【配套K12】2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十二平面向量数量积的物理背景及其含义新人教

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2018届高考文科总复习课时跟踪检测试卷(26)平面向量的数量积

4＋ 2|b|× 12＝ 8，解得 |b|＝ 4．
3．已知 |a|＝ 3， |b|＝2， (a＋ 2b) ·(a－3b)＝－ 18，则 a 与 b 的夹角为 ( )
A ． 30°
B． 60°
C．120 °
D． 150 °
解析：选 B ( a＋ 2b) ·(a－3b)＝－ 18， ∴ a2－ 6b2－ a·b＝－ 18，
∴－ 4－ 2x＝ 0， x＝－ 2，∴ a＝ (1，－ 2)， a·b＝10，故选 D ．
2． (2017 ·河南八市重点高中质检 )已知平面向量 a， b 的夹角为 23π，且 a·(a－ b)＝ 8， |a|
＝2，则 |b|等于 ( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．4
解析：选 D 因为 a·(a－ b)＝ 8，所以 a·a－ a·b＝ 8，即 |a|2－ |a||b|cos a， b ＝ 8，所以
3) ·(x－ 1，－
3)＝－ 3x＋3－ 3＝－ 3x＝－ 3 得 x＝ 1．
∵ ―A→P ＝ λ―A→B ，∴ λ＝ 1．故选 A ． 2
6．已知平面向量 a＝ (2,4)， b＝ (1，－ 2)，若 c＝a－ (a·b)b，则 |c|＝ ________．解析：由题意可得 a·b＝ 2× 1＋ 4× (－ 2)＝－ 6，
答案：
－
8 3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量 a＝ (1 ，x)， b＝ (－ 1，x) ，若 2a－ b 与 b 垂直，则 |a|＝ ( )
A． 2
B． 3
C．2
D．4
解析：选 C 由已知得 2a－ b＝ (3， x)，而 (2a－ b) ·b＝ 0? － 3＋ x2＝ 0? x2＝ 3，所以 |a|

人教B高中数学必修四课时跟踪检测：第2章平面向量 231 232 含解析

第二章 2.32.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律课时跟踪检测[A组基础过关]1．下列命题：①若a≠0，且b≠0，则a·b≠0；②若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；③若a≠0，由a·b＝a·c可得b＝c；④若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中正确命题的个数是()A．0个 B.2个C.3个D.4个解析：①为假命题，因为a与b垂直时，a·b＝0；②为假命题，因为a·b＝0也有可能a与b垂直但均不为零向量；③为假命题，由a≠0，a·b＝a·c，可得b 与c在a方向上的射影相等；④为假命题，例如：a⊥b，a⊥c，但b≠c，且a≠0，也能使条件a·b＝a·c成立，所以四个命题均为假命题．答案：A2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4 B.3C.2D.0解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，故选B.答案：B3．已知向量a，b，且a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，则实数k的值为()A.32 B.－32C.±32D.1解析：利用向量的数量积将(3a ＋2b )·(ka －b )＝0展开可得12k －18＝0，∴k ＝32.答案：A4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C.－43D.－49解析：∵M 是BC 的中点，∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →·2PM →＝AP →·AP →＝AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AM →2＝49，故选A.答案：A5．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 和a －2b 互相垂直，则|a ||b |＝( ) A.14 B.4 C.12D.2解析：(a ＋2b )⊥(a －2b )，∴(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2＝0，∴|a |＝2|b |，故选D.答案：D6．已知e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)等于________．解析：∵|e 1|＝|e 2|＝1且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12，∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋4e 1·e 2＋3e 2·e 1－2e 22＝－6＋7e 1·e 2－2＝－8＋7×12＝－92. 答案：－927．下列命题正确的是________(把正确的序号填上)． ①0·a ＝0；②(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0；③(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 的夹角为90°；④若|a ＋b |＝|a －b |，其中a 与b 不共线，则a ⊥b ； ⑤若|a |＝|b |，则|a ·c |＝|b ·c |. 答案：③④8．已知|a |＝|b |＝6，向量a 与b 的夹角为π3. (1)求|a ＋b |，|a －b |； (2)求a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a ·b ＝6×6×cos π3＝36×12＝18，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋2×18＋36＝108， ∴|a ＋b |＝63，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝36－2×18＋36＝36， ∴|a －b |＝6.(2)a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 26×63＝36－36363＝0.∴θ＝π2.[B 组技能提升]1．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B.等腰三角形C ．等腰直角三角形 D.等边三角形解析：(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0.所以|AB →|＝|AC →|.故△ABC 是等腰三角形．答案：B2．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15 B.－9 C ．－6D.0解析：如图所示，连接MN ，由BM →＝2MA →，CN →＝2NA →可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，由题意可知，OM →2＝12＝1，OM →·ON →＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3ON →·OM →－3OM →2＝－3－3＝－6. 故选C. 答案：C3．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5，∴a 在b 方向上的射影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝52. 答案：524．边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别为BC ，AC 的中点，则AD →·BE →＝________.解析：如图，在△ABC 中，AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋AC →2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →＋BA →2＝14(AB →·BC →＋AB →·BA →＋AC →·BC →＋AC →·BA →)＝144×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4×4×(－1)＋4×4×12＋4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.答案：－65．已知a ，b 是两个单位向量． (1)若|3a －2b |＝3，试求|3a ＋b |的值；(2)若a ，b 的夹角为60°，试求向量m ＝2a ＋b 与n ＝2b －3a 的夹角．解：(1)∵a ，b 是两个单位向量，∴|a |＝|b |＝1，又|3a －2b |＝3，∴9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9，即a ·b ＝13. ∴|3a ＋b |＝ 9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9×1＋6×13＋1＝2 3.(2)∵a ，b 的夹角为60°，∴a ·b ＝12，|m |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝ 4×1＋4×12＋12＝7，|n |＝(2b －3a )2＝4b 2－12b ·a ＋9a 2＝ 4－6＋9＝7，∴m ·n ＝(2a ＋b )·(2b －3a )＝2|b |2＋a ·b －6|a |2＝－72，∴cosθ＝m·n|m||n|＝－727·7＝－12，∵0≤θ≤180°，∴夹角θ＝120°.6．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝2，c＝3a＋5b，d＝ma－b.(1)求a·b的值；(2)若c⊥d，求实数m的值．解：(1)a·b＝|a||b|cos60°＝3×2×12＝3.(2)c⊥d，∴c·d＝0，即(3a＋5b)·(ma－b)＝0，∴3ma2－3a·b＋5ma·b－5b2＝0，∴27m－9＋15m－20＝0，∴42m＝29，m＝29 42.。

