时间序列上机实验-ARIMA模型的建立(季节乘积模型)
时间序列资料ARIMA季节乘积模型及其应用
张 蔚 张 彦 琦 杨 旭 ， ，
庆 ４０ ５ ） ０ ０ ３
提
要 ：目 的
用 Ａ Ｉ Ａ 季 节 乘 积 模 型 （ ， ，） Ｐ Ｄ， ） 对 季 节 性 时 间 序 列 资 料 建 模 并 预 测 ， 与 指 数 平 滑 法 进 行 比 较 ， ＲＭ Ｐｄｑ （ ， Ｑ ｓ 并 考
维普资讯
第 ２ ４卷 第 ８期
２０ ０ ２年 ８月
第
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大
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学
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Ｖｏ ． ２ １ ４． Ｎｏ．８
ＡＣＴＡ ＡＣＡＤＥＭ ｌ ＡＥ Ｍ ＥＤＩ ＮＡＥ Ｍ Ｉ ｒ ＣＩ Ｌｒ ＡＲＩ ＴＥＲ１Ｉ Ｓ １ ＡＥ
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９５ ５
丈 章 编 号 ：Ｏ Ｏ５０ （０ ２ ０ ．９ ５０ ｌＯ ．４ ４ ２０ ）８０ ５ ．３
实验一arima模型建立与应用
实验一 ARIMA 模型建立与应用一、实验项目： ARIMA 模型建立与预测。
二、实验目的1、准确掌握 ARIMA （p,d,q ） 模型各种形式和基本原理；2、熟练识别 ARIMA （p,d,q ） 模型中的阶数 p,d,q 的方法；3、学会建立及检验 ARIMA （p,d,q ） 模型的方法；4、熟练掌握运用 ARIMA （p,d,q ） 模型对样本序列进行拟合和预测； 三、预备知识（一）模型1、AR （p ）（p 阶自回归模型）xt 1x t 1 2 xt 2p x t p ut其中u t 白噪声序列，3是常数（表示序列数据没有 0均值化）AR （p ）等价于（1 丄 2L 2丄p ）X tu tAR （p ）的特征方程是：（L ） 1 丄 2L 2pL pAR （p ）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。
2、MA （ q ）（ q 阶移动平均模型）Xtut 1u t 1 2ut 2q ut qX t （1 1L 2L 2qL q）u t（L ）u t其中｛u t ｝是白噪声过程。
MA （ q ）平稳性MA （q ）是由u t 本身和q 个u t 的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平 稳的。
MA （q ）可逆性（用自回归序列表示 u t ）u t ［ （L ）］ 1X t可逆条件：即［（L ）］ 1收敛的条件。
即3（ L ）每个特征根绝对值大于1,即 全部特征根在单位圆之外。
3、ARMA （p , q ）（自回归移动平均过程）(L)X t (L)u tARMA （p , q ）平稳性的条件是方程◎（ 条件是方程3（ L ） =0 的根全部在单位圆外。
Xt 1Xt 12 Xt 2p Xtput 1ut 12ut 2q ut2(L)X t (11L 2L 2pL p)X t(11L 2L 2qL q)u t(L)u tL ） =0 的根都在单位圆外；可逆性4、ARIMA (p , d , q )(单整自回归移动平均模型) 差分算子： x t x t x t 1 x t Lx t (1 L)x t2 2X tX t X t 1 (1 L)X t (1 L)X t 1 (1 L) X tddX t (1 L) X t对d 阶单整序列Xt~I(d)w tdX t (1 L)dX t则wt 是平稳序列，于是可对 wt 建立ARMA (p , q )模型，所得到的模型 称为Xt~ARIMA ( p ，d ，q )，模型形式是Wt 1Wt1 2 Wt2 p WtpUt 1Ut 12Ut 2q Ut q(L) dX t(L)u t由此可转化为ARMA 模型。
时间序列上机实验ARMA模型的建立
实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。
学会分析时序图与自相关图。
学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。
学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型：AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：乂2『t2 川p y t p t式中：p为自回归模型的阶数i（i=1，2，，p）为模型的待定系数，t为误差，yt 为一个平稳时间序列。
MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为：y t t 1 t 1 2 t 2 川q t q式中：q为模型的阶数；j（j=1，2，，q）为模型的待定系数；t为误差；yt为平稳时间序列。
ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t 1 t 1 2 t 2 q t q三、实验内容（1）通过时序图判断序列平稳性；（2）根据相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p；（3）对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
五、实验步骤1．模型识别（1）绘制时序图在Eviews 软件中,建立一个新的工作文件, 500个数据。
通过Eviews 生成随机序列“ e，再根据“ x=*x（-1）*x（-2）+e ”生成AR（2）模型序列“ x” 默认x（1）=1, x（2）=2,得到下列数据，由于篇幅有限。
SAS学习系列39. 时间序列分析Ⅲ—ARIMA模型
39. 时间序列分析Ⅱ——ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。
而非平稳序列随机分析的发展就是为了弥补确定性因素分解方法的不足。
时间序列数据分析的第一步都是要通过有效手段提取序列中所蕴藏的确定性信息。
Box 和Jenkins 使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便有效的确定性信息的提取方法。
而Gramer 分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。
（一）ARMA 模型即自回归移动平均移动模型，是最常用的拟合平稳时间序列的模型，分为三类：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
一、AR(p )模型——p 阶自回归模型 1. 模型：011t t p t p t x x x φφφε--=+++其中，0p φ≠，随机干扰序列εt 为0均值、2εσ方差的白噪声序列（()0t s E εε=, t ≠s ），且当期的干扰与过去的序列值无关，即E(x t εt )=0.由于是平稳序列，可推得均值011pφμφφ=---. 若00φ=，称为中心化的AR (p )模型，对于非中心化的平稳时间序列，可以令01(1)p φμφφ=---，*t t x x μ=-转化为中心化。
记B 为延迟算子，1()p p p B I B B φφΦ=---称为p 阶自回归多项式，则AR (p )模型可表示为：()p t t B x εΦ=.2. 格林函数用来描述系统记忆扰动程度的函数，反映了影响效应衰减的快慢程度（回到平衡位置的速度），G j 表示扰动εt -j 对系统现在行为影响的权数。
例如，AR(1)模型（一阶非齐次差分方程），1, 0,1,2,j j G j φ==模型解为0t j t j j x G ε∞-==∑.3. 模型的方差对于AR(1)模型，2221()()1t jt j j Var x G Var εσεφ∞-===-∑. 4. 模型的自协方差对中心化的平稳模型，可推得自协方差函数的递推公式：用格林函数显示表示：200()()i j t j t k j j kj i j j k G G E GG γεεσ∞∞∞---+=====∑∑∑对于AR(1)模型，21121()(0)1k k k εσγφγφφ==- 5. 模型的自相关函数 递推公式：对于AR(1)模型，11()(0)k k k ρφρφ==.平稳AR(p )模型的自相关函数有两个显著的性质： （1）拖尾性指自相关函数ρ(k)始终有非零取值，不会在k 大于某个常数之后就恒等于零；（2）负指数衰减随着时间的推移，自相关函数ρ(k)会迅速衰减，且以负指数k iλ（其中i λ为自相关函数差分方程的特征根）的速度在减小。
时间序列分析课件-07-ARIMA模型、疏系数模型、季节模型
差分平稳
• 对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效 应的影响，差分后序列的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2统计量 43.84 51.71 54.48
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
模型拟合
• 定阶
– ARIMA((1,4),(1,4),0)
