组合数学之常系数递归关系
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线性常系数递推关系
A B(n 1) r n xn , n0
C Dn r n xn, n0
因此通项表达式为： an C Dn r n ,
其中常数C, D可以利用初始条件来确定。
例如，若已知a0, a1，则 a0 C, a1 (C D)r D a1 r a0.
例1 求解递推关系：
an an-1 12an-2 0, a0 3, a1 26.
类似的，令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
xk (ak C1ak1 C2ak2 L Cka0 ) 0 xk1 (ak1 C1ak C2ak1 L Cka1 ) 0
LL
__________ __________ ________ xn(an C1an1 C2an2 L Ckank) 0
L (an ban-1 can-2) xn ...
a0 (a1 ba0)x.
因此有
G(x)
a0 (a1 1 bx
ba0 ) cx 2
x
.
与分母相对应的方程 x2+bx+c=0 称为特征方程，它
的根
b b2 4c
r 1,2
2
称为特征根。
这样G(x)可以表示为：
G(x)
a0 (a1
1 1x 1 2x
1 k x
A1 (1 x)n A2 (2 x)n L Ak (k x)n
n0
n0
n0
( A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
)
x
n
,
n0
因此通项表达式为：
an
A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
组合数学讲义及答案 3章 递推关系
n k k k r ，求{an}所满足的递推关 k 0
n n n n - 1 n - 2 2 r r ＋…＋ 2 r 2 n 为偶数： a n ＝ n 0 1 2 2
an 3an1 2an2 2a1 1
（二） 分 类 （1） 按常量部分： ① 齐 次 递 推 关 系 ： 指 常 量 ＝ 0 ， 如
Fn Fn1 Fn 2 ；
② 非齐次递推关系，即常量≠0，如 hn 2hn 1 1 。 （2） 按 a i 的运算关系：
结论：对于常系数线性递推关系的定解问题，其解必是唯
一的。 求解方法：首推特征根法。 思想：来源于解常系数线性微分方程，因为两者在结构上 很类似，所以其解的结构和求解的方法也类似。
8／75
《组合数学》
第三章 递推关系
§ 3.2.1
解的性质
1 2 【性质1】 设数列 bn 和 bn
2 2 2 2 2 an an 1 an2 a0 n 0 an 3an1 2an2 2a1 1 0
定义 3.1.1＇ （显式） 对数列 a i i 0，把 an 与其之前 若干项联系起来的等式对所有 n≥k 均成立（k 为某个给定的 自然数） ，称该等式为 a i 的递推关系，记为 a n F a n1 , a n 2 ,, a n k (3.1.1)＇ 例
分两种情况：当 n 为偶数时，令 n＝2m，则
n 1 n 2 ＝ ＝m－1 2 2 m 2m k k an＝ k r k 0 m 1 2m 2m k k m m ＝ ＋ 0 k r ＋ m r k 1 2m m 1 2m k 1 k ＝ 0 ＋ r k k 1 m 1 2m k 1 k m m ＋ k 1 r ＋ m r k 1
组合数学_第5章
an c1an 1 c2 an 2 0 a0 d 0 , a1 d 1
的任一解。 将初值条件代入 an
Kr K r
n 1 1
n 2 2
a 0 K1 K 2 d 0 a1 K1r1 K 2 r2 d1
第五章 递 归 关 系 由r1≠r2知，
| P2x |=|{(i2, i3, …, in)|it+1≠t, t=1, 2, …, n-1}|=D(n-1) 从而dn=D(n-2)+D(n-1)，故知 D(n)=(n-1)(D(n-2)+D(n-1)), n≥3, D(0)=0, D(2)=1
第五章 递 归 关 系 例2（Hanoi塔问题） n个圆盘，从A柱经B柱移到C柱(参见 图1.1)。 要求每次只移一个圆盘； 移动过程始终保持大盘在 下，小盘在上；中途 A 、 B 、 C 柱均可作临时柱，最终移至 C 柱， 则A到C的最少移动次数为
h(n)=2h(n-1)+1
…
A
B
C
图5.1.1 Hano塔示意图
第五章 递 归 关 系 解 设 h(n) 为 问 题 的 解 ， 则 h(1)=1, h(2)=3=2h(1)+1,
