分式的恒等变形精讲精练
分式的恒等变形习题
一、化分式为部分分式的和【例1】 若213111a M N a a a -=+--+，求M 、N 的值.【巩固】已知正整数,a b 满足1114a b +=，则a b +的最小值是 ．【例2】 已知2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b .【例3】 若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .【例4】 将269x -化为部分分式.【例5】 化21(1)(2)x x x ---为部分分式．【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--. 例题精讲分式恒等变形（竞赛部分）【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)x x x x x -++++.【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)x x x x x ++-+-.二、分式的恒等证明 【例8】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【例9】 已知：a c b d=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.【例10】 若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a z c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---【例11】 若1abc =，求证：1111a b c a ab b bc c ca++=++++++.【巩固】已知1111a b c a ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =.【例12】 已知0a b c b c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.【例13】 已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，且a b c d B b c d c d a d a b a b c+++=++++++++。
分式的恒等变形
分式的恒等变形————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础,并结合分式自身的特点,因此更具有独特的复杂性和技巧性,在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有:分式性质、概念的灵活应用,分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一:基本知识 1.分式的运算规律 (1）加减法:)(同分母cb ac b c a ±=± )(异分母bcbd ac c d b a ±=± （2）乘法：bdac d c b a =• （3）除法：bcad d c b a =÷ （4）乘方：n nn ba b a =)( 2.分式的基本性质（１))0(,≠÷÷==m mb m a b a bm am b a (2）分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变。
３.比例的重要性质(1）如果ef b a e f c d c d b a ===那么,(传递性） (2）如果bd ac cd b a ==那么（内项积等于外项积） (3)如果)(合比性质那么cd c b b a d c b a ±=±= (4)如果)()0(,合分比性质那么db d bc a c ad b d c b a -+=-+≠-= (5）如果,0,≠+++==n d b nm d c b a 且 那么)(等比性质ba n db mc a =++++++4.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
（2)如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
（3）如果两个正数互为倒数,那么这两个正数的和不小于2。
二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中,如何灵活巧妙的运用乘法公式。
分式的基本性质恒等变形-27页文档资料
3x4y; 3x4y
(2) 0.0 3 .a 2a 0.b 5b0 .0 3 .a 2a 0.b 5 b 1 0 102 3 a a 1 5 0 b b.
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三、例题讲解与练习
练习3.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项
的系数都化为整数.
0 .5 x 1
0.01x 0.5
（3） 2 m n
解：1 5b 5b
6a 6a
2 x x
3y 3y
3 2m 2m
n n
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三、例题讲解与练习
练习4. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母 都不含“－”号：
2x, 3a,10m 5y 7b 3n
练习5. 下列分式中，与 x y 相等的是（ ）. x y
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1.填空
(1 )
y x
() x2
ab (2) a 2
(
b
)
(3) 1 xy
( 2 xy
)
2
(4) a 2 a ( )
ac
c
作业
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作业
2. 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) 1 c (c 0 ) ab abc
(2) a 2x a 2 bx b
a 1b
(2)
4 3 2b
4
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课堂小结
1.把分数和分式进行类比,有利于对分式的基本性质的理解. 2.在运用分式的过程中,要注意题目中隐含条件的作用. 3.分式的变号法则:分式的分子、分母和分式本身的三个
符号中，任意改变其中的两个，分式的值不变。 4.在有关分式的问题中,常常要把分式按数学习惯变形成 为规范的形式.