高考数学复习课时跟踪检测-平面向量的数量积及应用含解析

课时跟踪检测（三十一）系统题型——平面向量的数量积及应用[A 级保分题——准做快做达标]1．(牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆,其半径为1,且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→,AB ＝1,则CA ―→·CB ―→＝( )A 。

32 B 。

3 C 。

3D ．2 3解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→,所以点O 是BC 的中点,即BC 是圆O 的直径,又AB ＝1,圆的半径为1,所以∠ACB ＝30°,且AC ＝3,则CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3。

故选B 。

2。

(广州综合测试)如图,半径为1的扇形AOB 中,∠AOB ＝2π3,P是弧AB 上的一点,且满足OP ⊥OB ,M ,N 分别是线段OA ,OB 上的动点,则PM ―→·PN ―→的最大值为( )A 。

22B 。

32C ．1D ． 2解析：选C ∵扇形OAB 的半径为1,∴|OP ―→ |＝1,∵OP ⊥OB ,∴OP ―→·OB ―→＝0。

∵∠AOB ＝2π3,∴∠AOP＝π6,∴PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋ON ―→·PO ―→＋OM ―→·PO ―→＋OM ―→·ON ―→＝1＋|OM ―→|cos 5π6＋|OM ―→|·|ON ―→|cos 2π3≤1＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1,故选C 。

3．(南昌模拟)已知a ＝(cos α,sin α),b ＝(cos(－α),sin(－α)),那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k∈Z)的( )A ．充分不必要条件B 。

必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α,若a ·b ＝0,则cos 2α＝0,∴2α＝2k π±π2(k ∈Z),解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B 。

