2014北京朝阳高考二模数学理(含解析)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类) 2014．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x R ≥=∈-，集合}{2|320B x x x R =∈-+<，则A B I =（ ）．A ．3|2x x ≥⎧⎫⎨⎬⎭⎩B ．3|22x x ≤⎧⎫<⎨⎬⎭⎩C ．}{|12x x <<D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,64．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π35．已知命题:p 复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）．A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(1,3]D ．[3,)+∞(P )M NDCBA 7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．煤（吨） 电（千度） 纯利润（万元）1箱甲产品 31 2 1箱乙产品11 1若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（ ）． A ．60万元 B ．80万元 C ．90万元 D ．100万元8．如图放置的边长为1的正PMN △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当PMN △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（ ）． A ．8π3 B ．16π3C ．4πD ．5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b __________．10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．⋅12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n N ∈，则n a =_________；数列{}2log n a 的前n 项和为_____________．ODMCBA14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,+)∞上是有界函数．下列函数① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()x f x x=；④()sin f x x x =， 其中“在(1,+)∞上是有界函数”的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △的面积为1534． （I ）求边a 的边长；（II ）求cos 2B 的值．16．（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，,E F分别为PA,BD中如图，在四棱锥P ABCD点，2PA PD AD===．（I）求证：//（II）求二面角E DF A--的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 1,x f x ax a R +=-+∈．（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()1f x …成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1． （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB uu r uu u r uu r uu u r+=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知12,x x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数,m t Z ∈，设120nn r rn r T x x -==∑（*n N ∈）．（I ）用,m t 表示1T ，2T ; （II ）求证：543T mT tT =--;（III ）求证：对任意的*n N ∈，n T Z ∈．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5一、选择题（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C DDACB二、填空题（满分30分）题号 9 101112 1314答案2380-382383 12n + (3)2n n + ②③三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，11533sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=得，73sin 32B =， 所以33sin 14B =． 所以271cos212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90,95)小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[95,100)小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3． 所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P27125 54125 36125 8125因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ， 所以EF ∥平面BC P ．……………4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD I 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以3OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，(0,0,3)P ，13(,0,)22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB u u u r =，33(,0,)22DE uuu r =，(1,1,0)DF u u u r =．因为OP ⊥面ABCD ，所以(0,0,3)OP u u u r=是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE uuu r uuu r ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以00000,330,22x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,3.y x z x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令01x =则=(1,1,3)--n ．Oxyz FA BC DP E E PDCBAF所以315cos ,535OP OP OP uu u r uu u r uu u r ⋅-<>===⋅⋅n n n．由图可知，二面角E-D F-A 为锐角，所以二面角E-D F-A 的余弦值为155．…10分 （Ⅲ）假设在棱C P 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111G(,,)x y z ，则111FG =(,1,)x y z u u u r-． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,3)--n ．因为GF ⊥面EDF ，所以FG =uu u rλn ．于是，111,1,3x y z λλλ=-=-=-，即111,1,3x y z λλλ==-=-．又因为点G 在棱C P 上，所以GC uu u r 与PC uu r共线．因为PC (1,2,3)u u r =--，111CG (+1,2,)x y z u u u r=-， 所以11112123x y z ==+---． 所以113123==λλλ+-----，无解． 故在棱C P 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，'()0f x >成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞． （2）当0a >时，令'()0f x >，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令'()0f x <，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时， ()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a R ∈．“当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21ex a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0,)2上为减函数； 令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分 （Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤．由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()1f x n 成立． （3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()1f x n 成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB uu r uu u r uu r uu u r +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+．若22OA OB OA OB uu r uu u r uu r uu u r+=-成立，即2222OA OB OA OB uu r uu u r uu r uu u r +=-，等价于0OA OB uu r uu u r⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，2217m ≥或2217m ≤-． 所以实数m 的取值范围是22(,21][21,)77U -∞-+∞． ……………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =． 因为120nn rr n r T xx -==∑，所以11112120r rr T x x x x m -===+=-∑． 222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分（Ⅱ）由120kk r rk r T x x -==∑，得54545551211221420r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+． 所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120kk rr k r T xx -==∑，得11111211220k kk r r k r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T x T x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t Z ∈，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切*n N ∈，120nn r rr x x -=∑的值都是整数． ………13分北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：3|2A x x R n ⎧⎫=∈⎨⎬⎭⎩，}{|12B x x R =∈<<,所以3|22A B x x I n ⎧⎫=<⎨⎬⎭⎩故选B ．2．【答案】C【解析】解：因为0a b >> 对于A ，33log log a b >，故不选； 对于B ，11()()44a b<，故不选；对于C ，110a b<<，故应选；对于D ，22a b >故不选. 故选C ．3．【答案】C【解析】解：由题意得()13231315223313a a a a ⎧≤⎪+≤⇒<≤⎨⎪++>⎩ ． 故选C ．4．【答案】D【解析】解：由题意得242312T ππππωω⎛⎫=-==⇒= ⎪⎝⎭,又()0222333f k k πππϕππϕπ=⇒⋅+=+⇒=+ 因为π2ϕ<，所以3πϕ=故选D ．5．【答案】D【解析】解：命题p ：复数()21+i i 1i i 11i i i 1z +-====--在复平面内所对应的点位于第四象限，所以命题p 为真；命题q ：如图所示，当0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭时，cos x x =，所以命题q 为真，故p q ∧为真故选D ．π2Oyx6．【答案】A【解析】解：由题意得21a =双曲线的一条渐近线方程为y bx =，圆心坐标为()0,2，半径1r =，因为渐近线与圆至多有一个交点，则圆心得直线的距离2222221341d r b cab b =≥=⇒≤⇒=+≤+所以2121c e a <=≤=。