空间向量运算的坐标表示 ppt课件
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空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示课件
53
53
53
13
A. 4
B. 2
C. 2
D. 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
自主学习
答案
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23.
知识点三 空间两点间的距离 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|A→B|
学习目 标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些 知识解决一些相关问题.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
栏目索 引
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北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
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题型探究
重点突破
题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例 1 设 O 为坐标原点，向量O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，求点 Q 的坐标.
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
空间向量运算的坐标表示归纳.ppt
O
y
x
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.向量加减法和数乘的坐标表示 (1)加减法和数乘的坐标表示
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝_(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_，__z_1_＋__z2_)__，a－b＝
___(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z_2)____；
C．(0，1，5)
D．(－2，－1，5)
解析：选 B.
A→B＝(－1，0，4)－(1，1，1)＝(－2，－1，3)．
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何源自(2)空间向量平行的坐标表示
若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，
y1＝λ y2， z1＝λ z2(λ∈ R)．
所以A→B ＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－ (x1，y1，z1) ＝ (x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1 )． 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标 的___差___．
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何
2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示
(1)数量积的坐标表示
设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝ (x2 ， y2 ， z2) x1x，2＋y1则y2＋za1·z2b ＝
②若
x2，y2，z2 都不为
0，则
a∥ b⇔x1＝y1＝z1. x2 y2 z2
栏目
0.0
导引
第二章 空间向量与立体几何
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___(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2，__z_1_－__z_2)____；
②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)．
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栏目 导引 4
第二章 空间向量与立体几何
用文字叙述为： ①空间两个向量和(差)的坐标等于它们 _____对__应__坐__标__的__和__(_差__)______； ②实数与空间向量数乘的坐标等于_实__数__与____ ____向__量__对__应__坐__标______的乘积．
ppt课件
栏目 导引17
第二章 空间向量与立体几何
(5)(a＋b)· (a－b)＝(2，－2，2)· (2，0，－
6) ＝－8. 【点评】 牢记运算法则是正确计算的关 键．
ppt课件
栏目 导引18
第二章 空间向量与立体几何
向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点 A(－1，1，3)，B(0，2， 3)，C(－2，1，5)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
空间向量运算的坐标表示
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1
学习导航
学习目标
第二章 空间向量与立体几何
重点难点 重点：空间向量的运算的坐标表示． 难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角．
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栏目 导引 2
第二章 空间向量与立体几何
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴. 记作：空间直角坐标系O-xyz.
【解】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，
4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2，0，－6)．
(3)a· b＝(2，－1，－2)· (0，－1，4)＝－7. (4)2a· (－b)＝2(2，－1，－2)· [－(0，－1，
4)] ＝(4，－2，－4)· (0，1，－4) ＝14.
＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b.
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栏目 导引14
第二章 空间向量与立体几何
5.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)， 则〈a，b〉＝________．
解析：a·b＝1＋2＝3，|a|＝ 2，|b|＝3， ∴cos〈a，b〉＝ 3 ＝ 2，
2×3 2 〈a，b〉＝π.
4 π 答案： 4
(1)数量积的坐标表示
设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝ (x2 ， y2 ， z2) x1x，2＋y1则y2＋za1·z2b ＝
___________________． 空间两个和向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积之_____．
ppt课件
栏目 导引12
第二章 空间向量与立体几何
(2)空间 向量的长度与夹角的坐标表示 ①|a|＝ a·a＝ x21＋y21＋z21； ② cos〈 a， b〉 ＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 (a≠0，b≠0)；
ppt课件
栏目 导引15
第二章 空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究
空间向量的坐标运算
例1 已知a＝(2，－1，－2)， b＝(0，－1，4)，求 (1)a＋b；(2)a－b；(3)a· b；(4)2a· (－b)； (5)(a＋b)· (a－b)．
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第二章 空间向量与立体几何
∴y＝2，z＝4.
答案：2 4
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第二章 空间向量与立体几何
(3)空间 向量的坐标表示 设 O 是空间直角坐标系的原点，A(x1，y1，z1)， B(x2， y2， z2)， 根据向量的坐标表 示，可知O→A＝(x1，y1，z1)， O→B＝ (x2， y2， z2 )，
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y1＝λ y2， z1＝λ z2(λ∈ R)．
②若
x2，y2，z2 都不为
0，则
a∥ b⇔x1＝y1＝z1. x2 y2 z2
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第二章 空间向量与立体几何
做一做
3.设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)， 若a∥b，则y＝________，z＝________．
解析： 1 ＝ y ＝－2， －2 －4 z
B．(－2，－1，3)
C．(0，1，5)
(1，1，1)＝(－2，－1，3)．
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第二章 空间向量与立体几何
(2)空间向量平行的坐标表示
若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，
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第二章 空间向量与立体几何
所以A→B ＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－ (x1，y1，z1) ＝ (x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1 )． 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标 的___差___．
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第二章 空间向量与立体几何
2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示
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第二章 空间向量与立体几何
想一想 把向量A→B＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变 化？ 提示：向量A→B的坐标不变．
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第二章 空间向量与立体几何
2.已知空间中两点 A(1，1，1)，B(－1，0，4)，
则向量A→B的坐标为( )
A．(2，0，－3)
右手系 z
空间直角坐标系共有八个卦限
O
y
x
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第二章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.向量加减法和数乘的坐标表示 (1)加减法和数乘的坐标表示
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝_(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_，__z_1_＋__z2_)__，a－b＝
x21＋y12＋z12 x22＋y22＋z22 ③ a⊥ b⇔ x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 0.
