分式的恒等变形教学提纲
M08A11 分式的恒等变形与证明
第十一节 分式的恒等变形与证明【知识要点】1．设k 法2．比较法：若0=-b a ，则b a =（比差法）；或若1=ba，则b a =（比商法）； 3．换元法 4．消元法 5．整体代入法6．分析法与综合法：根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．【典型例题】例1-1 已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且例1-2 已知,22cb a zc a y c b a x +-=-=++且a 、b 、c 、x 、y 、z 均不为零。
求证：zy x cz x b z y x a +-=-=++22例1-3 已知,333cz by ax ==且1111=++zy x ， 求证：3333222c b a cz by ax ++=++。
例2-1 求证：例2-2 设a c c b b a ac ac r c b c b q b a b a p ++++-=+-=+-=,,,,,其中全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．例3 已知.0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求证：1222222=++cz b y a x 。
例4 已知,,22ya a z x a a y -=-=求证：z a a x 2-=。
例5 求证：()()()()()()()()()abcdd c b a abcd c b a abc b a ab a a 111111111111++++=++++++++++。
例6-1 若cb a 111=+，则()2222c b a c b a -+=++。
八年级数学上册 15.1.2 分式的基本性质教案 (新版)新人教版
分式的基本性质一、教学目标1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力．3．渗透类比转化的数学思想方法．二、教学重点和难点1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．三、教学方法分组讨论．四、教学手段幻灯片．五、教学过程(一)复习提问1．分式的定义？2．分数的基本性质？有什么用途？(二)新课1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：2．加深对分式基本性质的理解：例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？解：∵c≠0，学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)解：∵x≠0，学生口答．解：∵z≠0，例2 填空：把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．练习1：化简下列分式(约分)（1）（2）（3）教师给出定义：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.问：分式约分的依据是什么？分式的基本性质在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：小明：你对他们俩的解法有何看法？说说看！教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.彻底约分后的分式叫最简分式.练习2（通分）：把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.（1）与（2）与解：（1）最简公分母是（2）最简公分母是（x-5）（x+5）(三)课堂小结1．分式的基本性质．2．性质中的m可代表任何非零整式．3．注意挖掘题目中的隐含条件．4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
人教版八年级数学上册《第15章分式恒等变形》讲义(含解析)
8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y xx ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y=⋅-2x x y =-【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法.例题精讲思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a a a a a a -+÷--- 【解析】 ⑴2()()x x y y x y +-；⑵原式()()()331232a a a a a a a+-=+⋅--- 1322a a a +=+--1322a a a --=+-- 2222a a a a --+==---【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值【变式一】已知234x y z==，求22x y z x y z +--+的值． 【解析】 设234x y zk ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ∴原式＝223444223455k k k k k k k k +⨯-==⨯-+．【备注】已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫见比设参法．【变式二】已知2260a ab b +-=，求a ba b-+的值． 【解析】 由2260a ab b +-=，有()()320a b a b +-=，∴30a b +=或20a b -=， 解得3a b =-或2a b =．当3a b =-时，原式＝323b bb b --=-+；当2a b =时，原式＝2123b b b b -=-+．典题精练【探究二】将所求式变形代入求值．【变式三】已知0a b c ++=，求111111()()()c b a a b c a b c+++++的值．【解析】 原式111111111()1()1()1c b a a b c c a b b c a=++-+++-+++-111()()3c b a a b c=++++- ∵0a b c ++=， ∴原式3=-．【变式四】已知0abc ≠，且0a b c ++=，求代数式222a b c bc ca ab++的值．【解析】 原式()333333b c b ca b c abc abc--++++==()3322333333b c b c bc b c abcbc b c abc ----++=-+==【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值．