2.1 条件概率
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2.2.1条件概率(一)
1.某种动物出生之后活到 岁的概率为 ， 某种动物出生之后活到20岁的概率为 某种动物出生之后活到 岁的概率为0.7， 活到25岁的概率为 活到 岁的概率为0.56，求现年为 岁的这种 岁的概率为 ，求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 动物活到 岁的概率。 岁的概率 表示“ 解 设A表示“活到 岁”(即≥20)，B表示 表示 活到20岁 即 ， 表示 活到25岁 “活到 岁” (即≥25) 即 则 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.56
P ( AB ) P( A | B ) = P( A )
注 : ⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; 几何解释: ⑵ 几何解释 : 可加性： ⑶ 可加性 ： 互斥， 如果 B和C 互斥 ， 那么 P [ ( B U C ) | A] = P ( B | A) + P (C | A)
B
A
引例: 引例
小试牛刀： 小试牛刀： 道题中有4道理科题和 道文科题， 道题中有 道理科题和2道文科题 例1在6道题中有 道理科题和 道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 的依次抽取 道题 （1）第一次抽到理科题的概率 ） （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 ） （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 ）第一次抽到理科题的条件下， 题的概率. 题的概率.
选修2-3 高二数学 选修
2.2.1条件概率（一） 条件概率（ 条件概率
复习引入： 复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式： 我们知道求事件的概率有加法公式： 若事件A与 互斥 互斥， 若事件 与B互斥，则. P( AU B) = P( A) + P(B) 那么怎么求A与 的积事件 的积事件AB呢 那么怎么求 与B的积事件 呢? 注: 1.事件 与B至少有一个发生的事件叫做 与B的 事件A与 至少有一个发生的事件叫做 至少有一个发生的事件叫做A与 的 事件 和事件,记为 和事件 记为 A U B (或 A + B ); 或 2.事件 与 B都发生的事件叫做 与 B的积事件 事件A与 都发生的事件叫做 都发生的事件叫做A与 的 积事件, 事件 记为 A I B (或 AB ); 或
2.2.1条件概率
用A表示事件“第一名同学没有中奖”
A X1YX2, X2YX1, X1X2Y , X2X1Y
在A发生的条件下，B发生的基本事件 事件A和B同时发生
X1X2Y , X2 X1Y =AB
用 P(B | A) 表示事件“已知第一名同学没有中奖的条件下，最后
一名同学中奖”的概率
由古典概型概率公式，有
高二数学 选修2-3
2.2.1条件概率
1
一、基础知识归纳
设Ω有n个基本事件，随机事件A包含m个基本事件，则 事件A的概率P(A)=m/n. 对任何事件A：0≤P(A)≤1.
1、古典概率定义
P(A)= 有利于事件A的基本事件数
基本事件总数
当且仅当所描述的基本事件的出现是等可能 性时才成立
2
简单概率事件关系
B A∩B A
P(B|A）相当于把A当做新的样本空间来计算AB发生的概率。
P(A|B）怎么读？怎么理解？怎么求解？
2.条件概率的性质：
（1）有界性： 0 P B A 1
（2）可加性：如果B和C是两个互斥事件，则
PB C A PB A PC A
例1
在5道题中有3道理科题和2道文科题。
如果不放回地依次抽取2道题，求：
n()
A52
20,
n( A)
A31
A41
12, P(A)
n( A) n()
12 20
3. 5
( 2)
n(AB ) A32 6,
3P( AB)
n(AB) n()
6 20
3 10
.
