第17章 勾股定理 四川省自贡市富顺县赵化中学专项训练
第十七章 勾股定理 单元测试训练卷
人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理单元测试训练卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列各组数中，为勾股数的是( )A ．1，2，3B ．3，4，5C ．1.5，2，2.5D ．5，10，122. 如图所示的数轴上的四点E ，F ，G ，H 中，表示实数－ 5 的点是( )A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H3. 若一直角三角形的两直角边的长分别是4和6，则它的斜边长为( )A ．6B ．213C ．37D ．104. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( ) A ．365 B ．1225C ．94D ．3345. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小矩形的周长之和为( )A ．14B ．16C ．20D ．286. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为( )A ．1013 13B ．913 13C ．813 13D ．713 13 7. 若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足(a －b)2＋|a 2＋b 2－c 2|＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定8. 如图是台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是30 cm ，每级台阶的高度都是15 cm ，连接AB ，则AB 等于( )A ．195 cmB ．200 cmC ．205 cmD ．210 cm 9. 如图是一块长、宽、高分别是6 cm ，4 cm ，3 cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需爬行的最短路程是( )A ．(3＋213 ) cmB ．97 cmC ．85 cmD ．109 cm 10. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( )A ．10B ．8C ．6或10D ．8或10 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，BC ＝________．12. 在平面直角坐标系中，已知点A(－1，－3)和点B(1，－2)，则线段AB 的长为__ __.13. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c ＝10，则小正方形ABCD 的面积是__ __．14. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E(BE ＞CE)，点F 是AC 的中点，连接AE ，EF ，若BC ＝7，AC ＝5，则△CEF 的周长为________．15. 如图，长方体的长、宽、高分别为8 cm，4 cm，5 cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是__ __cm.16. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__ _．三．解答题（共6小题，56分）17．(6分) 如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD.18．(8分) 如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB＝9 m，AD＝12 m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8 m的E处有一盏电灯，则点D到灯E的距离是多少？19．(8分) 如图，已知CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝DC，求AC的长．20．(10分) 如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B到公路的距离AC，BD分别为50 m，70 m，且C，D两地相距50 m，若要在公路旁(在CD上)建一个集贸市场(看作一个点)，求A，B两村庄到集贸市场的距离之和的最小值．21．(12分) 如图，某沿海城市A接到台风警报，在该城市正南方向260 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向C移动，已知城市A到BC的距离AD＝100 km，那么台风中心经过多长时间从B点移动到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将受到台风的影响，正在D点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可以免受台风的影响？22．(12分) 阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30 cm，然后分别以D，C为圆心，以50 cm与40 cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°.办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°.我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：(1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是__ __；(2)根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；(3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法)；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).参考答案1-5BABAD 6-10DCACC11．8 12. 513. 414. 8 15. 14516. 1017．解：在△ABC 中，AB ⊥BC ，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝5， ∵在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋4＝9，AD 2＝9，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴根据勾股定理的逆定理得，△ACD 为直角三角形，∴AC ⊥CD.18．解：∵在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2 ＝92＋122 ＝15(m).又∵在Rt △BDE 中，∠EBD ＝90°，∴ED ＝EB 2＋BD 2 ＝82＋152 ＝17(m)，∴点D 到灯E 的距离是17 m19．解：在Rt △BDC 中，BC 2＝BD 2＋DC 2，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AC 2＝AB 2＋BD 2＋DC 2，又∵BD ＝DC ，∴AC 2＝AB 2＋2CD 2＝42＋2×62＝88，∴AC ＝222 ，即AC 的长为22220．解：设A 关于直线CD 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 即为A ，B 两村到集贸市场的距离之和的最小值，过A′作BD 的垂线A′H 交BD 的延长线于点H ，在Rt △BHA′中，BH ＝50＋70＝120 (m)，A′H ＝50 m ，∴A′B ＝1202＋502＝130(m)，故A ，B 两村庄到集贸市场的距离之和的最小值为130 m.21．解：由题意可知∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AB ＝260 km ，AD ＝100 km ，∴BD ＝2602－1002＝240(km)．∴台风中心从B 点移动到D 点所用的时间为24015＝16(h)． 在D 点休息的游人应在台风中心距D 点30 km 前撤离，30÷15＝2(h)，16－2＝14(h)． ∴在接到台风警报后的14 h 内撤离才可以免受台风的影响．22．解：(1)∵CD ＝30，DE ＝50，CE ＝40，∴CD 2＋CE 2＝302＋402＝502＝DE 2，∴∠DCE＝90°，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理，故答案为：勾股定理的逆定理(2)由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC ＋∠RCS＋∠QSC＝180°，即∠QCR＋∠QCS＋∠QRC＋∠QSC＝180°，∴2(∠QCR＋∠QCS)＝180°，∴∠QCR＋∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°(3)①如图③所示，直线PC即为所求；②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》解答题专题训练（附答案）1．