高中数学课时跟踪检测(五)--向量的数量积

课时跟踪检测（五）向量的数量积 A 级——学考合格性考试达标练1．[多选]下列说法正确的是( ) A ．向量b 在向量a 上的投影是向量B ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的范围是⎝⎛⎦⎤π2，π C ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) D ．a ·b ＝0，则a ⊥b解析：选AB 对于选项A ，根据投影向量的定义，故A 正确；对于选项B ，∵a ·b ＝|a ||b |cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，故B 正确；对于选项C ，∵(a ·b )·c 与c 是共线向量，a ·(b ·c )与a 是共线向量，故(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，故C 错误；对于选项D ，a ·b ＝0⇒a ⊥b 或a ＝0或b ＝0，故D 错误．故选A 、B.2．已知|a |＝3，|b |＝23，a 与b 的夹角是120°，则a ·b 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－3 3D ．3 3解析：选B 由数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×23×⎝⎛⎭⎫－12＝－3.故选B. 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.4．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a ·b 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B 因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.5．已知|a |＝3，|b |＝2，且a ，b 的夹角为60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，那么m 的值为( )A.3223 B.2342 C.2942D.4223解析：选C 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0,3m ×32＋(5m －3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m ＝2942.故选C.6．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为________．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12，又|b |＝5，∴|a |cos θ＝125，b |b |＝b 5，即a 在b 方向上的投影向量为1225b .答案：1225b7．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.解析：由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a ||2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.答案：238．已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________，a ·(a ＋b )＝________.解析：由题意，设向量a ，b 的夹角为θ.因为|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos θ＝3－2 3·cos θ＝0，解得cos θ＝32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π6.则a ·(a ＋b )＝|a |2＋|a ||b |·cos θ＝3＋2 3×32＝6. 答案：π669．已知向量a ，b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝1，求向量p ＝a ＋b 与q ＝a －b 的夹角θ的余弦值．解：p ·q ＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝3－1＝2. ∵|p |＝|a ＋b |＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝ 3＋23cos 30°＋1＝7， |q |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3－23cos 30°＋1＝1，∴cos θ＝p ·q |p ||q |＝27×1＝277.10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，若向量2a ＋k b 与a ＋b 垂直，求实数k 的值．解：a ·b ＝|a ||b |cos π3＝2×1×12＝1.因为2a ＋k b 与a ＋b 垂直，所以(2a ＋k b )·(a ＋b )＝0.所以2a 2＋2a ·b ＋k a ·b ＋k b 2＝0. 所以2×22＋2＋k ＋k ＝0.所以k ＝－5.B 级——面向全国卷高考高分练1．如图，e 1，e 2为互相垂直的两个单位向量，则|a ＋b |＝( )A ．20 B.10 C ．2 5D.15解析：选C 由题意，知a ＝－12e 1－72e 2，b ＝－32e 1－12e 2，所以a ＋b ＝－2e 1－4e 2，所以|a ＋b |＝(－2e 1－4e 2)2＝4|e 1|2＋16e 1·e 2＋16|e 2|2＝20＝2 5.故选C.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影向量为( ) A ．a B ．1 C ．－1D ．－a解析：选A 设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影向量为|a －2b |cos θa|a |. 又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b ||a |＝a 2－2a ·b |a －2b ||a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ a|a |＝|a －2b |·1|a －2b |a |a |＝a .故选A.3．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．8B ．－8C ．8或－8D ．6解析：选A cos θ＝a ·b |a ||b |＝－62×5＝－35，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝45.∴|a ×b |＝2×5×45＝8.故选A.4.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF ―→·FG ―→＋GH ―→·HE ―→＝( )A.32 B ．－32C.34D ．－34解析：选A 易知四边形EFGH 为平行四边形，连接HF (图略)，取HF 的中点为O ，则EF ―→·FG ―→＝EF ―→·EH ―→＝(EO ―→－OH ―→)·(EO ―→＋OH ―→)＝EO ―→2－OH ―→2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH ―→·HE ―→＝GH ―→·GF ―→＝GO ―→2－OH ―→2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF ―→·FG ―→＋GH ―→·HE ―→＝32.故选A.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.答案：2 36．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：由c ⊥a 得，a ·c ＝0，所以a ·c ＝a ·(a ＋b )＝0，即a 2＋a ·b ＝0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a ||b |＝－12，所以向量a 与b 的夹角θ＝120°.答案：120°7．已知a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，求实数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b ) ＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2 ＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋a ·b |b |22＋|a |2－(a ·b )2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0，∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小．(2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a ·b ＋⎝⎛⎭⎫－a ·b |b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0， ∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .C 级——拓展探索性题目应用练如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC ＝BD ，OA ＝1，∠AOB ＝120°.(1)若点D 是线段OB 靠近点O 的四分之一分点，用OA ―→，OB ―→表示向量MC ―→；(2)求MC ―→·MD ―→的取值范围．解：(1)由已知可得OC ―→＝34OA ―→，MC ―→＝OC ―→－OM ―→，易得OAMB 是菱形，则OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，所以MC ―→＝OC ―→－OM ―→＝34OA ―→－(OA ―→＋OB ―→)＝－14OA ―→－OB ―→.(2)易知∠DMC ＝60°，且|MC ―→|＝|MD ―→|，那么只需求MC 的最大值与最小值即可．当MC ⊥OA 时，MC 最小，此时MC ＝32，则MC ―→·MD ―→＝32×32×cos 60°＝38.当MC 与MO 重合时，MC 最大，此时MC ＝1，则MC ―→·MD ―→＝cos 60°＝12.所以MC ―→·MD ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤38，12.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十二二项散布北师大版选修2_3