h(3)=5=2h(2)+1, …, h(n)=2h(n-1)+1。 又若设利用 C 柱把 A 柱上 n-1 个圆盘移到 B 柱，移动次数为 h(n-1)，则将A柱所剩最大圆盘移到C柱只需移动一次，再将 B上的n-1个圆盘利用A柱移到C柱（已有一个最大圆盘在下面） 共需移动h(n-1)次。 故总的移动次数为h(n)=2h(n-1)+1。
d n n 1 n2 n n 1 n2 x ( x c x c x ) nx c ( n 1 ) x c ( n 2 ) x 0 1 2 1 2 dx
二阶常系数递推关系求解方法
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
组合数学(4)递推递归母函数
ACM 暑期集训 组合数学（4） 递推 递归 母函数1 递推关系序列{a n }=a 0，a 1，…，a n ，…，把 a n 与某些a i (i <n )联系起来的等式叫做关于序列{a n }的递推方程。
当给定递推方程和适当的初值就唯一确定了序列。
递推关系分类： （1）按常量部分：齐次递推关系：指常量＝0，如F(n)=F(n-1)+F(n-2) 非齐次递推关系：指常量≠0，如F(n)=2*F(n-1)+1 （2）按运算关系：线性关系，如上面的两个；非线性关系，如F(n)=F(n-1)*F(n-2)。
（3）按系数：常系数递推关系，如（1）中的两个；变系数递推关系，如D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)。
（4）按数列的多少一元递推关系，只涉及一个数列，上面的均为一元； 多元递推关系，涉及多个数列，如⎩⎨⎧+=+=----111177n n nn n n a b b b a a Fibonacci 数列为1,1,2,3,5,8,13,.....long long data[100]; data[1]=1; data[2]=1;for(int i=3;i<=50;i++) data[i]=data[i-1]+data[i-2]; while(cin>>n) cout<<data[n]<<endl;例1：直线割平面问题。
在一个无限的平面上有N 条直线，试问这些直线最多能将平面分割成多少区域？F(1) = 2; F(2) = 4; F(3) = 7; F(n)=F(n-1)+n; (n>1)int recurrence(int n) //递推 {f[1]=2;for(i=2;i<=n;i++) f[n]=f[n-1]+n; return f[n]; }int recursion(int n) 递归： {if(n==1) return 2;//递归终止条件 else return recursion(n-1)+n; }更快的方法是求出通项：F(n)=n^(n+1)/2+1例2：HDOJ2050 折线割平面问题在一个无限的平面上有N 条折线，试问这些折线最多能将平面分割成多少区域？F(n)=F(n-1)+4n-3; F(n)=2*n^2-n+1;例3：椭圆割平面问题。
组合数学幻灯片52常系数线性齐次递归关系
(n 3)
这个递归关系就是例4所求解的递归关系。 故由例4的结果可知
an=1+n
c1 pn cos n c2 pn sin n
式中 p 2 2 , tan1( / )
c1 A1 A2 , c2 i( A1 A2 ) 注意，c1和c2是由边界条件决定的常数。
例3 计算n×n行列式
1100 0 0 00000 1110 0 0 00000 0111 0 0 00000 0011 1 0 00000
k
k
ciqin
ci (b1qin1
b2
qn2 i
bk
qnk i
)
i 1
i 1k
k
k
b1
ci
q n1 i
b2
ciqin2 bk
ci qin k
i 1
i 1
i 1
因此(5.15)是递归关系式(5.12)的解。
定义5.5 若an是递归关系式(5.12)的任意
一个解，都存在一组适当的常数c1,c2,…,ck使 得an可以表示为式(5.15)的形式，则称式 (5.15)是递归关系式(5.12)的通解。
解得
c1 (1 5) / 2 5,c2 (1 5) / 2 5
故递归关系式(5.5)的解为
Fn (1 5)n1 (1 5)n1 / (2n1 5)
求解 递归关系
ana0
2an1 1, a1
an2 2an 2, a2 0
3
解：递归关系的
(n 3)
特征方程为 x3-2x2-x+2=0
若q1,q2,…,qk是递归关系式(5.12) 的互不相同的特征根，则
an c1q1n c2q2n ckqkn
组合数学之常系数递归关系
7