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第二章 空间向量与立体几何
做一做
4.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a
与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：选A.
a· b＝(1，－5，6)· (0，6，5)
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第二章 空间向量与立体几何
【解】 (1)∵c∥B→C，
∴ c＝mB→C ＝m (－ 2，－ 1， 2) ＝ (－ 2m，－m， 2m)(m∈ R)， ∴|c|＝ （－2m）2＋（－m）2＋（2m）2 ＝ 3|m |＝ 3， ∴m＝± 1， ∴c＝(－2，－1，2)或 c＝(2，1，－2)．
②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)．
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第二章 空间向量与立体几何
用文字叙述为： ①空间两个向量和(差)的坐标等于它们 _____对__应__坐__标__的__和__(_差__)______； ②实数与空间向量数乘的坐标等于_实__数__与____ ____向__量__对__应__坐__标______的乘积．
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第二章 空间向量与立体几何
(5)(a＋b)· (a－b)＝(2，－2，2)· (2，0，－
6) ＝－8. 【点评】 牢记运算法则是正确计算的关 键．
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第二章 空间向量与立体几何
向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点 A(－1，1，3)，B(0，2， 3)，C(－2，1，5)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
空间向量运算的坐标表示
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1
学习导航
学习目标
第二章 空间向量与立体几何
重点难点 重点：空间向量的运算的坐标表示． 难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角．
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第二章 空间向量与立体几何
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴. 记作：空间直角坐标系O-xyz.
【解】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，
4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2，0，－6)．
(3)a· b＝(2，－1，－2)· (0，－1，4)＝－7. (4)2a· (－b)＝2(2，－1，－2)· [－(0，－1，
4)] ＝(4，－2，－4)· (0，1，－4) ＝14.
＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b.
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第二章 空间向量与立体几何
5.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)， 则〈a，b〉＝________．
解析：a·b＝1＋2＝3，|a|＝ 2，|b|＝3， ∴cos〈a，b〉＝ 3 ＝ 2，
2×3 2 〈a，b〉＝π.
4 π 答案： 4
(1)数量积的坐标表示
设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝ (x2 ， y2 ， z2) x1x，2＋y1则y2＋za1·z2b ＝
___________________． 空间两个和向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积之_____．
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第二章 空间向量与立体几何
(2)空间 向量的长度与夹角的坐标表示 ①|a|＝ a·a＝ x21＋y21＋z21； ② cos〈 a， b〉 ＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 (a≠0，b≠0)；
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第二章 空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究
空间向量的坐标运算
例1 已知a＝(2，－1，－2)， b＝(0，－1，4)，求 (1)a＋b；(2)a－b；(3)a· b；(4)2a· (－b)； (5)(a＋b)· (a－b)．
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第二章 空间向量与立体几何
∴y＝2，z＝4.
答案：2 4
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第二章 空间向量与立体几何
(3)空间 向量的坐标表示 设 O 是空间直角坐标系的原点，A(x1，y1，z1)， B(x2， y2， z2)， 根据向量的坐标表 示，可知O→A＝(x1，y1，z1)， O→B＝ (x2， y2， z2 )，
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y1＝λ y2， z1＝λ z2(λ∈ R)．
②若
x2，y2，z2 都不为
0，则
a∥ b⇔x1＝y1＝z1. x2 y2 z2
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第二章 空间向量与立体几何
做一做
3.设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)， 若a∥b，则y＝________，z＝________．
解析： 1 ＝ y ＝－2， －2 －4 z
B．(－2，－1，3)
C．(0，1，5)
(1，1，1)＝(－2，－1，3)．
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第二章 空间向量与立体几何
(2)空间向量平行的坐标表示
若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①若 b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，
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第二章 空间向量与立体几何
所以A→B ＝O→B－O→A＝ (x2，y2，z2)－ (x1，y1，z1) ＝ (x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1 )． 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标 的___差___．
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第二章 空间向量与立体几何
2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示
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第二章 空间向量与立体几何
想一想 把向量A→B＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变 化？ 提示：向量A→B的坐标不变．
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第二章 空间向量与立体几何
2.已知空间中两点 A(1，1，1)，B(－1，0，4)，
则向量A→B的坐标为( )
A．(2，0，－3)
右手系 z
空间直角坐标系共有八个卦限
O
y
x
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第二章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.向量加减法和数乘的坐标表示 (1)加减法和数乘的坐标表示
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝_(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_，__z_1_＋__z2_)__，a－b＝
x21＋y12＋z12 x22＋y22＋z22 ③ a⊥ b⇔ x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 0.
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第二章 空间向量与立体几何
做一做
4.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a
与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：选A.
a· b＝(1，－5，6)· (0，6，5)
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第二章 空间向量与立体几何
【解】 (1)∵c∥B→C，
∴ c＝mB→C ＝m (－ 2，－ 1， 2) ＝ (－ 2m，－m， 2m)(m∈ R)， ∴|c|＝ （－2m）2＋（－m）2＋（2m）2 ＝ 3|m |＝ 3， ∴m＝± 1， ∴c＝(－2，－1，2)或 c＝(2，1，－2)．