(2)其中恰有3次击中目标的概率．
8．(四川高考)某居民小区有两个彼此独立的平安防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率别离为和p.
(1)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次彼此独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率散布列．
课时跟踪训练(十二) 二项散布
1．假设X～B ，那么P(X＝2)＝( )
A. B.
C. D.
2．在4次独立重复实验中，事件A发生的概率相同，假设事件A至少发生1次的概率为，那么事件A在1次实验中发生的概率为( )
AHale Waihona Puke B.C. D.3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，通过3次射击，这人至少有2次击中目标的概率为( )
答案
1．选D∵X～B ，
∴P(X＝2)＝C 2 4＝ .
2．选A 事件A在一次实验中发生的概率为p，由题意得1－C p0(1－p)4＝ .因此1－p＝，p＝ .
3．选A 至少有2次击中目标包括以下情形：
只有2次击中目标，现在概率为
C ×0.62×(1－0.6)＝，
3次都击中目标，现在的概率为C ×0.63＝，
答案：
7．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确信的情形下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，因此只有一种情形，又各次射击的结果互不阻碍，故所求其概率为
P1＝ × × × × ＝；
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X～B(5， )，故所求其概率为
5．解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝C pk(1－p)2－k，k＝0,1,2.

2018届人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积A

3．已知向量|a|＝10，且|b|＝12，且 a·b＝－60，则向量 a 与 b 的夹角为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
4．若 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为( )
65
13
A.
B. 65 C.
D. 13
5
5
能力提升
5．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则 a·b＝( )
1 5．B [解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1× ＝1.
2 → → → →→ 6．A [解析] (PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2.
7．A [解析] 由题意知函数 f(x)＝xa2－x2a·b＋a·b－xb2，又因为函数 f(x)的图象是一条
直线，所以 a·b＝0，即 a⊥b.所以选 A.
－11－ 85 －11＋ 85
∴
<λ<
.
6
6
若 θ＝180°时，a＋λb 与 λa＋b 共线且方向相反，
∴存在 k<0，使 a＋λb＝k(λa＋b)， ∵a，b 不共线，∴Error!
∴k＝λ＝－1，
－11－ 85 －11＋
∴
<λ<
6
6
【难点突破】
85 且 λ≠－1.
13．[解答] 如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，
→ 11． △ABO 三顶点坐标为 A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·
→
→→
→→
OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．
12．(13 分)已知|a|＝ 2，|b|＝3，a 与 b 夹角为 45°，求使 a＋λb 与 λa＋b 的夹角为钝角

2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一命题新人教B版选修1_1

课时跟踪训练(一) 命题
1.以下语句中命题的个数是( )
①2<1；②x<1；③若x<2，那么x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数；⑤人类能够在火星上居住；⑥打开窗户．
A．1B．2
C．3D．4
2．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．那么使该命题为真命题的a的一个值能够是( )
A．4B．2
4．选B 关于选项A，两平面可能平行也可能相交；关于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；关于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
5．解析：①是命ห้องสมุดไป่ตู้且是真命题；
②是假命题，数0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情形；
④是假命题，如x＝，y＝－ .
答案：①②③④①
6．解析：①平面向量的数量积不知足结合律，故①假；
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0.因此垂直，故③假；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．
答案：②④
7．解：上面6个语句中，(3)是疑问句，因此它不是命题；(6)无法判定它的真假，因此它也不是命题；其余4个都能够判定真假，因此它们都是命题，其中(1)(4)(5)是真命题，(2)是假命题．
8．解：当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1<m< 时，A＝∅，A∩B＝∅是真命题；当Δ≥0，即m≤－1或m≥ 时，设方程x2－4mx＋(2m＋6)＝0的两根别离为x1，x2，那么x1≥0，x2≥0.

