第五章-误差基础.教学文案

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图6-1 误差统计直方图
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◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
第五章-误差基础.
§6.1 测量误差概述
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
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§6.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值）lX
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
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m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
上式中， 2 称为方差：
表示的 x=
离散程度
2lim 2 1 2 2 2 nli[m 2]
n
n
n n
称为标准差：
lim[2]lim[ ]
n n
n n
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测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：
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正态分布的特征
• 正态分布密度以 x 为对称轴,并在 x处
达到最大。
• 当 x时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近 线。
• 用求导方法可知，在 x处f(x)有两个拐
点。
• 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率
(抵偿性)：
li m 1 2 nli m 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
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§6.3 偶然误差的特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
…… ● 系统误差可以消除或减弱。
……
(计算改正、观测方法、仪器检校)
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3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
4.几个概念:
§6.4 衡量精度的指标
1.方差与标准差
由正态分布密度函数
y
x
1
exa2
22
正态分布曲线(a=0)
2
式中 a、为常数；e=2.72828…
令：xa ，上式为：
x=
y f ()
1
2
e 22
2
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标准差 的数学意义
yf() 1 e222
2
y 较小 较大
lim []
n
n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
m 21222n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
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P123表5-2
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m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
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§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差 钢尺尺长误差ld 钢尺温度误差lt 水准仪视准轴误差I
处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距)
• 例如一段距离采用往返丈量，如果往测属于必要观测，则返 测就属于多余观测；如对一个水平角观测了6个测回，如果第 一个测回属于必要观测，则其余5个测回就属于多余观测；
• 又例如一个平面三角形的水平角观测，其中两个角属于必要 观测，第三个角属于多余观测。
• 有了多余观测可以发现观测值中的错误，以便将其剔除或重 测。由于观测值中的偶然误差不可避免,有了多余观测，观测 值之间必然产生差值(不符值、闭合差)。根据差值的大小可 以评定测量的精度(精确程度)，差值如果大到一定的程度， 就认为观测值中有错误(不属于偶然误差)，称为误差超限。 差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为闭合 差的调整，以求得最可靠的数值。
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
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多余观测
• 为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，在测 量工作中一般要进行多于必要的观测，称为多余观 测。