人教版九年级下册数学课件：27.2.1第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2021年人教版九年级下册数学27 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似课件
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
D
∴ AD AE .
AB AC
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
B
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
E C
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
44
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，
且
AD = CD ，求证 ∠ACB=90°． CD BD
C
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵ AD CD，
AD
B
CD BD
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
第二十七章
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判 定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点)
A
∴ AB AC . AE AD
D
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
B
∴ △ABC ∽△AED.
E C
课堂小结
27.2.1相似三角形的判定(2)课件2024-2025学年人教版数学九年级下册
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
三、注意该定理在三角形中的应用
四、平行于三角形一边的直线和其他两边(或延 长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的
相似三角形，并说明理由。
A
A
A
B
D
E
D
E
O
F
G
E
F
B
F
C
图1
DE∥BC ，DF∥AC
B 图2
DE∥FG//BC
CC
D
图3
AB∥EF∥CD,
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，
DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
A
D E F
B
G H I
C
新知应用
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，
OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OA
OF OC
.
EF∥BC，
OF OC
OE ， OB
OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
符号语言：
∵DE//BC,
∴△ABC∽△A’B’C’
思考
如图 DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系？
方法一：过点E作EF//DB交BC 的延长线于F
最新人教版九下数学新课标教学课件 27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定
D B'
∴ △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴
A' D A' B'
A' E A' C'
.
B
E C' A
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴
A' D A' B'
A' E A' C'
=
AC ， A' C'
∴DE=
1 2
AC
，DF=
1 2
BC DF EF 1 AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
探究
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使∠A =∠A′， AB AC k . 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量
∴ DE BC
BC ， AE BC AC
AC AC
.
D B'
∴ DE = BC，A′E = AC. ∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
A
C A'
E C'
归纳
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
A'
AB BC AC
A
∵
AB BC
AB 12 3 BC 18 3 AC 24 3
∴
AB AB
BC = AC , BC AC
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
《27.2.1 相似三角形的判定(第3课时)》教学设计-人教九下优质课精品
27.2.1相似三角形的判定(第3课时)一、内容和内容解析1．内容判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．内容解析全等是相似中放缩比例为1的特殊情形，这为我们提供了一个思路：类比判定两个三角形全等的“SSS”“SAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法．在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过作与△A'B'C'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定方法的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．二、目标和目标解析1．目标(1)理解三角形相似的两个判定定理．(2)会运用三角形相似的两个判定定理解决简单的问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：理解两个判定定理的含义，能分清条件和结论，能用文字语言、图形语言和符号语言表示．达成目标(2)的标志是：会用两个判定定理判定两个三角形相似，从而解决简单的问题．三、教学问题诊断分析在两个判定定理的证明过程中，教科书作了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等，这种转化的方法学生往往难以想到．其中通过线段的比相等证明线段相等，不同于以往常用的证明线段相等的方法，也会给定理的证明带来一定难度．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明．四、教学过程设计 1．问题引入，类比猜想问题1 (1)两个三角形全等有哪些简便的判定方法？(2)全等是相似比为1的特殊情形．如图1，类比三角形全等的判定，判定△ABC 与△A'B'C'相似，是否有简便的判定方法？你有什么猜想？师生活动：问题(1)由学生口答．问题(2)组织学生分小组讨论，然后全班交流．如果学生对“两角对应相等的两个三角形相似”是否正确存在疑问，可存疑，留在下一节课解决．对学生提出的判断三角形相似的方法进行归纳整理，指出本节课先研究“三边”和“两边及其夹角”的情形．设计意图：通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维方式，让学生猜想出两三角形相似的简单判定方法，从而引出下一步要探究的问题．2．画图探究，初步感知问题2 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足B A AB ''＝C B BC ''＝C A AC''＝k ，那么能否判定这两个三角形相似？师生活动：(1)画图探究．