(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
8
这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
19
对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
10
例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
8
这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
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对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
10
例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
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13
满足要求的路径一定不会经过(0,1)点 满足要求的路径一定不会经过(0,1)点. 可以建立一个新坐标系: 原点在( 可以建立一个新坐标系: 原点在(-1,0), 这样我们原来( 这样我们原来(m,n)点在新坐标系里面 的坐标就成了( +1,n 自然m+1>n 的坐标就成了(m+1,n), 自然m+1>n. 从新坐标系原点出发到达( +1,n 从新坐标系原点出发到达(m+1,n)点的 路径, 如果所经过的点( 满足a 路径, 如果所经过的点(a,b)满足a>b, 则 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (图4.3) 径. (图4.3) 所以只需求出(0,0)到 +1,n 不经过y=x 所以只需求出(0,0)到(m+1,n)不经过y=x 上点的路径数. 上点的路径数.
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对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
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这样的向量有m 这样的向量有m个0元素, n个1元素, 共 元素, 元素, C(m+n, 有C(m+n, m)个. 可以建立(m+n) 0,1向量与从 向量与从(0,0)点到 可以建立(m+n)维0,1向量与从(0,0)点到 点路径间一一对应: (0,0)点出 达(m,n)点路径间一一对应: 从(0,0)点出 =0沿 轴方向走一个单位, 发, 第i步: 若ai=0沿x轴方向走一个单位, =1沿 轴方向走一个单位, 若ai=1沿y轴方向走一个单位, i=1,…,m+n. =1,…,m+n. 要保证顾客能顺利地买到票相当于要 必须满足x 求路径上各点( 求路径上各点(x,y)必须满足x≥y.
12
我们的问题相当于求从(0,0)点到 我们的问题相当于求从(0,0)点到(m,n) 点到( 点的路径中, 不穿越过y=x线上点的路 点的路径中, 不穿越过y=x线上点的路 径数(可以经过), 径数(可以经过), 即需求出路径上各点 (x,y)满足条件 x≥y的路径数. 的路径数. 这个问题与例 的问题不一样, 这个问题与例2的问题不一样, 那里不 允许经过y=x上点 现在可以经过, 上点. 允许经过y=x上点. 现在可以经过, 但不 许穿过y=x这条直线是的点 这条直线是的点. 许穿过y=x这条直线是的点. 但是我们可以把这个问题转化为例 但是我们可以把这个问题转化为例2中 的情况来加以解决. 的情况来加以解决. 实际上相当于进行 一个坐标变换. 一个坐标变换.
(m,n)
(0,1) (0,0) (1,0)
图4.2
4
问题也可以提为: 求从( 问题也可以提为: 求从(0,1)点到(m,n)点 点到(m,n)点 并且所经过的点( 均满足条件a 并且所经过的点(a,b)均满足条件a<b的 路径数. 路径数. 由于m 显然从( 点到( 由于m<n, 显然从(1,0)点到(m,n)点的每 一条路径, 必然穿过y=x上的点 上的点. 一条路径, 必然穿过y=x上的点. 的路径可以分成两类: 从(0,0)到(m,n)的路径可以分成两类: 第一类: 经过( 第一类: 经过(1,0)点. 这类路径至少要穿 过一次y=x上的点 上的点. 过一次y=x上的点. 第二类: 经过( 第二类: 经过(0,1)点. 这类路径可以分成 两部分. 两部分.
