云南省中考数学总复习题型突破(一)规律探索问题课件
[答案] (2)2n+1 2n2+2n+1 [解析] (2)观察图形发现:图中黑球 可分三部分,1 到 n 行,第 n+1 行,n+2 行到 2n+1 行,即 1+3+5+…+(2n-1) +[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1= 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+
[答案] (1)42 n2
[解析] (1)1+3+5+7=16=42. 观察,发现规律, 第一个图形:1+3=22, 第二个图形:1+3+5=32, 第三个图形:1+3+5+7=42,…, 第 n-1 个形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.
图 Z1-1
故答案为:42
n2.
类型1 数式规律
5. (2)观察图 Z1-2,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用 含有 n 的代数式填空:
.
1 1
= - ;
1 1
1 1 1 5 6
2×3 2 3
= - ;
1 1 5 6
1 1
1
3×4 3 4 1 1 5 6
= - ;
1 1
证明:∵这列数的第 n 个数为 ∴这列数的第(n+1)个数为 ∵ ∴ =
1 1 2 ������ (������ +2) ������ (������ +1) ������ ������ +1
3 1 1 3
������ ������ + 1
1 4
.(写出最简计算结果即可)
1 5
,
2 + =3
4
1
, 3 + =4
5
1
,…,请你将所发现的规律用含自然数
n(n≥1)的代数式表达出来:
������ +
1 ������ +2
=(n+1)
1 ������ +2
.
类型1 数式规律
5.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:
类型1 数式规律
3.[2017· 黄石] 观察下列各式:
1 1×2 1 1 1 1 2 2
=1 - = ; + +
1 1
1×2 2×3
=1 - + - = ;
2 2 3 3
1 1 1 2
1×2 2×3 3×4
+
1
=1 - + - + - = ;
2 2 3 3 4 4
1 1 1 1 1 3
… 按以上规律,写出第 n 个式子的计算结果(n 为正整数) 4.[2017· 巴中] 观察下列各式: 1 + =2
1 2 3 4031 2016 1 1 1 1 20162 2 1 ������ (������ +2) 1
”.
1 1 1 2 3 20162
这 2016 个数的和,即 M= 2 + 2 + 2 +…&#
<M<
.
类型1 数式规律
【分层分析】 (1)根据已知规律能得出答案吗? (2)根据已知规律写出第 n,(n+1)个数后,再根据分式的运 算化简能得出结论吗? (3)将每个分式根据 1 1 ������ ������ +1 ������ (������ +1) ������ ������
2.[2017· 曲靖模拟] 若 x 是不等于 1 的实数,我们把 x 的差倒数,如 2 的差倒数是
1 3 1 1-2
,当
=-1,-1 的差倒数为
201
.
1-(-1) 2
现已知 x1=- ,x2 是 x1 的差倒数,x3 是 x2 的差倒数,x4 是 x3 的 差倒数,…,依此类推,则 x2014= .
题型解读
规律探索型问题也是归纳猜想型问题 ,是指根据已知条件或题干所提供的若干 特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问
题,体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,考查学生的创新能力,是中考的热点
题型.解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的 观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出 合理的证明或加以运用 .规律探究的基本原则:(1)遵循类推原则,项找项的规律 , 和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律;(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简 单开始,先找3个,发现规律,再验证、运用规律.
1 1×2 2×3 3×4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2016 2017 1 ������ (������ +1) ������
< 2,
1
+
1
+
1
+…+
1 1 1
2016 ×2017
< 2 + 2 + 2 + …+
1 2 3 1 1 1 1 2 3
1
1
1
1 20162 1
,
1 1 1 2017
1 1×2 1 1
;第 2 个数是
2×3
;第 3 个数是
3×4
;…
2 ������ (������ +2)
解:(1)a= - 是正确的.
5 6
1 1
对任何正整数 n,第 n 个数与第(n+1)个数的和等于 (1)经过探究,我们发现:
1 1×2 1 2
.
(2)这列数的第 n 个数为
1
������ (������ +1)
(n≥2,且为正整数),
∴ 2 + 2 +… +
2 1 3 1 1 1 2 3
1
1
1 20162
<
1
1
1×2 2×3 3×4
+
1 1
1
+
1
+…+ +
1
1
2015 ×2016
,
1 1
∴ 2 + 2 + 2 + …+
1 1 1 1 2 3
20162
< 2+
1
1 1
1×2 2×3 3×4 1
+
1
+…+
2015 ×2016
(1)经过探究,我们发现:
1 1 1 1×2 1 2 1 1 1 1 2×3 2 3 3×4 3 4
= - ; = - ; = - ;
1 1 5 6 1 1 5 6 1 1 5 6
1 1
设这列数的第 5 个数为 a,那么 a> - ,a= - ,a< - ,哪个正确?请你直接写出正确的结论. (2)请你观察第 1 个数、 第 2 个数、 第 3 个数,猜想这列数的第 n 个数(用正整数 n 表示第 n 个数),并且证明 你的猜想满足“第 n 个数与第(n+1)个数的和等于 (3)设 M 表示 2 , 2 , 2 ,…,
针对训练
1.[2017· 遵义] 按一定规律排列的一列数依次为: ,1, , ,
3 7 9 14 17 11 13 2 8 11
[答案] 1.
