不确定性原理的前世今生 · 数学篇(四)
千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜
千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。
和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
作为一本数学趣题集， Mathematical Puzzles 一书中竟把仍未解决的数学趣题单独列为一章，可见这些问题有多么令人着迷。
我从这一章里挑选了一些问题，在这里和大家分享一下。
这本书是 04 年出版的，书里提到的一些“最新进展”其实已经不是最新的了；不过我也没有仔细考察每个问题当前的进展，因此本文的信息并不保证是 100% 准确的，在此向读者们表示歉意。
这篇文章很长，大家不妨用自己喜欢的方式马克一下，一天读一点。
天使和恶魔天使和恶魔在一个无限大的棋盘上玩游戏。
每一次，恶魔可以挖掉棋盘上的任意一个格子，天使则可以在棋盘上飞行 1000 步之后落地；如果天使落在了一个被挖掉的格子上，天使就输了。
问题：恶魔能否困住天使（在天使周围挖一圈厚度 1000 的坑）？这是 Conway 大牛的又一个经典谜题。
经常阅读这个 Blog 的人会发现， Conway 大牛的出镜率极高。
不过这一次，Conway 真的是伤透了不少数学家的脑筋。
作为一个很“正常”的组合游戏，天使与恶魔的问题竟然一直没能得到解决。
目前已经有的结论是，如果天使每次只能移动一步，恶魔一定能获胜。
不过，天使只要能每次飞两步，似乎就已经很无敌了。
当然，魔鬼的优势也不小——它不用担心自己“走错”，每多挖一个坑对于它来说都是有利的。
话说回来， Conway 本人似乎仍然相信天使能赢——他悬赏了 1000 美元征求恶魔必胜的证明，但只悬赏了 100 美元征求天使必胜的证明。
数学史三次危机
无理数的发现——第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。
第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。
危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？——第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。
数的故事与传说
数的故事与传说数学是一门神奇而古老的学科，它以数量、结构、变化和空间为研究对象，伴随人类文明的发展而存在。
在数学的世界里，有许多令人着迷的故事和传说，它们既蕴含了丰富的数学知识，又富含了人类对数学的探索和理解。
本文将带您一起探索数的故事与传说，感受数学的魅力。
一、统计之美：数的故事在数字的世界中，统计学是一门重要的分支。
它以数据为基础，通过搜集、整理、分析和解释数据，帮助我们了解事物的规律和趋势。
统计学是数学在现实生活中的应用，它帮助我们做出合理的决策。
1. 盖瑟尔问题统计学中的盖瑟尔问题是一个经典的悖论。
问题是这样的：一艘船上有100个水桶，每个水桶中有50%的几率装满了水，另外50%的几率是空的。
现在我们随机选择一个水桶，从中取出一杯水。
观察发现，这杯水是满的。
那么，另外99个水桶中装满水的比例是多少呢？直觉告诉我们，由于选择的水桶是随机的，其他水桶中装满水的比例应该还是50%。
然而，事实并非如此。
根据统计学的计算，其他水桶中装满水的比例达到了99%。
这是因为，如果我们随机选择的水桶是那个装满水的水桶，那么其他水桶中装满水的比例就是100%；而如果我们选择的是一个空桶，那么其他水桶中装满水的比例仍然是0%。
因此，经过计算，其他水桶中装满水的比例为(1/2) * 1% + (1/2) * 100% = 99%。
2. 蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题也是一个著名的统计学问题。
问题是这样的：你站在主持人面前，面前有三扇门，其中一扇门后面是一辆豪车，而另外两扇门后面是山羊。
你选择一扇门后，主持人会打开另外两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。
此时，你可以选择保持原来的选择，也可以选择换另外一扇门。
问你应该保持原来的选择还是换门，以获得豪车的概率更大？直觉告诉我们，由于主持人已经打开了一扇门露出了山羊，剩下的两扇门应该是相等概率的。
然而，事实并非如此。
根据统计学的计算，如果你选择保持原来的选择，那么获得豪车的概率是1/3；而如果你选择换门，那么获得豪车的概率是2/3。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜
悬赏十万马克
德国的沃尔夫斯克勒 Wolfskehl (1856 - 1908)
在最后时刻挽救自杀 德国商人，学习医学， 1883 年跟库麦尔学习 订立遗嘱，悬赏十万马克，奖赏在他死后一百 年内能证明“费马最后定理”的人
“证明这种不可能 性的尝试，提供了 一个明显的例子， 说明这样一个非常 特殊、似乎不十分 重要的问题会对科 学产生怎样令人鼓 舞的影响”。