如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：∵S1＝，S2＝，S3＝，∴S1+S2＝S3．即2+2＝2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请你用该图验证勾股定理．3．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成如图图形），试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系（1）三边a、b、c之间的数量关系为；（2）理由：．4．计算：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．5．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．求：（1）CD的长；（2）BD的长．7．如图，求等腰三角形ABC的面积．8．如图．你能计算出各直角三角形中未知边x的长度吗？9．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：（）2+1＝2，S1＝（）2+1＝3，S2＝（）2+1＝4，S3＝．（1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S1+S2+S3+…+S n的值．10．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．12．写出图中3个三角形的面积S1、S2、S3之间的关系，并给出证明．13．（1）如图1，∠ACB＝90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1，S2，S3有什么关系？（2）如图2，∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．14．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．15．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．17．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，∠A＝90°，点D在AB上，且BD＝CD．（1）求BC和BD的长．（2）求△BDC的面积．18．在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC＝21，求高AD（画图作答）．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．20．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．参考答案1．解：∵S1＝4，S2＝9，S3＝13，∴S1+S2＝S3．即AC2+BC2＝AB2．故答案为：4，9，13，AC，BC，AB．2．解：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2．3．解：（1）由勾股定理得：a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．（2）选择图1．∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，∴（a+b）2＝4×ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：（a+b）2＝4×ab+c2．4．解：（1）利用勾股定理，得c＝＝＝17，即c＝17；（2）利用勾股定理，得c＝＝＝5，即c＝5；（3）5cm是直角边时，第三边＝＝cm，5cm是斜边时，第三边＝＝4cm，所以，第三边长为cm或4cm．5．解：由勾股定理得（cm），∴长方形的面积为5×1＝5（cm2）．6．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，由勾股定理可得，AB＝＝＝25，∴AB的长是25；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴20×15＝25CD，∴CD＝12，∴CD的长是12．（2）∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，由勾股定理可得，BD＝＝＝9，∴BD的长为9．7．解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝BC，DC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴DC＝＝4（cm），∴等腰三角形ABC的面积为：×4×6＝12（cm2）．8．解：如图1中，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝＝＝．∴x＝，如图2中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°∴AB＝2AC＝6，∴x＝BC＝＝＝3．9．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA10＝．（3）S1+S2+S3+…+S n＝++++…+．10．解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：11．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2，又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2+CM2∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2，又∵BM＝CM，∴BN2﹣AN2＝﹣AC2，即AN2﹣BN2＝AC2．12．解：如图①：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，S1＝×π×（）2＝π，S2＝×π×（）2＝π，S3＝×π×（）2＝π．由勾股定理可得：d12＝d22+d32，∴S3+S2＝（d32+d22）＝π＝S1，所以，S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．如图②：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则S2＝a2，S3＝b2，S1＝c2，又∵a2+b2＝c2，∴S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．如图③：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则S2＝×a×a＝a2，S3＝×b×b＝b2，S1＝×c×c＝c2，又∵a2+b2＝c2，∴S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．13．解：（1）S1＝π（）2＝，同理S2＝，S3＝，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；（2）S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，则S阴影＝S△ABC＝20．故答案为：20．14．证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝+，即．15．解：（1）在Rt△ABC中由面积的两种算法可得：解得：CD＝（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）解得＝（10分）16．解：连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．17．解：（1）∵AB＝8cm，AC＝6cm，∠A＝90°，∴BC＝＝＝10（cm），设BD＝CD＝xcm，则AD＝（8﹣x）cm，∵∠A＝90°，∴AD2+AC2＝CD2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，即BD＝cm，由上可得，BC＝10cm，BD＝cm；（2）由（1）知BD＝cm，AC＝6cm，∠A＝90°，∴S△BDC＝＝＝（cm2），即△BDC的面积是cm2．18．解：设DC＝x，则BD＝21﹣x，∵在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC＝21，AD⊥BC，∵AD2＝AB2﹣BD2＝CA2﹣CD2，∴102﹣（21﹣x）2＝172﹣x2，∴x＝15，∴AD2＝172﹣152＝64，∴AD＝8．19．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm），由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（2）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．20．解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8．综上所述，BN＝4.2或5.8．。