299
201
, ,…,按此规律,这列数中的第 100 个数是
1 1 1-������
. 称为 = ,
1
[解析] 分别寻找分子、 分母蕴含的 规律,第 n 个数可以表示为 n=100 时,即第 100 个数是 2.1 3 3������ -1 2������ +1 299
类型1 数式规律
8.[2017· 自贡] 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律, 根据这种规律,m 的值为( )
[答案] C [解析] 由前面数字系:1,3,5;3,5,7;5,7,9, 可得最后一个正方形相应的三个数分 别为 11,13,15,
图 Z1-3 A.180 C.184 B.182 D.186
������ (������ +1)
. .
设这列数的第 5 个数为 a,那么 a> - ,a= - ,a< - ,哪个正确? 请你直接写出正确的结论.
(2)请你观察第 1 个数、第 2 个数、第 3 个数,猜想这列数的 第 n 个数(用正整数 n 表示第 n 个数),并且证明你的猜想满 足“第 n 个数与第(n+1)个数的和等于
解:(1)当 n=8 时,S=8×9=72. 故答案为:72.
(2)可发现规律: S=2+4+6+8+…+2n=2(1+2+3+…+n) =n(n+1), 故答案为:n(n+1).
∴ - + - + - +…+ 即: <M.
2016 2017
-
< 2 + 2 + 2 +…+
20162
,∴ -
< 2 + 2 + 2 + …+
1 2 3
1
1
1
1
20162
,
同理 n2>n2-n=n(n-1),即 n2>n(n-1)(n 为正整数),∴ 2 <
������
1
1 ������ (������ -1)
【方法点析】 阅读材料→寻找规律→类比迁移 →归纳总结解题方法→解决问题.
中考数学总复习第二部分重点专题提升专题一规律探索型问题课件
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★类型2
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★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
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★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
类型2
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
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★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★类型2
★类型3
★热点问题分析
★热点题型归类
★类型1
★热点题型归类
★类型1
中考数学总复习 题型突破01 规律探索型问题课件
2021/12/9
第四页，共三十三页。
类型1
数式递变(dì biàn)规律
例 1 [2018·淄博] 将从 1 开始的自然数按以下规律排列,例如位
于第 3 行,第 4 列的数是 12,则位于第 45 行,第 8 列的数
…,
9
由此规律可知,正方形 AnBnCnDn 的面积=（ ）n-1,
2
9
故答案为:（ ）n-1.
2
2021/12/9
9
9
2
2
,∴正方形 A2B2C2D2 的面积= =（ ）2-1,
第十六页，共三十三页。
类型2
图形(túxíng)递变规律
4. [2018·葫芦岛] 如图 Z1-7,∠MON=30°,点 B1 在边 OM 上,且 OB1=2,过点 B1 作 B1A1⊥OM 交 ON 于点 A1,以
是
[答案] 2018
[解析] 观察图表可知:第 n 行第一个
.
数是 n2,
∴第 45 行第一个数是 2025,
【分层分析】
∴第 45 行,第 8 列的数是
图 Z1-1
(1)观察图表可知:第 1 行,第 2 行,第 3 行,第 4 行的第一个数各
故答案为 2018.
是什么?有什么发现?
(2)猜想第 n 行第一个数是什么?
的图形变化为主,有时也出现计算线段长度或图形面积大小的情况.
2021/12/9
第二页，共三十三页。
类型1
数式递变(dì biàn)规律
知识(zhī
shi)储备
1. 需要熟记的数字规律:
2024年云南省人教版九年级中考数学二轮复习课件+专题一 规律探索题
6.观察下列各式:a1= ,a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,…,根据其中的规律可得
a n=
+
+ (-)
+
(用含 n 的式子表示).
7.观察下列一组数:2, , ,…,它们按一定规律排列,第 n 个数记为 an,
且满足 +
=
+ +
,则 a4=
,a2 022=
.
8.如图所示,将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行第4列
的数是12,则位于第45行第5列的数是 2 021 .
算式规律型
[典型例题3] 按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,…,第n个
单项式是( A )
A.(2n-1)xn
C.(-1)n-1(2n-1)
D.(-1)n(2n-1)
[典型例题2]如图所示,将数列排成一个三角形数阵:按照以上排列的规
律,第11行从左数第5个数为( A )
A.119
B.-121
C.-117
D.123
[强化运用]
1.一列数1,5,11,19,…,按此规律排列,第7个数是( C )
A.37 B.41 C.55 D.71
2.观察下列数据: ,- , ,- , ,…,则第 12 个数是( D )
A.
B.-
C.
D.-
云南省2022年中考数学总复习课件：专题一 规律猜想探索
n＋2 ×n
2n－1 ＝n
＝2－n1
＝右边，∴等式成立．
图形探索规律 【示范题 2】海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是 黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第 1 个图至第 4 个图中的规
律编织图案，则第 5 个图中有 41 个菱形，第 n 个图中有 2n2－2n＋1 个菱形(用含 n
专题一 规律猜想探索
数式探索规律
【示范题 1】观察以下等式： 第 1 个等式：21 ＝11 ＋11 ， 第 2 个等式：23 ＝12 ＋16 ， 第 3 个等式：25 ＝13 ＋115 ， 第 4 个等式：27 ＝14 ＋218 ， 第 5 个等式：29 ＝15 ＋415 ， … 按照以上规律，解决下列问题：
的代数式表示).