《组合数学》 组合数学》
第四讲
常系数递归关系
1
第四讲: 第四讲: 常系数递归关系
I. 路径问题选讲 II. 常系数齐次递归关系 常系数齐次 齐次递归关系 (1) 特征值为不同的实数 (2) 特征值均为实数但是有重根 (3) 特征值有复根* 特征值有复根* III. 常系数非齐次递归关系* III. 常系数非齐次递归关系* 非齐次递归关系
2
I. 与路径有关的问题
例1 设某地的街道把城市分割成矩形方格, 每 设某地的街道把城市分割成矩形方格, 个方格称为块. 某甲从家里出发上班, 个方格称为块. 某甲从家里出发上班, 向东 要走m 向北要走n 要走m块, 向北要走n块. 问某甲上班的路径 有多少种? 有多少种? (m,n) 某甲上班路径数等于 从原点到 (m, n)点的 总径数: 总路径数:
10
例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
16
教材第 教材第3版p.53给出的结果是错误的. 53给出的结果是错误的 给出的结果是错误的. 只要对于m 只要对于m=3, n=2的情况简单验证一 下就可以发现书中的结果不对. 下就可以发现书中的结果不对. 习题" 构成的字符串中, 习题"由n个0和n个1构成的字符串中, 在任意前k个字符串中, 在任意前k个字符串中,0的个数不少 的个数的字符串有多少? 于 1 的个数的字符串有多少 ? " 与买 票问题相同. 票问题相同. 路径问题很典型, 希望大家能掌握. 路径问题很典型, 希望大家能掌握.
9
(2) N=从(0,1)点到(m,n)点的路径数 (0,1)点到 点到( - 从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+nN=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
m + n 1 m + n 1 N = m 1 m 1 1 = ( m + n 1)! m! ( n 1)! ( m 1)! n! ( m + n 1)! (n m ) = m! n!
7
(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
8
这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
14
(m,n) (m+1,n)
(0,1) (-1,0) (0,0) (1,0)
图4.3
15
这样变换之后, +1相当于 这样变换之后, m+1相当于例2中的n, 相当于例 中的n 则相当于其中的m 而n则相当于其中的m. 由此我们知道 所要求的路径数目N如下: 所要求的路径数目N如下:
N = C (m + n + 1 1, n) C (m + n + 1 1, n 1) = C (m + n, n) C (m + n, n 1) = C (m + n, m) C (m + n, n 1) (m + n)! (m + n)! = m! n! (m + 1)!(n 1)! mn+1 (m + n)! = (m + 1)! n!
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II. 常系数齐次线性递归关系 常系数齐次 齐次线性递归关系
常系数线性递归关系有齐次 常系数线性递归关系有齐次和非齐次 齐次和 两种. 是一个递归数列. 两种. 设Hn是一个递归数列. 常系数齐次递归关系: 常系数齐次递归关系:
Hn a1Hn1 a2 Hn2 ar Hnr = 0 (4.1)
C ( m + n, m ) = C ( m + n, n).
(0,0)
图4.1
3
例2 从(0,0)点到达(m,n)点, 其中m<n. 要求中 点到达( 其中m<n. 间所经过的路径上的点( 恒满足a 间所经过的路径上的点 (a,b)恒满足a<b, 问 有多少不同的路径? 有多少不同的路径? 解 与 例 1 不同 , 现 不同, 在要求路径不经 在要求路径 不经 y=x上的点 上的点. 过y=x上的点. 这 点第1 样, 从(0,0)点第1 步必须到( 步必须到(0,1)点, 而不允许到( 而不允许到 ( 1 , 0 ) 点.
5
第一部分: 不经过y=x上任何的点 第一部分: 不经过y=x上任何的点. 这正 上任何的点. 是题目中要求的路径. 是题目中要求的路径. 第二部分: 至少经过一次y=x上的点 上的点. 第二部分: 至少经过一次y=x上的点. 下面我们说明: 第一类路径数目正好 下面我们说明: 第一类路径数目正好 等于第二类中第二部分的路径数目 第二类中第二部分的路径数目. 等于第二类中第二部分的路径数目. 这可以通过建立起从(1,0)到 这可以通过建立起从(1,0)到(m,n)点的 路径与从(0,1)到 点但经过y=x线上 路径与从(0,1)到(m,n)点但经过y=x线上 点的路径间之间一一对应关系来加以 证明. 证明.