【例】1964年——1999年中国纱年产量序列 蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序 列进行一阶差分运算
xt xt xt1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取 作用
差分前后时序图
• 原序列时序图
• 差分后序列时序图
例
• 尝试提取1950年——1999年北京市民用车 辆拥有量序列的确定性信息
P值 0.0178 0.1060 0.1344
拟合ARMA模型
• 偏自相关图
建模
• 定阶
– ARIMA(0,1,1)
• 参数估计
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
• 模型检验
– 模型显著 – 参数显著
例续：对中国农业实际国民收入指数序列做 为期10年的预测
模型检验
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟 阶数
6 12 18 结果
2统 计量
P值
4.50 0.2120
9.42 0.4002
20.58 0.1507
模型显著
待估 参数
2统 计量
P值
1 -4.66 <0.0001
12 23.03 <0.0001 1 -6.81 <0.0001
arima乘法模型
arima乘法模型ARIMA乘法模型是一种常用的时间序列预测模型，可以用于预测各种一维时间序列数据的趋势和季节性。
本文将介绍ARIMA乘法模型的概念、建模步骤和应用。
一、概念ARIMA乘法模型是指自回归移动平均模型（ARIMA）在对季节成分的建模过程中采用乘以季节分量（seasonal component）的方式进行求解，也就是说，ARIMA乘法模型能够捕捉时间序列数据的周期性和趋势性。
二、建模步骤1. 数据预处理首先需要对数据进行预处理。
主要包括数据清洗、异常值处理、缺失值处理以及数据平稳处理。
2. 确定模型阶数ARIMA模型是以自相关图和偏自相关图为基础的。
通过观察ACF 和PACF，可以确定ARIMA模型的阶数。
其中自相关图可以用来判断模型中的MA项，偏自相关图可以用来判断模型中的AR项。
如果自相关图和偏自相关图均呈现出阶跃函数状，则说明数据存有季节性成分，需要加入季节性成分。
3. 建立ARIMA乘法模型建立ARIMA乘法模型需要考虑到趋势、季节性和周期性因素。
在时间序列建模中，需要选择匹配上述三种因素的模型。
4. 模型评估评估建立的ARIMA乘法模型的拟合程度。
评估方法包括均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE），以及建立模型中的参数是否显著等。
5. 模型预测根据建立的ARIMA乘法模型对时间序列数据进行预测。
三、应用ARIMA乘法模型被广泛用于各行各业的时间序列预测中。
例如，教育行业可以利用ARIMA乘法模型预测学生人数、课程数等；金融行业可以利用ARIMA乘法模型预测股票价格、汇率等；制造业可以利用ARIMA乘法模型预测销售量、库存等。
总之，ARIMA乘法模型是一种强大的时间序列预测模型，能够较准确地预测时间序列数据的趋势和季节性，为各行各业提供了有力的决策支持。
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
季节时间序列模型
乘积季节模型拟合效果图
黑点为序列观察值，红线为模型拟合值
乘积季节模型
使用场合：
季节序列既有季节效应又有长期趋势效应
模型结构： ARIMA (p,d,q)×(P,D,Q)
BU
BS
d
D S
X
t
B V
BS
t
d
1
B
d
，
D S
1 BS
D
其中
U
V
BS BS
1 1BS 2B2S 1 1BS 2B2S
P B PS Q BQS
季节时间序列的重要特征表现为周期性。
在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周期特性。
一般，季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料的周期 表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或5天。
处理季节性时间序列的一个重要工具：
1BS
D
Xt V
BS
t
U BS 11BS 2B2S PBPS
V BS 11BS 2B2S QBQS
消除了序列在 不同周期相同 周期点上的季 节相关成分
D为季节差分阶数，P为季节自回归的阶数，Q 为季节移
动平均的阶数
U(BS)为季节自回归多项式， V(BS)为季节移动平均多项式
EVIEWS上的实现： i S A R iS , j S M A jS
(B)
பைடு நூலகம்
(B)
1 1
1B 1B