【特别提醒】 图形探索规律问题，一般以图形为载体，利用图形中蕴含的数量关系来解决．解决这 类问题，一般运用猜想归纳法，通过观察、猜想、归纳出一定的规律，而这个规律就 是解决问题的依据．
1．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图案
需要黑色棋子的个数为( C )
【解析】观察代数式，得到第 n 个式子是：an＋(－1)n＋1·2b2n－1.
5．(2021·嘉兴中考)观察下列等式：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，…，按此规律，
则第 n 个等式为 2n－1＝ n2－(n－1)2 ．
【解析】∵1＝12－02，
3＝22－12，
5＝32－22，
…，
∴第 n 个等式为 2n－1＝n2－(n－1)2.
D．(1 009，1)
2．(2021·达州中考)在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为 (1，0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推， 则点A2 021的坐标为( C )
2024年中考数学总复习 专题突破课件 专题一 规律探索问题
命题点1
等差(或等比)数列型
1.(2023牡丹江)观察下面两行数:
1,5,11,19,29,…;
1,3,6,10,15,….
取每行数的第7个数,计算这两个数的和是( C
A.92 B.87 C.83 D.78
)
2.(2023恩施)观察下列两行数,探究第②行数与第①行数的关系:
在同一象限内递推变化;另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环
变化.解决方法如下:
(1)定类型:根据图形中点坐标的变换特点判断属于哪一种类型(递推型
或循环型);
(2)找规律:根据图形的递变规律分别求出第1,2,3,4个点的横坐标和纵
坐标,用含n的代数式表示出第n个点的坐标.
结合图形变化求线段长、图形面积问题与求点的坐标类似,注意对含n
第一步:写序号,记每组图形的序数为“1,2,3,…,n”;
第二步:在简单的图形中,求出问题的结果;
第三步:探究所求结果与序数的关系,将这个关系用含n的式子表示;
第四步:代入n的具体数值,求出第n个图形的相关量的值.
命题点1
图形个数累加型
16.(2023重庆A卷)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第
排列,第 n 个数记为 an,且满足 +
=
+ +
,则 a2 023=
.
图形的变化规律
(1)该类问题常见的解法有三种:一是根据几何图形的变化规律直接求
解;二是数一数各图案中所求图形的具体个数,把图形规律转化成数字
规律求解;三是借助函数知识求解.
(2)解图形规律探索题的一般步骤
2019年中考数学总复习题型突破一规律探索问题课件
1 1 1 1×2 1 2 1 1 1 1 2×3 2 3 3×4 3 4
= - ; = - ; = - ;
1 1 5 6 1 1 5 6 1 1 5 6
1 1
设这列数的第 5 个数为 a,那么 a> - ,a= - ,a< - ,哪个正确?请你直接写出正确的结论. (2)请你观察第 1 个数、 第 2 个数、 第 3 个数,猜想这列数的第 n 个数(用正整数 n 表示第 n 个数),并且证明 你的猜想满足“第 n 个数与第(n+1)个数的和等于 (3)设 M 表示 2 , 2 , 2 ,…,
= -
+
-
= -
.
2 ������ (������ +2)
”.
∴第 n 个数与第(n+1)个数的和等于
.
类型1 数式规律
例 1 [2016· 云南 23 题] 有一列按一定顺序和规律排列的数: 第 1 个数是 第 2 个数是 第 3 个数是 … 对任何正整数 n,第 n 个数与第(n+1)个数的和等于 (3)设 M 表示 2 , 2 , 2 ,…,
������ (������ +1)
. .
设这列数的第 5 个数为 a,那么 a> - ,a= - ,a< - ,哪个正确? 请你直接写出正确的结论.
(2)请你观察第 1 个数、第 2 个数、第 3 个数,猜想这列数的 第 n 个数(用正整数 n 表示第 n 个数),并且证明你的猜想满 足“第 n 个数与第(n+1)个数的和等于
题型突破（一）
规律探索问题
题型解读
规律探索型问题也是归纳猜想型问题 ,是指根据已知条件或题干所提供的若干 特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
(云南)数学中考总复习专题突破课件：专题1 规律探索问题
专题1 规律探索问题
解：设M＝1＋3＋32＋33＋…＋32014，① ①式两边都乘3，得 3M＝3＋32＋33＋34＋…＋32015，② ②－①，得2M＝32015－1， 两边都除以2，得
32015－1 M＝ 2 ， 即1＋3＋32＋33＋…＋32014＝320125－1.
考点探究
专题1 规律探索问题 【点拨交流】 (1)视察第1，2，3个图，你能发现规律吗？ (2)根据特例，你能写出第n个图中点的个数吗？
进而探ห้องสมุดไป่ตู้出一般规律，最后充分应用一般规律求解．
考点探究
专题1 规律探索问题
探究三 数形结合猜想型
11 1 1
1
例3 在数学活动中，小明为了求 2 ＋ 22＋ 23＋ 24 ＋…＋ 2n 的值
(结果用n表示)，设计了如图Z1－2甲所示的正方形．
考点探究
图Z1－2
专题1 规律探索问题
11 1 1 1 (1)请你利用这个几何图形求 2 ＋ 22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ 25 的值为
故选B.