第17章.勾股定理--专题讲解(2)
第4讲勾股定理的实际应用问题题型1.面积问题勾股定理c2=a2+b2描述描述的是直角三角形三边长的关系，但是这个等式可以用在不同的条件中去解决问题，例如由直角三角形衍生出的面积问题。
2.我们之前通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，同时也学习了用面积方法证明勾股定理．在下列三幅图中，我们来探究一下勾股定理在面积问题中的应用。
问题1：以直角三角形的三边为直角边向外作等腰直角三角形，探究S1、S2与S3的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S1、S2与S3的关系（如图2）．练习题：1.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I 都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100 C．110 D．121 2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝错误！未找到引用源。
，则此梯形的面积为（）A、2 B、1＋3错误！未找到引用源。
C、62 D、2＋错误！未找到引用源。
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是．6.现有四块直角边为a，b，斜边为c的直角三角形的纸板，我们可以从中取出若干块拼图（需画出所拼的图形）然后证明勾股定理．如拼成下图，可利用相等面积关系证明勾股定理．（1）利用所拼的图形证明勾股定理；（2）请你再拼一个图形，然后通过上述的方法证明勾股定理．题型2.长度问题：解决关键：首先构造直角三角形，然后利用勾股定理求解1.在一次台风天气过后，一旗杆在其31的B处折断，量得AC=3m，则旗杆原来有多高？2.公园里有间距为3m的两棵树，其中大树高6m，小树高2m，有一只愤怒的小鸟从大树顶端沿直线飞到了小树顶端，问愤怒的小鸟飞了多少米？3.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4km处，过了20秒，飞机距离小明头顶5km，问：飞机的速度是多少km/s？练习：1.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？2.有一只喜鹊在一棵5m高的小树上觅食，它的巢筑在距该树24m的一棵大树上，大树高12m ，当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去，若它飞行速度为5m/s，则它至少需要多少时间才能赶回巢中？3.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800m处，过了10s，飞机距离这个男孩头顶5000m，飞机每秒飞行多少米？题型3.行程中的距离问题解决关键:首先判断直角三角形，然后利用勾股定理求解1.如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？练习：1.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固1.一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m ． （1）求梯子的顶端与地面的距离.（2）若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端端C 也下移1 m 吗？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？练习题：1.在一次火灾中，消防员要通过梯子登上12米高的房顶，按照规定，为保证安全，梯子底端离3.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？4.如图所示，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？如果不是的话，移动了多少米？5.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索． 【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？ （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B 将向外移动x 米，即BB 1=x ，则B 1C=x+0.7，A 1C=AC ﹣AA 10.42=而A 1B 1=2.5，在Rt △A 1B 1C 中，由2221111BC AC A B +=得方程，解方程得x 1= ，x 2= ， ∴点B 将向外移动 米．（2）“解完思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．题型5.容纳问题1.如图是一个长方体盒子，棱长AB=2cm ，BF=3cm ，BC=4cm ． (1)连接BD ，求BD 的长；(2)一根长为6cm 的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由．2.如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？练习题：1.一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，想要开进某工厂，工厂厂门如图所示(上部分为半圆，下部分为长方形)，则这辆卡车 通过．(填“能”或“不能”)2.将一根24cm 的吸管，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm ，则h 的取值范围是（ ）A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm3.如图，将一根21cm 的筷子，置于底面直径为8cm ，高15cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 cm ．4.在长，宽，高分别为12cm ，4cm ，3cm 的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为 cm.5.如图将一根15cm 长的细木棒放入长宽分别为4cm ，3cm 和12cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？6.小明要把一根长为70cm 的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，他能放进去吗？7.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度．题型6.爬行问题（最短距离问题）1.如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A．(18+8)cmB．10cm C．14cm D．无法确定2.有一个棱长为1m且封闭的正方形纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是 m.3.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，有一动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点M的最短距离为 .（结果保留π）练习题：1.如图，圆柱底面直径AB、母线BC均为4cm，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC课后练习：1.已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm．第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为___________cm2．2.如图：Rt△ABC中，∠A=900，BC=4，∠ABC=60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则PB的长为．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=则BE的长为．4.如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点则AE的长是_______．3.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．284.如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6备选练习： 备选练习：5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC ：AC=3：4，则BC=______．6.一直角三角形的两条直角边长度分别为7和24，则第三边长度是多少？1.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A 、2.5B 、22错误！未找到引用源。