(3)法1
P(B
|
A)
P( AB) P( A)
10 3
12法. 2
2.2.1条件概率
三、概念形成
1.条件概率 一般地，对于任何两个事件A、B，在已知事件A发 生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用
“P(B|A)”来表示。
我们把由事件A和事件B同时发生的事件，称为事件 的交或积。用“A∩B”或“AB”来表示。
A∩B A
B
2.条件概率公式的推导 例子：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A=“蓝色骰子 的点数为3或6”，事件B=“两颗骰子的点数之和大于
例3.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百年的气象 记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20% 和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则依 题意有P(A)=0.20，P(B)=0.18，P(A∩B)=0.12。 (1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率是
Ω A B
练习：如图，由面积为400cm2的矩形区域Ω内有半径为 6cm的两圆A，B，相交弦长为6cm，现在Ω内随机取 点，若已知点取自圆A内，求在此条件下点取在圆B内 的概率。 解：设A=“圆A内所有点”，B=“圆B内所有点”，则
几何概型
已知事件A发生的条件下，事件B发生，即点取自两 圆的公共部分A∩B。 由已知可求得A圆区域的面积为36πcm2，B圆区域的面 积为36πcm2，两圆公共部分的面积为 12 18 3cm2 所以，P( A)
2.2.1 条件概率
学习目标
1、条件概率的概念
2、条件概率的公式 3、条件概率的应用
一、兴趣引入
“玛丽莲问题”
玛丽莲(Marilyn vos Savant)，美国专栏作家。她在 《Parade》杂志上主持一个叫做“Ask Marilyn”的专栏， 回答读者的各种问题。1991年，她提出了这个著名的玛丽 莲问题（Behind Monty Hall’s Doors）。 “你参加电视台的一个抽奖节目。 台上有三个门，一个后边有汽车，其余 后边是山羊。主持人让你任意选择其一 。然后他打开其余两个门中的一个，你 看到是山羊。这时，他给你机会让你可 以重选，也就是你可以换选另一个剩下 的门。那么，你换不换？”
2.2.1条件概率
2. 事件 A与 B都发生的事件叫做 A与 B的积事件 , 记为 A B (或 AB );
3.若 A B 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
引例:掷红、蓝两颗骰子。设事件A=“蓝色骰子的点数为3 或6”事件B=“两颗骰子点数之和大于8”；
求(1)P(A)，P(B)，P(A∩B)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发生的概率？
若已知有一个女孩，求另一个是男孩的概率；
变式：在一个有三个孩子的家庭中，已知有一 个是男孩，求至少有一个女孩的概率。
例2.某种动物出生之后活到20岁的概率为 0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20 岁的这种动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率, 记作P(B |A).
P( A B) , P(A)>0. 2.条件概率计算公式: P( B | A) P( A)
例1.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率 解：即事件 A 已发生，求事件 B 的概率
由于B A故A B B，
所求概率为
P( A B) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
B
0.56
0.7
A
归纳总结
1.条件概率中两个事件互相影响； 2.弄清“事件A发生”，“事件A发生且事件B发
生”，
“事件B在事件A发生的条件下发生”三者之间的关 3. 解法：①公式法 系 .
2[1].2.1条件概率1.ppt1
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定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（A）＞０， 则称
P( AB) P ( B A) P ( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率.
练习：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可 能的，已知这个家庭有一个女孩，问这时另一个小孩 是男孩的概率是多少？ 解1：样本空间A的基本事件数为3，{bg、gb、gg}
事件B|A的基本事件数为2，{bg、gb} 所以 P(B|A)=2/3 解2： P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、条件概率的性质：
必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0
1. 条件概率的定义.
2. 条件概率的计算.
公式:
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
昨天看一片电影《玩转21点》，片中有一个很趣的 概率问题。片中涉及的那个车和羊的问题也被称作蒙提 霍尔问题（Monty Hall Problem）或三门问题，是一个 源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏 节目“Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主 持人蒙提· 霍尔（Monty Hall）。 这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门， 其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就 可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。 当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主 持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。 主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的 门。
2、几何概型：
(1) 等可能性 (2) 无限性
事件A的区域 P( A) 样本空间的区域
探究一
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学 无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小?
P( AB) P ( B A) P ( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率.
练习：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可 能的，已知这个家庭有一个女孩，问这时另一个小孩 是男孩的概率是多少？ 解1：样本空间A的基本事件数为3，{bg、gb、gg}
事件B|A的基本事件数为2，{bg、gb} 所以 P(B|A)=2/3 解2： P(B|A)=P(AB)/P(A)
二、条件概率的性质：
必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0
1. 条件概率的定义.
2. 条件概率的计算.
公式:
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
昨天看一片电影《玩转21点》，片中有一个很趣的 概率问题。片中涉及的那个车和羊的问题也被称作蒙提 霍尔问题（Monty Hall Problem）或三门问题，是一个 源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏 节目“Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主 持人蒙提· 霍尔（Monty Hall）。 这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门， 其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就 可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。 当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主 持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。 主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的 门。
2、几何概型：
(1) 等可能性 (2) 无限性
事件A的区域 P( A) 样本空间的区域
探究一
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学 无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小?
