(课标通用)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第3节二项式定理课件理
2022版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第三讲 二项式定理学案(
学习资料2022版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）第三讲二项式定理学案（理，含解析）新人教版班级：科目：第三讲 二项式定理（理)知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一 二项式定理(a ＋b ）n ＝C 0n a n ＋C 错误!an －1b ＋…＋C 错误!a n －k b k ＋…＋C 错误!b n (n ∈N ＋）． 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做（a ＋b ）n 的二项展开式，其中的系数C 错误!(k ＝0，1，2，…，n )叫做__二项式系数__,式中的__C 错误!a n －k b k __叫做二项展开式的__通项__,用T k ＋1表示，即通项为展开式的第__k ＋1__项：T k ＋1＝__C 错误!a n －k b k __．知识点二 二项展开式形式上的特点 （1）项数为__n ＋1__．（2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为__n __．（3）字母a 按__降幂__排列，从第一项开始,次数由n 逐项减小1直到零；字母b 按__升幂__排列，从第一项起,次数由零逐项增加1直到n ．知识点三 二项式系数的性质(1）0≤k ≤n 时，C 错误!与C 错误!的关系是__C 错误!＝C 错误!__． (2)二项式系数先增后减，中间项最大．当n 为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大;当n 为奇数时，第n ＋12项和错误!项的二项式系数最大．(3）各二项式系数的和：C 0，n ＋C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＝__2n __，C 错误!＋C 错误!＋C 错误!＋…＝C 错误!＋C 错误!＋C 错误!＋…＝__2n －1__．错误!错误!错误!错误!1．二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C 错误!a n －k b k 是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． 2．（1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C 错误!a n －k b k 中，C 错误!是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大;当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．错误!错误!错误!错误!题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”） (1）C k ，n a n －k b k 是二项展开式的第k 项．（ × )(2）二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项．（ × ) （3）（a ＋b ）n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(4）(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为C错误!a n－k b k．（×)（5）（x－1)n的展开式二项式系数和为－2n．(×)(6)在(1－x）9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×）题组二走进教材2．（P31例2（2)）若错误!n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（B）A．10 B．20C．30 D．120［解析]二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，T k＋1＝C错误!·x6－k·(错误!)k＝C错误!x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C错误!＝20．3．(P41B组T5)若（x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(B) A．9 B．8C．7 D．6[解析］令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0,令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8．题组三走向高考4．（2020·新课标）错误!6的展开式中常数项是__240__(用数字作答）．[解析]展开式的通项为T r＋1＝C错误!(x2）6－r·错误!r＝2r C错误!x12－3r，令12－3r＝0,解得r＝4，故常数项为24C错误!＝240．5．(2017·全国卷Ⅰ）错误!（1＋x）6展开式中x2的系数为（C）A．15 B．20C．30 D．35[解析]（1＋x)6展开式的通项T r＋1＝C错误!x r,所以错误!(1＋x）6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C错误!＝30,故选C．考点突破·互动探究考点一二项展开式的通项公式的应用-—多维探究角度1求二项展开式中的特定项或特定项的系数例1 （1）（2018·课标卷Ⅲ）（x2＋错误!)5的展开式中x4的系数为(C) A．10 B．20C．40 D．80(2）(2019·课标Ⅲ，4)（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为(A）A．12 B．16C．20 D．24（3)（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为(C)A．10 B．20C．30 D．60[解析］(1)T r＋1＝C错误!(x2）5－r错误!r＝C错误!2r x10－3r,当10－3r＝4时,解得r＝2，则x4的系数为C25×22＝40，选C．（2）(1＋x）4的二项展开式的通项为T k＋1＝C k，4x k（k＝0，1,2，3，4)，故（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为C3，4＋2C错误!＝12．故选A．(3）（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y］5，含y2的项为T3＝C错误!(x2＋x）3·y2．其中（x2＋x)3中含x5的项为C1，3x4·x＝C错误!x5．所以x5y2的系数为C25C错误!＝30．故选C．另解：由乘法法则知5个因式中两个选y项，两个选x2项，一个选x项乘即可，∴x5y2的系数为C错误!C错误!＝30．角度2二项展开式中的含参问题例2 (1)(2021·广东广州阶段测试)错误!6的展开式中的常数项为160，则a的值为(A)A．－2 B．2C．－4 D．4(2)(2021·福建三明质检)若（3x2－a)错误!5的展开式中x3的系数为－80，则a＝__－4__．(3）（2021·河北衡水中学模拟)已知二项式错误!n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为__240__．[解析］（1)错误!6的展开式的通项为T r＋1＝C错误!(ax)6－r·错误!r＝(－1)r C错误!a6－r x6－2r，由题意得－C错误!a3＝160，解得a＝－2，故选A．(2)错误!5的展开式的通项为T r＋1＝C错误!（2x)5－r·错误!r＝（－1)r·25－r·C错误!x5－2r，则3×23×C错误!＋a×24×C错误!＝－80,解得a＝－4．(3)由题意得:C1n∶C错误!＝2∶5，解得n＝6．所以T r＋1＝C错误!(2x)n－r错误!r＝C错误!26－r（－1）r x6－32r, 令6－错误!r＝3，解得：r＝2．