考点探究
专题1 规律探索问题 【点拨交流】 (1)每个图形中的数与图形存在什么样的关系？ (2)最小的数所在的图形面积与未标记数字的图形面积之间
有什么样的关系？ (3)如何应用发现的规律求算式的值？
考点探究
专题1 规律探索问题 【归纳总结】 本例通过数形结合思想探索算式与图形面积之间的关系，
考点探究
专题1 规律探索问题 【归纳总结】
考点探究
专题1 规律探索问题
探究二 图形规律型 例2 [2014·武汉] 视察下列一组图形中点的个数，其中 第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有 19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( B )
云南省中考数学复习难题突破专题一：规律归纳探索问题
难题突破专题一规律归纳探索问题近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．类型1 数字规律1 2019·淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列：图Z1－1则2019在第________行．例题分层分析(1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________；(2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2019在第_______行解题方法点析解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．类型2 数式规律2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等．(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.图Z1－2例题分层分析(1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？(2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？解题方法点析数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．类型3 图形规律3 [2019·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为__________．图Z1－3例题分层分析(1)首先求出B点坐标________，(2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；(3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2019÷3＝672……1，故其运动路径长为________．图Z1－44[ 2019·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2019个图形的周长为________．图Z1－5例题分层分析(1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；(2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8.(3)第2019个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．专题训练1．[2019·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )图Z1－6A．180 B．182C．184 D．1862．[2019·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )图Z1－7A．73 B．81C．91 D．1093．[2019·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( )图Z1－8A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)4．[2019·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：图Z1－9则第⑦个图案有________个黑色棋子．5．[2019·郴州] 已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝________．6．[2019·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．图Z1－107．[2019·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________．图Z1－118．[2019·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2019的纵坐标是________．图Z1－129．[2019·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2019的坐标为________．图Z1－1310．[2019·内江] 观察下列等式：第一个等式：a1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1；第二个等式：a2＝221＋3×22＋2×（22）2＝122＋1－123＋1；第三个等式：a3＝231＋3×23＋2×（23）2＝123＋1－124＋1；第四个等式：a4＝241＋3×24＋2×（24）2＝124＋1－125＋1.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a6＝________＝________；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________；(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)；(4)计算：a1＋a2＋…＋a n.参考答案类型1 数字规律例1 【例题分层分析】(1)1 4 9 16 25(2)n21936 最大数为2025 45[答案] 45类型2 数式规律例2 【例题分层分析】(1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.(2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1.解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.类型3 图形规律例3 【例题分层分析】(1)(－1，3) (2)6 不变(5，3) (3)(1346 33＋896)π[答案] (5，3) (1346 33＋896)π例4 【例题分层分析】梯平行四边形 3 1 梯形3025 3026 1 6053[答案] 8 6053专题训练1．C [解析] 观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝(11＋2)×(11＋4)，解得m＝184.2．C [解析] 整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现：由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91.3．B4．19 [解析] 第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有(1＋3)个黑色棋子；第3个图形中共有(1＋2×3)个黑色棋子；第4个图形中共有(1＋3×3)个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3(n－1)＋1]＝(3n－2)个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19.5.17 656．9n＋3 [解析] 由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3.7．