2.2.1条件概率
2.2.1 条件概率
学习目标： 1.理解条件概率的定义 2.掌握条件概率的两种计算方法 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 学习重点：条件概率的两种计算方法 学习难点：理解条件概率的定义 预习检查
1. 条件概率定义:一般地，设A,B为两个事件,且P(A)>0,称 P(B│A)=_______为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概 率;其中P(B│A)读作“A发生的条件下B发生的概率”.
2.性质: (1) 0≤P(B│A)≤1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C│A)=________+__________. 思考探究: 1.P(A│B) =P(B│A)吗?为什么?
2 .已知P(B│A)=, P(AB) =,则P(A)=________. 3. 试探究P(B│A) 与P(A B)的联系.
4.若B与C是互斥事件且P(B│A)=
,
P(C│A)=
,则Leabharlann P(B∪C│A)=_________.
5.某种元件用满6000小时未坏的概率是,用满10000小时未坏的概率
是,现有一个此种元件,已经用过6000小时未坏,则它能用到10000小时
的概率为__________.
6.下列关系式中,正确的是 ( )
A. P(A│B)= P(B│A).
B. 0＜P(B│A)＜1.
C. P(AB)= P(A)· P(B│A).
D. P(A∩B│A)= P(B).
7.四张奖劵中有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取,若已知第一
名同学没有抽到中奖奖劵,则最后一名同学抽到中奖奖劵的概率是 (
)
A. B. C. D.1
当堂检测 1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为= {1,2,3,4,5,6}.记事件A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则P(A│B)= () A. B. C. D. 2.根据历年的气象资料统计,某地4月份刮东风的概率是,既刮东风又下 雨的概率是,则在4月份刮东风的条件下,该地下雨概率是________. 3.一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取出两次, 每次任取一个且不放回,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B│A).
学习目标： 1.理解条件概率的定义 2.掌握条件概率的两种计算方法 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 学习重点：条件概率的两种计算方法 学习难点：理解条件概率的定义 预习检查
1. 条件概率定义:一般地，设A,B为两个事件,且P(A)>0,称 P(B│A)=_______为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概 率;其中P(B│A)读作“A发生的条件下B发生的概率”.
2.性质: (1) 0≤P(B│A)≤1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C│A)=________+__________. 思考探究: 1.P(A│B) =P(B│A)吗?为什么?
2 .已知P(B│A)=, P(AB) =,则P(A)=________. 3. 试探究P(B│A) 与P(A B)的联系.
4.若B与C是互斥事件且P(B│A)=
,
P(C│A)=
,则Leabharlann P(B∪C│A)=_________.
5.某种元件用满6000小时未坏的概率是,用满10000小时未坏的概率
是,现有一个此种元件,已经用过6000小时未坏,则它能用到10000小时
的概率为__________.
6.下列关系式中,正确的是 ( )
A. P(A│B)= P(B│A).
B. 0＜P(B│A)＜1.
C. P(AB)= P(A)· P(B│A).
D. P(A∩B│A)= P(B).
7.四张奖劵中有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取,若已知第一
名同学没有抽到中奖奖劵,则最后一名同学抽到中奖奖劵的概率是 (
)
A. B. C. D.1
当堂检测 1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为= {1,2,3,4,5,6}.记事件A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则P(A│B)= () A. B. C. D. 2.根据历年的气象资料统计,某地4月份刮东风的概率是,既刮东风又下 雨的概率是,则在4月份刮东风的条件下,该地下雨概率是________. 3.一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取出两次, 每次任取一个且不放回,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B│A).
2.2.1 条件概率
类型2：利用基本事件个数求条件概率
【例】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回 地依次抽取2道题, 求
1 第1次抽到理科题的概率; 2 第1次和第2次都抽到理科题的概率; 3 第1次抽到理科题的条件下, 第2次抽到理科题的概率.
解 设第 1 次抽到理科题为事件A, 第2次抽到理科题为 事件B, 则第1次和第2次都抽到理科题的事件为AB.
是一种重要的求条件概率的方法.
