中考数学一轮复习教案： -特殊三角形(2)
中考数学第一轮复习三角形学案
yEB三角形班级： 姓名： 【考点目标】了解三角形的角平分线，中线、高的定义。
理解三角形的三边关系、稳定性、内角和定理。
【教学重难点】利用三角形性质计算和证明。
【课前练习】1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 crn ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm2. 1.在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ）A ．7cmB ．4cmC ．3cmD ．10cm3.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm 4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______.5. 已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、BC 的中点，F 是BE 的中点．若面ΔDEF 的面积是10，则ΔADC 的面积是多少？二：【例题】例1如图，CE 是ABC D 的外角ACD Ð的平分线，若35B ?o ，60ACE?o ，求∠A 度数。
例2.已知，如图，∠xoy=900，点A 、B 分别在射线Ox,Oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于C 点，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A 、B 移动发生变化，请求出变化范围。
ABDE图235°60°【课堂练习】1.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是__________2.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3.若等腰三角形两边长ａ和ｂ满足｜ａ-3︱+4 b =0则此三角形周长为______.4.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） A 高 B 中线 C 角平分线 D 中位线5.如图，DE 是△ABC 的中位线， F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于点H ，求AH ：HE6.如图，D 是△ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积为24cm 2，求△BEF 的面积．【课后训练】1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm2.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜133.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．5.如图，△ABC中，∠C＝90○，点E在AC上，ED⊥AB，垂足为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：AC.6.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．7. 已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．（1）若第三边BC长为偶数，求BC的长；（2）若第三边BC长为整数，求BC的长8.已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC 于点P．（1）求证：PD=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长.9. 已知△ABC，(1)如图1－1－27，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=1902A ??；(2)如图1－1－28，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12A Ð；(3)如图1－1－29，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=1902A ??。
2011年中考数学第一轮复习教案——三角形
87654321AE DO C BG F E D CBA 第四章 三角形第25课时 相交线和平行线一、知识要点 1．直线公理：经过两点__________一条直线，直线可以用_________________表示。
2．线段公理：两点之间，__________最短，线段可以用_________________表示。
线段的中点：若点C 是AB 的中点，则_____。
____________________叫两点之间的距离。
3．射线：射线可以用_______________表示。
4．角定义：___________________________叫角。
角平分线：若射线OA 是∠AOB 的平分线，则______ 角平分线的性质：_____________________ 角平分线的判定：______________________ 角的度量：1周角=__平角=__直角=_____ 1°=_____′=______″ 5．余角和补角如果两个角的和是_________,那么称这两个角互为余角，其中一个角叫另一个角余角；如果两个角的和是_________,那么称这两个角互为补角，其中一个角叫另一个角补角；性质：同角或等角的余角_______;同角或等角的补角_______;6．对顶角的性质是____________________ 7．垂线定义：_______________________________ 性质：__________________________________________________________叫点到直线的距离。
8．三线八角如图，对顶角有_____________ 邻补角有___________________ 同位角有___________________内错角有___________________同旁内角有_________________9．平行线定义：________________________________ 平行公理：____________________________ 性质：________________________________ 判定：_______________________________10．命题__________________________叫定义 __________________________叫命题 命题由_________________组成。
