奥数-分式恒等变形学
奥数-分式恒等变形学
分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
例3. @例4.求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例5. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长例6. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值．；例7. 若1111a b c a b c ++=++，求证：7777771111a b c a b c ++=++.例8. 化简:()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．！例9. 计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．例10. 化简2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．例11.#例12.化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a------+++-+-+-例13. 已知0a b c ++=，求证2222222221110b c a a c b b a c ++=+-+-+-例14. 已知0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值…例15. 已知1,2xyz x y z =++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值。
分式与恒等变形-初中数学联赛题型解读系列(二)
a b ________． 【解析】 首先应该将等式化简，然后根据等式的形式再作进一步的分析， 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a 1 1 1 1 1 1 1 b a b a b 1 1 1 1 1 1 1 1 a b 1 1 1 1 1 1 a b 2 2 a b a b a b a 2 b2 a 2 b2 a b a 2 b2
（2） 连等比例式求值 这类问题一般可以找出几个字母或者代数式间的之间的比例关系，然后带入目标分式求值。 2 3 5 5x y 【例2】 （2007 年联赛）已知 x, y, z 满足 ，则 的值为（ ） x yz zx y 2z A．1 B．
1 3
C．
1 3
D．
1 2
【解析】 B ．由 （3） 裂项
1 ab 2 1 1 ab 3 a b
∴ 3b 2 3a 2 4 ， ∴ 3b 2 1 ，3a 2 4 或 3b 2 1 ， ∴ 3ab 2a 2b 0 ，
3a 2 4 ，∴ a 2 ， b 1 ，∴ a b 3 ，其中，后式无整数解，舍去．
【解析】 由已知可得
9 9 9 10 3 9 3 7 ． bc ca ab 9
【例7】 （2011 年联赛） 已知 为（ A．1 ）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 ， ， ， 则 的值 x yz 2 y zx 3 z x y 4 x y z
式，且有 a b ， a b c ，则 N _________ 【解析】 4 ． x2 x 2 x 2 x 1 ，所以 a 2, b 1, c a b 1 ，所以
分式的恒等变形
分式的恒等变形————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础,并结合分式自身的特点,因此更具有独特的复杂性和技巧性,在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有:分式性质、概念的灵活应用,分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一:基本知识 1.分式的运算规律 (1）加减法:)(同分母cb ac b c a ±=± )(异分母bcbd ac c d b a ±=± （2）乘法：bdac d c b a =• （3）除法：bcad d c b a =÷ （4）乘方：n nn ba b a =)( 2.分式的基本性质（１))0(,≠÷÷==m mb m a b a bm am b a (2）分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变。
３.比例的重要性质(1）如果ef b a e f c d c d b a ===那么,(传递性） (2）如果bd ac cd b a ==那么（内项积等于外项积） (3)如果)(合比性质那么cd c b b a d c b a ±=±= (4)如果)()0(,合分比性质那么db d bc a c ad b d c b a -+=-+≠-= (5）如果,0,≠+++==n d b nm d c b a 且 那么)(等比性质ba n db mc a =++++++4.倒数性质（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
（2)如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
（3）如果两个正数互为倒数,那么这两个正数的和不小于2。
二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中,如何灵活巧妙的运用乘法公式。
分式的恒等变形
c
b
a
abc
第二讲：分式的恒等变形
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例 15.如果 p, q, 2 p 1, 2q 1都是整数，且p 1, q 1,求p q的值 。
qp
三、有关分式的化简问题 例 16.化简 a b b c c a (a b)(b c)(c a) 。
a b b c c a (a b)(b c)(c a)
c ab c2
0
求 a b c 的值。
(bc a2 )2 (ac b2 )2 (ab c2 )2
例 5.已知 x y z 1, a b c 0,
abc xyz
求 x2 y2 z2 的值。
a2 b2 c2
第二讲：分式的恒等变形
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例 6.已知 x+y+z=3a ( a 0 ,且 x、y、z 不全相等)， 求 (x a)( y a) ( y a)(z a) (z a)(x a) 的值 。
2
第二讲：分式的恒等变形
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例 9.已知 x 1 ，试求分式 x2 的值。
x2 x 1 4
x4 x2 1
例 10.已知三个不全为零的数 x、y、z 满足 4x 3y 6z 0 ，
x
2y
7z
0 。求
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7z2
的值。
例 11.若 x、y、z 为有理数，且
b
c
（4）如果 a c , (b d 0)那么 a c b d (合分比性质)
bd
ac bd
（5）如果 a c m ,且b d n 0,
bd
n
那么 a c m a (等比性质) b d n b
初中数学精品教学设计：分式的恒等变形微设计
