图乘法例题
图乘法练习题
Fi Δii
Fj Δji
Fj j
Δji Δjj
Fj j
Δjj Δji
W W
Fi Δij Fj Δji
Fi Δij F j Δji
功的互等定理
力 i 在力 j 引起的位移上作的功(虚功)， 等于力 j 在力 i 引起的位移上作的功(虚功) 。
一般地，对线弹性结构:
力系 i 的力在力系 j 引起的相应位移上所作 的功，等于力系 j 的力在力系 i 引起的相应位
A
Fl
1
2
B
M Mdx
wC
EI F B ΔB
C
3 FB
2
wC
1 EI
1 2
l
Fl 2
l 3
1 2
l 2
Fl 2
l 3
3 2
3F 2k
M
l
l
3
l3
2
Fl 3 9F ()
8EI 4k
16
图乘法小结
图乘法是 Mohr 积分的一种简单算法， 适用于等刚度直杆。要点为：
d
x
Mohr积分是单位载荷法在线弹性结构上 的应用，其要点为：
• 构造一个虚力状态，计算出单位力引 起的内力方程 FN , M , FQ ,T.
• 计算原结构中实际载荷引起的内力方程 FN , M , FQ , T .
• 对整个结构计算Mohr积分。
求任意点A的位移
q(x) A
ΔA
弯矩 M ( x ) 单位载荷法：
题：求图示刚架A 截面 的转角或C 点的挠度。 已知各部分弯曲刚度为
EI。
材料力学-图乘法
例：图示刚架，EI=const。求A截面的水 平位移 ΔAH 和转角θA 。
CL12TU41
解： AH
qa 4 EI
1 4
2 3
1 3
85
3qa 4 8E I
qa 2
qa qa 2 qa / 2
2
CL12TU31
解：
M(x) M 0(x)
vB
l
EIdxM Nhomakorabea0 C
EI
1 Pl 2 2l
EI 2 3
Pl 3
3E I
B
1 EI
Pl 2 2
1
Pl 2
顺时针
2EI
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度 和最大转角。
CL12TU32
顶点 顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
解：
ml 2
2 3
ml 逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。
CL12TU35
解：
ql 2
vB
1 EI
l
3
ql 2 2
3l
4
2
ql4 8E I
ql 2
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
2
ql 3
顺时针
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 铅垂位移。
ql 3 12
a
2
0
X ql 3 8a(l a)
C
1 EI
Xal 2
2 3
Xa 2 2
1
ql 3 12
1
2
0
X ql 3 4a(2l 3a)
第五节图乘法
4m C 4m
MP图(kN·m)
须注意两点：一是对于斜杆CD， 解：求解本题∆DV时，须注意两点：一是对于斜杆 ，应以杆 轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不同分段图乘 不同分段图乘。 轴为基线计算；二是对于阶形住 ，应按 不同分段图乘。 (1)作MP图 作
A1 = 2 × 12.65 × 45 = 379.5 3
§6-5 图乘法
求简支梁在均布荷载作用下A端转角 引例 求简支梁在均布荷载作用下 端转角
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx EI
q
A
ql 2 8
ql M p = x(l − x) 2
Mp
x M 1 = 1− l
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx = ? EI
利用积分的方式求解，计算繁复！ 利用积分的方式求解，计算繁复！ 简化计算的方法？ 简化计算的方法？ 1
2.5kN/m D 2EI (12.65m) 3EI B 8m 4EI A 12m
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5
(45)
A1
D
4m C 4m
140
MP图(kN·m)
1 A2 = × 12.65 × 100 = 632.5 2
A4 =
A5 =
1 × 8 × 20 = 80 2
A q B l/2 l
ql 2 ( ) 32
ql
C l/2
并按A 作MP图，并按 1、A2、A3、A4四部 分划分，如图6-22b所示 分划分，如图 所示
∆CV 1 = ( A1 y01 + A2 y02 + A3 y03 − A4 y04 ) EI 1 = EI 1 l ql 2 l l ql 2 3 )× + ( × )× l ( × × 3 2 2 4 2 2 2
图乘法
图乘法如图所示，用图乘法求结构中B 处的转角B ϕ和C 点的竖向位移vc ∆。
EI=常数。
ααCBAM=qa2q解：求转角B ϕ建立虚拟状态（即在所求转角处作用一个单位力偶）ααBAM=1画弯矩图P M 图ααCBA2qa 22qaααBAM 图根据公式cy EIω∆=∑ω为P M 图的面积c y 为P M 图的形心所对应的M 图的竖标的弯矩值232112(22)2323cB y qa qa a qa a EI EI EIωϕ==⨯⨯-⨯⨯=∑() 结果为正，说明方向与所设单位力偶的方向相同求位移vc ∆ 建立虚拟状态αα注：求转角和求位移的公式一样，公式中的力是广义的力（可以是集中力或力偶），位移是广义的位移（可以是位移和转角）。
1画弯矩图ααCBAP M 图BAααM 图2241125(22)222322824v ccy a qa qa a qa a a EI EI EIω∆==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-∑( ) 结果为负，说明所求位移方向与所设虚拟单位力的方向相反注：M 图和P M 图中可以用其中一个的面积去乘以这个的形心所对的另一个在该形心位置上的弯矩值，也就是说M 和P M 中至少有一个为直线图形即可，比如本题中就是用M 的面积去乘以其形心所对的P M 中三角形的弯矩值总结：求转角和求位移所用的公式相同只是求转角作用的虚拟单位力是力偶，求位移用的虚拟单位力是集中力2qa 22qa 2a。
4-5 图乘法
取正号，异侧 AyC取负号。
3.常用的几种简单图形的"顶点"，是指其切 线平行于基线的点，而顶点在中点或端点者 称为"标准抛物线图形"。
yluo@
§5 图乘法
四、图乘法运用要点
4.当直线图形不是一段直线而是由若干段直 线段组成时，由于各段具有不同的倾角，应 分段进行计算。
二、图乘法公式
条件： （1）杆轴为直线；
（2）EI为一常数；
（3）图乘的两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
公式
KP
MM P EI
ds
1 EI
AyC
yluo@
§5 图乘法
例5.1 已知图示结构各杆EI＝常数，求B点的
竖向位移。
解：1. 建立虚拟状态 2. 作出实际状态和虚拟状态的 弯矩图。
2 ql2
[( l) ( l)]
EI 2 2
38
ql4 yluo@ 3EI
（→）
§5 图乘法
例5.9 试求图示结构C、 D、 F点的水平位移。
解：（一）C点的水平位移
1.建立虚拟状态
2.作出实际状态和虚拟状
ql2 / 2
态的弯矩图。
3.本题符合图乘法条件， 用图乘法计算
tan
EI xMidx EI xdA
yluo@
§5 图乘法
二、图乘法公式
1
EI MMPdx
tan
EI
xdA
tan
EI
AxC
1 EI AyC
所以
yluo@
MMP ds 1
结构力学-图乘法
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
图乘法
1.2.3图乘法图乘法是关于的简化计算方法。
在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。
适用条件（1）杆件为直杆；（2）EI为常数（等截面）；（3）和图中至少应有一个直线图形。
对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。
算位移的公式（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。
这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。
三）几种常见图形的面积的形心位置在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。
图1-15【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。
这种图形可称为抛物线标准图形。
应用图中有关公式时，应注意这个特点。
（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题（1）必须取自直线图形。
（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。
（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。
（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。
（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。
（6）如果杆件EI分段变化时，可分段图乘，最后叠加。
（7）如果EI沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。
（1）绘实际荷载作用下的图；（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；（3）代入式（1-15）求位移：【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。