(－9 3－9，9＋3 3) [解析] 过点O2作O2C⊥x轴于点C，∵AB⊥y轴，点B的坐标是(0，1)，且点A在直线y＝－33x上，∴点A的坐标为(－3，1)，即OB＝1，AB＝3，∴OA＝2.由题意知，AB1＝AB＝3，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋3，∵tan∠O2OC＝33，∴∠O2OC＝30°，∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝(3＋3)×32＝3 3＋32，O2C＝O2Osin∠O2OC＝(3＋3)×12＝3＋32，∴O2(－3 3＋32，3＋32)，O4(－2×（3 3＋3）2，2×（3＋3）2)，O6(－3×（3 3＋3）2，3×（3＋3）2)，…，O12(－6×（3 3＋3）2，6×（3＋3）2)，即O12(－9 3－9，9＋3 3)．8．22019[解析] 由图知，点B1的坐标为(1，1)；点A2的坐标为(1，2)；点B2的坐标为(3，2)；点A3的坐标为(3，4)；点B3的坐标为(7，4)；点A4的坐标为(7，8)，……寻找规律知B2019的纵坐标为22019.9．(－2，0) [解析] 根据旋转可得P1(－2，0)，P2(2，－4)，P3(0，4)，P4(－2，－2)，P5(2，－2)，P6(0，2)，故6个循环一次，2019÷6＝336…1，故P2019(－2，0)．10．解：(1)a6＝261＋3×26＋2×（26）2＝126＋1－127＋1.(2)a n＝2n1＋3×2n＋2×（2n）2＝12n＋1－12n＋1＋1.(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋126＋1－127＋1＝12＋1－127＋1＝1443.(4)a1＋a2＋…＋a n＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n＋1－12n＋1＋1＝12＋1－12n＋1＋1＝2（2n－1）3（2n＋1＋1）.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算结果正确的是( )A ．B ．(-3m 2)·(-2m 3)=6m 6C ．(-tan60°-1D ．(-a+2b)2=a 2-4b 22．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3．如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝10cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，使点C 落在点C′的位置，BC′交AD 于点G （图1），再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M （图2），则EM 的长为（ ）A ．165B ．83C ．85D ．1034．一个圆锥的侧面展开图是一个面积为S 的半圆,则圆锥的全面积为（ ） A.32S B.2S C.43S D.23S 5．在平面直角坐标系中，点A 1（﹣1，1）在直线y ＝x+b 上，过点A 1作A 1B 1⊥x 轴于点B 1，作等腰直角三角形A 1B 1B 2（B 2与原点O 重合），再以A 1B 2为腰作等腰直角三角形A 2A 1B 2；以A 2B 2为腰作等腰直角三角形A 2B 2B 3；按照这样的规律进行下去，那么A 2019的坐标为（ ） A.（22018﹣1，22018） B.（22018﹣2，22018）C.（22019﹣1，22019）D.（22019﹣2，22019））6．将抛物线221y x x =--向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ） A ．22y x x =-B ．222y x x =--C ．21y x x =--D ．231y x x =--.7．下列说法：①如果a 2>b 2，那么a>b 4；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④关于x 的方程2210mx x ++=没有实数根,那么m 的取值范围是m>1且m≠0；正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109．如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1、BB 1、CC 1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．1910．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为（ ） A ．44×106B ．4.4×107C ．4.4×108D ．0.44×10811．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上DE ∥BC ，点B 、C 、F 在一条直线上，若∠ACF ＝140°，∠ADE ＝105°，则∠A 的大小为（ ）A ．75°B ．50°C ．35°D ．30°12．如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若2AB =，5BC =，则tan AFE ∠的值（ ）A ．等于25B ．等于27C ．等于57D ．不确定，随点E 位置的变化而变化二、填空题 13．不等式组8482(8)34x x >⎧⎨+<⎩的解集为__．14．如果2(2+（a ，b 为有理数），那么a+b 等于_____． 15．因式分解：27a 3﹣3a ＝_____．16．如图,直径分别为CD.CE 的两个半圆相切于点C,大半圆M 的弦与小半圆N 相切于点F,且AB ∥CD,AB=10,设弧CD.弧CE 的长分别为x .y ,线段ED 的长为z ,则)(y x z +的值为 ．17．在等腰△ABC中底BC＝2，腰AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是_____．18．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m＝_____．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B（6，4），F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE．（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式．（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值．20．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤74时，直接写出x的取值范围是．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF．（1）求∠CDE的度数．（2）求证：DF是⊙O的切线．（3）若tan∠ABD=3时，求ACDE的值．22．我市计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？23．已知抛物线y＝ax2﹣bx．（1）若此抛物线与直线y＝x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，0）．①求此抛物线的解析式；②以y轴上的点P（0，n）为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n的取值范围；（2）若a＞0，将此抛物线向上平移c个单位（c＞0），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．试比较ac与1的大小，并说明理由．24．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作出边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，若S△ADE=2，求△ABC的面积．25．小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次．（1）若第一次设计的图形（图1）是半径分别为20cm和30cm的同心圆．求游戏中小红获胜的概率你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．