《分式的恒等变形》微设计学习目标:1．指导学生初步学会利用拆项添项、取倒数、引入参数等技巧进行分式恒等变形；2．通过分式的恒等变形，体会化繁为简的乐趣，强化方程、转化等数学思想；3．经历探究过程，激发学生学习数学的兴趣，提高学习数学的自信心.学习重点：引导学生合理选择方法化繁为简.学习难点：针对分式特征运用技巧解题.教学过程：一、知识概述分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种.它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性.分式的恒等变形的依据主要有：1.分式的基本性质2.分式的运算规律3.比例的重要性质①传递性e f b a e f c d c d b a ===那么如果, ②基本性质bd ac c d b a ==则若③合比性质c d c b b a d c b a ±=±=那么如果 ④等比性质,0,≠+++==n d b n m d c b a 且如果ba n db mc a =++++++ 那么 4.倒数的性质二、例题解析例1 化简 1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x +++++++++++的结果是 . 分析：由于111111,(1)(2)12(2)(3)23x x x x x x x x =-=-++++++++，… ，将每一项拆成两项后正好可以两两抵消.例2 已知x 、y 、z 满足235x y z z x ==-+，则52x y y z -+的值为 . 分析：由235x y z z x==-+可得x 、y-z 、z+x 的比为2:3:5，因此可设参数来化简所求分式. 例3 已知2,3,4xy xz yz x y x z y z===+++，求7x +5y -2z 的值. 分析：直接化简,,xy xz yz x y x z y z +++求x 、y 、z 比较麻烦，但是这三个分式的倒数分别是11x y +、11x z +、11y z +因此可考虑将三个分式取倒数，分别先求出1x 、1y 、1z的值.三、感悟提升。
分式的基本性质恒等变形28页PPT
分式的基本性质恒等变形
6
、
露Hale Waihona Puke 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
分式(三)分式恒等变形
分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。
由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
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分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++=++，求证：7777771111a b c a b c ++=++.例7. 化简:()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．例8. 计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．例9. 化简2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．例10. 化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a------+++-+-+-例11. 已知0a b c ++=，求证2222222221110b c a a c b b a c++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值例13. 已知1,2xyz x y z =++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值。
方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例14. 已知分式2221(1)()x xy x y -+-+（1） 在什么条件下此分式有意义?（2） 在什么条件下分式的值为正、为负？ （3） 分式的值能否为0？ 例15. 化简：()()42236421121111a a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪-+---++⎝⎭ 例16.化简：()4224232164242416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+例17. 化简：2222222211222a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例18.化简：222111111()()()111111()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b-+-+--+-+- .方法三、倒数法例19.若13x x +=，则33441713x x x x++++=___________．例20.⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________.⑵ 若2410x x ++=，则42321912192x x x x x ++++=_________.⑶ 若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________．例21. 若2310x x -+=，则74843231x x xx x ++=++________．例22.设211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值是（ ） A. 1 B. 213m + C. 2132m - D. 2131m +例23. 己知311=-y x ，求y xy x yxy x ---+2232的值。
例24. 设43223440(0,0)a a b a b ab b a b +-++=≠≠，求b aa b+的值. 例25. 已知xy a x y =+，yz b y z =+，zxc z x=+，且0abc ≠，求x 的值。
例26.已知()1xf x x=+，求下列的值 111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f +++++++++方法四、等比定理、设k 法例27. 已知：2341341231241234a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====，求k ；例28. 如果234x y z==，求222xy yz zx x y z ++++的值。
例29. 若a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是_______或________.例30. 若0abc ≠，且a b b c c a c a b +++==，求()()()a b b c c a abc+++的值。
例31.若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且0xyz ≠，求()()()x y y z z x xyz+++的值；例32. 已知222p q rx yz y zx z xy==---，求证()()px qy rz x y z p q r ++=++++。