分式的恒等变形
c
b
a
abc
第二讲：分式的恒等变形
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例 15.如果 p, q, 2 p 1, 2q 1都是整数，且p 1, q 1,求p q的值 。
qp
三、有关分式的化简问题 例 16.化简 a b b c c a (a b)(b c)(c a) 。
a b b c c a (a b)(b c)(c a)
c ab c2
0
求 a b c 的值。
(bc a2 )2 (ac b2 )2 (ab c2 )2
例 5.已知 x y z 1, a b c 0,
abc xyz
求 x2 y2 z2 的值。
a2 b2 c2
第二讲：分式的恒等变形
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例 6.已知 x+y+z=3a ( a 0 ,且 x、y、z 不全相等)， 求 (x a)( y a) ( y a)(z a) (z a)(x a) 的值 。
2
第二讲：分式的恒等变形
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例 9.已知 x 1 ，试求分式 x2 的值。
x2 x 1 4
x4 x2 1
例 10.已知三个不全为零的数 x、y、z 满足 4x 3y 6z 0 ，
x
2y
7z
0 。求
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7z2
的值。
例 11.若 x、y、z 为有理数，且
b
c
（4）如果 a c , (b d 0)那么 a c b d (合分比性质)
bd
ac bd
（5）如果 a c m ,且b d n 0,
bd
n
那么 a c m a (等比性质) b d n b
分式恒等变形小结教学案精编
分式恒等变形题型一：分式的混合运算与化简求值对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y x x ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y=⋅- 2x x y =-【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---例题精讲典题精练【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．题型二：分式的恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-． 【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c ++++++++=++．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++题型三：部分分式与分离常数此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【例7】 ⑴已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值；⑵已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a 、b 、c 互不相等，求证：8a +9b +5c =0．训练1. ⑴x 为何值时，分式1111x++有意义？ ⑵要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值．⑶当x ____时，(8)(1)1x x x -+-值为零. ⑷化简2212239a aa a a a -+÷---训练2. 已知31=+xx ，求1242++x x x 的值训练3. 已知：xy a x y =+，xz b x z =+，yz c y z =+，且0abc ≠．求证：2abcx bc ac ab =+-．训练4. 已知：0a b c ++=，8abc =．求证：1110a b c ++<．题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 .题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习2】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【练习3】 已知1x y za b c++=，0a b c x y z ++=，求证：2222221x y z a b c ++=．题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？。
北师大版初二数学下册《分式的概念和性质》知识讲解及例题演练
北师大版初二数学下册《分式的概念和性质》知识讲解及例题演练【学习目的】1. 了解分式的概念，能求出使分式有意义、分式有意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能应用分式的基本性质将分式恒等变形，进而停止条件计算. 【要点梳理】要点一、分式的概念普通地，假设A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：〔1〕分式的方式和分数相似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.〔2〕分式与分数是相互联络的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有普通性；分数是分式中字母取特定值后的特殊状况.〔3〕分母中的〝字母〞是表示不同数的〝字母〞，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.〔4〕分母中含有字母是分式的一个重要标志，判别一个代数式能否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看方式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，有意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式有意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：〔1〕分式有有意义与分母有关但与分子有关，分式要明白其能否有意义，就必需剖析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以防止分母的值为零.〔2〕本章中假设没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.