【变式五】已知2210a a +-=，求分式22214()2442a a a a a a a a ----÷++++的值． 【解析】 原式2212[](2)(2)4a a a a a a a --+=-⋅++- 2(2)(2)(1)2(2)4a a a a a a a a -+--+=⋅+- 242(2)4a a a a a -+=⋅+- 211(2)2a a a a==++ ∵2210a a +-=， ∴221a a +=， ∴原式＝1．【备注】本例是将条件式化为“221a a +=”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．【变式六】若4360x y z --=，()2700x y z xyz +-=≠，求222222522310x y z x y z +---的值．【解析】 由于0xyz ≠，∴4()3()60x y z z --=，2()70x y z z +-=，解得x z =3，yz=2∴222222522310x y z x y z +---=22222222(52)(2310)x y z z x y z z +-÷--÷ =22225()2()12()3()10x yz z x y z z+---=222253221233210⨯+⨯-⨯-⨯- =524-=13-．【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值； ⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值； ⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．【解析】 ⑴原式2332x x -=++ 当2380x x +-=时，238x x += 原式382-=+310=-⑵22224111x x x x x ++=++21()218x x =+-+=，故811242=++x x x ⑶∵2410a a ++=，∴14a a +=-，22114a a+=又∵24223211145333123a m a ma m a a ma a ma m a+++++===++-+++ ∴372m =⑷解法一：将分子、分母同除以xy ，得：原式11222332333113251122x y y xy x x y ⎛⎫--++-⎪-⨯+⎝⎭====⎛⎫------- ⎪⎝⎭．解法二：由113x y -=，得3y x xy-=，即3y x xy -=，代入所求分式得： ()232326333223255x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy -++--+-====-------．恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-．【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【点评】 此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解．例题精讲思路导航题型二：分式的恒等变形【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c++++++++=++． 【分析】 若1111a b c a b c++=++，则a b =-或b c =-或c a =-，用以解决本题就容易多了．【解析】 证明：由1111a b c a b c ++=++得a b =-或b c =-或c a =-，不妨设a b =-，代入左边左边()212121111n n n b c b +++=++- 212121111n n n bbc+++=-++211n c +=，而右边()21212121212111n n n n n n b b cb bc ++++++==-++-++ 211n c +=，∴左边=右边，原式成立．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++【解析】 证法1：∵1abc =，∴1c ab=代入到等式左边左边1111111a b ab ab a b b a ab ab ab=++++⨯++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边证法2：左边1a ab abcab a abc ab a ab ca abc ab=++++++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边典题精练题型三：部分分式与分离常数此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【解析】 1A =-，6B =-，原式8=【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【解析】 ⑴ 0m =；⑵ B ，∵63632121x x x +=+--，又()21|6x -，216x -=±，3±，2±，1± ∴x 的整数值有4个.【例7】 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值． 典题精练例题精讲思路导航【解析】因为a b ck b c a c a b ===+++． 所以()a k b c =+，① ()b k a c =+，② ()c k a b =+，③由①+②+③得()()()a b c k b c k a c k a b ++=+++++， 即2()a b c k a b c ++=++．当0a b c ++≠时，21k =，所以12k =．当0a b c ++=时，b c a +=-，所以1a a k b c a ===-+-，所以k 的值是12或1-．训练1. ⑴若不论x 为何值，分式212x x c++总有意义，则c ．⑵已知分式22153x x x +--的值为零，那么x 的值是 .⑶当x 时，分式215x x -+的值为正数.⑷当x 满足 时，102x x +<-.【解析】 ⑴1c >；⑵5- ；⑶1x > ；⑷12x -<<;训练2. ⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷-⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =+【解析】 ⑴()()222x x y y x y +-⑵2225224424a a a a a a a ⎛⎫-+++++=⋅ ⎪+-⎝⎭()()()()22222222a a a a a a -+=⋅=-++- 当23a =+时，原式2323=+-=训练3. 