例33.已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz+++=-，求x y z ++.例34. 已知0ay ≠，且22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+，求证x b a y =或x by a=。
例35.已知y z x z x y x y z p x y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p ++的值。
方法五、巧变“1”例36.若1abc =，求证：1111a b ca ab b bc c ca++=++++++．例37.已知1111a b ca ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =．例38.若1abc =，解关于x 的方程2012111x x xa ab b bc c ca++=++++++．例39. 已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值。
例40. 设a 、b 、c 均为正数，且a+b+c=1，求证1119a b c++≥。
方法六、换元法例41.化简分式：222222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎛⎫+-+-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥--+--+⎣⎦例42.计算22223322332223()2n m n m m n m n n m n m n m m n m n m n+++÷---+-例43.化简)()(2)(2)y x z x x y z x y z ---++-（+()()(2)(2)z y x y x y z y z x --+-+-+()()(2)(2)x z y z y z x x y z --+--+例44.设a ，b ，c 是实数，且222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ac ab a b c ++++++的值；例45. 关于x 的方程22x c x c +=+的两根是122,x c x c==，求关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个根？例46. 若0x y z ++=，1110123x y z ++=+++，求222(1)(2)(3)x y z +++++的值。
例47. 已知1,0x y z a b ca b c x y z ++=++=，求证：2222221x y z a b c++=.例48. 设x 、y 、z 都是正数，求证2229x y y z z x x y z++≥+++++。
方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；倒数法例49.已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足4360x y z --=，270x y z +-=。
求22222223657x y z x y z ++++的值。
例50. 已知11a b +=，11b c +=，求2c a+的值。
例51.已知111x y zy z x+=+=+，其中x，y，z互不相等，求证：2221x y z=.例52.已知111x y z ty z x+=+=+=，其中x，y，z互不相等，求t的值。
例53.已知14xy+=，11yz+=，173zx+=，求xyz的值。
例54.解方程组：222222414414414xyxyzyzxz⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩例55.解方程组：1112 1113 1114 x y zy z xz x y⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩例56. 已知0a b cb c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=--- 例57.已知220a b -≠，且22abc abca b M b c c a-=-=++，求证： ()()()abc a b b c c a =+++，且2abcM c a b=-+.方法八、降次思想例58. 已知210x x --=，求2521x x x++的值。
例59. 已知2519970x x --=，求42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值。
例60. 已知210x x --=，求42322329321122x ax x ax -+=-++的值。
方法九、裂项：因式分解再裂相例61. 计算：2018119171531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯例62.化简111...123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++例63.1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(100)(101)x x x x x x x x +++++++++++例64.化简：()()()()()d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++++++++例65.求证：111()()(2)[(1)]()()n a a d a d a d a n d a nd a a nd ++⋅⋅⋅+=++++-++例66.化简22()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a---+++---------例67.化简分式：2221113256712x x x x x x ++++++++例68.化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.例69. 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+.例70.化简：()()()()()()222a bc b ac c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++．例71. 若()212a x b xy -=--，且0ab >，求()()()()111...1120072007xy x y x y +++++++的值．例72. 设正整数m 、n 满足m n <，且2221111(1)23m m m m n n +++=++++，则m n +的值是多少？方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解例73.将269x -化为部分分式．例74.将下列分式写成部分分式的和的形式：()()3222236113x x x x x -++++．例75.将下列分式写成部分分式的和的形式：()()()32241338121x x x x x x -+++--．例76. 若0x y z ++≠，0x y +≠，0y z +≠，0z x +≠，x a y z =+，y b x z=+，z c x y =+。