（2）若第二次设计的图形（图2）是两个矩形，其中大矩形的长为80cm、宽为60cm，且小矩形到矩形的边宽相等．要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少cm？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6＜x＜914．1015．3a(3a+1)(3a﹣116．50π．17．1018．98三、解答题19．（1）12y x =,4y x 83=-+；（2）当k=12时，S 最大，最大值是3． 【解析】【分析】（1）先求出点F 的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式，求解点E ，由E 、A 两点即可求得直线AE 的解析式．（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可．【详解】解：（1）∵B （6，4），点F 是AB 的中点，∴点F 的坐标为（6，2），∵反比例函数y=k x（k ＞0）的图象过点F ， ∴k=6×2=12， ∴反比例函数解析式为y=12x， 把y=4代入y=12x 得，4=12x ， 解得x=3，∴E （3，4），设直线AE 的解析式为y=ax+b ，∴3460a b a b +=⎧⎨+=⎩解得438a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线AE 的解析式：4y 83x =-+； （2）设F （6，6k ），则E （,44k ）， ∴S=()221111·612326448248k k k k k ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当k=12时，S 最大，最大值是3．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，表示出△EFA 的面积是解本题的关键．20．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）EF 长为2；（312x ≤或32x ≥． 【解析】【分析】 （1）把A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，即可求解；（2）把点D 的y 坐标74代入y=-x 2+2x+3，即可求解； （3）直线EF 下侧的图象符合要求．【详解】（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3，解得：a ＝﹣1，b ＝2，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3；（2）把点D 的y 坐标y ＝74，代入y ＝﹣x 2+2x+3， 解得：x ＝12或32，则EF 长31222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭； （3）由题意得：当y≤74时，直接写出x 的取值范围是：12x ≤或32x ≥， 故答案为：12x ≤或32x ≥． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．21．（1）∠CDE=90°；（2）详见解析；（3）AC DE = 【解析】【分析】（1）因为对角线AC 为⊙O 的直径，可得∠ADC=90°，即∠CDE=90°；（2）连接OD ，证明DF=CF ，可得∠FDC=∠FCD ，因为OD=OC ，可得∠ODC=∠OCD ，即∠ODF=∠OCF=90°，可得DF 是⊙O 的切线；（3）证明∠E=∠DCA=∠ABD，可得tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，在Rt△ADC中，求得AC的长，即可得出ACDE的值．【详解】（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=180°-90°=90°；（2）如图，连接OD，∵∠CDE=90°，F为CE的中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠FDC+∠ODC=∠FCD+∠OCD，即∠ODF=∠OCF，∵CE⊥AC，∴∠ODF=∠OCF=90°，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．（3）∵∠E=90°-∠ECD=∠DCA=∠ABD，∴tanE=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，∴=，∴AC DE =x=． 【点睛】本题考查圆的切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆的切线的判定方法．22．（1）这项工程规定的时间是20天；（2）该工程施工费用是120000元【解析】【分析】（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】解：（1）设这项工程规定的时间是x 天 根据题意，得1010511.5x x ++= 解得x ＝20经检验，x ＝20是原方程的根答：这项工程规定的时间是20天（2）合作完成所需时间111()1220 1.520÷+=⨯（天） （6500＋3500）×12＝120000（元）答：该工程施工费用是120000元【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．23．（1）①212y x x =-+；②n≤0；（2）ac≤1，见解析. 【解析】【分析】（1）①△＝0求解b ＝1，将点（3，0）代入平移后解析式，即可； ②顶点为（1，12）关于P （0，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12），关于点P 中心对称的新抛物线y'＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ，联立方程组即可求n 的范围； （2）将点（c ，0）代入y ＝ax 2﹣bx+c 得到ac ﹣b+1＝0，b ＝ac+1，当0＜x ＜c 时，y ＞0. b 2a ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；【详解】解：（1）①ax 2﹣bx ＝x ，ax 2﹣（b+1）x ＝0，△＝（b+1）2＝0，b ＝﹣1，平移后的抛物线y ＝a （x ﹣1）2﹣b （x ﹣1）过点（3，0），∴4a ﹣2b ＝0，∴a ＝﹣12，b ＝﹣1， 原抛物线：y ＝﹣12x 2+x ， ②其顶点为（1，12）关于P （0，n ）对称点的坐标是（﹣1，2n ﹣12）， ∴关于点P 中心对称的新抛物线y'＝12（x+1）2+2n ﹣12＝12x 2+x+2n ． 由221y=x +x+2n 21y=-x +x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得：x 2+2n ＝0有解，所以n≤0．（2）由题知：a ＞0，将此抛物线y ＝ax 2﹣bx 向上平移c 个单位（c ＞0），其解析式为：y ＝ax 2﹣bx+c 过点（c ，0），∴ac 2﹣bc+c ＝0 （c ＞0），∴ac ﹣b+1＝0，b ＝ac+1，且当x ＝0时，y ＝c ，对称轴：x ＝b 2a，抛物线开口向上，画草图如右所示． 由题知，当0＜x ＜c 时，y ＞0． ∴b 2a≥c，b≥2ac， ∴ac+1≥2ac，ac≤1；【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a 的值不变是解题的关键．24．(1)见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用尺规作图作线段AC 的中垂线即可得其中点E ，连接DE 即可；（2）先由DE 是△ABC 的中位线知DE ∥BC 且DE BC =12，继而由△ADE ∽△ABC 得ADE ABC S S =（DE BC）2，据此求解可得．【详解】解：（1）如图所示，作AC 的中点E ，即DE 即为所求．（2）∵D 是AB 中点，E 是AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，且DE BC =12， ∴△ADE ∽△ABC ， 则ADEABC S S =（DE BC ）2=14， 又S △ADE =2，∴S △ABC =8．