【配套K12】2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十九平面向量基本定理新人教A版必修4

课时跟踪检测（十九）平面向量基本定理层级一学业水平达标1．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选D 如图，AD 与CD 的夹角为∠ABC ＝150°.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b ) B ．12(a ＋b ) C ．12(b －a ) D ．12b ＋a 解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而BD ＝DC ，即AD －AB ＝AC －AD ，从而AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b )． 4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2) B ．12(e 1－e 2) C ．12(2e 2－e 1) D ．12(e 2－e 1) 解析：选A 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC ＝e 1，DC ＝e 2，所以OC ＝12(BC＋DC )＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A 由题意得AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13AC －13AB ＝－13AB ＋43AC .6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－5k 2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k＝______.解析：由题设，知k 22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．解：NP ＝AP －AN ＝13AB －23AC ＝13a －23b ， MN ＝CN －CM ＝－13AC －23CB ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM ＝－MP ＝－(MN ＋NP )＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABC 的三条中线，令AB＝a ，AC ＝b .则有BC ＝b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23，则有AD ＝AB ＋BD ＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )． BE ＝AE －AB ＝12b －a .∴BG ＝AG －AB ＝23AD －AB＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝23BE . ∴G 在BE 上，同理可证CG ＝23CF ，即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b ) B ．23a ＋13b C ．13a ＋23b D ．13(a ＋b )解析：选C ∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC .∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23BC ＝AB ＋23(AC －AB )＝13AB ＋23AC ＝13a ＋23b .2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23b B ．23a ＋43b C ．23a －23b D ．－23a ＋23b解析：选B 设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 答案：23 －136．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ＝34AB ＋14AC .(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ＝x BM ＋y BN ，求x ，y 的值．解：(1)如图，由AM ＝34AB ＋14AC 可知M ，B ，C 三点共线，令BM ＝λBC ⇒AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC ⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO ＝x BM ＋y BN ⇒BO ＝x BM ＋y 2BA ，BO ＝x4BC ＋y BN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.。

[k12精品]2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十一向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版必修4

课时跟踪检测（二十一）向量数量积的坐标运算与度量公式层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ． 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D. 2．设x ∈R，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865 B ．－865C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A AB (8，－4)AC (2,4)BC (－6,8)，AB AC ＝2×8＋(－4)×4＝0AB AC ∴∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝aa ＋b |a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，故b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)AB AC AB AC ；(2)设实数t 满足AB OC OC t 的值．解：(1)AB (－3，－1)AC (1，－5)， AB AC (－1)×(－5)＝2. AB AC (－2，－6)， ∴AB AC ＝4＋36＝210.(2)AB OC (－3－2t ，－1＋t )OC (2，－1)，且AB OC OC ∴AB OC OC 0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2OA (2,2)OB (4,1)，在x 轴上有一点P AP BP 则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)AP (x －2，－2)BP (x －4，－1)，AP BP (x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3AP BP P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103.4OA (－3,1)OB (0,5)AC OB BC AB O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，－294B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C ．⎝⎛⎭⎪⎫3，294D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )OC (x ，y )． OA (－3,1)，AC OC OA (x ＋3，y －1)． AC OB∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0， ∴x ＝－3.OB (0,5)，BC OC OB (x ，y －5)AB OB OA (3,4)． BC AB 3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，DE CB ______；DE DC ______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．DE CB (1，a )·(1,0)＝1，DE DC (1，a )·(0,1)＝a ≤1，DE DC 1. 答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)OB (2,23)OC (1－λOA λOB λ2≠λ)．(1)OA OB OA OB(2)证明A ，B ，C AB BC λ的值； (3)求OC 的最小值．解：OA OB 8OA OB θ，则cos θOA OB OA OB ＝84×4＝12，OA OB OA θ＝4×12＝2.AB OB OA (－2,23)BC OC OB (1－λOA (1－λOB (λ－AB A ，B ，C 三点共线．AB BC λ－1＝1，所以λ＝2.OC 2＝(1－λ)2λ(1－λOA OB λ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，1 2时，OC取到最小值，为2 3.∴当λ＝。