计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率． 即 P(B|A)． (2)在原样本空间 Ω 中，先计算 P(AB)，P(A)， PAB 再利用公式 P(B|A)＝ 计算求得 P(B|A)． PA
(3)条件概率的算法：已知事件 A 发生，在此条件下事件 B 发 生，即事件 AB 发生，要求 P(B|A)，相当于把 A 看作新的基本事 件空间计算事件 AB 发生的概率，即 nAB nAB nΩ PAB P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA nA PA nΩ
【例】一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球， 如果不放回地抽取两个球， 记事件“第一次抽到黑球”为 A；事件“第二次抽到黑球”为 B. (1)分别求事件 A，B，AB 发生的概率； (2)求 P(B|A)．
【自主解答】 2 (1)P(A)＝ ， 5
由古典概型的概率公式可知
2×1＋3×2 8 2 P(B)＝ ＝ ＝ ， 20 5 5×4 2× 1 1 P(AB)＝ ＝ . 5×4 10 1 PAB 10 1 (2)P(B|A)＝ ＝ ＝ . 2 4 PA 5
事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．P(B|A)读作 A 发 生的条件下 B 发生的概率．
2、条件概率的性质
2.2.1 条件概率
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
解:设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},
B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},
R={第二次取出的球是红球},
W={第二次取出的球是白球},
则 A、B 互斥易得 P(A)=170,P(B)=130, P(R|A)=12,P(R|B)=45,
事件“试验成功”表示为RA∪RB,又事件RA与事件RB互斥,故由概
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
解:(方法一)设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个
球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C,
则 P(A)=110,P(AB)=110××29 = 415,P(AC)=110××39 = 310.
1
∴P(B|A)=������������(���(���������������)) =
发生的条件下,事件B发生的条件概率,P(B|A)读作A发生的条件下B
发生的概率.
【思考1】 P(B|A)与P(AB)有何区别? 提示:P(B|A)的值是AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而 P(AB)是AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)≠P(AB). 【思考2】 若事件A、B互斥,则P(B|A)是多少?
则 P(A)=1326 = 13.
∵3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8,
∴事件B的基本事件总数为4+3+2+1=10. ∴P(B)=10 = 5 .
36 18
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则 P(A) 0.7, P(B) 0.56 所求概率为 P(B A) P( AB) P(B) 0.8
P( A) P( A)
思考：条件概率是否满足概率的公理化定义？ 非负性、规范性、可列可加性
思考：条件概率是否满足概率的公理化定义呢？
(1) 非负性 : P ( A B ) ≥ 0;
( 2 ) 规范性 : P ( S B ) = 1;
(3)可列可加性：设 B1, B2 , ... 是两两互不相容事件,则
U P Bi B P(Bi B).
i1
i1
(4) P(A B) 1 P(A B).
(5) P(A1 U A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B);
解
以Ai (i
Hale Waihona Puke 1,2,3)表示事件"透镜第 i
次落下打破", 还有其他方法吗？
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
(1 1 )(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
教学重难点：全概率公式、贝叶斯公式的关系及其 应用 。
引例：10张彩票中有2张能中奖，甲、乙两人 各抽1次奖。若甲先抽，而乙并不知道甲抽得 的结果，求乙抽到奖的概率？
分类讨论。乙抽到奖可以分为两种情况，即甲抽到奖乙也抽 到奖或甲没有抽到奖乙抽到奖，并且这两种情况是互不相容
的（即甲要么抽到奖，要么抽不到）。
P( AB) P( A)P(B | A) 6 4 24 10 9 90
P( ABC) P( A)P(B | A)P(C | AB) 4 3 2 24 10 9 8 720
2.1-2 全概率公式 与贝叶斯公式
知识点与基本要求：
理解全概率公式的意义和方法，会应用全概率公 式求解事件概率； 理解贝叶斯公式的意义和方法，会应用贝叶斯公 式求解事件概率。
解：设A表示“甲抽到奖”，B表示“乙抽到奖”
P(AB) P(A)P(B A) 2 1 1 , P(AB) P(A)P(B A) 8 2 8
10 9 45
10 9 45
P(B) P(AB) P(AB) 1 8 1 45 45 5
A
A
P( A) P( A) 1
练习8：10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求①甲抽到难签;②甲,乙都抽到 难签; ③甲没抽到难签而乙抽到难签; ④甲,乙,丙都抽 到难签的概率.