2 B 2 2B2
pBp qBq
E V IE W S 实 现 ：
i S A R iS i S M A iS i A R i i M A i
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实验二 ARIMA 模型的建立一、实验目的熟悉ARIMA 模型，掌握利用ARIMA 模型建模过程，学会利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及学会利用ARIMA 模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews 软件进行ARIMA 模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念ARIMA 模型，即将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将平稳的时间序列建立ARMA 模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
在ARIMA 模型的识别过程中，主要用到两个工具：自相关函数ACF ，偏自相关函数PACF 以及它们各自的相关图。
对于一个序列{}t X 而言，它的第j 阶自相关系数j ρ为它的j 阶自协方差除以方差，即j ρ＝j 0γ ，它是关于滞后期j 的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j )。
偏自相关函数PACF(j )度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容（1）根据时序图的形状，采用相应的方法把非平稳序列平稳化；（2）对经过平稳化后的2000年1月到2011年10月美国的失业率数据建立ARIMA （,,p d q ）模型，并利用此模型进行失业率的预测。
四、实验要求：了解ARIMA 模型的特点和建模过程，了解AR ，MA 和ARIMA 模型三者之间的区别与联系，掌握如何利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及如何利用ARIMA 模型进行预测。
五、实验步骤（1） 输入原始数据打开Eviews 软件，选择“File ”菜单中的“New--Workfile ”选项，在“Workfile structure type ”栏中选择“Dated-regular frequency ”，在“Frequency ”栏中选择“Monthly ”，分别在起始月输入1991.01，终止月输入2010.12，点击ok ，见图1。
再建立一个New object ，将选取的x 的月度数据复制进去 。
图一（2）做出时序图并判断做出该序列的时序图2，看出该序列呈一定的上升趋势，周期性不是很明显。
直观来看，显著非平稳。
图2：时序图进一步考察其自相关图和偏自相关图，如图3图3：x的自相关图和偏自相关图自相关系数可以看出，衰减到零的速度非常缓慢，所以断定x 序列非平稳。
为了证实这个结论，进一步对其做ADF检验，结果见图4，可以看出在显著性水平0.05下，接受存在一个单位根的原假设，进一步验证了原序列不平稳。
图4：序列x的ADF检验（3）原始数据的差分处理由于数据有上升趋势，先对其进行一阶差分处理来消除趋势。
点击“Generate Series”在“Generate Series by Equation”对话框中输入相应的命令“x1=D(x)”以消除趋势项，其时序图见图5。
图5：x1的时序图由图5可以粗略的判断序列x1平稳，可见，趋势项以明显消除，但是明显看到出现了以年为周期的季节效应，所以对x做一阶12步差分来提取原序列的趋势效应和季节效应，点击“Generate Series”在“Generate Series by Equation”对话框中输入相应的命令“x12=D(x1,12)”其时序图见图6，图6：x12的时序图周期性得以部分消除，下面进一步考察x12的自相关和偏自相关图，如图7图7：x12的自相关和偏自相关图由图7可以看出，自相关系数3阶截尾，但在5阶和12阶处大于两倍标准差，偏自相关系数3阶截尾，在12阶和24阶处大于两倍标准差且具有一定的周期性。
Q统计量的P值有小于0.05的情况，因此序列为平稳非白噪声序列。
再进一步对其做ADF检验，结果见图8。
可以看出在显著性水平0.05下，拒绝存在一个单位根的原假设，进一步验证了x12序列平稳。
图8:x12的ADF检验（4）模型尝试：在序列工作文件窗口点击View/Descriptive Statistics/Histogram and States 对x12序列做描述统计分析见图9，图9：x12序列描述统计分析可见序列均值非0，需要在原序列基础上生成一个新的0均值序列。