已知13x x -=，求1242++x x x 的值.【解析】 22224111x x x x x ++=++21()2112x x =-++=，故2421112x x x =++.训练4. 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【解析】 原式右边()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-===---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 计算： 22222112326246x x x x x x x x ⎛⎫++⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭ 【解析】 原式=1x x+-【练习2】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 . 【解析】 13题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习3】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =. 【解析】 由11x y y z +=+，得11y z x y z y yz --=-=，故y z yz x y -=-，同理可得z x zx y z -=-，x y xy z x-=-， 故2221y z z x x y x y z x y y z z x ---=⋅⋅=---.题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值． 【解析】 ∵28224M N x x x x --=+--， ∴822(2)(2)M N x x x x x --=+-+- ∴ (2)(2)8M x N x x --+=-则228Mx M Nx N x ---=-，即228Mx Nx N M x ---=-故()2()8M N x N M x --+=-， ∴14M N N M -=⎧⎨+=⎩ 解得：5232M N ⎧⎪⎨⎪=⎩＝ 复习巩固【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？ 【解析】 22223652266122(1)112x x x x x x x ++=-=-++++++ ∴当1x =-时，原分式有最小值4．测试1. ⑴计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =-． 【解析】 ⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---． ⑵原式()()()2121222x x x x x ++-=÷++- ()()()222121x x x x x +-+=⋅++21x x -=+． 当3x =-时，原式325312--==-+测试2. ⑴已知：2232a b ab -=，求2a b a b+-的值. ⑵已知113a b+=，则32a ab b a ab b -+++的值是 ． 【解析】 ⑴变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以212a b a b +=--或52. ⑵∵113a b+=，∴0a ≠，0b ≠，0ab ≠ 1133(3)330112(2)322a ab b a ab b ab b a a ab b a ab b ab b a -+-+-+÷-====++++÷+++课后测第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。
八年级数学学习提纲之分式
八年级数学学习提纲之《分式》课题 分式的复习时间 2011 年 3 月 12 日第4 周 课型复习课时3主备人黄兴审核人1． 知识网络2．需要注意的问题分式的基本概念和基本性质1. 区分整式和分式，分式是除式中含有字母的有理式，它表示分子除以分母的商，因此它既是有理式，又是与整式联系的代数式。
2. 特别注意，只有当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零。
3. 使分式有意义时字母的取值范围，又称为分式字母的允许值范围，如分式 的字母 允许值范围是a≠0 。
不能约分后再求分式的取值范围，要防止以下错误：，当a≠1时，分式有意义(丢掉了a≠0 )。
4. 分式加减法的最后结果应化为最简分式或整式。
5. 对于含有绝对值符号的分式，应根据绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再化简分式。
6. 分式化简与解分式方程不能混淆。
分式化简是恒等变形，不能随意去掉分母。
分式的基本概念及其性质看似简单，但在一些考试（包括中招考试）中却经常涉及，其主要考查对分式概念的理解、分式有意义的条件、分式值为零的条件、利用分式的基本性质改变分式的形式等。
下面就针对以上几种情况，进行简要分析。
一、对分式概念的理解同学们要能够从一些式子中找出分式。
正确理解分式的概念，不能只看形式，要抓住分母中是否含有字母这一关键条件，这是判断一个式子是否为分式的重要标准。
如果一个式子的分母中含有字母，那么这个式子就是分式；反之，它就不是分式。
例1 代数式x y x +，21+x ，π4，112+-x x ，32yx -中，属于分式的是____________。
解析 解答本题的易错点有两个：一个是π4，分母里的π是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是112+-x x ，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个分式，因为它的分母中含有字母。
所以本题的分式应该有两个：xyx +，112+-x x 。
二、分式有意义的条件由分式的概念可知，分式有意义的条件为：分母不能为0。
分式的恒等变形
分式的恒等变形————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础,并结合分式自身的特点,因此更具有独特的复杂性和技巧性,在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有:分式性质、概念的灵活应用,分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一:基本知识 1.分式的运算规律 (1）加减法:)(同分母cb ac b c a ±=± )(异分母bcbd ac c d b a ±=± （2）乘法：bdac d c b a =• （3）除法：bcad d c b a =÷ （4）乘方：n nn ba b a =)( 2.分式的基本性质（１))0(,≠÷÷==m mb m a b a bm am b a (2）分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变。
