随机信号处理第一章1
随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
随机信号分析第一章 概率论1
例 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命， 这是个随机试验. 设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S={t|t≥0}.
• 特殊事件
样本空间Ω和空集Φ 作为Ω的子集也看作事件. 由于Ω包含所有的基本事件，故在每次试验中，必 有一个基本事件e∊ Ω发生，即在试验中，事件S必 然发生；因此, Ω是必然事件. 又因在Φ 中不包含任何一个基本事件，故在任何一 次试验中,Φ 永远不会发生；因此,Φ 是不可能事件. 常用Ω ,Φ 分别表示必然事件与不可能事件. 必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但是 为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个 极端情形来处理.
（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先 已知的； （c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的
人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试 验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.
随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称 作样本点，用字母e表示. • 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的 的样本空间，记为Ω. 例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这也是个随机试验. 故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.
在这个随机试验中，若设 A表示事件“第一次出现正面”.
在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现 基本事件 (正，正)，(正，反) 中的一个. 这样可以认为A是由(正，正)，(正，反)组成的， 而将A定义为它们组成的集合 A={(正，正)，(正，反)}. 又如 事件B表示“两次出现同一面”
都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发 生的对立事件是都不发生. 对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到 更多个事件的情况，即
第一章 离散随机信号1-4
随N的加大，偏移和估计量方差都趋于零， 是一致估计的充分必要条件。
通常选定一种估计方法， 往往不能使上述的三种性能评价一致， 只能折衷考虑，尽量满足无偏性和一致性。 下面讨论均值、方差、自相关函数的估计方法， 均假设随机序列平稳且具有各态历经性， 集合平均可以用长时间的时间平均代替。
二、均值估计
因此，B 0，这是一种无偏估计。
下面推导估计量的方差： r ( m) - E r ( m) 2 E r 2 ( m) - r 2 ( m) ˆ ˆxx var rxx (m) E ˆxx ˆxx ˆxx ˆ2 E rxx (m) 1
三、方差估计
已知N点样本数据xi (i 0,1, 2,, N -1), 假设数据之间无相关性，且均值mx已知，
用下式方差估计： 1 2 ˆ x N
x
i 0
N -1
i
- mx
2
可证明这是一致估计，但实际中一般mx是不知道的。
分析它的偏移性，按照上式，有 1 2 ˆ E x N
如果两估计量的观察次数相同，都是无偏估计。
哪个估计量在真值附近的摆动小一点， 即估计量的方差小一些。
就说这一个估计量的估计更有效。
ˆ ˆ 如果 和 '都是x的两个无偏估计值， 对任意N，它们的方差满足下式： 2 2 ＜ ' ˆ ˆ
式中：
2 ˆ 2 ˆ '
- E 2 ˆ ˆ E ' - E ' 2 ˆ ˆ E
1 ˆ ˆ2 ' x (5) N -1
2 x
将上式两边取统计平均值， 并将（5）式代入，
随机信号第一章2014
… …
离散型随机变量
对于离散随机变量，其分布函数为:
F ( x) pi u ( x xi )
i
其概率密度函数为:
dF ( x) p ( x) pi ( x xi ) dx i
离散型随机变量
例:均匀掷色子实验:取值为{1,2,3,4,5,6}
连续型随机变量
连续型随机变量（X取连续值）
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
2 方差
方差是用来度量随机变量偏离其数学期望的程度的量。 定义为
D[ X ] E{( X E[ X ]) }
2 X 2
( x E[ X ]) p X ( x)dx
2
方差开方后称为均方差或标准差 由均值的性质知：
X D[ X ]
问题:连续型随机变量X取某个值的概率?
概率密度函数
如均匀分布随机变量通过限幅器的输出.
