2) L(x)=3x 2 2
第四章 线性变换
4.1 线性变换的概念
线性变换的判别； 线性变换的核与值域； 线性变换的性质.
1. 线性变换的定义
定义 设 L: VW 是从线性空间V 到线性空间W的映射. 若映射L满足: 对任意的v1, v2 V 及实数 α , β, 有
L(αv1 + βv2) = αL(v1) + βL(v2) 则称映射L是从V 到W的一个线性映射.
线性变换的矩阵表示
即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理１ 定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
线性代数之——线性变换及对应矩阵
线性代数之——线性变换及对应矩阵1. 线性变换的概念当⼀个矩阵A乘以⼀个向量\boldsymbol v时，它将\boldsymbol v变换到另⼀个向量A\boldsymbol v。
进来的是\boldsymbol v，出去的是T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v。
⼀个变换T就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字x，得到f(x)。
但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的\boldsymbol v，我们是将整个空间\boldsymbol V进⾏变换当我们⽤A乘以每⼀个向量\boldsymbol v时。
⼀个变换T，为空间\boldsymbol V中的每⼀个向量\boldsymbol v分配⼀个输出T( \boldsymbol v)。
这个变换是线性的，如果它满⾜：(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v)\space 对任意 \space c \space 成⽴我们可以将这两个条件结合成⼀个，T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)矩阵相乘满⾜线性变化，因为A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓形。
这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。
但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合Av，零空间包含所有使得Av=0的输⼊。
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则称σ是可逆变换，称τ是σ的逆变换,记为 1
注 变换 可逆当且仅当 是双射，并且当 可逆时， -1 唯一。
定理3.6.2 可逆线性变换的逆变换也是线性
变换。
证 设 是可逆线性变换， 1是它的逆变换。
任取 1,2 V ,k F，令
11 1,
a2 f x2 b2gx2 2abf xgx 而 a f x b gx a f x2 bgx2 所以 af x bgx a f x b gx
由此可知，该变换不是线性的。
例 在 R3中定义变换
( x1, x2 , x3) ( x12 , x2 x3, 0)
则 不是 R3的一个线性变换．
则称 为单射；若 既是单射又是满射，则称
为双射，也称为一一对应。
定义3.6.3 设 , 是A到B的两个映射，
若a A都有 a a，则称 与 相等，记
为 .
定理3.6.1 设 是集合A到B的映射， 是集合
B到C的映射,则
( (a)),a A 确定集合A到C的一个映射，称之为 与 的乘 积，记为 ，即 (a) ( (a)),a A
kf
x
x
a kf
t dt
k ax f
t dt
k
f
x
故命题得证。
例3.6.6 取定 k F ,定义V 的变换
( ) k , V 易证 是V 的一个线性变换，称之为数乘变换。
事实上，
(a b ) ka b ka kb ak bk a b
特别地，当 k 0 时，称此变换为零变换，
此时称y为x在 下的R, ( x) x2, 则 是A到
B的映射。
例3.6.2 在解析几何中，设A表示空间中所 有点的集合，B R3, 则在建立空间直角坐标系后， 存在A到B的一个映射。
例3.6.3 设 A Rn , B N , (M ) r(M ), 则 是A到B的映射。
是F[ x] 的一个线性变换。 例3.6.5 变换
( f ( x)) ax f (t)dt, f ( x) C[a,b]
是C[a, b] 的一个线性变换。
证明 设 f x , g x C[a, b], k R ，则
f
x
g
x
x
a
f
t
g
t
dt
x
a
f
t dt
x
a
gt dt
f x g x
因为，对
a1,a2,a3 , b1,b2,b3 R3,
(a1 b1, a2 b2, a3 b3)
a1 b1 2 ,a2 a3 b2 b3,0
（当 a1b1 0 时） a12,a2 a3,0 b12,b2 b3,0
所以， 不是线性变换。
性质3.6.1 设 为线性变换，则
（1） ( ) , ( ) ( )
（2）σ 保持线性组合与线性关系式不变 （3）σ 把线性相关的向量组变成线性相关的 向量组。
证 1 ( ) 0 0
( ) ( )
故 ( ) ( )
注 σ 也可能把非零向量变为零向量。
二、线性变换的概念
在解析几何中，常需要把空间中的点向某 一固定平面作投影，例如向xoy面投影。在线性 代数中，这实际上是实数域R上的3维向量空间
R3到自身的一个映射 :
x, y, z x, y,0, x, y, z R3
不难发现
x1, y1, z1 x2, y2, z2 x1, y1, z1 x2, y2, z2
§3.6 线性变换及其矩阵表示
一、映射
定义3.6.1 设A、B是两个集合，若有一个确定的 法则，使对A中每个元素x，都有B中唯一确定的元 素y与之对应，则称这个法则是A到B的一个映射。
如果 是A到B的映射，则记为 : A B 如果 x A通过 对应 y B ，则记为
: x y 或 x y
记为 ， 即0 0 , V
当k 1时，称此变换为恒等变换或单位变
换，记为 ,即 , V
例3.6.8 设 是V上的线性变换， 是V 的恒等变换，则 = = 。
例3.6.7 在F[ x]中，定义变换
( f ( x)) [ f ( x)]2, f ( x) F[x]
因 (af ( x) bgx) [af ( x) bgx]2
由上面三个例子可知：
（1）A与B可以是相同的集合，也可以是不同 的集合；
（2）对A中每个元素x，需要B中一个唯一确 定的元素与它对应；
（3）一般来说，B的元素不一定都是A中元 素的象。
设 : A→B,记 (A) = { (x), x∈A}，称之为 A在映射 下的象集合。显然 (A) B。
定义3.6.2 设 是A到B的映射，若 A B 则称 为满射；若 a,b A,a b,均有 a b
（2）设 k11 k22 kmm,则
k1 1 k2 2 km m
即线性组合的象等于象的线性组合且组合系数相同
（3）由（1）与（2）可证（3）.
注 （3）的逆不成立，σ 也可能把线性无关的向 量组变成线性相关的向量组。
定义3.6.5 设σ是线性空间V的一个变换。若 存在V的另一个变换τ,使
k x1, y1, z1 k x1, y1, z1
其中x1, y1, z1与 x2, y2, z2 是 R3中任意向量，k 是
任一实数。即，保持 R3中的线性运算的线性性 质，因此 可称为是线性的。
一个集合 S 到自身的映射称为 S 的变换。所
以， 是向量空间R3的一个线性变换。我们引入
定义3.6.4 设 是数域F上的线性空间V的 一个变换。如果对任意的 , V ,k F , 均有
, (k ) k ( ) (3.6.1)
那么就称 是V的一个线性变换。
是线性变换的充要条件为
(k l ) k ( ) l ( )
(3.6.2)
例3.6.4 求导变换D: D( f ( x)) f ( x), f ( x) F[ x]