2020年中考数学第一轮复习 第十七讲 三角形与全等三角形 知识点+真题 学生版(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ． 考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件 ，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】 一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。
2019中考数学一轮复习第21讲直角三角形与勾股定理教案
第20讲:直角三角形与勾股定理一、复习目标（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。
（2）掌握角平分线性质的逆定理。
（3）掌握勾股定理及其逆定理。
二、课时安排1课时三、复习重难点直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。
四、教学过程（一）知识梳理直角三角形的概念、性质与判定b，外接圆半径勾股定理及逆定理互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两命题、定义、定理、公理述，作出________（二）题型、技巧归纳考点一：利用勾股定理求线段的长度技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点2实际问题中勾股定理的应用技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．考点3勾股定理逆定理的应用技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点4定义、命题、定理、反证法技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．（三）典例精讲例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )A、3CMB、6CMC、、[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝42＋（4＋5）2＝97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝（4＋4）2＋52＝89.l1>l2，最短路径的长是l2＝89.(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝B1C1AC1·AA1＝489·5＝208989例3 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )A．② B．①② C．①③ D．②③[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(√3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③.故选D.例4 下列命题为假命题的是( )A ．三角形三个内角的和等于180°B ．三角形两边之和大于第三边C ．三角形两边的平方和等于第三边的平方D ．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半[解析] 选项A 和B 中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C ，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D 中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质、掌握角平分线性质的逆定理、掌握勾股定理及其逆定理。
2019届中考数学一轮复习讲义第27讲等腰三角形
2019届中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A ,底角为∠ B、/ C，则∠ A=180—2 ∠ B，/ B= ∠180 AC=—22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
学！科网推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 :有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二•等边三角形1•定义三条边都相等的三角形是等边三角形• 2.性质:3•判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1•定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2•性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3•判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的和谐分割线”.如图，线段CD是ABC的和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相【解析】试题分析：T △比CDS AEA∙G∕∙Z⅛CD=Z44h ,'∕Δ⅛CD是等腰三角形，,∕Z ADC>Z BCD J.'.Z AD OZA J即AC≠CD,①⅛AC?=AJ）时’ ZACD=ZADC=^ =67, .∖ZACE=670+4S C=113° *■②当DADC 时，ZCD=ZjL= 46 Q R √.ZACB=46" +46' =93Q J 故答案为M时或财-考点：1∙相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】如图，AD , CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC , ∠ CAD=20 ,则∠ ACE的度数是( )A. 20 °B. 35 °C. 40 °D. 70 °【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析；先⅛据等腰三角形的⅛m及三角形内角和定S⅛⅛ZCAfr=2ZCADM0% ZB=ZACH £( IS^ZCAB) =70°.再禾U用角平分线定义即可得出ZX*E W√ACB=3實.徉解::AD 是∆ABC 的中线』AB-AC J. ZaAD=20%/.ZCAB=2ZQAD=40S ZB=ZACB=I (IS^-ZCAB) =70t.ICE是AABC的甬平分线，∕÷ ZACE=i ZACB=JS ci.Z故选:B.