〔3〕必需在分式有意义的前提下，才干讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这特性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，〔其中M是不等于零的整式〕.要点诠释：〔1〕基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是条件中隐含着的条件，普通在解题进程中不另强调；M≠0是在解题进程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必需重点强调M≠0这个前提条件.〔2〕在运用分式的基本性质停止分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有能够发作变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法那么关于分式中的分子、分母与分式自身的符号，改动其中任何两个，分式的值不变；改动其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：依据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.依据有理数除法的符号法那么有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法那么在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分相似，应用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改动分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.假设一个分式的分子与分母没有相反的因式〔1除外〕，那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：〔1〕约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.〔2〕约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大条约数与相反因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的方式，然后再停止约分. 【典型例题】 类型一、分式的概念1、指出以下各式中的整式与分式：1x ，1x y +，2a b +，x π，231x -，23-，232y -+，2x x，24y ．【答案与解析】解：整式有：2a b +，x π，23-，232y -+，24y ；分式有：1x ，1x y +，231x -，2x x ．【总结升华】判别分式的依据是看分母中能否含有字母．此题判别容易出错的中央有两处：一个是把π也看作字母来判别，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判别，如x 和2x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相反的．类型二、分式有意义，分式值为02、 当x 取什么数时，以下分式有意义？当x 取什么数时，以下分式的值为零？ 〔1〕21x x +；〔2〕25x x -；〔3〕2105x x --． 【答案与解析】解：〔1〕当210x +≠，即21x ≠-时，分式有意义．∵ 2x 为非正数，不能够等于－1， ∴ 关于恣意实数x ，分式都有意义； 事先0x =，分式的值为零．〔2〕当20x ≠即0x ≠时，分式有意义；当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩即5x =时，分式的值为零〔3〕当50x -≠，即5x ≠时，分式有意义； 事先50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②，分式的值为零，由①得5x ≠时，由②得5x =，相互矛盾． ∴ 不论x 取什么值，分式2105x x --的值都不等于零． 【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三： 【变式1】假定分式6522+--x x x 的值为0，那么x 的值为___________________.【答案】－2；提示：由题意2||20560x x x -=⎧⎨-+≠⎩，()()||20320x x x -=⎧⎪⎨--≠⎪⎩，所以2x =-.【变式2】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为正数？ 【答案】解： 由题意可知20,260,x x ->⎧⎨+<⎩或20,260.x x -<⎧⎨+>⎩解不等式组20,260,x x ->⎧⎨+<⎩该不等式组无解．解不等式组20,260.x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<．所以事先32x -<<，分式226x x -+的值恒为正数． 类型三、分式的基本性质3、不改动分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) ； (2)； (3).【答案与解析】 解：(1)；(2)()221122a a a a -++==---； (3).【总结升华】(1)、依据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法那么：当括号前添〝＋〞号，括号内各项的符号不变；当括号前添〝—〞号，括号内各项都变号. 举一反三：【变式】以下分式变形正确的选项是〔 〕A ．22x x y y =B ．2222()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--C ．211211x x x x -=-+- D ．2b aba a= 【答案】D ；提示：将分式变形时，留意将分子、分母同乘〔或除以〕同一个不为0的整式这一条件．其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中0m n -≠这一条件不知能否成立，故A 、B 两项均是错的．C 项左边可化为：2111(1)11x x x x -=≠---，故C 项亦错，只要D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分4、以下约分正确的选项是〔 〕A ．326x x x = B ．0=++yx y xC ．xxy x y x 12=++ D ．212222=y x xy 答案：C ．【总结升华】此题主要考察了约分，用到的知识点是分式的性质，留意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相反时约分结果应是1，而不是0． 