哈三-状元真题 按知识点分类汇编---23.解直角三角形
解直角三角形的知识点总结
解直角三角形一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即sinA=ca,（2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即cosA=cb ,（3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即tanA=ba ，(4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系注意:锐角三角函数的定义应明确(1)c a，c b，b a，ab四个比值的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；（2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系（1）平方关系：122sin =∂+COS α (2)倒数关系：tan ａcota=1 (3)商数关系：∂∂=∂∂∂=sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
(2)()∂∂sin sin 22是的简写，读作“∂sin 的平方”，不能将∂∂22sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义；（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,1223030cossin22=•=∂+∂ ，而1cossin 22=+∂β就不一定成立。
解直角三角形(优秀课件)
P
答案: (2003200)米
O
45°
30°
B 400米 A
合作与探究
例2：如图,直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处,从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角 为30°和45°,求飞机的高度PO .
P
答案: (1003300) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图,直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处,从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角 为30°和45°,求飞机的高度PO .
图2
练习：海中有一个小岛A,它的周围8海里范围内有暗礁, 渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东 60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北 偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有 没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
练习
1. 海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向到航行, 在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A 在北偏到30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险？
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思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化〔化归思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题,如 果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线 ,构造出直角三角形.
当堂反馈
1.如图1,已知楼房AB高为50m,铁塔塔基距楼房地基间
的水平距离BD为100m,塔高CD为 (100 3 m50,则) 下
温故而知新
33
3
3tan
m
《解直角三角形》PPT课件
要会选择适当的三角比．
B
解：因为a2 + b2 = c2 , 所以
b = c2 - a2 = 63.52 -17.52 = 60.
A
b
C
由sin A = a = 17.5 = 0.28,得A = 16°15'37".
c 62.5
所以B = 90°- A = 90°-16°15'37"= 73°44'23".
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝
a
62.5 ．解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
下载
/jiaoa
n/
例2在 RtDAP论PB坛TC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52°.
解这个直：w角ww三. 角形 (边长精确到 0.01).
B
1ppt.
a
cn
PPT
A
课件
解：A =/nk/e9jia0°- B = 90°- 52°= 38°；
第23课 解直角三角形的应用
如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡
面距离为( A )
A．5 m
B．6 m
C．7 m
D．8 m
5．如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东 60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已 知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？ (参考数据： 2 ≈1.414, 3 ≈1.732)
解：(1)由题意得，四边形CDBG，HBFE为矩形， ∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2， 在Rt△AHE中，tan∠AEH＝ AH ，
HE
则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a， ∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2， 在Rt△ACG中，∠ACG＝45°， ∴CG＝AG＝1.9a－0.2，∴BD＝1.9a－0.2， 答：小亮与塔底中心的距离BD为(1.9a－0.2)米； (2)由题意得，1.9a－0.2＋a＝52， 解得：a＝18， 则AG＝1.9a－0.2＝34， ∴AB＝AG＋GB＝35.7， 答：慈氏塔的高度AB为35.7米．
PPT课程 解直角三角形的应用
主讲老师:
1．某坡面的坡度是 3 ∶1，则坡角α是____6_0___度．
2. (2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖 直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若 测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为___9_._5___m．(精确到0.1m， 参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
解：作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，AD＝
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
解直角三角形(整理)ppt
3.在△ABC中，AB＝AC，如果tanB＝4:3， A 那么sin ＝________.
2
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
7. 在 R t ABC中 ，C=90 , si nA= , 5 求 co sA, t an A, 的 值.
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
8.如图小正方形的边长为1，连 结小正方形的三个顶点得到 ABC，则AC边上的高是（ ）
A) 3 2 3 B) 5 10 3 C) 5 5 4 D) 5 5 2
A
C
B
点评：作BC边上的高，利用 面积公式即可求出AC边的高， 面积法是解决此类问题的有 效途径
16
30°
20
例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
例：我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向，楼高都 是16米，某时太阳光线与水平线的夹角为30 °，如果南 北两楼间隔仅有20米，试求：（1）此时南楼的影子落 在北楼上有多高？（2）要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚，两楼间的距离应当是多少米？
C 山坡 P O A E B 水平地面
方位角！
一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶 鱼群，在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上； 40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东 30°的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径 的范围内是多暗礁的危险区。这渔船如果继续向东追 赶鱼群，有没有进入危险区的可能？ C
《解直角三角形》PPT课件
C
5B
例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
不好，会增大结果的误差，应尽可能用原题中的数据.
注意事项：
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积
误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
A
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边 （2）有斜用弦, 无斜用切；
50
﹖
宁乘毋除, 取原避中。
（2）如何求∠A?
已知的BC和AC的比构成tanA,用 tanA=BC:AC来求.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角 三角形.（角度精确到1”）
（3）如何求∠B?
B
利用∠A+∠B=90°.
8
（4）如何求AB?
A
C
15
利用勾股定理.