人教版数学八年级下册 第17章 勾股定理 单元复习试题 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列结论中，错误的有（）①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，将一副三角板如图放置，如果DB＝2，那么点E到BC的距离为（）A．﹣1 B．3﹣C．2﹣2 D．+13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为（）A．B．2 C．D．34．如图，将△ABC放在正方形网格中（图巾每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AB＝15，Rt△ABC的周长为15+9，则CD的长为（）A．5 B．C．9D．67．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条8．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2＝（S1+S3）9．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺10．一云梯AB长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底端在水平方向滑动BB'的长是（）A．10米B．8米C．6米D．4米二．填空题（共6小题）11．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是（填序号）．12．已知，△ABC的三边长分别为：2，，，则△ABC的面积是．13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q 从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t＝s 时，△DPQ是等腰三角形．三．解答题（共6小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．19．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．20．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．21．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ＝，PR＝，QR＝3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．2．解：作EF⊥BC于F，设EF＝x，则BF＝x，BE＝x，CE＝2x，则AC＝，AE＝﹣x，则（﹣x）2+（）2＝（2x）2，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝3﹣，x2＝﹣3﹣（舍去）．故点E到BC的距离为3﹣．故选：B．3．解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，根据勾股定理得：AB＝＝3，∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝2，故选：B．4．解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，∴AB＝AC，AC2+AB2＝BC2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故选：C．5．解：PB＝，∴PB＝PC，∴OC＝PC﹣1＝﹣1，∴点C的数为﹣1，故选：B．6．解：如图所示：∵Rt△ABC的周长为15+9，∠ACB＝90°，AB＝15，∴AC+BC＝9，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，∴（AC+BC）2＝（9）2，即AC2+2AC×BC+BC2＝405，∴2AC×BC＝405﹣225＝180，∴AC×BC＝90，∵AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝6；故选：D．7．解：∵＝，∴是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于；故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．9．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．10．解：由题意可得：AB＝25m，OB＝7m，则OA＝＝24（m），当云梯的顶端下滑了4米，则A′O＝24﹣4＝20（m），故OB′＝＝15（m），则BB′＝CB′﹣BC＝（15﹣7）m＝8m．答：它的底部在水平方向滑动了8米，故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵a2＝（b+c）（b﹣c）∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；故答案为：①②④．12．解：∵△ABC的三边长分别为：2，，，∴22+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，斜边为，∴△ABC的面积为＝，故答案为：．13．解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．15．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．16．解：由运动知，AQ＝t，BP＝2t，∵AD＝8，BC＝10，∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm），PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∴①当DP＝QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，∴AQ+DQ＝BP，∴t+（8﹣t）＝2t，∴t＝，②当DQ＝PQ时，如图，Ⅰ、过点Q作QE⊥BC于E，∴∠BEQ＝∠OEQ＝90°，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，∴EQ＝AB＝6，BE＝AQ＝t，∴PE＝BP﹣BE＝t，在Rt△PEQ中，PQ＝＝，∵DQ＝8﹣t∴＝8﹣t，∴t＝，∵点P在边BC上，不和C重合，∴0≤2t＜10，∴0≤t＜5，∴此种情况符合题意，即t＝或s时，△DPQ是等腰三角形．故答案为：或．三．解答题（共6小题）17．解：根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．∵经检验，x＝6为原方程的解，∴原方程的解为x＝6．∴．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM为△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．设AB＝x，则AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．19．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，∴AD＝＝＝16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．20．解：（1）∵O为原点，∴O坐标为（0，0），∵点C的坐标为（3，4），∴CO＝＝5，故答案为：5；（2）∵点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），E、F两点之间的距离可表示为|EF|＝，∴EF＝＝＝10．21．解：（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．22．解：（1）①如图所示：②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；（2）①如图3，△PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2＝，△PQR的面积为×3×3＝，∴△PQR与△PEF面积相等；②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2＝13+9+10＝32．故答案为：8；32．。
第十七章05节 勾股定理勾股定理的逆定理
s a m pl e e s s a ys , pl e a s e s t a y t une d!
