[学习]二次函数顶点式解析式的应用
二次函数的应用(经典) PPT
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
顶点式解析式
顶点式解析式顶点式解析式是指将一个二次函数的解析式表示为顶点的形式，即通过变换将二次函数的解析式转化为顶点的坐标形式。
顶点式解析式的一般形式为：y=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)。
顶点式解析式的优点是可以直接得到二次函数的顶点坐标，从而方便地确定二次函数的图像的顶点位置和图像的开口方向。
同时，顶点式解析式还可以直观地表示二次函数的平移变换。
下面将通过实例来解释顶点式解析式的具体应用。
假设有一个二次函数y=x^2+4x+1，我们需要将其转化为顶点式解析式。
我们可以通过配方将二次函数转化为完全平方形式，即将x^2+4x 部分转化为(x+2)^2形式。
由于(x+2)^2=x^2+4x+4，所以我们需要在原函数的基础上减去3，即得到y=x^2+4x+1-3。
然后，我们将得到的函数进行因式分解，即y=(x+2)^2-3。
从这个表达式中可以看出，函数的顶点坐标为(-2,-3)。
因此，将原二次函数转化为顶点式解析式后，得到的顶点坐标为(-2,-3)。
这意味着函数的图像的顶点位于坐标轴的(-2,-3)位置。
我们还可以通过顶点式解析式来判断二次函数的开口方向。
由于顶点坐标为(-2,-3)，即顶点的横坐标为负数，所以该二次函数的图像是向右开口的。
通过这个实例，我们可以看到顶点式解析式的应用优势。
通过将二次函数转化为顶点式解析式，我们可以直接得到函数的顶点坐标和开口方向，从而更加直观地理解和描绘二次函数的图像。
除了上述实例，顶点式解析式还可以应用于其他相关问题。
例如，在数学中，我们经常需要求解二次函数的最值问题。
通过将二次函数转化为顶点式解析式，我们可以直接得到函数的顶点坐标，从而可以快速求解二次函数的最值问题。
顶点式解析式还可以用于分析二次函数的平移变换。
通过观察顶点式解析式中的h和k值，我们可以确定二次函数在坐标轴上的平移位置。
顶点式解析式是一种将二次函数转化为顶点坐标形式的表达方式，具有直观、方便、易于应用的特点。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
用顶点式求二次函数解析式
一、 用顶点式求二次函数解析式。
例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0） 解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2)(把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y把点（3,0）代入得：03)13(2=+-a 解得：43-=a ∴抛物线解析式为：3)1(432+--=x y练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5）2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式；3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式．8．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式； 10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
二、 用三个点求二次函数解析式 例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7） 解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴抛物线解析式为：5322+-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式。
微课小专题17求二次函数解析式(一)运用顶点(勤学早)
[方法技巧]由题意分析得到抛物线的顶点坐标,运用顶点式求二次函数的解析式.
金例讲析
[例]抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),顶点M在直线y=-2x+8上,求抛物线的解析式
实战演练,
1.已知当x=-2时,二次函数y=ax2+bx+c取得最大值为4,且图象经过点(-3,0),求此二次函数的解析式.
实战演练。
1.已知二次函数y=ax2-4ax+3a,若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为
2.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为_
微课小专题23数形结合(三)分析一元二次方程的根
[方法技巧]抛物线与x轴(或直线)交点的横坐标为对应一元二次方程的两根,要善于利用二次函数的图象解决对应--元二次方程的根的问题.
金例讲析，
[例]已知抛物线y=a(x-h)2+k经过点(-3,m),(1,m),(2,-4)三点,则关于x的方程a(x- h+2)2+k+4=0的解为
实战演练。
1.将抛物线y=- (x+1)2-2沿直线y=x向右上平移2 个单位长度,则得到的抛物线的解析式为
2.将抛物线y=(x- 1)2-4沿直线x= 翻折.则翻折后的抛物线的解析式为.
微课小专题20二次函数性质之区间增减性
[方法技巧]二次函数的增减性与其图象的开口方向,对称轴以及区间直接相关,注意结合图象分析对称轴与区间的位置关系.