点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70是解题的关键.考点典例二、等腰三角形的多解问题1【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰ABC中，AD BC交直线BC于点D ,若AD -BC ,2则ABC的顶角的度数为 ____________ .【答案】30°或150°或90°. 【解析】 试题分析：①BC 为腰,1∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= BC ,/∙∠2②BC 为底，如图3,CAD= - ×80 °90 °2腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 【举一反三】（湖南省衡阳市船山实验中学 2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为 70°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）ACD=30° ,如图1 , AD 在△ABC 内部时, 顶角∠ C=30 ,如图2，AD 在△ABC 外部时,顶角∠ ACB=180 - 30o=150°,∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= I BC,∙∙∙ AD=BD=CD , ∙∙∙ ∠ B= ∠ BAD , ∠ C= ∠ CAD , /. ∠ BAD+ ∠【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边∙顶角∠ BAC=90 ,来源学科网ZXXMA. 35 °B. 20 °C. 35 °或20 °D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35° 70°是底角，顶角是40°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】已知:在附鳥中,悴F T&I,为的中点V-銅，：■,垂足分别为点,且册•罔•求证:1是等边三角形.【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题【答案】证明见解析MMfi】分析；由等腥三角形的性质得SUZR=NG再用HL证明I∆CTF,得到厶IYG从而得到ZAQNG即可得到结论，徉解:「密FU /.Z5=ZC.∖'DElAB f DFLBC J ,\ZD£^=ZDFO90&.丁D为的卫匚中⅛jλΣfA=DC.又YDE=D F, -IR L AAE实RlACDF (HL),--ZJi=N方-ΞZ^C?：-AA^C是等边三角形- 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质•解题的关键是证明∠ A=∠ C.【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟 )如图所示，AABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ , PR=PS, PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S, ?则对下面四个结论判断正确的是()①点P在∠ BAC的平分线上，②AS=AR , ③QP// AR , ④厶BRP^Δ QSP.A.全部正确；B.仅①和②正确；C.仅②③正确；D.仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∙∙∙PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S.∙∙∙∠ARP= ∠ ASP=90 .∙∙∙ PR=PS, AP=AP..∙. Rt △A RP也Rt AASP.∙∙∙ AR=AS ,故（2）正确，∠ BAP= ∠ CAP..AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确.∙AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.∙∙∙ AQ=PQ.∙点Q是AC的中点.∙PQ是边AB对的中位线.∙PQ // AB ,故（3）正确.∙.∙∠ B= ∠ C=60 ,∠ BRP= ∠ CSP=90 , BP=CP.•••△ BRPQSP,故（4）正确.•全部正确.•故选A.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】.如图，MM中，川,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作的平分线交•于点；②作边的垂直平分线，'与！相交于点；③连接•，'.请你观察图形解答下列问题：（1） __________________________________________ 线段PA^B^C之间的数量关系是（2）若曲吭-潜，求的度数.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】（1）•：'「二-b 二V; （2）80°【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC;（2）根据等腰三角形的性质得：∠ ABC= ∠ ACB=70 ,由三角形的内角和得：∠BAC=180 -2 ×0°=40°，由角平分线定义得：∠ BAD= ∠ CAD=20 ,最后利用三角形外角的性质可得结论.详解：（1）如图，PA=PB=PC ,理由是：∙∙∙ AB=AC , AM 平分∠ BAC ,∙∙∙ AD是BC的垂直平分线，∙∙∙ PB=PC ,∙∙∙ EP是AB的垂直平分线，∙PA=PB,∙PA=PB=PC ;故答案为：PA=PB=PC ;⑵ 丁AE=AG/.Z ABC-Z ACE-VO O J.∖ ZBAC=I 80o-2^70c=40e,TANl 平分ZBAC,.,.ZBAD=ZCAD=2fl D,TPA=PB=PG・∖ ZABP= Z BAP=ZACP»20C,/. ZBPc=ZABP-Z BAC+Z ACP=20 i→0fr-2 =So S.点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.【举一反三】（2018广西钦州市中考模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90 ,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M和点N ,作直线MN 交AB于点D ,交BC于点巳若AC=3 , AB=5 ,则DE等于（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得AC +CE =AE+ （4-AE ）即3=AE解得：AE=在Rt △ADEAD= AB=勾股定理得) DE +(=(解得：DE=故选C.