2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第14讲 函数模型及其应用

1 2 B．y＝2(x －1)
1x C．y＝log2x D．y＝(2)
【解析】 将各组数据代入验证，选 B.
3.2003 年 6 月 30 日到银行存款 a 元， 若年利率为 x 且按 复利计算到 2011 年 6 月 30 可取__________元．( A．a＋8ax C．a(1＋x)8 B．a(1＋x)7 D．a(1＋x)9 )
二
构造函数模型问题
【例 2】(2012· 山东实验中学)某公司计划投资 A、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 与投资金额成正比，其关系如图 1；B 产品的利润与投 资金额的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润 与投资金额单位：万元)．
(1)分别将 A、B 两产品的利润表示为投资金额的函数关 系式； (2)该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产 品中．问怎样分配这 10 万元投资，才能使公司获得最大利 润？其最大利润为多少万元？
loga8＝3 数，所以有 ⇒a＝2， loga64＝6 0 0≤x<8 log 2x 8≤x≤64 所以 y＝ 1 10x x>64
(2)易知 x≥8. 当 8≤x≤64 时，要使 y∈[4,10]， 则 4≤log2x≤10⇒16≤x≤1024， 所以 16≤x≤64. 1 当 x>64 时，要使 y∈[4,10]，则 x∈[4,10]⇒ 10 40≤x≤100，所以 64＜x≤100. 综上可得，当年销售额 x 在[16,100](万元)内时，y ∈[4,10](万元)．
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与 时间 t(小时)之间的函数关系式为
10t y＝ 1 t－0.1 16
0≤t≤0.1 t>0.1
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫 克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要 经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
【解析】 (1)设投资 x 万元，A 产品的利润为 f(x)万元， B 产品的利润为 g(x)万元， 依题意可设 f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x. 1 由图 1，得 f(1)＝0.2，即 k1＝0.2＝ ， 5 4 由图 2，得 g(4)＝1.6，即 k2× 4＝1.6，所以 k2＝ . 5 1 4 故 f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ k(x≥0)． 5 5
【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应 量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求 值、给定范围求范围或最值”问题，对自变量的分类很重 要！
素材1
某地区的一种特色水果上市时间能持续 5 个月，预测 上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而 中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模 拟函数：f(x)＝p·x，f(x)＝logqx＋p，f(x)＝(x－1)(x－q)2＋ q p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q>2).
(1)若建立函数模型制定奖励方案， 试用数学语言表述公 司对奖励函数模型的基本要求； x (2)现有两个奖励函数模型： ①y＝ ＋2； ②y＝4lgx－3， 150 试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
【解析】 (1)设奖励函数模型为 y＝f(x)，则公司对函 数模型的基本要求是： 当 x∈[10,1000]时， ①f(x)是增函数； ②f(x)≤9 恒成立； x ③f(x)≤ 恒成立． 5
【解析】有款利息按复利计算，存的银行款到每年的 6 月 30 日构成以 a 为首项，以(1＋x)为公比的等比数列，到 2011 年 6 月 30 日刚好 8 年整的可取出 a(1＋x)8，故选 C.
4.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始 时，漏斗盛满液体，经过 3 分钟漏完．已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度， 则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是( )
⑤对数型函数模型：f x m log a x n (m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)； ⑥幂函数型模型：f x ax n b (a、b、n为常数，a 0，n 0)； ⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)， 这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
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一
已知函数模型问题
【例 1】 (2012· 厦门云中)某公司对营销人员有如下规定： (ⅰ) 年销售额 x 在 8 万元以下，没有奖金；(ⅱ)年销售额 x(万元)，x ∈[8,64]时，奖金为 y 万元，且 y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额 越大， 奖金越多； (ⅲ)年销售额超过 64 万元， 按年销售额的 10% 发奖金．
p＝4 (2)由 f(1)＝4，f(3)＝6 得 ， 2 3－q ＋p＝6 2· p＝4 解得 (其中 q＝2 舍去)． q＝4
所以 f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4 ＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤6)．
(3)f ′(x)＝3x2－18x＋24. 令 f ′(x)<0，即 3x2－18x＋24<0，解得 2<x<4. 即函数 f(x)＝x3－9x2＋24x－12 在区间(2,4)上单调递减， 所以这种果品在 5,6 月份价格下跌．
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
【解析】 (1)因为 f(x)＝p·x 是单调函数，f(x)＝logqx＋ q p 也是单调函数，而 f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p 中 f ′(x)＝3x2 －(4q＋2)x＋q2＋2q. q＋2 令 f ′(x)＝0 得 x＝q，x＝ . 3 q＋2 因为 q>2，所以 q≠ ，f′(x)有两个零点(或由 Δ>0 3 也可说明)， 可以出现两个递增区间和一个递减区间， 所以应该选 f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p 为其价格模拟函数
(1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式； (2)某营销人员争取年奖金 y∈[4,10](万元)，年销售额 x 在什么范围内．
【分析】 奖金 y 随销售额 x 的不同取值而适用不 同函数模型，故为分段函数，找准各段内对应解析式， 分段研究，分段求值．
【解析】 (1)依题意 y＝logax 在 x∈[8,64]上为增函
0≤t≤0.1 t>0.1
1 t－0.1 (2)由 y＝( ) ≤0.25，得 2t－0.2≥1，则 t≥0.6， 16 所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
三
选择拟合函数问题
【例 3】(2011· 杭州学军中学高三第二次月考)某创业投 资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10 万元～ 1000 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖 励方案，资金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增 加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资收益 的 20%.
【解析】 (1)当 0≤t≤0.1 时， 函数图象是线段 y＝10t(0≤t≤0.1)； 1 t－a 当 t>0.1 时，函数图象是指数函数 y＝( ) ； 16 1 0.1－a 当 t＝0.1 时，由 1＝( ) ，得 a＝0.1. 16
10t 所以 y＝ 1 t－0.1 16
【点评】 构造函数模型问题，应根据图表、图象中 显示数据或题中给定的关系式，再利用常见结论，公式等 等，写出函数解析式，将实际问题转化为数学问题，其中 单位一定要统一，自变量的范围要使实际问题有意义．
素材2
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消
毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函 1 t－a 数关系式为 y＝( ) (a 为常数)，如图所示．根据图中提供 16 的信息，回答下列问题：
x (2)①对于函数模型 f(x)＝ ＋2； 150 当 x∈[10,1000]时，f(x)是增函数， 1000 20 则 f(x)max＝f(1000)＝ ＋2＝ ＋2<9，所以 f(x)≤9 150 3 恒成立． fx 1 2 因为函数 ＝ ＋ 在[10,1000]上是减函数， x 150 x fx 1 1 1 所以[ ]max＝ ＋ > . 150 5 5 x x 从而 f(x)≤ 不恒成立． 5 故该函数模型不符合公司要求．
(2)设 B 产品投入 x 万元， A 产品投入 10－x 万元， 则 设企业利润为 y 万元， 1 4 由 (1) 得 y ＝ f(10 － x) ＋ g(x) ＝ － x ＋ x＋ 5 5 2(0≤x≤10)． 1 4 1 14 2 因为 y＝－ x＋ x＋2＝－ ( x－2) ＋ ，0≤ x 5 5 5 5 ≤ 10， 14 所以当 x＝2，即 x＝4 时，ymax＝ ＝2.8. 5 因此当 A 产品投入 6 万元，B 产品投入 4 万元时， 该企业获得最大利润为 2.8 万元．
1.f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对 这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是( B ) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组数 据： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律，其中最接近的一个是( A．y＝2x－2 )