教师引导学生任意画△ABC ，取一个便于操作的k 值(如21，2等)，得到△A'B'C'的三边长，再作出△A'B'C'．指导学生把画好的三角形剪下，比较它们的对应角是否相等，判断这两个三角形是否相似．(2)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，让学生归纳发现的结论．并说明k ＝1时两个三角形全等，即全等是相似的特殊情况．设计意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．k 取1时，两个三角形全等，取其他值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系．《几何画板》的动态演示，有利于学生更直观地发现结论．ABCA 'B 'C '图13．构造中介，证明定理问题3 怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？ 师生活动：(1)学生结合图形写出已知、求证并交流讨论．(2)当学生感到无处入手时，教师用学生剪出的△ABC 与△A'B'C'的纸片为模型，用较小的△ABC 放置于较大△A'B'C'的上(学生取的k 值不同，可能会出现两种图形，但证明的本质是相同的)，点A 与点A'重合，点B 在边A'B'上，记为点D ，将点C 在A'C'上的位置记为点E ．教师追问1：B'C'与DE 有什么位置关系？为什么？ 师生活动：学生直观发现B'C'∥DE ．教师追问2：由B'C'与DE 的位置关系可得到△A'DE 与△A'B'C'相似吗？为什么？ 师生活动：学生回答由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得到△A'DE 与△A'B'C'相似．教师追问3：我们先构造了一个与△ABC 全等的中介△A'DE ，得到△A'DE ∽△A'B'C'，然后可得△ABC ∽△A'B'C'．这为我们证明“三边成比例的两个三角形相似”提供了一个思路：能否在△A'B'C'上作一个与△A'B'C'相似的△A'DE ，再证明它与△ABC 全等呢？如何作？师生活动：(1)学生思考交流．教师展示学生的不同作法，并请学生说明△A'DE 与 △ABC 全等的原因．(2)由学生整理出证明思路，教师板书，从而得到三角形相似的判定定理．设计意图：让学生在操作中发现解决问题的方法：作DE ∥B'C'，证明△A'DE ∽△A'B'C'，从而把证明“△ABC 与△A'B'C'相似”的问题转化为证明△ABC ≌△A'DE 的问题．4．类比实验，自主探究问题4 全等三角形有“SAS ”的判定方法，类似地，△ABC 和△A'B'C'中，如果满足B A AB''＝C A AC''＝k ，且∠A ＝∠A'，那么能否判定这两个三角形相似？ 师生活动：(1)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，看△ABC 和△A'B'C'的另一组对应边的比是否为k ，另两组对应角是否相等．问：图中的△ABC 与△A'B'C'相似吗？为什么？学生提出猜想的结论．(2)学生模仿上一个定理的证明，讨论问题4的证明思路，在课后完成证明过程． (3)师生小结判定定理二的内容．并追问：对于△ABC 和△A'B'C'，如果B A AB ''＝C B BC''，且∠B ＝∠B'，这两个三角形一定相似吗？如果将∠B ＝∠B'换成∠C ＝∠C'，这两个三角形一定相似吗？为什么？让学生试着画画看，找出反例即可．设计意图：学生有前面探究活动的经验，教师提出问题后，利用《几何画板》辅助，学生容易获取初步结论，而且仿照上一个定理的证明，容易得到这个命题的证明思路．最后，学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条件的理解与记忆．5．运用结论，解决问题例 根据下列条件，判断△ABC 和△A'B'C'是否相似，并说明理由： (1)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ， A'B'＝12 cm ，B'C'＝18 cm ，A'C'＝24 cm ． (2)∠B ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A'＝120°，A'B'＝3 cm ，A'C'＝6 cm ．师生活动：师生共同分析从题干的条件中是否可能得到两个三角形相似的条件，教师提醒学生注意第(2)题中的角是不是已知两边的夹角．设计意图：使学生学会从现有条件中得到判定三角形相似的条件． 6．变式训练，巩固提高判断图中的两个三角形是否相似，并求出x 和y ．师生活动：学生自主答题，写出相应的解答过程，然后互评． 设计意图：巩固本节课所学的相似三角形的判定定理． 7．回顾小结回顾本节课的学习，回答下列问题： (1)你学到了哪些判定三角形相似的方法？ (2)你认为证明两个三角形相似的思路是什么？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点及判定定理的证明思路． 8．布置作业A BDE C y ° x 4530 54 36 46°20 图2152025402745图11．教科书第34页练习第1，3题． 2．教科书第42页习题27.2第2(1)，3题．3．证明判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”(画图，写出已知、求证，并进行证明)．六、目标检测设计1．下列条件中可以判定△ABC ∽△C B A '''的是( )． A ．AC AB ＝''''C A B A B ．AC AB ＝''''C A B A ，∠B ＝∠B' C ．B A AB ''＝''C A AC ＝C B BC''D ．''B A AB ＝''C A AC设计意图：考查对三角形相似的两个判定定理的条件特征的理解． 2．如图，已知△ABC ，则下列四个三角形中，与△ABC 相似的是( )．设计意图：考查判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的应用． 3．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ＝6，BC ＝8，AC ＝5，A'B'＝3，B'C'＝4，则当A'Ｃ'＝______时，△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：考查用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似．4．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，2)，如果点C 在x 轴的正半轴上(点C 与点A 不重合)，当点C 的坐标为 时，△BOC 与△AOB 相似．设计意图：结合平面直角坐标系的知识，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．5．如图，在正方形ABCD 中，点P 是BC 上的一点，BP ＝3PC ，点Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．ABCDQP (第5题)A B C 555 555 55 56675° 75°30° 40° A B CD(第4题)设计意图：结合勾股定理，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．。
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 人教版数学九年级下册课件
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
典例精析
例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相
似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm．
解：∵ AB 7， AC 14 7，∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
练一练
1. 在△ABC 和△DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm.