2017届高考数学一轮总复习课时跟踪检测(二十八)平面向量的数量积与平面向量应用举例理新人教版

课时跟踪检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：选D 由向量垂直的充要条件，得2(x －1)＋2＝0. 所以x ＝0.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.35解析：选A b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 4．(2015·太原模拟)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π35．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________．解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2. 答案：－2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·济南二模)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．(2016·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以〈a ，b 〉＝π3. 3．(2015·济宁二模)平面四边形ABCD 中，AB ＋CD ＝0，(AB －AD)·AC ＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形解析：选C 因为AB ＋CD ＝0，所以AB＝－CD ＝DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB －AD)·AC ＝DB ·AC ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．(2016·开封质检)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ·DB 等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选D 因为DM ＝DA ＋AM ＝DA ＋13AB，DB ＝DA ＋AB ，所以DM ·DB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DA ＋13 AB ·(DA ＋AB )＝|DA |2＋13|AB |2＋43DA ·AB ＝1＋43－43AD ·AB ＝73－43|AD |·|AB |·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.5．(2015·山西考前检测)若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA ＋2AB＋2AC＝0，则CA 在CB方向上的投影为( )A ．4 B.15 C.7D ．1解析：选C 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得AB ＋AC ＝2AD.又由条件得AB ＋AC ＝－12OA＝12AO ，所以2AD ＝12AO ，即4AD ＝AO，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA 在CB方向上的投影．因为|AO |＝|CO|＝4，所以|OD |＝3，所以|CD |＝ |OC |2－|OD |2＝7.6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－8 2＝8 2. 答案：8 27．(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB＝4AC ，则OC ·(OB －OA)＝________.解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝24，则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝2cos3π4＋24×2＝－12. 答案：－128．(2015·湖北咸宁联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO ＝x CA ＋y CB，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA －m CB |(m ∈R)的最小值为32，则|CO |的最小值为________．解析：由CO ＝x CA ＋y CB ，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO|的最小值为AB 边上的高，又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA －m CB|的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32.又AC ＝1，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO |的最小值为12.答案：129．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(ka －b )，∴(a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．10．已知平面上三点A ，B ，C ，BC ＝(2－k,3)，AC＝(2,4)．(1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一直线上，即向量BC 与AC平行，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC ＝(2－k,3)，∴CB＝(k －2，－3)，∴AB ＝AC ＋CB＝(k,1)．若△ABC 为直角三角形，则当A 是直角时，AB ⊥AC ，即AB ·AC＝0，∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2；当B 是直角时，AB ⊥BC ，即AB ·BC＝0，∴k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1；当C 是直角时，AC ⊥BC ，即AC ·BC＝0，∴16－2k ＝0，解得k ＝8.综上得k 的值为－2，－1,3,8. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·石家庄调研)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1D. 2解析：选A ∵a ·b ＝0，且|a |＝|b |＝|c |，所以|a ＋b |＝2，又∵(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝2cos 〈a ＋b ，c 〉，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以当cos 〈(a ＋b )，c 〉＝1时， |a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2，所以|a ＋b －c |的最小值为2－1.2．(2015·河南三市调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c ) BA ·BC＝c CB ·CA .(1)求角B 的大小；(2)若|BA －BC|＝6，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA －BC|＝6，所以|CA |＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3 2＋12，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

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课时跟踪检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义层级一学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3. 2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ∵c·d ＝0， ∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0， ∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0， ∴2k ＝12，∴k ＝6.4．已知a ，b 满足|a |＝4，|b |＝3，夹角为60°，则|a ＋b |＝( ) A ．37 B ．13 C.37D.13解析：选C |a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝42＋2×4×3cos 60°＋32＝37.5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边BD 平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．6．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中，正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 解析：(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋7×cos 60°－2＝－92.答案：－928．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0， ∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12，|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7， |b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9－12e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？解：(1)∵|a |＝2|b |＝2， ∴|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－1. ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b·a －3b 2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.层级二应试能力达标1．已知|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为π3，则向量m ＝a －4b 的模为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12解析：选B |m |2＝|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m |＝2 3.2．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8D ．16解析：选D 法一：因为cos A ＝AC AB，故AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.法二：AB 在 AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D ．3解析：选C 由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.4.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选C AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12AD ―→ ·(AD －AB ) ＝12AB ·AD －|AB |2＋12|AD |2 ＝12×2×2×cos 60°－22＋12×22＝－1. 5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：法一：由a ＋b ＋c ＝0得c ＝－a －b .又(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·(－a －b )＝0，即a 2＝b 2. 则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.法二：如图，作AB ＝BD ＝a ，BC ＝b ，则CA ＝c .∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ，又∵a －b ＝BD －BC ＝CD ， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ，所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：46．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝a 2＋12a·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 答案： 2 17．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |. 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12.又|a |＝1， ∴|b |＝22. ∵a·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°. (2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22.8．设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得te 1＋7e 2e 1＋te 2|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0.即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得 2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.。