３.比例的重要性质(1）如果ef b a e f c d c d b a ===那么,(传递性） (2）如果bd ac cd b a ==那么（内项积等于外项积） (3)如果)(合比性质那么cd c b b a d c b a ±=±= (4)如果)()0(,合分比性质那么db d bc a c ad b d c b a -+=-+≠-= (5）如果,0,≠+++==n d b nm d c b a 且 那么)(等比性质ba n db mc a =++++++4.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
（2)如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
（3）如果两个正数互为倒数,那么这两个正数的和不小于2。
二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中,如何灵活巧妙的运用乘法公式。
分式的恒等变形
c
b
a
abc
第二讲：分式的恒等变形
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例 15.如果 p, q, 2 p 1, 2q 1都是整数，且p 1, q 1,求p q的值 。
qp
三、有关分式的化简问题 例 16.化简 a b b c c a (a b)(b c)(c a) 。
a b b c c a (a b)(b c)(c a)
c ab c2
0
求 a b c 的值。
(bc a2 )2 (ac b2 )2 (ab c2 )2
例 5.已知 x y z 1, a b c 0,
abc xyz
求 x2 y2 z2 的值。
a2 b2 c2
第二讲：分式的恒等变形
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例 6.已知 x+y+z=3a ( a 0 ,且 x、y、z 不全相等)， 求 (x a)( y a) ( y a)(z a) (z a)(x a) 的值 。
2
第二讲：分式的恒等变形
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例 9.已知 x 1 ，试求分式 x2 的值。
x2 x 1 4
x4 x2 1
例 10.已知三个不全为零的数 x、y、z 满足 4x 3y 6z 0 ，
x
2y
7z
0 。求
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7z2
的值。
例 11.若 x、y、z 为有理数，且
b
c
（4）如果 a c , (b d 0)那么 a c b d (合分比性质)
bd
ac bd
（5）如果 a c m ,且b d n 0,
bd
n
那么 a c m a (等比性质) b d n b
分式的基本性质恒等变形28页PPT
分式的基本性质恒等变形
6
、
露Hale Waihona Puke 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
17.2.1.A分式的基本性质之恒等变形
0.3a + 0.5b ( 0.3a + 0.5b ) ×10 3a + 5b = = . (2) 0.2a − b ( 0.2a − b ) ×10 2a − 10b
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三、例题讲解与练习
练习3.不改变分式的值， 练习3.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项 3.不改变分式的值 的系数都化为整数. 的系数都化为整数.
2y
−d
(3)
2q −p
(4)
−3m 3m − 2n
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对于假分数我们可以把它们化成带分数，例如： 对于假分数我们可以把它们化成带分数，例如：
11 8 + 3 3 3 = = 2+ = 2 4 4 4 4
类似地， 类似地，可以把一些分子次数比分母次数高的分式转化成 一个整式与一个分子次数较低的分式的和的形式. 一个整式与一个分子次数较低的分式的和的形式.如 x +1 1 = 1+ x x 那么你能用这样的方法把下列分式进行转化么？ 那么你能用这样的方法把下列分式进行转化么？
− ( 2 x − 1) −2 x + 1 2x −1 = 2 =− 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 − ( x − 1) 1− x x −1 = = 2 2 2 2 x − x + 3 − ( x − 2 x − 3) x − 2 x − 3
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巩固练习
y 都扩大两倍,则分式的值( 的 和 都扩大两倍,则分式的值( ) 1.若把分式 1.若把分式 x+ y
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分式的恒等变形
第二讲 分式的恒等变形
【专题知识点概述】
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一：基本知识
1.分式的运算规律
（1）加减法：
)(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd
ac c d b a ±=±
（2）乘法：bd ac
d c b a =•
（3）除法：bc
ad
d c b a =÷
（4）乘方：n n
n b
a b a =)(
2.分式的基本性质
（1）)0(,≠÷÷==m m
b m a b a bm am b a
（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3.比例的重要性质
（1）如果e f
b a e f
c
d c d b a ===那么,（传递性）
（2）如果bd ac c d
b a ==那么（内项积等于外项积）
（3）如果)(合比性质那么
c d
c b b a
d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么
d b d
b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m