【点睛】本题主要考查作图-基本作图和相似三角形性质，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图、相似三角形的判定与性质．25．（1）游戏对双方不公平．（2）边宽x 为10cm 时，游戏对双方公平．【解析】【分析】（1）根据几何概率的求法：小红获胜的概率就是阴影部分面积与总面积的比值，小明获胜的概率就是阴影之外的部分面积与总面积的比值即可判断游戏是否公平；（2）由于游戏公平，则两部分面积相等，由此列出方程求解即可.【详解】（1）P （小红获胜）＝22232539πππ⨯-⨯=⨯，P （小明获胜）＝1-59=49， ∴游戏对双方不公平；（2）根据题意可得：（80﹣2x ）（60﹣2x ）＝2400即x 2﹣70x+600＝0，∴x 1＝10，x 2＝60（不符合题意，舍去）∴边宽x 为10cm 时，游戏对双方公平．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎团游客的平均年龄都是32岁，这三个团游客年龄的方差分别是S 甲2＝27，S 乙2＝19.6，S 丙2＝1.6，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ）A ．甲团B ．乙团C ．丙团D ．甲或乙团2．如图，直线，若，，则的大小为（ ）A. B. C. D.3．下列说法，不正确的是（ ）A ．AB AC CB -= B ．如果AB CD =，那么AB CD =C ．+a b b a +=r r r rD ．若非零向量()0a k b k =≠r r g ，则//a b4．设函数ky x =（0k ≠，0x >）的图象如图所示，若1z y =，则z 关于x 的函数图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点（0,m ）、（4、m ）、（1，n ），若n ＜m ，则（ ）A ．a ＞0且4a+b=0B ．a ＜0且4a+b=0C ．a ＞0且2a+b=0D ．a ＜0且2a+b=06．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为12cm ，点B ，D 之间的距离为16m ，则线段AB 的长为( )A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm7．在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．8．如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝130°，则∠D 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°9．如图，在同一平面内，将△ABC 绕点A 逆时针旋转50°到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB ，则∠CAB 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点A 在x 轴正半轴，点C 在y 轴正半轴，点D 是边BC 的中点，反比例函数k y x（k ＞0，x ＞0）的图象经过B ，D ．若点C 的纵坐标为6，点D 的横坐标为3.5，则k 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1411．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 为弧BDC 的中点，∠ABD ＝35°，则∠DBC ＝（ ）A ．20°B ．35°C ．15°D ．45°12．﹣π的绝对值是( )A ．﹣πB ．3.14C ．πD ．1π二、填空题13．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为_____．14．如图，菱形ABCD 的周长为8 cm ，∠BAD ＝60°，则AC ＝________cm.15．在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD ，已知AD=13，AB=5，M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，若△NBC 是直角三角形，则所有符合条件的M 点所对应的AM 的和为__________．16．分解因式：221x x ++=_____________．17．化简： 222x x x ---＝_____．18．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长为，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为_____cm ．三、解答题19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点G 在弧BD 上，连接AG ，交CD 于点K ，过点G 的直线交CD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，且EG ＝EK ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为13，CH ＝12，13OH OF =，求FG 的长．20．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？小超猜想当DE⊥AB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是；（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm．21．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）22．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．（1）若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：[（8+1）2﹣（8﹣1）2]×25÷8（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0），请你帮小明完成这个验证过程．23．父亲节即将到来之际，某商店准备购进A、B两种男装进行销售，其中每套B种男装的进价比每套A 种男装的进价多40元用6000元购进A种男装的数量是用2400元购进B种男装数量的3倍.(1)求每套A种男装和每套B种男装的进价各是多少元：(2)若该商店本次购进B种男装的数量比购进A种男装的数量的2倍还多3套，该商店每套A种男装的销售价格为280元，每套B种男装的销售价格为350元，若将本次购进的A、B两种男装全部售出后获得的利润不少于6930元，那么该商店至少需要购进A种男装多少套?24．精准扶贫”是巩固温饱成果，加快脱贫致富步伐，实现中华民族伟大复兴“中国梦”的重要保障某驻村帮扶小组因地制宜，积极筹集资金帮助所驻村建起了一个民族工艺品加工厂．现在，工厂计划加工100件A、B两种工艺品，现有生产这两种工艺品所需的甲种材料445米，乙种材料510米，毎生产1件A工艺品和1件B工艺品所需甲、乙两种材料及生产成本、利润如表设生产A种工艺品x件，1000件A、B两种工艺品销售完的总利润为y元，根据上述信息，解答下列问题（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围（2）若要使加工成本不超过53400元，则有几种加工方案？那种方案的利润最大？最大利润是多少？25．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝kx的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．503cm 21415．26 16．2(1)x 17．1 18．1 三、解答题19．