满足要求的路径一定不会经过(0,1)点 满足要求的路径一定不会经过(0,1)点. 可以建立一个新坐标系: 原点在( 可以建立一个新坐标系: 原点在(-1,0), 这样我们原来( 这样我们原来(m,n)点在新坐标系里面 的坐标就成了( +1,n 自然m+1>n 的坐标就成了(m+1,n), 自然m+1>n. 从新坐标系原点出发到达( +1,n 从新坐标系原点出发到达(m+1,n)点的 路径, 如果所经过的点( 满足a 路径, 如果所经过的点(a,b)满足a>b, 则 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (图4.3) 径. (图4.3) 所以只需求出(0,0)到 +1,n 不经过y=x 所以只需求出(0,0)到(m+1,n)不经过y=x 上点的路径数. 上点的路径数.
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对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
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这样的向量有m 这样的向量有m个0元素, n个1元素, 共 元素, 元素, C(m+n, 有C(m+n, m)个. 可以建立(m+n) 0,1向量与从 向量与从(0,0)点到 可以建立(m+n)维0,1向量与从(0,0)点到 点路径间一一对应: (0,0)点出 达(m,n)点路径间一一对应: 从(0,0)点出 =0沿 轴方向走一个单位, 发, 第i步: 若ai=0沿x轴方向走一个单位, =1沿 轴方向走一个单位, 若ai=1沿y轴方向走一个单位, i=1,…,m+n. =1,…,m+n. 要保证顾客能顺利地买到票相当于要 必须满足x 求路径上各点( 求路径上各点(x,y)必须满足x≥y.
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我们的问题相当于求从(0,0)点到 我们的问题相当于求从(0,0)点到(m,n) 点到( 点的路径中, 不穿越过y=x线上点的路 点的路径中, 不穿越过y=x线上点的路 径数(可以经过), 径数(可以经过), 即需求出路径上各点 (x,y)满足条件 x≥y的路径数. 的路径数. 这个问题与例 的问题不一样, 这个问题与例2的问题不一样, 那里不 允许经过y=x上点 现在可以经过, 上点. 允许经过y=x上点. 现在可以经过, 但不 许穿过y=x这条直线是的点 这条直线是的点. 许穿过y=x这条直线是的点. 但是我们可以把这个问题转化为例 但是我们可以把这个问题转化为例2中 的情况来加以解决. 的情况来加以解决. 实际上相当于进行 一个坐标变换. 一个坐标变换.
(m,n)
(0,1) (0,0) (1,0)
图4.2
4
问题也可以提为: 求从( 问题也可以提为: 求从(0,1)点到(m,n)点 点到(m,n)点 并且所经过的点( 均满足条件a 并且所经过的点(a,b)均满足条件a<b的 路径数. 路径数. 由于m 显然从( 点到( 由于m<n, 显然从(1,0)点到(m,n)点的每 一条路径, 必然穿过y=x上的点 上的点. 一条路径, 必然穿过y=x上的点. 的路径可以分成两类: 从(0,0)到(m,n)的路径可以分成两类: 第一类: 经过( 第一类: 经过(1,0)点. 这类路径至少要穿 过一次y=x上的点 上的点. 过一次y=x上的点. 第二类: 经过( 第二类: 经过(0,1)点. 这类路径可以分成 两部分. 两部分.