费尔马小猜想
• 1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一 个有趣的现象： n 1 2 2 • 当n=1时，2 +1=2 +1=5； n 2 2 2 • 当n=2时，2 +1=2 +1=17； n 3 2 2 • 当n=3时，2 +1=2 +1=257； n 4 2 2 • 当n=4时，2 +1=2 +1=65537； n 2 • 猜测：只要n是自然数， 2 +1一定是质数 • 1732年，欧拉进行了否定
附加的评注： “我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里 空白太小，写不下。”
两个问题
（1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？ 因为经过三百多年，都没有人能作出反例， 所以人们相信是它是正确的，是一个定理。 （2）费马提出这命题后三十年才去世，为什 么会把这个命题做“费马最后定理”呢？ 因为费马曾经提出过的命题，都已经被证实 或否定，只剩下这一题，未能获证。
同时，柯西（Cauchy）亦宣布他早 已取得“费马最后定理”的初步证 明
3月22日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证 明。不过，对于“唯一分解定理”的问题，二 人都未能成功地解决。 5月24日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指 出“唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示， 拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二 人的争论。
历史上的三次数学危机
2
S t
。
∴
S 1 gt0 g (t ) t 2
（ *）
10
当 t 变成无穷小时，右端的 变成无穷小，因而上式右端就可以认为 是 gt ，这就是物体在 0 它是两个无穷小之比。
在美国学者麦克· 哈特所著的《影响人类历史进程的100名人排行榜》，牛顿名列 第2位，仅次于穆罕默德。书中指出：在牛顿诞生后的数百年里，人们的生活方 式发现了翻天覆地的变化，而这些变化大都是基于牛顿的理论和发现。在过去 500年里，随着现代科学的兴起，大多数人的日常生活发生了革命性的变化。同 1500年前的人相比，我们穿着不同，饮食不同，工作不同，更与他们不同的是 我们还有大量的闲暇时间。科学发现不仅带来技术上和经济上的革命，它还完全 改变了政治、宗教思想、艺术和哲学。
3. 危机的解决 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情 了。
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的
十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学
派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学
派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿
29
① 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但
那是初步的、粗糙的。
② 达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论 去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能 提供这样的理论。 ③ 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格
他在1688年发表的著作《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和 三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世 界的科学观点，并成为现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星 运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运 动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝 疑虑，并推动了科学革命。
历史上的三次数学危机+课件
第一次数学危机的解决
戴德金分割定义无理数
有理数集ℚ的一个分割为集合, ，满足：
• ∪=ℚ
• ∩=∅
• 对任意 ∈ , ∈ ，有 <
则对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
戴德金（1831-1916）
德国数学家
① 集合中有最大数， 中无最小数
其中, 均为整数
例： 与
= ×
=×
万物皆数！
例： 与 与
= ×
= ×
= ×
第一次数学危机的产生
1
=?