所以x3的系数为C错误!26－2(－1）2＝240．名师点拨求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时,指数为整数等),解出r，代回通项公式即可．〔变式训练1〕(1)（角度1）（2018·浙江，14）二项式错误!8的展开式的常数项是__7__．（2）(角度2)(2021·福州模拟）设n为正整数，错误!n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（B）A．－112 B．112C．－60 D．60(3）(角度1）(2020·全国)错误!（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为(C)A．5 B．10C．15 D．20[解析］（1)T r＋1＝C错误!（错误!）8－r·错误!r＝错误!C错误!x错误!，由8－4r＝0得r＝2,故常数项为T3＝错误!C错误!＝7．(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项T r＋1＝C r8x8－r·错误!r＝C错误!x8－4r（－2）r,令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C错误!(－2）2＝112．(3)（x＋y）5的展开式的通项T r＋1＝C错误!x5－r y r,∴错误!（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为C错误!＋C错误!＝15，故选C．考点二二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研例 3 (1)(2020·河北衡水中学模拟）已知二项式错误!n的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（A）A．240 B．120C．48 D．36(2)（2021·河北邯郸模拟）在错误!n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为（C）A．15 B．45C．135 D．405（3）(2021·辽宁省朝阳市质量检测）设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3(x－1）3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a0＋a2＋a4＋a6＝__8__．[解析](1)∵二项式错误!n的展开式中，二项式系数之和等于2n＝64,则n＝6,故展开式的通项公式为T r＋1＝C错误!·26－r·x错误!,令错误!＝0,求得r＝2,∴常数项为C错误!·24＝240．故选A．(2)由题意错误!＝64,n＝6,T r＋1＝C错误!x6－r错误!r＝3r C错误!x6－错误!，令6－错误!＝3，r＝2，32C错误!＝135,选C．（3)由题意，令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16,所以a0＋a2＋a4＋a6＝8．故答案为8．[引申］在本例(3）中，(1)a0＝__2__；（2）a1＋a3＋a5＝__－8__;（3）（a0＋a2＋a4＋a6)2－（a1＋a3＋a5)2＝__0__；（4）a2＝__5__．[解析]记f（x）＝(1＋x2)(2－x)4,则（1）a0＝f(1）＝2．(2)a1＋a3＋a5＝错误!＝错误!＝－8；（3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－（a1＋a3＋a5)2＝f(2）·f(0)＝0；（4）令x－1＝t,则x＝t＋1，∴a2为(t2＋2t＋2)(1－t）4展开式中t2项的系数，又(1－t)4的通项为C错误!(－t)r，∴a2＝C错误!＋2×（－1)C错误!＋2C错误!＝5．名师点拨赋值法的应用（1）形如（ax＋b)n、（ax2＋bx＋c）m（a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．（2)对形如(ax＋by）n(a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3）若f（x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝错误!,偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝错误!．*又f′(x）＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋na n x n－1,所以a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝f′（1）．〔变式训练2〕（1）(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考）若（1－2x）2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则下列结论中正确的个数为(C）①a0＝1②a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝错误!③a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝错误!④错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝－1A．1 B．2C．3 D．4(2）（2020·湖南娄底期末）已知(x3＋错误!）n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（C)A．20 B．30C．40 D．50［解析](1）令x＝0得a0＝1,∴①正确;令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝－1，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－错误!，∴②不正确；又a0＋a2＋…＋a2 020＝错误!，∴③正确；令x＝错误!得a0＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝0,∴错误!＋错误!＋…＋错误!＝－a0＝－1．∴④正确，故选C．(2）因为(x3＋错误!)n的展开式中各项的二项式系数之和为32,则2n＝32,解得n＝5，所以二项式为（x3＋错误!）5．因为错误!5展开式各项系数和为243，令x＝1,代入可得（1＋a）5＝243＝35，解得a＝2，所以二项式展开式的通项为T r＋1＝C错误!(x3）5－r·错误!r＝2r·C错误! x15－4r，所以当展开式为x7时,即x15－4r＝x7，解得r＝2，则展开式的系数为22·C25＝4×10＝40．故选C．考点三,二项式定理的应用——多维探究例4角度1整除问题（1）设a∈Z，且0≤a＜13,若512 012＋a能被13整除，则a＝(D)A．0 B．1C．11 D．12(2）(2021·安徽省安庆一中模拟)9C错误!＋92C错误!＋…＋910C错误!除以11所得的余数为(A）A．0 B．1C．2 D．－1角度2近似计算（3)1。
2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节随机事件的概率、古典概型与
第三节随机事件的概率、古典概型与几何概型［考纲传真］ 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别。
2。
了解两个互斥事件的概率加法公式.3。
理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。
5.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6。