类型五、分式条件求值5、假定2xy=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．【答案与解析】 解法一：由于2xy=-，可知0y ≠， 所以22222222221(23)23167(67)x xy y x xy y y x xy y x xy y y ----=----222367x x y y x x y y⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭解法二：由于2xy=-， 所以2x y =-，且0y ≠，所以222223(3)()323567(7)()7279x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---． 【总结升华】此题的全体代入思想是数学中一种十分重要的思想．普通状况下，在条件中含有不定量时，不需求其详细值，只需将其作为一个〝全体〞代入停止运算，就可以到达化简的目的．。
分式精讲精练55道
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.5分式精讲精练（11大核心考点深度分类导练，例题11道+变式44道）【知识梳理】1.分式的有关概念：分式有意义的条件是 不为零；分式无意义的条件是分母 ；分式值为零的条件是 为零且 不为零．注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．2.分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值 ．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意：（1） 是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；（2）将分式化简，即 ，要先找出分子、分母的 ，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别 ，然后再 ，约分应彻底；（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母 ， 相加减②异分母的分式相加减：先，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．4.分式的乘除运算（1）乘法法则：分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式．注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算，再将除法化为，进行化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是分式或整式．【典例剖析】【例1】要使分式x1(x1)(x2)有意义，x的取值应满足（ ）A．x≠﹣2B．x≠1C．x≠﹣2或x≠1D．x≠﹣2且x≠1【变式训练】1．（2023春•洛江区校级月考）下列各式中，分式的个数为（ ）a2x1，xπ1，―3ab，12x+y，12x y，12x+y．A．5B．4C．3D．22．（2023•余姚市校级模拟）若代数式x1x1有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＞1D．x＞﹣1 3．（2023春•原阳县月考）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）A ．x a|x|2B ．x 2x 1C ．3x 1x2D ．x 22x 214．（2023•河北模拟）式子2a ﹣a ÷b 可以化为（ ）A ．abB ．―abC ．2a ―abD ．2a ―b a【例2】若分式|x|2x 2的值为零，则x 的值为 ﹣2 ．【变式训练】5．（2023•瑞安市模拟）若分式2x 4x 3的值为0，则x 的值为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝﹣2D ．x ＝06．（2022秋•大连期末）分式x 249x 7的值为零，则x 的值为（ ）A ．±7B ．7C ．﹣7D ．07．（2023春•鼓楼区校级月考）下列关于分式的判断，正确的是（ ）A ．当x ＝2时，x 1x 2的值为零B ．当x 为任意实数时，3x 21的值总为正数C ．无论x 为何值，3x 1不可能得整数值D ．当x ≠3时，x 3x有意义8．（2023春•原阳县月考）有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m ≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．【例3】将分式x yx 2y 中x 、y 的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）A ．变为原来的2倍B ．变为原来的4倍C ．不变D ．变为原来的一半【变式训练】9．（2023春•西乡塘区校级月考）如果把分式3xyx y 中的x 、y 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）A ．缩小为原来的12B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．不变10．（2023春•宜宾月考）下列各分式正确的是（ ）A ．b a =b 2a2B ．x 6x3=x 2C ．x 25xx 210x 25=xx 5 D ．―x 1x y =x 1x y11．（2023春•原阳县月考）不改变分式3x 1x 27x 2的值，使分式的分子、分母中x 的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）A ．3x 1x 27x 2B ．3x 1x 27x 2C ．3x 1x 27x 2D ．3x 1x 27x 212．（2023•佛山一模）已知b ＞a ＞0，下列选项正确的是（ ）A ．ab ＜a 1b 1B ．a b ＞a 1b 1C ．1a 21＜1(a 1)2D ．ab ＜a mb m【例4】分式a3b 2和59a 2b的最简公分母是 ．【变式训练】13．（2023春•宜宾月考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A ．xyx 2B ．y 2yxyC ．x 2y 2x yD ．x 2y 2x y14．（2022秋•思明区期末）若9x9△是一个最简分式，则△可以是（ ）A ．xB ．13C ．3D ．3x15．（2023春•宜宾月考）23x 2(x y)，23x 3y ，12xy 的最简公分母是 ．16．