微课小专题21数形结合(一)二次函数y值大小比较
[方法技巧]通常结合抛物线的开口方向,利用点到对称轴的距离大小来得到函数值的大小关系.金例讲析
二次函数解析式的确定及应用
页眉内容二次函数解析式的确定及应用编稿老师：郭伦审稿老师：董嵩责编:张杨本周学习内容：二次函数解析式的确定，用函数的观点看一元二次方程，二次函数的应用题学习要求：1．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会联系与不同的特点，利用不同条件，确定二次函数的解析式.2．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程之间的联系．3．通过经历探索最大利润问题、拱形桥等问题、透光最大面积等实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值，提高用数学知识解决问题的能力．内容分析：1．二次函数的常用表示形式：(1)一般式；(2)顶点式；(3)(当时)双根式，其中是的两根；可通过不同的已知条件列方程组求出待定系数，从而确定二次函数解析式.2．函数的观点看一元二次方程一般的，从二次函数的图象可知：(1)如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值为O，因此就是方程的一个根．(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．判别式△=分别是小于O，等于0，大于O．(3)当x=0时y=c．与y轴交点(0，c)．利用上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．由此可以看出二次函数与一元二次方程关系密切．比如，已知二次函数的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程．反过来，解方程又可以看做已知二次函数)的值为0，求自变量的值．补充例题：1．己知抛物线经过A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴x=2，求出函数解析式.解：(1)用一般式设所求的函数解析式为抛物线经过点A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴解得所以所求的函数解析式为；(2)用顶点式设所求的函数解析式为因为抛物线经过A(1，0)，B(O，-3)，代入上式得，所以函数解析式为，即；(3)用双根式抛物线经过点A(1，0)，且对称轴x=2，所以与x轴另一交点为C(3，0)设所求的函数解析式为因为抛物线经过B(O，-3)，代入上式得a=-1所以函数解析式为即.2．某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为40只，且每日生产的玩具熊全部售出，已知生产x只玩具熊的成本为R(元)，售价为每只P(元)，且R、P与之间的函数关系式分别为，.(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元?(2)当日产量为多少时，每日获得的利润最大? 最大利润是多少?解：设每日产量为x只，获得利润元，则，即，其中0≤≤40，且是整数．(1)当y=1750时，，解得，(舍)所以，当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元；(2)因为-2<0，所以当x=35时，利润y最大=1950(元)当日产量为35只时，每日获得的利润最大，最大利润是1950元.3．某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满．装修后欲提高租金，经调查，一间客房的日租金每增加5元，则客房每天少租6间，不考虑其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金的总收入最高?比装修前的日租金的总收入增加多少元?解：设日租金增加5x元，则收入y=(50+5x)(120-6x)，是非负整数．即(是非负整数)．当时，(元)．即日租金提高到75元时，总收入最高，比装修前增加750元．4.如图，从一张矩形纸较短的一边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处?为什么?讨论：不妨设矩形短边长为，AE为，则DE为．设两个正方形面积的和为．则有，即即当时，有最小值；即当E为矩形短边的中点时，两个正方形面积的和最小.5．一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁杠的结合处，绳子自然下垂成抛物线状．一身高为0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部正好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离．解：以铁杠中点为原点，如图建立坐标系．设解析式为，则由题可知当时，．解得，即，其顶点为(0，-2)．所以绳子最低点到地面的距离是(米)．6．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10米．(1)建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有救灾物质的货车从甲地经此桥到乙地，己知甲地到此桥280km(桥身忽略不计)．货车正以每小时40km/h的速度开往乙地，当行驶一小时时，忽然接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行)．问：货车以原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：如图，设AB、CD分别交y轴于E、F，抛物线顶点为O点．(1)设解析式，根据题意，D(5，25a)，B(10，100a).则EF=25a-100a=3，所以，即解析式为；(2)由(1)可知，，即水位距离桥顶还有1m，所以水位达到桥拱最高点还要(h)；货车以原速行驶，可以行驶40×(4+1)=200km＜280km，说明不能通过此桥．要想通过此桥，速度应超过(km／h)．7.用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子：(1)若横档为2米，面积为多少平方米?(2)若横档为4米，面积为多少平方米?(3)为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米?矩形是我们非常熟悉的图形，当其周长一定时，正方形面积最大．现在这个图形呢?请同学们先解决前面两个问题，第3问呢?解：(1)横档为2米时，长为6米，面积为12平方米．(2)横档为4米，长为3米，面积为12平方米．(3)设每条水平窗框的长为x米，矩形窗户的面积为y平方米．则有，其中且.即当时，y最大值为.8.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮框，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?猜想：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数据写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式．最后算出跳离地面的高度．解答：如图，建立平面直角坐标系，点A(1.5，3.05)表示篮框，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5．设C点的纵坐标为n，设点C、B、A所在的抛物线的解析式为，由于抛物线的开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，所以．∵抛物线经过点A(1.5，3.05).∴，解得∴抛物线的解析式为.∴所以，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)=0.2(m)．注意：在解题过程中把实际语言转化为数学语言．。