1
希帕索斯，毕达哥拉斯的学生
第一次数学危机的产生
希帕索斯发现： 与 无法公度！
本质原因： 是无理数
② 集合中无最大数， 中有最小数
③ 集合中无最大数， 中无最小数
④ 集合中有最大数， 中有最小数
第一次数学危机的解决
对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
①集合中有最大数， 中无最小数
②集合中无最大数， 中有最小数
③集合中无最大数， 中无最小数
④集合中有最大数， 中有最小数
情况④不可能出现（为什么）
情况③可能出现，此时就称该切割确定了一个无理数
第一次数学危机的解决
总结：
• 有理数之间存在“空隙”，那些空隙就对应了无理数
• 实数集=有理数集∪无理数集
• 可以继续由戴德金分割证明，实数间不存在空隙，从
逻辑探秘哥德尔不完备性定理与数学基础
逻辑探秘哥德尔不完备性定理与数学基础逻辑探秘：哥德尔不完备性定理与数学基础数学，这门古老而深邃的学科，一直以来都被视为人类理性思维的巅峰。
它的体系建立在一系列公理和推理规则之上，旨在追求绝对的确定性和真理。
然而，哥德尔不完备性定理的出现，却如同一场地震，撼动了数学大厦的基石，让人们对数学的本质和基础有了全新的认识。
要理解哥德尔不完备性定理，我们首先得回到数学的基础——公理系统。
公理系统就像是一个游戏的规则手册，它规定了一些基本的假设和原则，然后通过逻辑推理，从这些公理中推导出各种各样的定理和结论。
例如，欧几里得几何的公理系统就定义了点、线、面等基本概念，并由此推导出了众多我们熟悉的几何定理。
在很长一段时间里，数学家们都坚信，只要给定一个足够强大和完善的公理系统，就能够推导出所有的数学真理，而且这个系统自身不会存在矛盾。
这是一个非常美好的愿景，因为它意味着数学是一个完全自洽、完美无缺的体系。
然而，哥德尔的工作打破了这个美梦。
他证明了，对于任何一个足够强大的公理系统（包含了基本的算术运算），都存在着既不能被证明为真也不能被证明为假的命题。
这就好比在一个看似完美的规则手册中，突然发现了一些无法用规则来判定的模糊地带。
那么，哥德尔是如何做到这一点的呢？这就涉及到他天才的编码技巧。
哥德尔将数学命题和证明都编码成了数字，从而把关于数学的问题转化成了关于数字的问题。
通过这种巧妙的编码，他能够在数学系统内部谈论数学系统自身的性质。
具体来说，哥德尔构造了一个自指的命题，类似于“这句话是假的”这样的悖论。
这个命题大致的意思是“这个命题在这个公理系统中不可证明”。
如果这个命题能够被证明，那么就意味着它是假的，从而产生矛盾；如果这个命题不能被证明，那么就正如它所说的，它在这个公理系统中不可证明。
哥德尔不完备性定理的影响是极其深远的。
首先，它让我们认识到数学的真理并不是完全可以被一个有限的公理系统所囊括的。
这并不是说数学是不可靠的，而是说数学的探索是永无止境的，永远有新的真理等待我们去发现。
数学文化网课新版答案
数学文化数学文化（一）12002年，为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”的是（D）。
A、邓东皋B、钱学森C、齐民友D、陈省身2“数学文化”一词最早进入官方文件，是出现在中华人民共和国教育部颁布的（C）。
A、《小学数学课程标准》B、《初中数学课程标准》C、《高中数学课程标准》D、《大学数学课程标准》3数学的研究对象是从众多物质形态种抽象出来的人脑的产物，这是它与其他自然科学研究的一个共同点。
（）正确答案：×4广义的数学文化，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及他们的形成和发展。
（）正确答案：×数学文化（二）11998年以后，教育部的专业目录里规定了数学学科专业，包括数学与应用数学专业、（C）。
A、统计学B、数理统计学C、信息与计算科学专业D、数学史与数学文化2数学目前仅仅是一种重要的工具，要上升至思维模式的高度，还需学者们的探索。
（）正确答案：×3数学素养的通俗说法，是指在经过数学学习后，将所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。