（2022秋•新华区校级期末）有分别写有x ，x +1，x ﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式()x 21的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．【例5】化简x 2y 2(y x)2的结果是 ．【变式训练】17．约分①36xy 2z 36yz 2②m 242m m 2③82mm216．18．约分：（1）36xy2z36yz2（2）82mm216（3）m244m 2m m2．19．通分：（1）x6ab2，y9a2bc；（2）1x216，12x8．20．通分：（1）4a5b2c，3c10a2b，5b2ac2（2）x(2x4)2，16x3x2，2xx24．【例6】已知1a―1b=13，则abb a的值等于 3 ．【变式训练】21．（2023•海曙区校级一模）若ab=2，则2a bb= ．22．（2023•荔湾区校级开学）已知3m6的值为正整数，则整数m的值为 ．23．（2022秋•福清市期末）已知分式2x ax b（a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值20.5c 分式的值无意义03则c的值是 ．24．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知x2=y3=z5≠0，则分式3x2y z5x2y3z的值为 ．【例7】计算（xy﹣x2）÷x yxy的结果（ ）A．1yB．x2y C．﹣x2y D．﹣xy【变式训练】25．（2022秋•阳谷县期末）计算(x2x)2÷x24x22x的结果是 ．26．（2023•襄州区开学）计算（ab）2÷（2a25b）⋅a5b= ．27．计算：（1）ab⋅ba2；（2）(a2―a)÷aa1；（3）x21y÷x1y2．28．计算：（1）8m2n4⋅(―3m4n3)÷(―m2n2)；（2）xx21÷x2yx2x；（3）―(mn)5⋅(―n2m)4÷(―mn)4；（4）(xy+x2)÷x22xy y2xy⋅x yx3．【例8】计算：x2x1―x+1＝ ．【变式训练】29．（2023•阳城县一模）化简x2x24―x22xx24x4的结果是（ ）A．1xx2B．x1x2C．xx2D．1x230．（2023•东港区校级一模）观察下列各式：a1＝1，a2=25，a3=14，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足则1a n+1a n+2=2a n+1，则a2023＝ ．31．计算：（1）21a+a22a3(a1)2（2）11x+2x1x2．32．计算：（1）x2x1―x―1（2）x2x22x―x1x24x4（3）(xy―x2)(1x+1y x)（4）（x﹣1―8x1）÷x3x1．【例9】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ）A．爸爸B．妈妈C．一样D．不确定【变式训练】33．（2022秋•南岗区期末）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，可求得提速前列车的平均速度为 km/h．34．（2022秋•裕华区校级期末）某生产车间要制造a个零件，原计划每天制造x个，后为了供货需要，每天多制造6个，可提前 天完成任务．35．（2022•思明区校级模拟）生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝ ；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝ ；（2）请你解释一下这个生活中的现象．36．有A，B两箱水果，A箱水果重量为（a﹣1）2kg，B箱水果重量为（a2﹣1）kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元．（1）哪箱水果的单价要高些？（2）两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？【例10】化简（1）2a4a24+1 （2）x2y2x22xy y2÷（x2―xyx y）【变式训练】37．（2023春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）x22xx1―11x；（2）x4x3÷(x―3―7x3)．38．（2023春•兴化市月考）计算：（1）2x2―xx2；（2）2aa24⋅a2a+aa2．39．（2023•南京一模）计算（1a1―a21a22a1）÷a2aa1．40．（2023•榆次区一模）下面是小敏同学化简分式(5x2―1)⋅x3x29的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式=(5x2―1)⋅x3(x3)(x3)……第一步=51x2⋅1x3……第二步=4x2⋅1x3⋯⋯第三步=4x2x6……第四步任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是 ；②第 步开始出现错误，错误的原因是 ；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．【例11】已知ab=54，求aa b+ba b―b2a2b2的值．【变式训练】41．（2023•镇海区校级模拟）先化简，再求值：x1x22x1÷（x2x1x1―x﹣1）―1x2，然后从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．42．（2023•雁塔区校级四模）先化简，再求值：x2x2x÷(1x1+1―x)，其中x＝﹣3．43．（2023•天长市一模）已知A=xy y2y2x2÷(1x y―1x y)．（1）化简A；（2）当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，求A的值．44．（2018秋•闵行区期末）阅读材料：已知xx21=13，求x2x41的值解：由xx21=13得，x21x=3，则有x+1x=3，由此可得，x41x2=x2+1x2=（x+1x）2﹣2＝32﹣2＝7；所以，x2x41=17．xx2x1=a，用a的代数式表示x2x4x21的值．请理解上述材料后求：已知。
17.2.1.A分式的基本性质之恒等变形
0.3a + 0.5b ( 0.3a + 0.5b ) ×10 3a + 5b = = . (2) 0.2a − b ( 0.2a − b ) ×10 2a − 10b
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三、例题讲解与练习
练习3.不改变分式的值， 练习3.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项 3.不改变分式的值 的系数都化为整数. 的系数都化为整数.