点击Generate Series，在对话框中输入y12=x12+0.008571，并对y12做描述统计分析见图10可见序列均值为0。
图10：y12序列描述统计分析由图7的自相关和偏自相关图可知：自相关和偏自相关系数3阶显著，所以先尝试拟合ARMA（3，3）模型，在主窗口输入：ls y12 ar(1) ar(2) ar(3) ma(1) ma(2)ma(3),得下图：图11：ar（3）的拟合结果由图12可知，存在不显著的解释变量，剔除不显著的解释变量并进行进一步的尝试，得到最优的模型为ARMA（（1,2），3），结果如图12图12：y12的ar（3）模型拟合图由图12可知，模型的拟合效果不佳，下面考察模型拟合后的残差，如图13图13：残差图由图13可知，残差不是白噪声序列，模型的信息提取不充分，模型不理想。
考虑到该序列既具有短期相关性又具有季节效应，短期相关性和季节效应不能简单地、可加性地提取，因而估计该序列的季节效应和短期相关性之间具有复杂的关联性。
这时通常假定短期相关性和季节效应之间具有乘积关系，尝试使用乘积模型来拟合序列的发展：由图9，序列a可看作偏自相关系数3阶截尾，自相关系数3阶截尾。
故先尝试ARMA(2,1,2)×(1，1,1)12，在主窗口输入：ls y12 ar(1) ar(2) ar(3) sar(12) ma(1) ma(2)sma(12)结果如下图图14：ARMA(2,1,2)×(1，1,1)12模型拟合结果由图14可知，模型拟合存在一些不显著的解释变量，下面进行一系列的尝试，最终确定最优的模型为:ARMA（（2、3、4）,1,4）×(0,1,1)12,模型拟合结果如图15图15：ARMA（（2、3、4）,1,4）×(0,1,1)12,模型拟合结果下面查看残差的自相关和偏自相关图图16：ARMA（（2、3、4）,1,4）×(0,1,1)12的残差的自相关和偏自相关图图17：ARMA(（2、3、4）,1,4)×(0，1,1)12拟合效果图由图17可知模型拟合的效果比较好，所以决定使用ARMA(（2、3、4）,1,4)×(0，1,1)12作最终的模型拟合结果。
7、模型的预测:首先扩展样本期至2012-12，最后共有三个变量值为空。
在Eviews中有两种预测方式：“Dynamic”和“Static”，前者是根据所选择的一定的估计区间，进行多步向前预测；后者是只滚动的进行向前一步预测，即每预测一次，用真实值代替预测值，加入到估计区间，再进行向前一步预测。
点击Dynamic forecast，“Forecast sample”中输入2000M01 2012M12，结果见图18：图18：模型动态预测图图中实线代表的是y12的预测值，两条虚线则提供了2倍标准差的置信区间。
可以看到，随着预测时间的增长，预测值序列的均值（接近0）上下波动，预测效果应该还不错。
软件默认将预测值放在YF中。
下面观察原序列Y12和YF之间的动态关系。
同时选中Y12和YF，击右键，点open/as group，然后点击view/graph，保持默认值不变，点击“确定”，出现图19。
图19：动态预测效果图可见，动态预测值虽然呈一条波动的曲线，但是与实际值有一定出入，说明动态预测效果不太理想。
下面我们再利用“Static”方法来预测，得到如图20所示的结果。
图20：静态拟合图图中可以看到，“Static ”方法得到的预测值波动性要大；同时，方差比例的下降也表明较好的模拟了实际序列的波动 ，Theil 不相等系数为0.363423，其中协方差比例为0.861706，表明模型的预测结果较理想。
同样同时选中Y12和YF ，击右键，点open/as group ，然后点击view/graph ，保持默认值不变，点击“确定”，出现图21，图21：静态拟合效果图上图说明模型模型的预测结果比较理想，从y12f 序列里面可以得到向前两步的预测值分别为：0.11081908593、-0.0033916132。
综合上述分析过程，实际上我们是针对原序列（X ）：2000年1月—2011年9月美国失业率数据序列，建立了一个ARMA(（2、3、4）,1,4)×(0，1,1)12模型进行拟合，模型形式如下：234121223410.2045 1.29010.35100.6651(1)(1B )0.008571(10.8997)1 1.53010.26760.8688t t B B B B B x B B B B μ-++----=+--+ 可写为： 234121223410.2045 1.29010.35100.6651(1)(1B )(10.8997)0.0085711 1.53010.26760.8688t t B B B B B x B B B B μ-++---=++--+孔凡伟（PB10204014）。