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC , AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40，24,则AB为（）S CA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∙∙∙DE是AB的垂直平分线，ME = RE :的周长任「Δ EHC的周长I = EE + EC + IiC =AE^ Ec [ IiC = AC + 甘：.∙. I总盒强:的周长—M 泪的周长=AB ,∣ΛZP=40-24=16.故选C.点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2. （2017黑龙江大庆）如图，ΔABD是以BD3. 已知 汀 口耽：，用尺规作图的方法在 冋上确定一点冈，使Un ,则符合要求的作图痕迹是ΔBCD 中，∠ DBC=90° ∠ BCD=60° DC 中点为E , AD 与BE 的延长线交于点 F ,则∠ AF B 的度数为（）A. 30 °B.15 °C.45 °D.25 °【答案】B【解析】解：τ∠ DBC=90° E 为 DC 中点，∙∙∙ BE=CE=CD ,τ∠ BCD=60° Λ∠ CBE=60° ∕∙∠ DBF=30°∙∠ ABF=75° ∙∠ AFB=180° - 90° - 75°=15° 故选B .为斜边的等腰直角三角形, •••△ ABD 是等腰直角三角形，∙∠ ABD=45° , A.【答案】D【解折】分析：夷使PZPC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足遗个条件，故D 正确. 详解：D 选项中作的是AB 的中垂线，.∖PA=PB.'.PB-PC-BC J∕r PA+PC=BC故选D*点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB .4.（河北省故城县运河中学 2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为（）A. D. 3 【答案】CB.C.【解析】如图，作CD丄AB ,贝U CD是等边△ABC底边AB上的高,根据等腰三角形的三线合一，可得AD=I ,所以，在直角ΔADC中，利用勾股定理，可求出CD= =面积计算公式，解答，代入出S AABC = ×2×故选：C．5. （2017-2018 学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在于占4八、、于占4八、、边的中点，连接则下列结论①②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∙∙∙BM丄AC于点M, CN丄AB于点N , P为BC边的中点,PN= ∙∙∙ PM=PN ,正确；②∙∙∙∠ A=60 , BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N ,∙∠ ABM= ∠ ACN=30 ,在 AABC 中，∠ BCN+ ∠ CBlvF 180° -60 °-30 °×2=60° , •••点P 是BC 的中点，BM 丄AC , CN 丄AB , ∙ PM=PN=PB=PC ,∙∠ BPN=2 ∠ BCN , ∠ CPM=2 ∠ CBM ,∙∠ BPN+ ∠ CPM=2 (∠ BCN+ ∠ CBM ) =2×60°=120° , ∙∠ MPN=60 ,•••△ PMN 是等边三角形，正确； 所以①②都正确.PM= BCBC ,故选C .6.在平面直角坐标系中，点 A （ J2 ,迈）,B （ 3J2 , 3丿2 ）,动点C 在X 轴上，若以A 、B 、C 三点为 顶点的三角形是等腰三 角形，则点C 的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】B . 【解析】试爾分析:SC≡√∕AB 所在的M ⅛⅛Sy = X ,Λ⅛ AB 的中垂线所在的直线野二 V 丁点BZCgZ 的中点坐 ⅛⅛（2∙d, 2 如 把 x=2√∑,产 2√Σ 代AF = -K+占，解得 b=4√2, …朋的中垂线所在的S÷⅞≡y = -χ+4√2 , .'.C 1 ¢4^, O ）J決点启为圆^以期的长为半^画弧P 与-轴的交点为点55 ^B √（3√2 -√2）z + （3√2 -√2）z =4, V3√2>4,圆心，以朋的长九半径画弧 与耳轴沒有交点.综上，可得若以久趴€三点为顶点的三角形是等腰三角形P 则点f 的个数为取故选亠考点：1.等腰三角形的判定；2•坐标与图形性质；3•分类讨论；4 •综合题；5•压轴题.7（浙江省上杭县西南片区 2017-2018学年八年级上册期末模拟 ）如图，在 MBC 中，∠ B= ∠ C, AD 为AABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A. AABD ACDB. AD为ΔABC的高线C. ADD. ΔABC是等边三角形为ΔABC的角平分线【答案】D【解析】试题解析：τ∠ B= ∠ C, ∙∙∙ AB=AC ,∙∙∙ AD是△ABC的中线，∙AD丄BC ,∠ BAD= ∠ CAD ,即AD是ΔABC的高，AD为△ABC的角平分线,∙∠ADB= ∠ ADC=9°0 ，在ΔABD和ΔACD中•••△ ABD BΔ ACD ,即选项A、B、C 都正确，根据已知只能推出AC=AB ，不能推出AC、AB 和BC 的关系，即不能得出△ABC 是等边三角形，选项D 错误，故选D ．二、填空题8. （2018广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知ΔABC和ΔAED均为等边三角形，点D在BC边上，DE 与AB相交于点F,如果AC=12 , CD=4 ,那么BF的长度为__.答案】解析】试题分析：△ABC 和△AED 均为等边三角形，~ ?ACD, 又2017-2018 学年八年级上期末模拟 ）已知：点 P 、Q 是 △ABC 的边 BC 上的两个 ,∠BAC 的度数是（ ） 9. （ 山西省汾西县双语学校点，且 BP=PQ=QC=AP=AQA. 100 °B. 120 °C.130 °D. 150【答案】B【解析】VPctAP=AQ l l.∖ ZAP Q= ZPAQ= ZAQP=605,ZAP=BP,.∖Z B-Z TAB J Z,∖PQ-Z B÷ZPAB-SO C）,∖ZB=ZTAB=SO fi,同理ZQAC=ZC=30%.∖ZBAoZPAQ十ZPAB十ZQAOl2'O HS.故选B. I10.（浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC ,其中AB=AC=17cm , BC=16cm ,则三角形的面积为___________ cm2.【答案】120 【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD= =15cm ，再利用三角形面积公式求S AABC = BC?AD=×16×15=120cm2故答案为：120.11.（浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°则等腰三角形顶角的度数是________[来]【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形,一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图 1 ,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ ABD=40 ,∙∙∙∠A=50 ,即顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ DBA=40∙∙∙∠ BAD=50 ,∙∙∙∠ BAC=130 .故答案为：50或130.12.（浙师大附属秀洲实验学校 2017-2018学年九年级下学期第三次模拟 ）已知□ ABCD 中，AB=4, ABC 与 EDC 的角平分线交AD 边于点E , F ，且EF=3,则边AD 的长为 ___________________ .【答案】5或11;【解析】∙∙∙ BE 平分∠ ABC,∙∠ ABE= ∠ CBE ,•••四边形ABCD 是平行四边形，∙ AD // CB , CD=AB=4 ,∙∠ AEB= ∠ CBE∙∠ ABE= ∠ AEB ,∙ AE=AB=4 ,同理：DF=CD=4 ,分两种情况：∙ AD=AE+EF+DF=4+3+4=11∙ AF=1 , ∙ AD=AF+DF=1+4=5; ①如图1所示：∙∙∙ EF=3②如图2所示:■/ EF=4 ,AE=DF=4综上所述: AD的长为11或5;故答案为：5或11.13. （2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , CB=CD ,对角线AC , BD 相交于 点0,下列结论中：① ∠ ABC= ∠ ADC ；② AC 与BD 相互平分；③ AC ，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；1④ 四边形ABCD 的面积S= AC?BD .2试题解析：①在 △ABC 和ΔADC 中,AB AD∙∙∙ BC CD ,AC AC•••△ ABC ADC ( SSS),∙∙∙∠ ABC= ∠ ADC ,故①结论正确；②•••△ ABC BΔ ADC ,∙∠ BAC= ∠ DAC ,∙∙∙ AB=AD ,• OB=OD , AC 丄 BD ,而AB 与BC 不一定相等，所以 AO 与OC 不一定相等,故②结论不正确； ③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的∠ BAD 、/ BCD,1 而AB 与BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的对角; 故③结论不正确；④∙∙∙ AC 丄 BD ，［来源学科网］•••四边形ABCD 1 1 1的面积 S=SSS 3 2 BD ?A O + 2 BD ?CO = 2 BD ?（AO+CO ）=AC?BD . 2故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.14.等腰三角形 中，顶角为 ，点在以为圆心，'长为半径的圆上，且为 _________ .【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即【解答】如图：分两种情况进行讨论■■■ ^PBC = ^ABP + ^ABC= Ilo Dl 同理：^AffP r ^^BAC ）J-ABP a■ 2.BAC = 40\ LABC = tβo"-+t>*1 Λ ^P I ffC = ^AeC-= 30°.故答案为：3^或】1孑【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边 ABC 的内部，且PC 6,PA 8,PB 10 ,将线段PC绕点C 顺时针旋转60o得到P'C ,连接AP',则Sin PAP'的值为 ___________________ . 【答案】35∙∙∙ CP=CP =6,∠ PCP =60°•••△ CPP 为等边三角形，• PP =PC=6•••△ ABC 为等边三角形，• CB=CA , ∠ ACB=60 ,∙∠ PCB= ∠ P' CA在△PCB 和 ΔP ,CA 中 PC PCPCB PCACB CAτ 62+82=102,• PP 2+AP 2=P'A,∙ PB=P A=10,［来源学。
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
初三中考第一轮复习全等三角形（一对一教案）
初三中考第⼀轮复习全等三⾓形（⼀对⼀教案）学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科⽬：学科教师：授课类型T全等三⾓形判定 C 全等三⾓形的判定特点T 中考题型分析授课⽇期及时段教学内容⼀、同步知识梳理1．判定和性质⼀般三⾓形直⾓三⾓形判定边⾓边（SAS）、⾓边⾓（ASA）⾓⾓边（AAS）、边边边（SSS）具备⼀般三⾓形的判定⽅法斜边和⼀条直⾓边对应相等（HL）性质对应边相等，对应⾓相等对应中线相等，对应⾼相等，对应⾓平分线相等注：①判定两个三⾓形全等必须有⼀组边对应相等；②全等三⾓形⾯积相等．2．证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边）任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS⼆、同步题型分析题型1：边边边（SSS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图1，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.图1提⽰：证明△ABD≌△BAC，得到∠BAD＝∠ABC,∠DBA＝∠CAB,通过∠BAD—∠CAB＝∠ABC—∠DBA，证明∠CAD＝∠DBC。