《组合数学》 组合数学》
第四讲
常系数递归关系
1
第四讲: 第四讲: 常系数递归关系
I. 路径问题选讲 II. 常系数齐次递归关系 常系数齐次 齐次递归关系 (1) 特征值为不同的实数 (2) 特征值均为实数但是有重根 (3) 特征值有复根* 特征值有复根* III. 常系数非齐次递归关系* III. 常系数非齐次递归关系* 非齐次递归关系
2
I. 与路径有关的问题
例1 设某地的街道把城市分割成矩形方格, 每 设某地的街道把城市分割成矩形方格, 个方格称为块. 某甲从家里出发上班, 个方格称为块. 某甲从家里出发上班, 向东 要走m 向北要走n 要走m块, 向北要走n块. 问某甲上班的路径 有多少种? 有多少种? (m,n) 某甲上班路径数等于 从原点到 (m, n)点的 总径数: 总路径数:
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例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
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教材第 教材第3版p.53给出的结果是错误的. 53给出的结果是错误的 给出的结果是错误的. 只要对于m 只要对于m=3, n=2的情况简单验证一 下就可以发现书中的结果不对. 下就可以发现书中的结果不对. 习题" 构成的字符串中, 习题"由n个0和n个1构成的字符串中, 在任意前k个字符串中, 在任意前k个字符串中,0的个数不少 的个数的字符串有多少? 于 1 的个数的字符串有多少 ? " 与买 票问题相同. 票问题相同. 路径问题很典型, 希望大家能掌握. 路径问题很典型, 希望大家能掌握.
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(2) N=从(0,1)点到(m,n)点的路径数 (0,1)点到 点到( - 从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+nN=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
m + n 1 m + n 1 N = m 1 m 1 1 = ( m + n 1)! m! ( n 1)! ( m 1)! n! ( m + n 1)! (n m ) = m! n!
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(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
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这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
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(m,n) (m+1,n)
(0,1) (-1,0) (0,0) (1,0)
图4.3
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这样变换之后, +1相当于 这样变换之后, m+1相当于例2中的n, 相当于例 中的n 则相当于其中的m 而n则相当于其中的m. 由此我们知道 所要求的路径数目N如下: 所要求的路径数目N如下:
N = C (m + n + 1 1, n) C (m + n + 1 1, n 1) = C (m + n, n) C (m + n, n 1) = C (m + n, m) C (m + n, n 1) (m + n)! (m + n)! = m! n! (m + 1)!(n 1)! mn+1 (m + n)! = (m + 1)! n!
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II. 常系数齐次线性递归关系 常系数齐次 齐次线性递归关系
常系数线性递归关系有齐次 常系数线性递归关系有齐次和非齐次 齐次和 两种. 是一个递归数列. 两种. 设Hn是一个递归数列. 常系数齐次递归关系: 常系数齐次递归关系:
Hn a1Hn1 a2 Hn2 ar Hnr = 0 (4.1)
C ( m + n, m ) = C ( m + n, n).
(0,0)
图4.1
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例2 从(0,0)点到达(m,n)点, 其中m<n. 要求中 点到达( 其中m<n. 间所经过的路径上的点( 恒满足a 间所经过的路径上的点 (a,b)恒满足a<b, 问 有多少不同的路径? 有多少不同的路径? 解 与 例 1 不同 , 现 不同, 在要求路径不经 在要求路径 不经 y=x上的点 上的点. 过y=x上的点. 这 点第1 样, 从(0,0)点第1 步必须到( 步必须到(0,1)点, 而不允许到( 而不允许到 ( 1 , 0 ) 点.
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第一部分: 不经过y=x上任何的点 第一部分: 不经过y=x上任何的点. 这正 上任何的点. 是题目中要求的路径. 是题目中要求的路径. 第二部分: 至少经过一次y=x上的点 上的点. 第二部分: 至少经过一次y=x上的点. 下面我们说明: 第一类路径数目正好 下面我们说明: 第一类路径数目正好 等于第二类中第二部分的路径数目 第二类中第二部分的路径数目. 等于第二类中第二部分的路径数目. 这可以通过建立起从(1,0)到 这可以通过建立起从(1,0)到(m,n)点的 路径与从(0,1)到 点但经过y=x线上 路径与从(0,1)到(m,n)点但经过y=x线上 点的路径间之间一一对应关系来加以 证明. 证明.