（）正确答案：√数学文化（三）1“数学文化”课是以数学问题为载体，以教授数学系统知识及其应用为目的。
（）正确答案：×2反证法是解决数学难题的一种有效方法。
（）正确答案：√数学文化（四）1“哥尼斯堡七桥问题”最后是被谁解决的？（B）A、阿基米德B、欧拉C、高斯D、笛卡尔2在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（D）。
A、分析B、概括C、推理D、抽象3数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。
这句话出自（C）。
A、阿基米德B、欧拉C、恩格斯D、马克思4从牛顿的著作《自然哲学之数学原理》可以看出，他是不支持数学定义中的“哲学说”的。
（）正确答案：×5罗素关于数学概念的描述，是从数学的公理体系角度而言的。
（）正确答案：√数学文化（六）1一堆20粒的谷粒，甲乙两个人轮流抓，每次可以抓一粒到五粒，规定谁抓到最后一把谁赢。
2023年小学数学《可能性》说课稿(精选5篇)
2023年小学数学《可能性》说课稿（精选5篇）小学数学《可能性》说课稿1一、说教材：本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学三年级上册第八单元可能性的内容。
在现实世界中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率论正是研究不确定性的规律的数学分支。
标准将概率作为义务教育数学课程的四个学习领域之一统计与概率中的一部分，从第一学段起就安排了有关的学习内容。
本单元主要是教学事件发生的不确定性和可能性，使学生初步体验现实世界中存在着不确定的现象,并知道事件发生的可能性是有大小的。
这部分内容可用四个课时来教学。
我讲的主要是第1课时，例1和例2的内容，使学生初步体验在现实世界中有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，下面我就本节课说一说教学目标。
二、说教学目标：1、知识与技能:（1）通过具体的操作活动，让学生直观感受到有些事件的发生是确定的，有些事件的发生是不确定的。
（2）结合具体的问题情景，能用一定、不可能、可能简单描述事件发生结果。
2、过程与方法:（1）创设有趣的活动和游戏，如摸小正方体实验、涂色活动等，让学生经历猜想实践验证推测的过程，体验事件发生的可能性和不确定性。
（2）充分关注学生的学习过程，对积极参与、勇于交流的行为给予充分的肯定和表扬。
3、情感、态度与价值观 :让学生在同伴的合作和交流中获得良好的情感体验，感受到数学与生活的密切联系。
三、说重点、难点：重点：通过具体的操作活动，初步体验到有些事件的发生是确定的，有些事件的发生是不确定的。
难点：结合具体情境或生活中的某些现象，能够描述简单试验所有可能发生的结果。
四、说教学策略：1、说学情：学生在平时的说话中也会用到可能这个词，说明学生对可能性的认识已经有了一定的基础，已经知道生活中的事情是不确定发生的了。
2、设计理念：本着让学生学习身边的数学，学习生活中的数学的理念。
让学生在自己的亲身经历中感悟、体会、认识、基于这样的理念，设计了一个个游戏，让学生去动手实践，感受数学知识就在身边。
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不确定性原理的前世今生 · 数学篇（四）
到二十世纪末，人们对「信号」这个词的理解已经发生
了微妙的变化。如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信
号，人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶，
信号已经越来越多地对应于一个离散的数组。毫无疑问，这
是电子计算机革命的后果。
在这样的情形下，「不确定性原理」也有了新的形式。在连
续情形下，我们可以讨论一个信号是否集中在某个区域内。
而在离散情形下，重要的问题变成了信号是否集中在某些离
散的位置上，而在其余位置上是零。数学家给出了这样有趣
的定理：
一个长度为N的离散信号中有a个非零数值，而它的傅立叶