本节小结
(1) 条件概率 P(B A) P( AB) P( A) > 0 P( A)
(2)乘法公式 P(AB) P(B A)P(A) P(A) > 0
解法二一（缩条减件样概本率空的间定法义）法）
当于由 由已是条于知件PPＡ概((BA发率|BA生的))时定AAN，43义22N((样得AS43B本)P) (32空B间A12)减 缩PP((为AAB))SAA3AA423
3 4
3
P( A)
在Ａ发生的条件下，考虑Ｂ发生的概率，样本空间缩减为
S A {HH, HT,TH},
条件概率的定义
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) > 0, 称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
S
BA
BA
Sample space S
（1）P( A) 6 0.6
10
（2）P( AB) P(A)P(B A)
6
5 0.33
（3）P( AB)
P( A)P(B
A)
104
9
6
0.27
（4）P(B)= 6
10 9
10
练习6:某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随 意拨号.求他拨号不超过三次才接通所需电话的概率.
P(AB) P(A B)P(B) P(B) > 0
综合练习 一个盒子中有６只白球、４只黑球,从中不放 回地每次任取１只,连取２次,求(1) 第一次取得白球的概 率;(2) 第一、第二次都取得白球的概率 (3) 第一次取得 黑球而第二次取得白球的概率;(4)第二次取得白球的概 率.
解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球
2.1 条件概率
2.1-1 条件概率与乘法公式 2.2-2 全概率公式与贝叶斯公式
2.1-1 条件概率与乘法公式
知识点与基本要求：
理解条件概率的概念及其应用； 掌握条件概率的计算方法， 会应用条件概率进行概率计算； 理解概率的乘法公式的概念及其应用； 会两个及多个事件之积的概率计算
教学重难点：条件概率、乘法公式的关系及计算。
引例 掷一枚骰子，求 (1)出现3个点的概率 ；
A AB B
(2)在已出现奇数点的条件下，
出现3个点的概率。→条件概率
S
解：设事件A表示出现3个点，事件B表示出现奇数点 即事件B已发生,求事件A的条件概率P(A|B)
A,B都发生,但样本空间缩小到只包含A的样本点
P(A B) N(AB) 1
方法1:样本空间S
Reduced sample space A
方法2：B|A缩减的样本 空间为A
例1 袋中装有6只球，4只红球，2只白球，先后两次 从袋子中各取1球，取后不放回。求在第一次取到红 球的条件下，第二次取到红球的概率。
解 设Ａi表示“第i次取得红球”, i=1,2 P(Ａ2|A1)= P(Ａ1A2)/ P(A1)=(12/30)/(20/30)=3/5
A2 A3)
P(
A1)P(
A1
|
A2)P( A3
|
A1
A2 )
9 10
8 9
1 8
1 10
P( A) 3
10
练习7：设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破 的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破 的概率为9/10.试求透镜落下三次均未打破的概率.
S
AB
A
AB
B
S
P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) 1
设 B1,, Bn 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 且
n
Bi S , P(Bi ) > 0 ,称事件 B1,, Bn 为样本
i1
空间 S 的一个划分(或完备事件组)。
P(B1) P(B2 ) ... P(Bn ) 1
P(B A) N ( AB) , P( AB) N ( AB) ,
N (SB )
N (S )
一般来说, P(B A)比 P( AB) 大.
例3 设 P(A | B) P(B | A) 1 , P(A) 1 ,求 P( A U B)
2
3
解：由于 P(AB) P(A)P(B | A) 1 1 1
练习5：袋子中装有a个红球,b个白球,任取1球,取后放 回，并加入c个同色的球,问连续3次都取到红球的概率。
解：设Bi表示第i次取到红球，i=1,2,3
条件概率 P(A B) 与乘积事件概率 P(AB) 的区别.
P( AB) 表示在样本空间 S 中, AB 发生的概率,
而 P( A B) 表示在缩小的样本空间SB B 中, AB 发生的概率. 用古典概率公式, 则
解：设 Ai 表示“第 i 次拨通电 话”,i=1,2,3;
P(A)A表P(示A “U A不A超U过A 三A A次) 拨 P通(A电)话 P”(A A ) P(A A A )
1
12
1 23
1
12
1 23
P
(
A1
)
1 10
P( A1A2 )
P( A1)P( A2
|
A1)
1 10
P( A1
Ａ表示“有两个男孩” A={(b,b) }是B的子集
B1表示“第一个是男孩”B1={(b,b) , (b,g) }
P(Ａ|B)=1/3, P(Ａ|B1)=1/2
练习3：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物 活到25岁的概率.