C
求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
A. AC : BC = AD : BD
A
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC → AB BC B
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
符号语言：
∵ AB AC ，∠A=∠A′， A' B' A' C'
B'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C' A
B
C
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
思考：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果
AB A' B'
AC A' C
'
，∠B=
∠B′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等.
A′ A
B
C
B′ B″
C′
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角
不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
A
∴ AB AC . AE AD
D
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
B
∴ △ABC ∽△AED.
E C
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
拓展提升
6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长 度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似.
∴ AB AC . A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
又∵∠B=∠ACD ∴ △ABC∽△DCA
A
D
B
C
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
问题2 我们目前知道的两个三角形相似有哪些判定方法？ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似 三边成比例的两个三角形相似
讲授新课
学案23页自学
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且 AB AC k;
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′， AB AC .
A'B' A'C'
求证：△A′B′C′∽△ABC
证明：在A′B′上截取点D,使A′D=AB，过点D作DE∥B′C′,
A' 交A′C′于点E.
A
∵DE∥B′C′
∴△A′DE∽△A′B′C′
D
E
B
C
B'
C'
∴A′E=AC
又∵∠A=∠A′ ∴△A′DE≌△ABC ∴△A′B′C′∽△ABC
利用两边及夹角判定三角形相似
两边成比例且夹 角相等的两个三
角形相似 相似三角形的判定定理的运用
当堂练习
1. 判断
学案24页反馈
√ (1)两个等边三角形相似 （ ） × (2) 两个直角三角形相似 （ ）
√ (3) 两个等腰直角三角形相似 （ ） × (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似( )
A
C F
D
E
B
探究归纳
学案23页思考
如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的 夹角，那么两个三角形是否一定相似呢？画一画，量一量.
27.2.1相似三角形的判定(课时3)2024-2025学年人教版(2012)九年级数学下册
定．那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三
角形相似吗？
探究新知
如图所示，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°
AB
AC
，求证 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
A' B' A' C'
A'
分析：要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，
解：∵E =D⊥AB，∴∠EDA = 90°
C
又∠C = 90°，∠A =∠A，
∴△AED∽△ABC,
AD AE
∴ AC AB
AC·AE 8 5
4
∴ AD
AB
10
E
A
D
B
探究新知
由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足
一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直
角三角形相似．
可判断 △ABP∽△ACB ，故此选项不符合题意；
B、由 APB ABC ， BAP CAB 满足两组对角相等，可
判断 △ABP∽△ACB ，故此选项不符合题意；
AP BP
C、由
，但夹角不相等，不能判断 △ABP∽△ACB ，
AB BC
故此选项符合题意；
AP AB
D、由
，BAP CAB 满足两边对应成比例且夹角相
C EBD ，
△ABC∽△DEB ；
解：（2）∵ △ABC∽△DEB ，
AB AC
∴
，
DE BD
∵ AB 8, AC 6, DE 4 ，
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一) 三边成比例的两个三角形相似 课件
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A´B´=12cm ，
B´C´=18cm ，A´C´=21cm.
解： AB 4 1 A'B' 12 3
BC B'C '
6 18
1 3
AC A'C '
8 21
AB A' B '
BC B'C '
AC A'C '
∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的 判断?
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
A
B
C D
E
例3 如图，在△ABC和△ADE中，AB BC AC .
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
C
A′
B′
C′
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的
中点，求证：△ABC∽△EFD．
27.2.2 相似三角形的性质 九年级数学下册人教版课件
AB BC CA k， A'B' B'C' C' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kA' B ' kB 'C ' kC ' A' k. A' B ' B 'C ' C ' A' A' B ' B 'C ' C ' A'
归纳：相似三角形周长的比等于相似比.
∵△ABC∽△A'B'C'
AD AB k AE AB
B/
A
D
C
A/
D/
C/
归纳
由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也 等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 2 : 3 ，对应边上的中线的比是 __2_:_3__ .
2. 相似三角形有哪些性质？ 对应角相等，对应边成比例
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、 面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些量之间有 什么关系呢？
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并 运用其解决问题 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其 解决问题.
2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边 上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_1_6_c_m__ .