d c b a 且
那么
)(等比性质b
a
n d b m c a =++++++
4.倒数性质
（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。
二、有关分式的运算求值问题
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
➢ 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足
a
c
b a b
c b a c c b a ++-=
+-=-+， 又abc
a c c
b b a x )
)()((+++=，且0<x ,求x 的值。
➢ 例2.已知的值求y
xy x y
xy x y x ---+=-2232,311
➢ 例3.已知三个正数a 、b 、c 满足abc=1, 求1
11+++
+++++c ac c
b b
c b a ab a 的值
➢ 例4.已知02
22=-+-+-c ab c
b a
c b a bc a 求2
22222)()()(c ab c
b a
c b a bc a -+-+-的值。
➢ 例5.已知,0,1=++=++z
c y
b x
a c
z b
y a
x
求22
2222c
z b y a x ++的值。
➢ 例6.已知x+y+z=3a (0≠a ,且x 、y 、z 不全相等)， 求2
22)()()()
)(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值。
➢ 例7.已知1222222222222=-++-++-+ab
c b a ca b a c bc a c b ，n 是自然数， 求1
22221222212222)2()2()2(
+++-++-++-+n n n ab
c b a ca b a c bc a c b 的值。
➢ 例8.的值求若22
1
,123+--+=x x x a x 。
➢ 例9.已知4
1
12=++x x x ，试求分式12
4
2++x x x 的值。
➢ 例10.已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足0634=--z y x ，
072=-+z y x 。
求2
222
2275632z
y x z y x ++++的值。
➢ 例11.若x 、y 、z 为有理数，且
222)()()(y x x z z y -+-+-222)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+=
求)
1)(1)(1()
1)(1)(1(2
22++++++z y x xy zx yz 的值
➢ 例12.已知a 、b 、c 互不相等，且满足a+b+c=0,
求ab
c c ac b b bc a a +++++22
2222222的值。
➢ 例13.已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b
x b
x a x a x 2222-++-+的值。
➢ 例14.若a c b a b c b a c c b a ++-=
+-=-+，求abc
c b c a b a ))()((+++的值。
➢ 例15.如果的值求都是整数，且q p q p p
q q p q p +>>--,1,11
2,12,,。
三、有关分式的化简问题
➢ 例16.化简)
)()(()
)()((a c c b b a a c c b b a a c a c c b c b b a b a +++---++-++-++-。
➢ 例17.化简3
22131
1]1111[)1(222222+--++--+
÷
---+-+x
x x x x x x x x x x x x x 。
➢ 例18.化简
)
)(())(()(211213212132112
n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++++-
➢ 例19.已知2
2
2
)(c b a b a -+=+，并且0≠b ，化简2
22
2)
()(c b b c a a -+-+。
➢ 例20.若02≠-=n
m mn
x ，化简
m ax n mx ax --2。
➢ 例21.化简：
)
2)(2()
)(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x y z z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++---
三、有关分式的证明问题
➢ 例22.若00=-+-+-=++c
b
a b a c a c b c b a 且
，求证： 02
22222=-++-++-+b a b
a a
b a
c a c ca c b c b bc
➢ 例23.已知有理数a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=8.试判断c
b a 111
+
+是
正数、负数、还是零。
➢ 例24.已知有理数a 、b 、c 满足c
b a
c b a ++=++1
111，求证：
a c c
b b a -=-=-=或或。
➢ 例25.若n 为自然数，且c
b a
c b
a ++=++1
111，求证：
1
212121
21
21
21
111++++++++=
+
+
n n n n n n c b a c b a
➢ 例26.证明：对于任意自然数n ，分数3
144
21++n n 不可约。
➢ 例27.已知00都不等于、、，且c b a c b a ≠++, 求证：03)11()11()11
(=++++++b
a c c a
b
c b a 。
➢ 例28.证明：
]
)1([1
])1(][)2([1)2)((1)(1d n a a n d n a d n a d a d a d a a -+-=-+-+++++++
➢ 例29.设n 为正整数，求证：2
1)12)(12(1531311<+-++⨯+⨯n n 。
➢ 例30.若,0,0,0,0≠+≠+≠+≠++x z z y y x z y x y x z c z x y b z y x a +=+=+=,,，求证11
11=+++++c c b b a a 。
➢ 例31.设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111
≥++c
b a 。
➢ 例32.求证
a
c c b b a b c a c c a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---2
22))(())(())((。
➢ 例33.能否找出6个奇数，使其倒数之和为1.。