题型2：边⾓边（SAS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图2，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图2提⽰：由．．．．AB＝AC，BE＝CD，得到AD=AE,证明△ABD≌△ACE，得到∠B＝∠C（．★．）例．．2．：．已知：如图3，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3提⽰：由．．．．∠1＝∠2，得到∠BAC＝∠DAE,证明△BAC≌△DAE，得到BC＝DE（．★★．．3．：．如图4，将两个⼀⼤、⼀⼩的等腰直⾓三⾓尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，．．）例∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图4提⽰：延长．．AB＝CB，EB＝DB，∠ABE＝∠CBD＝90°，证明△ABE≌△CBD，得到．．F．，由．．．．．AE．．交．CD．．于点AE=CD,∠EAB＝∠DCB，再由∠CDB+∠DCB=90o,得到∠CEF+∠ECF＝90°，证明AE⊥CD 题型3：⾓边⾓（ASA）、⾓⾓边（AAS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图5，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．图5提⽰：由．．．．AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，得到∠CAB ＝∠DAE ，根据∠E ＝∠B ，DE ＝CB ，证明△C AB≌△DAE ，得到AD ＝AC（．★★．．）例．．2．：．已知：如图6，在△MPN 中，H 是⾼MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .图6提⽰：由．．．．MQ 和NR 是△MPN 的⾼，得到∠MQP ＝∠NRP ＝90°，继⽽得到∠PMQ ＝∠PNR ，结合MQ ＝NQ ，证明△PMQ ≌△HNQ ，得到HN ＝PM（．★★．．）例．．3．：．阅读下题及⼀位同学的解答过程：如图7，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶⾓相等已知已知COB AOD OB OA C A∴△AOD ≌△COB （ASA ）．图7问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？提⽰：⼀定要找准对应边和对应⾓题型4、斜边和⼀条直⾓边对应相等（HL ）（．★★．．）．已知：如图7，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；图7提．⽰：连接．．．．DC ．．，即可证明．．．．．△ADC ≌△BCD三、课堂达标检测（★）检测题1：如图（1），点P 是AB 上任意⼀点，ABC ABD ∠=∠，还应补充⼀个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充⼀个条件，不⼀定能．．．．推出APC APD △≌△的是（）A ．BC BD =B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠D ．CAB DAB ∠=∠答案：B（★）检测题2：如图2，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是（写出⼀个即可）．答案：AE=AC（★★）检测题3：如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .图（3）CADP B图（1）A CEBD（2）BDA⼀、专题精讲（★★）题型⼀：全等三⾓形证明等量例1：2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂⾜分别为E、F．求证：BF=CE．提⽰：证明△CED≌△BFD题型⼆：全等三⾓形证明位置关系（★★）例2：如图所⽰，已知，AD为△ABC的⾼，E为AC上⼀点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC提⽰：证明△BDF≌△ADC题型三、构造全等证明结论（★★）例3：如图，已知E是正⽅形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CFABDCEF提⽰：证明△DBA ≌△ECA（★★★）检测题2：△DAC, △EBC 均是等边三⾓形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三⾓形（4）MN ∥BC提⽰：（1）证明△ACE ≌△DCB （2）△ACM ≌△DCN 或△EMC ≌△BNC（★★★）检测题3：如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐⾓．点D 为射线BC 上⼀动点，连接AD ，以AD 为⼀边且在AD 的右侧作正⽅形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图⼄，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成⽴，为什么？D AMEAFFEAFA（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满⾜⼀个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）提⽰：证明△ABD≌△ACF即可三、学法提炼1、专题特点：主要是了解全等三⾓形的运⽤特点，全等三⾓形的构造⽅法2、解题⽅法：主要是从全等三⾓形的四⼤条件⼊⼿（公共边、公共⾓、重合边、重合⾓），运⽤已知条件，达到全等证明3、注意事项：在条件运⽤中，⼀定要清楚条件所适⽤的判定，不能张冠李戴。
2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第17课时三角形