解 设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”
P(B A) N ( AB) N ( AB) N (S) N ( A)
1 3
易知
P(B | A)
N ( AB) N (S )
P( AB) 1
P( A) N ( A) 3 N(S) 4
N ( A)
P( A) 3 P(AB) N(AB) 1
N (S )
N(S) 4
N(B) 3
P(A) 1 6
思考：通过这个例子你有什么发现吗？
例如P(A)=P(A|B)吗？ P(A|B)如何求解？
引例 将一枚硬币抛掷两次, 设事件A为“至少有一
次正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 求事件A已
发生的条件下,事件 B 发生的概率.
分析：样本空间为 S { HH, HT, TH, TT }. A = {HH , HT ,TH }, B = {HH ,TT },
32 6
P(AB) P(B)P(A | B) 1
P(B) P(AB) P(A | B)
6 1
1 3
P( A) P( A)
思考：条件概率是否满足概率的公理化定义？ 非负性、规范性、可列可加性
思考：条件概率是否满足概率的公理化定义呢？
(1) 非负性 : P ( A B ) ≥ 0;
( 2 ) 规范性 : P ( S B ) = 1;
(3)可列可加性：设 B1, B2 , ... 是两两互不相容事件,则
U P Bi B P(Bi B).
i1
i1
(4) P(A B) 1 P(A B).
(5) P(A1 U A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B);
解
以Ai (i
Hale Waihona Puke 1,2,3)表示事件"透镜第 i
次落下打破", 还有其他方法吗？
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
(1 1 )(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
教学重难点：全概率公式、贝叶斯公式的关系及其 应用 。
引例：10张彩票中有2张能中奖，甲、乙两人 各抽1次奖。若甲先抽，而乙并不知道甲抽得 的结果，求乙抽到奖的概率？
分类讨论。乙抽到奖可以分为两种情况，即甲抽到奖乙也抽 到奖或甲没有抽到奖乙抽到奖，并且这两种情况是互不相容
的（即甲要么抽到奖，要么抽不到）。
P( AB) P( A)P(B | A) 6 4 24 10 9 90
P( ABC) P( A)P(B | A)P(C | AB) 4 3 2 24 10 9 8 720
2.1-2 全概率公式 与贝叶斯公式
知识点与基本要求：
理解全概率公式的意义和方法，会应用全概率公 式求解事件概率； 理解贝叶斯公式的意义和方法，会应用贝叶斯公 式求解事件概率。
解：设A表示“甲抽到奖”，B表示“乙抽到奖”
P(AB) P(A)P(B A) 2 1 1 , P(AB) P(A)P(B A) 8 2 8
10 9 45
10 9 45
P(B) P(AB) P(AB) 1 8 1 45 45 5
A
A
P( A) P( A) 1
练习8：10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求①甲抽到难签;②甲,乙都抽到 难签; ③甲没抽到难签而乙抽到难签; ④甲,乙,丙都抽 到难签的概率.
本节小结
(1) 条件概率 P(B A) P( AB) P( A) > 0 P( A)
(2)乘法公式 P(AB) P(B A)P(A) P(A) > 0
解法二一（缩条减件样概本率空的间定法义）法）
当于由 由已是条于知件PPＡ概((BA发率|BA生的))时定AAN，43义22N((样得AS43B本)P) (32空B间A12)减 缩PP((为AAB))SAA3AA423
3 4
3
P( A)
在Ａ发生的条件下，考虑Ｂ发生的概率，样本空间缩减为
S A {HH, HT,TH},
条件概率的定义
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) > 0, 称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
S
BA
BA
Sample space S
（1）P( A) 6 0.6
10
（2）P( AB) P(A)P(B A)
6
5 0.33
（3）P( AB)
P( A)P(B
A)
104
9
6
0.27
（4）P(B)= 6
10 9
10
练习6:某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随 意拨号.求他拨号不超过三次才接通所需电话的概率.
P(AB) P(A B)P(B) P(B) > 0
综合练习 一个盒子中有６只白球、４只黑球,从中不放 回地每次任取１只,连取２次,求(1) 第一次取得白球的概 率;(2) 第一、第二次都取得白球的概率 (3) 第一次取得 黑球而第二次取得白球的概率;(4)第二次取得白球的概 率.