目录
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
1、a=15 ，b=8 ，c=17
2、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
第十七章05节 勾股定理
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M o r e o v e r, o u r s t o r e p r o v i d e s v a r i o u s t y p e s o f c l a s s i c
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
2
45°
∠A
约36.5°
∠B
∠C
90°
约22.5°
90°
90°
约53.5°
约67.5°
45°
A
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
第十七章 勾股定理 达标测试卷 (含答案)
第十七章勾股定理达标测试卷时间：90分钟分值：120分得分：__________一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝2，则AB2＋BC2的值是()图1A．2 B．3 C．22D．42．如图2，从电线杆上离地面5 m的C处向地面拉一条长为7 m的钢缆，则地面钢缆固定点A 到电线杆底部点B的距离是()图2A．24 B．12 C．74D．263．如图3，在数轴上取一点A，使OA＝5，过点A作直线l⊥OA，在直线l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数是()图3A．21B．29C．7 D．294．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是()图4A ．1，2，3B ．4，5，6C ．3 ，2 ，5D ．6，8，125．如图4，长为8 cm 的橡皮筋放置在水平面上，固定两端点A 和B ，然后把AB 的中点C 垂直向上拉升3 cm 至点D ，则橡皮筋被拉长了( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm6．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝4，ab ＝1，c ＝14 ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定7．下列命题的逆命题是真命题的是( ) A ．若a ＝b ，则|a |＝|b | B ．全等三角形的周长相等 C ．若a ＝0，则ab ＝0D ．有两边相等的三角形是等腰三角形8．如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，CD ＝1，BD ⊥AC ，则BC 的长度为( )图5A ．3B ．4C ．10D ．179．如图6，正方形ABCD 的边长为2，其面积记为S 1，以CD 为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为( )图6A ．⎝⎛⎭⎫12 6B ．⎝⎛⎭⎫12 7C ．⎝⎛⎭⎫12 8D ．⎝⎛⎭⎫12 910．如图7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，M ，N 分别是AB ，AC 上的任意一点，则MN ＋NB 的最小值为( )图7A ．32B ．2C ．32 ＋34D ．32二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11．请写出一组勾股数：__________.12．(2022朝阳)如图8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，分别以点B 和点C 为圆心，大于12 BC 的长为半径作弧，两弧相交于E ，F 两点，作直线EF 交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 的周长是__________.图813．(2022黑龙江)如图9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，则CD ＝__________.图914．如图10，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为__________米．图1015．如图11，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E 从A处向B处滑动，在滑动的过程中，DE的长度保持不变，在图11①中，BD＝6 cm，BE＝15 cm，∠B＝60°，现将压柄BC从图11①的位置旋转到与底座AB垂直，如图11②所示，则此过程中点E滑动的距离为__________cm.图11三、解答题(本大题7小题，共75分)16．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边．(1)若a＝b＝5，求c的值；(2)若a＝5，∠A＝30°，求b，c的值．17．(8分)图12是半圆形隧道的截面示意图，已知半圆的直径为5米，有一辆装满货物的卡车，高2.6米，宽1.4米，要从此隧道经过，则该卡车是否能通过隧道？请说明理由．图1218．(9分)如图13，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点上．(1)线段AB的长为__________；(2)在图中作出线段EF，使得点E，F都在格点上，且EF的长为13，判断AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．图1319．(11分)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图14①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长．图1420．(11分)如图15，已知等腰三角形ABC的底边BC＝15 cm，AH⊥BC于点H，D是腰AB上一点，且CD＝12 cm，BD＝9 cm，求AH的长．图1521．(13分)如图16，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；(2)求喷泉B到小路AC的最短距离．图1622．(15分)如图17，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若点P从点A出发，以4 cm/s的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t s(t＞0).(1)填空：AC的长为__________cm；(2)若点P在AC上，且满足△BCP的周长为14 cm，求此时t的值；(3)若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值．第十七章 达标测试卷1．A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.C 9.A 10.A 11．5，12，13(答案不唯一) 12.18 13.314.2.5 15．(15－315 )16．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝b ＝5，∴c ＝a 2＋b 2 ＝52＋52 ＝52 .(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，∠A ＝30°，∴c ＝2a ＝10.∴b ＝c 2－a 2 ＝102－52 ＝53 . 17．解：不能．理由如下：如答图1，OD 为卡车宽度的一半，过点D 作CD ⊥AB 交半圆弧于点C ，连接OC .答图1由题意，得OD ＝0.7米，AB ＝5米，OC ＝12 AB ＝2.5米．在Rt △OCD 中，CD ＝OC 2－OD 2 ＝2.4米． ∵2.4＜2.6，∴这辆卡车不能通过隧道． 