B
解：在Rt△ABC中
8
tan A BC 8 0.53, AC 15
由边长可
A
15 C
∴∠A=28°
导出角度
sin28°≈0.47, cos28°≈0.88,
∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得
tan28°≈0.53
AB AC2 BC2 82 152 17
(完整word版)解直角三角形超经典例题讲解
课题解直角三角形 授课时间：备课时间：1. 了解勾股定理教学目标2. 了解三角函数的概念3.学会解直角三角形重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形考点及考试要求 各考点教学方法：讲授法教学内容（一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质1、 直角三角形的两个锐角互余可表示如下：/ C=90 ° / A+Z B=90°2、 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
Z A=30° >BC 」AB2/ C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半/ ACB=90 、 CD= 1 AB=BD=AD2可表示如下:可表示如下:为AB 的中点D4、 勾股定理直角三角形两直角边 a , b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a 2 b 2 5、 摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项Z ACB=9C °CD 2 AD ?BD fJ AC 2AD ?AB CD! ABBC 2BD ?AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB?CD=A(? BC7.图中角 可以看作是点 A 的角也可看作是点B 的 角；(1)每条9、(1)坡度(或坡比)是坡面的 铅直 高度(h ) h记作i,即i = I ;(2) 坡角——坡面与水平面的夹角。
记作a,有(3 )坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角a 就越④锐角A 的邻边与对边的比叫做/A 的余切，记为cotA ，即cotA2、 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做/ A 的锐角三角函数3、 一些特殊角的三角函数值三角函数0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °sin a丄2返2乜21cos a1也2旦212tan a也3 1不存在cot a不存在 <31 34、各锐角三角函数之间的关系 (1 )互余关系 sinA=cos(90 — A), tanA=cot(90 — A), (2 )平方关系sin A cos A(3 )倒数关系和水平长度(I )的比。
哈三-状元真题 按知识点分类汇编---17.全等三角形
-5-
∴△CAE′≌△BAF′， ∴CE′=BF′． （3）存在 CE′∥AB， 理由：由（1）可知 AE=BC，所以，在△ AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，E 点经过的 路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两点， 如图：①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形， ∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°， ∴α=∠CAM=36°． ②当点 E 的像 E′与点 N 重合时， 由 AB∥l 得，∠AMN=∠BAM=72°， ∵AM=AN， ∴∠ANM=∠AMN=72°， ∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°， ∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°． 所以，当旋转角为 36°或 72°时，CE′∥AB．
A．15°
B．25°
C．30°
D．10°
考点：三角形的外角性质． 专，根据三角形内角和定理即可得出结论． 解答：解：∵Rt△ CDE 中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°， ∵△BDF 中，∠B=45°，∠BDF=120°， ∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°． 故选 A． 点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和 是解答此题的关键． （2013•益阳）如图，在△ ABC 中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于 E．求证：△ ABD∽△CBE．
-2-
题的关键．
（2013，娄底）如图，AB AC ，要使△ABE≌△ACD ，应添加的条件是_______________.
（添加一个条件即可）.
2013•湘西州）如图，一副分别含有 30°和 45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中 ∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）
中考数学一轮复习《解直角三角形及其应用》知识梳理及典型例题讲解课件
C. m
D.250 m
命题点1 锐角三角函数
1.如图，PA，PB分别与☉O相切于点A，B，连接PO并延长，与☉O交于点C，D.若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ A ）
A.
B.
C，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ B ）
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则AC的长为 2 .
30
2
知识点3 解直角三角形的实际应用
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角
坡度（坡比）
坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角.i＝tanα＝⑭
1
1
知识点2 解直角三角形
三边关系
a2＋b2＝⑨ c2
两锐角关系
∠A＋∠B＝⑩ 90°
边角关系
sinA＝cosB＝⑪ ；cosA＝sinB＝⑫ ；tanA＝⑬
c2
90°
【提分小练】
4.已知锐角α满足3tanα－＝0，则锐角α的度数为 30 °.
34
5.（2022·贵阳）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7 m，测速仪C和E之间的距离CE＝750 m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口点A处的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在点B处的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s.（图中所有的点都在同一平面内，参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
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解直角三角形
一.选择题
1．（2015•衡阳,第12题3分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）
A．50B．51 C．50+1 D．101
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．
解答：解：设AG=x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG=，
∴EG==x，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG=，
∴CG==x，
∴x﹣x=100，
解得：x=50．
则AH=50+1（米）．
故选C．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
2．（2015•聊城，第10题3分）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（）
tan41
C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知
∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y=B．y=C．y=2D．y=3
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
分析：由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD 与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由
∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH 中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
解答：解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x，
∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE•tan30°=x，
∴EF=2CF=x，
∴S△DEF=DE•CF=x2，
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG=MG=FE=x，
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，
∴△FMG是等边三角形，
∴S△FGH=x2，
∴S菱形FGMH=x2，
∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2．
故选B．
点评：此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形是关键．
4．（2015•甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠
ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，
则点P的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5。