第17课时三角形【课时目标】1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念及性质，了解三角形的稳定性，会画任意三角形的角平分线、中线、高．2．探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质，并会对三角形进行分类，会进行有关证明和计算．3．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，角平分线的性质定理及逆定理．4．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理与判定定理；探索等边三角形的性质定理与判定定理，并会进行有关证明和计算．5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理．6．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．【知识梳理】1．三角形中三边的关系：三角形任意两边之和________第三边；任意两边之差_______第三边．2．三角形中角的关系：(1)三角形的内角和等于________．(2)三角形的一个外角等于与它_______的两个内角的(3)三角形的一个外角________与它_______的任何一个内角．3．三角形中的三条重要线段：(1)三角形的角平分线、中线、高各有_______条，它们都是________．(2)三角形三条角平分线、三条中线均相交于三角形_______部的一点；三角形的三条高相交于一点，这一点可能在三角形的内部（锐角三角形）、顶点（直角三角形）或外部（钝角三角形）．4．线段垂直平分线的性质与判定：线段垂直平分线上的点到_______相等；到_______的点在这条线段的垂直平分线上．5．角平分线的性质与判定：角平分线上的点到_______相等；到_______的点在这个角的平分线上．6．等腰（边）三角形：有______________的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫________．7．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两底角_______，简称为________．(2)等腰三角形的________、________、________相互重合，简称等腰三角形的“三线合一”．(3)等腰三角形是_______图形，其对称轴是_______．8．等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时还具有以下性质：(1)等边三角形的三个内角_______，每个角都等于________．(2)等边三角形是_______图形，其对称轴有_______条，分别是________．9．等腰三角形的判定：(1)有两边相等的三角形是________．(2)在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边_______，简称为________．10．等边三角形的判定：(1)有三条边相等的三角形是_______．(2)三个角_______的三角形是等边三角形．(3)有一个角是_______的等腰三角形是等边三角形．11．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角________．(2)直角三角形斜边上的中线等于________．(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________．(4)勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即________．12．直角三角形的判定：(1)有一个角是_______角或两锐角_______的三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_________．【考点例析】考点一三角形中三边的关系例1若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是( )A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8提示根据三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边进行判断．例2等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．16或20提示已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分类讨论．考点二三角形内角和定理例3一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形提示利用三角形内角和定理求出三角形中的角，再判断三角形的形状．考点三三角形内角和定理与外角性质的综合运用例4如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠A EC＝_______°．提示要求∠AEC的度数，只需求出∠CAE＋∠ACE的度数，由于AE、CE分别平分∠DAC、∠ACF，因此只需求出∠DAC＋∠ACF的值，此时利用外角性质可知∠DA C＋∠ACF＝180°＋∠B，从而解决了问题．考点四线段垂直平分线的性质．例5如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为_______°．提示要求∠EBC的度数可利用∠EBC＝∠ABC－∠ABE得到．由AB＝AC，∠A＝36°，利用三角形内角和可求得∠ABC的度数，由线段垂直平分线得到AE＝BE，从而有∠ABE＝∠A，问题顺利解决．考点五角平分线的性质例6 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D．若CD＝4，则点D到AB的距离是_______．提示因为D在∠BAC的平分线A D上，∠C＝90°，所以点D到AC的距离与到AB 的距离相等．考点六等腰三角形的性质例7如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_______°．提示根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边土的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可求得∠BAD的度数，例8 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( ) A．6 B．7 C．8 D．9提示由角平分线和平行线可得到等腰三角形，从而将MN的长度转化为BM＋CN的长．考点七等腰三角形的判定例9如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．求证：(1) BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．提示通过观察不难发现△ACB△BDA，从而得出BC＝AD，及∠CAB＝∠DBA，进而推出△OAB是等腰三角形．考点八勾股定理及直角三角形性质的应用例10如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1．AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )A ．(2，0)B ．(5－1，0)C ．（10－1，0）D ．(5，0) 提示 在Rt △ABC 中，由勾股定理得到AC 的长，根据作图可知AC ＝AM ，从而得到点M 的坐标．