18．解：(1)5 .(2)作线段EF 如答图2所示．(答案不唯一)答图2AB ，CD ，EF 三条线段能构成直角三角形．理由如下：∵CD 2＝22＋22＝8，AB 2＝12＋22＝5，EF 2＝(13 )2＝13，∴CD 2＋AB 2＝EF 2. ∴AB ，CD ，EF 三条线段能构成直角三角形．19．解：如答图3，记AB 的中点为O ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .答图3由题意，得OA ＝OB ＝AD ＝BC ，DE ＝10寸，OE ＝12 CD ＝1寸．设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r 寸，则AB ＝2r 寸，AE ＝(r －1)寸． 在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2，即(r －1)2＋102＝r 2.解得r ＝50.5.∴2r ＝101.∴AB ＝101寸，即门槛AB 的长为101寸．20．解：∵BC ＝15，BD ＝9，CD ＝12，∴BC 2＝BD 2＋CD 2.∴△BCD 为直角三角形． ∴∠BDC ＝∠ADC ＝90°. 设AD ＝x ，则AC ＝AB ＝x ＋9.在Rt △ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，即x 2＋122＝(x ＋9)2.解得x ＝72 .∴AB ＝72 ＋9＝252 .∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝12 BC ＝152 .由勾股定理，得AH ＝AB 2－BH 2＝⎝⎛⎭⎫2522－⎝⎛⎭⎫1522＝10 (cm).∴AH 的长为10 cm.21．解：(1)在Rt △BMN 中，MN ＝120 m ，BM ＝150 m ， ∴BN ＝BM 2－MN 2 ＝1502－1202 ＝90 (m). ∵AB ＝250 m ，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160 (m).在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2 ＝1602＋1202 ＝200 (m). ∴AM ＋BM ＝200＋150＝350 (m).答：供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为350 m. (2)∵AM ＝200 m ，BM ＝150 m ，AB ＝250 m ，∴AM 2＋BM 2＝AB 2. ∴△ABM 是直角三角形，且∠AMB ＝90°，即BM ⊥AM . 由垂线段最短可知，BM 即为所求的最短距离． 答：喷泉B 到小路AC 的最短距离为150 m. 22．解：(1)8.(2)如答图4.由题意，得AP ＝4t .答图4∴CP ＝AC －AP ＝8－4t .∵△BCP 的周长为14，∴BP ＝14－6－(8－4t )＝4t . 在Rt △BCP 中，由勾股定理，得62＋(8－4t )2＝(4t )2. 解得t ＝2516 ，即t 的值为2516.(3)①当点P 在BC 边上时，如答图5，过点P 作PE ⊥AB 于点E .答图5∵点P 恰好在∠BAC 的平分线上，且∠C ＝90°，∴CP ＝EP .在Rt △ACP 和Rt △AEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，CP ＝EP ， ∴△ACP ≌△AEP (HL). ∴AE ＝AC ＝8.∴BE ＝AB －AE ＝2.设CP ＝x ，则BP ＝6－x ，PE ＝x .在Rt △BEP 中，BE 2＋PE 2＝BP 2，即22＋x 2＝(6－x )2.解得x ＝83. ∴CP ＝83 .∴AC ＋CP ＝8＋83 ＝323 .∴t ＝323 ÷4＝83. ②当点P 沿折线A －C －B －A 运动到点A 时，点P 也在∠BAC 的平分线上，此时t ＝(8＋6＋10)÷4＝6.综上，若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，则此时t 的值为83 或6.。
八年级下册 数学 第 17 章《勾股定理》单元测试题(含答案)
八年级下册 数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是网格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了米.(假设绳子是直的)三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求利用S△ABC解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101寸.故选：B.7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，运用勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直角三角形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米【分析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17米，得出EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝7米，求出BF＝OE＝5米，OF＝12米，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12米，OM＝OF+FM＝15米，由勾股定理求出ON＝OA＝13米，进而求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(米)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(米)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，∴2OE＝17﹣7＝10(米)，∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(米)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(米)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(米)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(米).故选：A.二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5或.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，一是把两边长都看作直角边，二是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直角边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为100.【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解.【解答】解：∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所用细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的高.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是网格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9米.(假设绳子是直的)【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15(米)，∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(米)，∴AD＝＝＝6(米)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(米)，答：船向岸边移动了9米.