2y
−d
(3)
2q −p
(4)
−3m 3m − 2n
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对于假分数我们可以把它们化成带分数，例如： 对于假分数我们可以把它们化成带分数，例如：
11 8 + 3 3 3 = = 2+ = 2 4 4 4 4
类似地， 类似地，可以把一些分子次数比分母次数高的分式转化成 一个整式与一个分子次数较低的分式的和的形式. 一个整式与一个分子次数较低的分式的和的形式.如 x +1 1 = 1+ x x 那么你能用这样的方法把下列分式进行转化么？ 那么你能用这样的方法把下列分式进行转化么？
− ( 2 x − 1) −2 x + 1 2x −1 = 2 =− 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 − ( x − 1) 1− x x −1 = = 2 2 2 2 x − x + 3 − ( x − 2 x − 3) x − 2 x − 3
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2
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巩固练习
y 都扩大两倍,则分式的值( 的 和 都扩大两倍,则分式的值( ) 1.若把分式 1.若把分式 x+ y
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一、化分式为部分分式的和
【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛)
下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B .
【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，
且一次项系数相同)，则p 的最大值是 .
【例3】 （5级）若213111
a M N
a a a -=+
--+，求M 、N 的值.
【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244
x
x -，求a ，b .
【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足111
4
a b +=，则a b +的最大值是 ．
【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，2
8339
m n x
x x x -=+--均成立，求mn .
【例7】 （5级）若关于x 的恒等式
222Mx N c x x x a x b +=-
+-++中，22
Mx N
x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .
【例8】 （4级）将2
6
9
x -化为部分分式.
分式恒等变形（竞赛部分）
【例9】 （4级）化21
(1)(2)
x x x ---为部分分式．
【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：234
2
x x x +--.
【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361
(1)(3)
x x x x x -++++.
【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：322
41338
(1)(2)(1)x x x x x x -+++--.
【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2
10
4
x x ---．
【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231
(1)(1)
x x x x x ++-+-.
二、分式的恒等证明
【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛）
求证：()()3322222222
22a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝
⎭⎝⎭
【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111
x y z y z x
+=+=+，求证：2221x y z =.
【例17】 （5级）已知：a c b d
=，求证：22222222
a b c d a b c d abcd ----++++++=.
【例18】 （5级）若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a
z c a
-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---
【例19】 （5级）若1abc =，求证：1111a b c
a a
b b b
c c ca
++=++++++.
【例20】 （5级）(2003年第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题)
已知1111a b c
a a
b b b
c c ca
++=++++++，求证：1abc =.
【例21】 （6级）(1986年中国数学奥林匹克竞赛赛前培训试题) 已知222
0a b c
bc a ca b ab c ++=---，
求证：()()()
222
2220a b c
bc a ca b ab c ++=---.
【例22】 （6级）已知
0a b c
b c c a a b
++=---，求证：222
0()()()a b c b c c a a b ++=---.
【例23】 (5级)(2002年北京市中学生数学竞赛初二复赛题二)已知0abc ≠，证明：下列四个数
3333
()()()(),,,
a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc
++------中至少有一个不小于6．
【例24】 （5级）已知
223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a b
x y
+=。
【例25】 （5级）（武汉等五市初中数学竞赛试题）已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，
且a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++。
求证： （1）2222
77a b c d B b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++
（2）3333
4968a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++
【例26】 （5级）已知222
0a b c
bc a ac b ab c ++=---，求证：()()()2222220a b c bc a ac b ab c ++=---
三、分式与数论
【例27】 （4级）将
a b b a -写成两个因式的积，使它们的和为a b
b a
+，求这两个式子。
【例28】 （6级）求最大的正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。
【例29】 （6级）在12009这2009个正整数中，使22
1
n n ++不是既约分式的n 共有多少个？。