（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OG ，首先证明∠EGK=∠EKG ，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO ⊥EF ，进而证明EF 是⊙O 的切线；（2）连接CO ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OG ，∵弦CD ⊥AB 于点H ，∴∠AHK＝90°，∴∠HKA+∠KAH＝90°，∵EG＝EK，∴∠EGK＝∠EKG，∵∠HKA＝∠GKE，∴∠HAK+∠KGE＝90°，∵AO＝GO，∴∠OAG＝∠OGA，∴∠OGA+∠KGE＝90°，∴GO⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）连接CO，在Rt△OHC中，∵CO＝13，CH＝12，∴HO＝5，∴AH＝8，∵OH1 OF3=，∴OF＝15，∴FG===．【点睛】此题主要考查了切线的判定，解直角三角形，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20．（1）AE＝2CD；（2）3.0；（3）详见解析；(4) 不正确，4，2.7．【解析】【分析】（1）根据时间和速度可得AE和CD的长，可得结论；（2）根据图象可得结论；（3）画图象即可；（4）作辅助线，根据勾股定理计算DE的长，根据二次函数的最值可得结论．【详解】解：（1）由题意得：AE＝2x，CD＝x∴AE＝2CD；故答案为：AE＝2CD；（2）根据图象可得：当x＝3时，y＝3.0，故答案为：3.0；（3）如图所示：（4）如图所示，过D 作DG ⊥AB 于G ，由（1）知：CD ＝x ，则BD ＝8﹣x ，sin ∠B ＝AC DGAB BD =， ∴6108DG x =-，DG ＝()385x -，BG ＝()485x -， ∴EG ＝AE+BG ﹣10＝2x+()485x -﹣10＝61855x -，∴y ∵0≤x≤5，∴当x ＝4时，y ≈2.7， 故答案为：不正确，4，2.7． 【点睛】本题属于三角形和函数的综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用勾股定理解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．21．（1）连接杆DE 的长度为cm （2）这个过程中点E 滑动的距离为（16）cm 【解析】 【分析】（1）作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中用三角函数算出DH 和BH ，再求出EH ，在三角形DEH 中用勾股定理即可求得DE ；（2）作DH ⊥AB 的延长线于点H ，在Rt △DBH 和Rt △DEH 中，用三角函数分别求出BH ，DH ，EB 的长，从而可求得 点E 滑动的距离．【详解】（1）如图①，作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中，∠DHB ＝90°，BD ＝5，∠ABC ＝37°， ∴5DH = sin37°，5BH＝cos37°， ∴DH ＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm ），BH ＝5cos37°＝5×0.8＝4（cm ）． ∵AB ＝BC ＝15cm ，AE ＝2cm ，∴EH ＝AB ﹣AE ﹣BH ＝15﹣2﹣4＝9（cm ），∴DE ==答：连接杆DE 的长度为． （2）如图②，作DH ⊥AB 的延长线于点H ，∵∠ABC ＝127°，∴∠DBH ＝53°，∠BDH ＝37°， 在Rt △DBH 中，5BH BHBD =＝sin37°＝0.6， ∴BH ＝3cm ， ∴DH ＝4cm ，在Rt △DEH 中，EH 2+DH 2＝DE 2， ∴（EB+3）2+16＝90，∴EB 3）（cm ），∴点E 滑动的距离为：153）﹣2＝（16）（cm ）．答：这个过程中点E 滑动的距离为（16）cm ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键. 22．(1)100;(2)100. 【解析】 【分析】（1）原式先计算括号中的乘方运算，再计算减法运算，最后算乘除运算即可求出值； （2）列出代数式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝（81﹣49）×25÷8＝800÷8＝100；（2）根据题意得：[（a+1）2﹣（a ﹣1）2]×25÷a＝4a×25÷a＝100． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．（1）每套种A 男装进价为200元，每套B 种男装进价为()23a +元；（2）该商店至少需要购进A 种男装22套. 【解析】 【分析】(1)关键语是"其中每套B 种男装的进价比每套A 种男装的进价多40元用6000元购进A 种男装的数量是用2400元购进B 种男装数量的3倍.”可根据此列出方程（2）本题中“购进B 种男装的数量比购进A 种男装的数量的2倍还多3套，该商店每套A 种男装的销售价格为280元，每套B 种男装的销售价格为350元，若将本次购进的A 、B 两种男装全部售出后获得的利润不少于6930元"看得出关于利润的不等式方程,组成方程组后得出未知数的取值范围,然后根据取值的不同情况,列出不同的方案 【详解】（1）解：设每套A 种男装进价为x 元，则每套B 种男装的()40x +元. 根据题意 得60002400340x x =⨯+ 解得200x =检验：经检验200x =是原方验程的解.4020040240x ∴+=+=元答：每套种A 男装进价为200元，每套B 种男装进价为()23a +元. （2）解：设该商店需要购进种男装 套，则需要购进种男装 套 根据题意得()()()280200350240236930a a -+-+≥ 解得：22a ≥答：该商店至少需要购进A 种男装22套. 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用分式方程的应用，解题关键在于列出方程24．（1）y ＝5x+20000（550≤x≤700）；（2）在足条件的11种方案中，当A 种工艺品加工560，B 种工艺品加工440个时，可获得最大利润22800元． 【解析】 【分析】（1）由题意即可列出y 与x 的关系式，化简可得y=5x+20000。
2022中考数学 第二轮 专项突破 一 规律探索题(讲本)课件
解答图形累加规律的方法： (1)标序号——按图号标序； (2)数图形个数——观察(计算)每个图中所求量的个数； (3)找规律——将后一个图形的个数与前一个图形个数进行对比，对求出的 结果进行一定的变形(变换成与序数n有关的式子)，使其呈现一定的规律， 得到第n个图形所求量的个数；
(4)验证——代入序数验证所归纳的式子是否正确； (5)求出结果——将要求项序数代入关系式求得结果. 此类题常考的有四种类型：(1)基础图形固定累加；(2)基础图形递变累加； (3)图形个数局部累加；(4)图形个数分区域累加. 不管是哪种形式的累加，均可遵照上述方法，寻找规律做题.
1.找准“不变”与“变” “不变”，即观察数、式、图形中哪些地方没有变，如数中的底数，图形中 某个局部；“变”，即观察数、式、图形中哪些地方在发生变化，如系数、基本 图形的个数等.
2.找准发生变化的位置的变化规律 (1)常见的变化规律： 自然数数列规律：0，1，2，3，…，n－1(n≥1)； 正整数数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)； 奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； 偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； 正整数平方数列规律：1，4，9，…，n2(n≥1). 还会出现正整数平方加1(或减1)型，奇偶交替六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOF＝ 60°.因为正六边形每次旋转60°，所以每旋转6次正六边形回到初始位置，即 旋转一周.2 021÷6＝336……5，所以当n＝2 021时，正六边形旋转了336周 零5次，此时点A到达点B的位置.由AB＝4，点O为正六边形ABCDEF的中心， 易得△AOB是等边三角形，所以OB＝AB＝4，进而可得点A的坐标.
类型2 图形的变化规律 题型精讲
2.如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方 形的个数是( D )