故答案为：9.三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求利用S△ABC解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论.＝S△ABI+S△BIC+S△AIC【解答】解：(2)因为S△ABC＝cx+ax+bx所以x＝.答：x与a、b、c的关系为x＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝米，∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度.【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝(x﹣3)m，利用勾股定理可得x2＝62+(x ﹣3)2.【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝(x﹣3)m，故x2＝62+(x﹣3)2，解得：x＝7.5，答：绳索AD的长度是7.5m.。
第17章 勾股定理
第十七章 勾股定理知识点回顾：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点一： 勾股定理 1.勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．(注意：前提条件是直角三角形！！！) 例题：1.在Rt △ABC 中， 90=∠C ，中AC=3，BC=4，则AB=（ ）A.5B.7C.12D.25 2.（常考题）在直角三角形ABC 中，斜边AB =1，222AC BC AB ++的值是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）A.13B.8C.25D.64 4.（易错题）若△ABC 中，AB =13，AC =15，高AD =12，则BC 的长是（ ）A.14B.4C.10或18D.14或4 5.（常考题）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）8.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C . 6cm D . 36cm 9.在直角坐标系中，点P （2，3）到原点的距离是2.勾股定理的图形结合题（难点）例题：1.如图，在△ABC中，三边长a、b、c的大小关系是（）3.（常考题，难）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为2cm.4.（必考题，难）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形边长是13cm，小正方形边长为7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______cm.（）A.169B.25C.19D.135.（常考题，难）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为第1题第2题第3题第4题第5题6.（常考题）如图，数轴上点A表示的数是.7.8.（必考题）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格点的顶点叫格点，以格点作为顶点分别按下列要求画三角形.(1)使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图①中画出一个即可） (2)使三角形的三边长分别为3，22，5；（在图②中画出一个即可）知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足22b a +=2c ，那么这个三角形是直角三角形。
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八年级数学下册《勾股定理》专项训练题号 一1 二2 三3 四4 五5 六6 七7 八8 得分任何学习不可可能重复一次就可以掌握，必须经过多次重复、多方面、多个角度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。
班级： 姓名： 评价： 制卷：赵化中学 郑宗平 一、精心选一选：1、下列各组数中，能构成直角三角形的是 （ ）A.4，5，6B.1，1，2C.6，8，11D.5，12，232、在平面直角坐标系中，点P (3,4)到原点0的距离OP 的长为（ ）A.3B.4C.5D.7 3、下列定理中,没有逆定理的是 （ ）A.两直线平行，内错角相等B.直角三角形两锐角互余 C 、对顶角相等 D.同位角相等，两直线平行 4、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为 （ ）A.43B.3C.23D.3 5、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，三角形的形状是 （ ）A.底与边不相等的等腰三角形;B.等边三角形;C.钝角三角形D.直角三角形6、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距 （ ）A.36 海里B.48 海里C.60海里D.4海里7、下列命题中是假命题的是（ ）A.△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形.B.△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形.C.△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.D.△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 8、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°以AC 为直径圆恰好过点B ， AB ＝8，BC ＝6，则阴影部分的面积为 （ ）A.100π－24B.100π－48C.25π－24D.25π－489、在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或3310、如图，△ABC 中AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，则AC 的长为（ ） A.6 B.6 C.5 D.411、如图，△ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是 （ ）A.222AD DC AC =+ B.222AE DE AD =-C.222AC DE AD +=D.22241BC BE BD =- 12、已知a =3，b =4，若a ，b ，c 能组成直角三角形， 则c =（ ） A.5 B.7 C.5或7 D.5或613、在直角坐标系中，点P 1（－2，3）到P 2（2，－1）的距离是（ ） A.5 B.13 C.11 D.214、如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4， 则阴影部分的面积是 （ ） A.16B.18C.19D.2115、若在△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD =12,则BC 的长为（ ）A.、14B.4C.14或4D.