解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球
2.1 条件概率
2.1-1 条件概率与乘法公式 2.2-2 全概率公式与贝叶斯公式
2.1-1 条件概率与乘法公式
知识点与基本要求：
理解条件概率的概念及其应用； 掌握条件概率的计算方法， 会应用条件概率进行概率计算； 理解概率的乘法公式的概念及其应用； 会两个及多个事件之积的概率计算
教学重难点：条件概率、乘法公式的关系及计算。
引例 掷一枚骰子，求 (1)出现3个点的概率 ；
A AB B
(2)在已出现奇数点的条件下，
出现3个点的概率。→条件概率
S
解：设事件A表示出现3个点，事件B表示出现奇数点 即事件B已发生,求事件A的条件概率P(A|B)
A,B都发生,但样本空间缩小到只包含A的样本点
P(A B) N(AB) 1
方法1:样本空间S
Reduced sample space A
方法2：B|A缩减的样本 空间为A
例1 袋中装有6只球，4只红球，2只白球，先后两次 从袋子中各取1球，取后不放回。求在第一次取到红 球的条件下，第二次取到红球的概率。
解 设Ａi表示“第i次取得红球”, i=1,2 P(Ａ2|A1)= P(Ａ1A2)/ P(A1)=(12/30)/(20/30)=3/5
A2 A3)
P(
A1)P(
A1
|
A2)P( A3
|
A1
A2 )
9 10
8 9
1 8
1 10
P( A) 3
10
练习7：设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破 的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破 的概率为9/10.试求透镜落下三次均未打破的概率.
S
AB
A
AB
B
S
P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) 1
设 B1,, Bn 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 且
n
Bi S , P(Bi ) > 0 ,称事件 B1,, Bn 为样本
i1
空间 S 的一个划分(或完备事件组)。
P(B1) P(B2 ) ... P(Bn ) 1
P(B A) N ( AB) , P( AB) N ( AB) ,
N (SB )
N (S )
一般来说, P(B A)比 P( AB) 大.
例3 设 P(A | B) P(B | A) 1 , P(A) 1 ,求 P( A U B)
2
3
解：由于 P(AB) P(A)P(B | A) 1 1 1
练习5：袋子中装有a个红球,b个白球,任取1球,取后放 回，并加入c个同色的球,问连续3次都取到红球的概率。
解：设Bi表示第i次取到红球，i=1,2,3
条件概率 P(A B) 与乘积事件概率 P(AB) 的区别.
P( AB) 表示在样本空间 S 中, AB 发生的概率,
而 P( A B) 表示在缩小的样本空间SB B 中, AB 发生的概率. 用古典概率公式, 则
解：设 Ai 表示“第 i 次拨通电 话”,i=1,2,3;
P(A)A表P(示A “U A不A超U过A 三A A次) 拨 P通(A电)话 P”(A A ) P(A A A )
1
12
1 23
1
12
1 23
P
(
A1
)
1 10
P( A1A2 )
P( A1)P( A2
|
A1)
1 10
P( A1
Ａ表示“有两个男孩” A={(b,b) }是B的子集
B1表示“第一个是男孩”B1={(b,b) , (b,g) }
P(Ａ|B)=1/3, P(Ａ|B1)=1/2
练习3：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物 活到25岁的概率.
解 设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”
P(B A) N ( AB) N ( AB) N (S) N ( A)
1 3
易知
P(B | A)
N ( AB) N (S )
P( AB) 1
P( A) N ( A) 3 N(S) 4
N ( A)
P( A) 3 P(AB) N(AB) 1
N (S )
N(S) 4
N(B) 3
P(A) 1 6
思考：通过这个例子你有什么发现吗？
例如P(A)=P(A|B)吗？ P(A|B)如何求解？
引例 将一枚硬币抛掷两次, 设事件A为“至少有一
次正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 求事件A已
发生的条件下,事件 B 发生的概率.
分析：样本空间为 S { HH, HT, TH, TT }. A = {HH , HT ,TH }, B = {HH ,TT },
32 6
P(AB) P(B)P(A | B) 1
P(B) P(AB) P(A | B)
6 1
1 3