总结
随机变量不同于普通变量表现在两点上： (1) 变量可以有多个取值，并且不能预知它到 底会取哪个值； (2) 变量取值是有规律的，这种规律用概率特 性来明确表述；
因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它 的取值范围与概率特性。
§ 1.1随机变量的概念
一.概率论的几个基本概念: 1． 随机试验 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 例2 从一批产品中任取10件，抽到的废品数 可能是0,1,2,…,10中的一个数； 例3 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 满足下列三个条件的试验被称为随机试验E，简称试验: 1) 在相同条件下可以重复进行; 2) 试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确 ; 3) 每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
F ( x ) F ( x)
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析与处理第一讲
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
第1章 随机信号概论(概论)
随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。
王永德王军编著，电子工业出版社。
2．随机信号分析。
朱华等编著，北京理工大学出版社。
3．随机过程及其应用。
陆大絟编著，清华大学出版社。
第一章 随机信号概论1．1信号与噪声1．1．1信号分类信号一般按数字特点分类，有以下四种方法： 1、确定信号与随机信号 2、连续信号与离散信号 3、周期信号与非周期信号 4、能量型信号与功率型信号我们接触过许多信号处理方法，大致可归纳为：随机过程研究处理的对象：与时序有关的随机信号。
1．1．2 信号·误差·噪声一、信号来源被测的物理量都是信号，按物理特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等内容。
二、信号的测量信号接收、量具测量、仪器测量。
1． 直接测量：用量具或仪器直接测出物理量的量值。
y --被测对象(目标)，x --测量值，x y =2． 间接测量：),,,(21n x x x y y =，n x x x ,,,21 为测量值，y 为测量目标。
通过n x x x ,,,21 计算出y 。
更一般的模型为0),,,,(21=n x x x y F例1：消耗在电阻上的功率P 与电流I 和电阻值R 之间的关系为R I P 2=，可测量出I 与R 的值，算出P 的值。
例2，由雷达系统确定飞机的位置。
为了确定飞机与雷达的距离R ，我们可以发射一个电磁脉冲，这个脉冲在遇到飞机时就产生反射，继而由天线接收的回波将会引起0τ秒的延时，测量现0τ，距离可由方程cR20=τ确定，其中c 是电磁传播速度。
图1.1 雷达发射脉冲图1.2 接收信号3．组合测量：测量目标有多个时，需要通过组合测量，解联立方程组，求得被测量的值。
一般模型为：设m y y y 21,为m 个被测目标，n x x x 21,为n 个被测值，要得出m y y y 21,的值，至少要经过m 次测量，其组合测量的数学模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212221221212111211nm m m m m n m n m x x x y y y F x x x y y y F x x x y y y Fij x 为i x 的第j 次测量值。
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
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N 1
4）实指数序列
x(n) a nu (n)
a 为实数
5）复指数序列
x(n) e
( j0 ) n
n cos(0n) je n sin(0n)
0 为数字域频率
例： j n x(n)=0.9ne 3
6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
7）时间尺度变换
x(mn) 抽取
x(n) xa (t )
t nT t mnT
x(mn) xa (t )
n x ( ) 插值 m
8）卷积和
设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：
y(n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
7）任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和， 也可表示成与单位取样序列的卷积和。
x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例： x(n) 2 (n 1) (n)
1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
1）翻褶： x(n) x(m) h(n) h(m) h(m) 2）移位： h(m) h(n m) 3）相乘： x(m) h(n m) m
4）相加：
m
x ( m) h ( n m)
n
举例说明卷积过程
n -2, y(n)=0
3、序列的周期性
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n) x(n N ) n
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
例：
x(n) sin( n) sin[ ( n 8)] 4 4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
讨论一般正弦序列的周期性
x(n) Asin(0n ) x(n N ) A sin[0 (n N ) ] A sin(0n 0 N ) 要使x(n N ) x(n)，即x(n)为周期为N的周期序列
则要求0 N 2 k，即N
2
0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N 是最小的正整数
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E x ( n)
n 2
随机信号分析基础
第一讲
绪论
授课内容梗概
教材及参考书
习题及相关内容的期末考试要求
绪论
关于课程内容的标题_随机信号分析基础 随机信号分析研究些什么？与其它先修
基础课程有哪些方面的联系？本课程的 核心问题？ 学习本课程希望达到的教学目的
授课内容梗概
第一章 数字信号处理基础
x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值 x(n)只在n为整数时才有意义
1、序列的运算
移位
翻褶
和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
n=-1
n=0
n=1
y(-1)=8
y(0)=6+4=10
y(1)=4+3+6=13
n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0
y(6)=0.5
y(n)=0, n 7
结论： 若有限长序列x(n)的非零长度为N， h(n)的非零长度为M，则其卷积和的 非零长度L为： L=N+M-1
卷积和与两序列的前后次序无关
第二章 随机信号分析基础
第二章 平稳过程的线性模型 第三章 功率谱估计 第四章 自适应滤波器
教材及参考书
随机信号处理.
张玲华 郑宝玉 . 清华大学出版社
数字信号处理. 理论.算法与实现
胡广书. 清华大学出版社
现代信号处理.
张贤达. 清华大学出版社
Statistical and Adaptive Signal Processing .
k
(k )
3）矩形序列
1 0 n N 1 RN (n) 其它n 0
与其他序列的关系
RN (n) u (n) u (n N )
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n ( N 1)]
模拟正弦信号：
xa (t ) A sin(t )
x(n) xa (t )
t nT
A sin(nT )
=2πf T=2πf / f s
0 T / f s
0：数字域频率
T：采样周期
：模拟域频率 f s：采样频率
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
Manolakis D.G. The McGraw-Hill Companies, Inc.
第一章 离散时间信号与系统 一、离散时间信号—序列
序列：对模拟信号xa (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T， 得到
xa (t )
t nT
xa (nT ) n
xa (nT ) 是一个有序的数字序列： n取整数。对于不同的n值， ...xa (T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),... 该数字序列就是离散时间信 号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮 器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔， 形成x(n)信号，称为序列。
3）和
x(n) x1 (n) x2 (n)
同序列号n的序列值 逐项对应相加
4）积
x(n) x1 (n) x2 (n)
同序号n的序列值 逐项对应相乘
5）累加
y ( n)
k
x(k )
n
6）差分
前向差分：
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分：
x(n) x(n) x(n 1)
1 n 0 0 n 0
2）单位阶跃序列
1 n 0 u ( n) 0 n 0
与单位抽样序列的关系
(n) u(n) u(n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2) ...
m 0 n
y(n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)
令 nm k 则 m nk
n k
x ( n k )h ( k )
k
h(k ) x(n k ) h(n ) x(n )
2、几种典型序列
1）单位抽样序列
( n)