以上都不对 16、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AC 上一点，且DA =DB =5，DBC AE DBCADCB A3220BA又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是 （ ） A.4B. 6C.5D. 4.517、已知x 、y 为正数，且│x 2－4│+（y 2－3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 （ ）A.5B.25C.7D.1518、若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的 （ ） A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍19、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a >0）；⑤m 2－n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m >n ）其中可以构成直角三角形的有 （ ）A 、5组；B 、4组；C 、3组；D 、2组 20、如图，1====DE CD BC AB ，且AB BC ⊥，AC CD ⊥，AD DE ⊥，则线段AE 的长为 （ ）A.23B.2C.25D.3 21、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ，则此三角形为 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.不能确定22、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AC 上一点，且DA =DB =5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是 （ ）A.4B.3C.5D.4.523、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC =6㎝，BC =8㎝，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ） A.2㎝B.3㎝C.4㎝D.5㎝24、已知，如图长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为 （ ）A.6cm 2B.8cm 2C.10cm 2D.12cm 2二、耐心填一填：25、如图，90,4,3,12C ABD AC BC BD ︒∠=∠====,则AD = .26、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 . 27、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 .28、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 .29、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m .30、一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面半径为4cm ，高为6cm ，现有一支11cm 的吸管任意斜放于杯中，则吸 管露出杯口至少________cm .31、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米.32、在△ABC 中，AB =2k ，AC =2k －1，BC =3，当k =__________时，∠C =90°.33、如图所示，在矩形ABCD 中，AB =16，BC =8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF = .34、如图所示，AD 为△ABC 的中线，BC =2，∠ADC =45°，如果将△ADC 沿AD 折叠，使点C 落在C ‵处，则B C ‵的长度为 .A BDC 第22题AC DB E第23题图ABEFDC第24题35、如图，数轴上有两个Rt △ABO 、Rt △CDO ，OA 、OC 是斜边，且OB =1，AB =1，CD =1，OD =2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 .36、如果△ABC 的三边长c b a 、、满足关系式03018)602(2=-+-+-+c b b a ，则△ 37、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD =3，AD =4，AB =5，则AC =_________________. 38、命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是_____________________________.39、如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为_________ .40、 如图，正方形ABCD —A′B′C′D′的棱长为3，那么AC 2=_______，A′C 2=________. 41、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是______________________.42、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 与点D ，若AB =5，BC =4，AC =6，则DE 的长为 .43、如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，则∠APB =_______ .三、用心做一做：44、如图，每个小方格的边长都为1，求图中格点四边形ABCD 的面积？45、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ,若AB =60m ,BC =84m ,AE =100m ,•则这条小路的面积是多少?46、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40，再 向西走20米，米又向南走40米，再向东走70米，求小明 到达的终止点与原出发点的距离？ABCDP第43题DCABE 第42题起点704020D ABFE DCA B47、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•48、 如图∠B =90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm ,CD =29cm ，求图（甲）凸四边形ABCD的面积？如果题中的条件不变，把图（甲）改成图（乙）凹四边形ABCD ，求图（乙）凹四边形ABCD 面积？四、找规律，巧妙解答：49、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．50、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1)、如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2)、如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3)、若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?(4)、若图④中正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是a 、b 、c 、d ，则正方形F 的面积如何用含a 、b 、c 、d 的式子表示出来？如果正方形F 的边长16cm ，那么正方形A 、B 、C 、D 的面积之图（甲）BACDCDA B图（乙）FC和是多少？51、图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2‵，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长多长？52、已知：如图正方形ABCD ，E 是BC 的中点，F 在AB 上，且BF ＝AB 41，猜想EF 与DE 的位置关系，并说明理由．53、△ABC 是等边三角形，P 为其内的一点，并且满足P A 2=PB 2+PC 2,试求∠CPB 的度数？你从本题的解答中能得到什么启示？可以编辑的试卷（可以删除）ABF ECDCAPB。