例11勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3．AC ＝4，点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形K l M ⊙的边上，则矩形K l M ⊙的面积为 ( )A ．90B ．100C ．110D ．121提示 延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AO 1P 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形K l M ⊙的长与宽，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【反馈练习】1．如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．1 82．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是 ( )A ．365B ．1225C ．94D ．3343．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，D C ＝2，则点D 到AB 边的距离是_______．4．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于D 、E ．若AB ＝5，AC ＝4，则△ADE 的周长是_______．5．(2012．巴中)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足关系式2220c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为_______．6．如图，AE ∥BC ，AE 平分∠DAC ．求证：AB ＝AC ．7．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE ＝CD ，A D 与BE 相交于点F ．(1)求证：△ABE ≌△CAD ；(2)求∠BFD 的度数．参考答案【考点例析】1.A2.C3.D4.66.5°5.36°6.47.358.D9.略 10.C 11.C【反馈练习】1．C 2.A 3.2 4.9 5．等腰直角三角形 6．(1)略 (2)60° 7.(1)略 (2)60°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学复习教案
课 题：特殊三角形（2）
教学目标：熟练运用等腰三角形概念、性质和判定及勾股定理、及其逆定理解决证明题、
阅读题、条件和结论探索题等大量新颖题。
教学说明：本单元的热点是等腰三角形的有关概念、性质和判定；等边三角形的有关概念、
性质和判定；勾股定理及其逆定理及相关的新颖题。
教学过程：
一．典型例题：
例1．已知：如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连结CE 、DE ，求证：EC=ED
例2．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1、S 2、S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3=225，则S 2=
例3．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1） 画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（2） 用这个图形证明色股定理；
（3） 假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中的所给的直角三角形
拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图，并能简单说明理由。
B A
C D
E A C B
S 3 S 2 S 1 a
b c c c
例4．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm、宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。
请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
例5．四年一度的国际数学家大会于2002年8月在北京召开，我校的孙海洋、陈晓莹两同学有幸参加了此次盛会。
大会的会徽如图（1），它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
（1）若大正方形的面积是13，每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积。
（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。
（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应的数据）
例6．设△ABC的三边分别为a、b、c，a和b是方程x2-(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根。
（1）试判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若△ABC为等腰三角形，求a、b、c的值。
二、小结
三、同步练习：
1．如图，在正方形ABCD 外作一正三角形ABE 。
BD 、EC 相交于点F ，则∠AFD 的大小是（ ）
A ．60°
B 50°
C 45°
D 75°
2．已知点A 为直线MN 外一点，点B 、C 分别为直线MN 上两点，且AC=5，AB=13，BC=12。
若点E 也在直线MN 上，且AE=7，则BE= A ．62 B ．6212- C ．6212± D ．6212+
3．底角为15°，腰长为a 的等腰三角形的面积是 。
4．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是中线，△ADE 是等边三角形，求证：BD=BE
5．如图，∠ACB=3∠B ，∠1=∠2，CD ⊥AD 于D ，求证：AB -AC=2CD
A
D C B
E
F A B C
E
D A B C D 1 2
6．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转n（0<n<90°），得正方形AB2C3D4，B1C1交CD于点E。
（1）求证：B1E=DE
（2）简要说明四边形AB1ED存在一个内切圆；
（3）若n=30°，AB=3，求四边形AB1ED内切圆的半径r 。
教后：
A
B
C
D
B1
C1
1
E。