变换中有b个非零数值，那么a+b≥2√N。
也就是说一个信号和它的傅立叶变换中的非零元素不能都
太少。毫无疑问，这也是某种新形式的「不确定性原理」。
在上面的定理中，如果已知N是素数，那么我们甚至还有强
得多的结论（它是N.Chebotarev在1926年证明的一个定理
的自然推论）：
一个长度为素数N的离散信号中有a个非零数值，而它的傅
立叶变换中有b个非零数值，那么a+bN。
不幸的是这里「素数」的条件是必须的。对于非素数来说，
第二条命题很容易找到反例，这时第一条命题已经是能够达
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到的最好结果了。
这些定理有什么用呢？如果它仅仅是能用来说明某些事情
做不到，就像它字面意思所反映出的那样，那它的用处当然
相对有限。可是——这无疑是辩证法的一个好例证——这样
一系列宣称「不确定」的定理，事实上是能够用来推出某些
「确定」的事实的。
设想这样一种情况：假定我们知道一个信号总长度为N，已
知其中有很大一部分值是零，但是不知道是哪一部分（这是
很常见的情形，大多数信号都是如此），于此同时，我们测
量出了这个信号在频域空间中的K个频率值，但是KN（也就
是我们的测量由于某些原因并不完整，漏掉了一部分频域信
息）。有没有可能把这个信号还原出来呢？
按照传统的信号处理理论，这是不可能的，因为正如前面所
说的那样，频域空间和原本的时空域相比，信息量是一样多
的，所以要还原出全部信号，必须知道全部的频域信息，就
象是要解出多少个未知数就需要多少个方程一样。如果只知
道一部分频域信息，就像是只知道K个方程，却要解出N个
未知数来，任何一个学过初等代数的人都知道，既然KN，解
一定是不唯一的。
但是借助不确定性原理，却正可以做到这一点！原因是我们
关于原信号有一个「很多位置是零」的假设。那么，假如有
两个不同的信号碰巧具有相同的K个频率值，那么这两个信
第 3 页
号的差的傅立叶变换在这K个频率位置上就是零。另一方面，
因为两个不同的信号在原本的时空域都有很多值是零，它们
的差必然在时空域也包含很多零。不确定性原理（一个函数
不能在频域和时空域都包含很多零）告诉我们，这是不可能
的。于是，原信号事实上是唯一确定的！
这当然是一个非常违反直觉的结论。它说明在特定的情况
下，我们可以用较少的方程解出较多的未知数来。这件事情
在应用上极为重要。一个简单的例子是医学核磁共振技术
（很多家里有重病患者的朋友应该都听说过这种技术）。核
磁共振成像本质上就是采集身体图像的频域信息来还原空
间信息。由于采集成本很高，所以核磁共振成像很昂贵，也
很消耗资源。但是上述推理说明，事实上核磁共振可以只采
集一少部分频域信息（这样成本更低速度也更快），就能完
好还原出全部身体图像来，这在医学上的价值是不可估量
的。
在今天，类似的思想已经被应用到极多不同领域，从医学上
的核磁共振和X光断层扫描到石油勘测和卫星遥感。简而言
之：不确定性可以让测量的成本更低效果更好，虽然这听起
来很自相矛盾。
糟糕的是，本篇开头所描述的那个不确定性定理还不够强，
所能带来的对频域测量的节省程度还不够大。但是数学上它
又是不可改进的。这一僵局在本世纪初被打破了。E.Candès
第 4 页
和陶哲轩等人证明了一系列新的不确定性原理，大大提高了
不等式的强度，付出的代价是……随机性。他们的定理可以
粗略叙述为：
一个长度为N的离散信号中有a个非零数值，而它的傅立叶
变换中有b个非零数值，那么a+b以极大概率不小于
N/√(logN)乘以一个常数。
这里的「极大概率」并不是一个生活用语，而是一个关于具
体概率的精确的数学描述。换言之，虽然在最倒霉的情况下
不确定性可以比较小，但是这种情况很罕见。一般来说，不
确定性总是很大。于是可以带来的测量上的节约也很大。
这当然也是一种「不确定性原理」，而且因为引入了随机性，
所以在某种意义上来说比原先的定理更「不确定」。在他们
的工作的基础上，一种被称为「压缩感知」的技术在最近的
五六年内如火如荼地发展起来，已经成为涵盖信号处理、信
息提取、医学成像等等多个工程领域的最重要的新兴工程技
术之一。
不过，这些后续的发展估计是远远超出海森堡的本意了。（