了解几何概型的意义．1．频率与概率的关系在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率f n(A）＝错误!会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A）,称为事件A的概率，简称为A的概率．2．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B)相等事件若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交（积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）A∩B(或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U（U为全集）3（1）任何事件A的概率都在[0,1］内，即0≤P(A)≤1,不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1。
(2)如果事件A，B互斥，则P（A∪B)＝P(A)＋P(B）．(3)事件A与它的对立事件错误!的概率满足P(A）＋P（错误!)＝1.4．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式[常用结论]如果事件A1，A2,…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥,其概率有如下公式:P(A1∪A2∪…∪A n）＝P（A1)＋P（A2)＋…＋P(A n）．[基础自测]1．(思考辨析）判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（ )（2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）(3）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ）(4）概率为0的事件一定为不可能事件．( )［答案］（1)√（2）√(3)√（4)×2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455A．0。
新课标高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件与概率课件
①④ 解析：显然 A 与 D 是对立事件，①正确；当取出的两个 球为一黄一白时，B 与 C 都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有 一个白球时，事件 C 与 E 都发生，③不正确；C∪E 为必然事件，P(C∪E) ＝1，④正确；P(B)＝45，P(C)＝35，⑤不正确．
这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)
含义
A 与 B 至少一个发生
符号表示 图形表示
A__∪__B__(或_A_＋__B__)
(3)交事件(积事件)
一般地，事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事
定义
件中的样本点既在事件 A 中，也在事件 B 中，我们 称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积
上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可 能不发生，故 C 中的两个事件是互斥而不对立事件．在 D 中，当 2 枚硬币同时反面朝上时，“至少有 1 枚反面朝上”与“2 枚都是反面 朝上”能同时发生，故 D 中的两个事件不是互斥事件．故选 C．
2．口袋里装有 6 个形状相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个， 黄球 3 个．从中取出两个球，事件 A＝“取出的两个球同色”，B＝ “取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有 一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中 至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．
2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合 的交集为空集． (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事 件 A 所含的结果组成的集合的补集．
高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第3节二项式定理课件理
故 x3 项的系数为 C25·22·(－C33)＋C35·23·(－C12)＝－200.
故选 B. [答案] B
6．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么 a1＋a2 ＋a3＋…＋a7 等于__________．
[解析] 令 x＝1 得(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1. 又∵a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2. [答案] －2
B．6 D．5 或 7
[解析] 在 式系数最大．
[答案] B
的二项展开式中，第 6 项的二项
5．(2016·江西九江一中第一次月考)(x2－x＋2)5 的展开式
中 x3 的系数为(
)
A．－20
B．－200
C．－40
D．－400
[解析] 式子(x2－x＋2)5＝[(x2－x)＋2]5 的展开式的通项
[答案] B
3.
A．80 C．40
展开式中的常数项为(
)
B．－80 D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·
＝Cr5·(－2)r·x10－5r，令 10
－5r＝0，得 r＝2，故常数项为 C25×(－2)2＝40. [答案] C
4．在
项的项数是(
)
A．5
C．7
的二项展开式中，二项式系数最大的
“×”)
(1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项．(
)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两
项．(
)
(3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无
关．(
)
(4)(a＋b)2n 中系数最大的项是第 n 项．(
)
(5)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…(
高考数学一轮总复习教学课件第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第3节 二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项
式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=
n
n-1 1
n-k k
n
a + a b +…+ a b +…+ b (n∈N*).
取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数
为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式
的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项
当 x=-1 时,有 a0-a1+a2-a3+…-a2 023+a2 024=3 ,
B 中,由上可得 a1+a3+a5+…+a2 023=
C 中,由上可得 a0+a2+a4+…+a2 024=
D 中,令 x= 可得 a0+ + + +…+
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,
令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.故选ABD.
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及
的简单问题.
题时应熟练基本概念、基本运算，充分利用方程思
想及等价转化思想.
考点多维探究
考点 1 二项展开式的通项及系数
回扣教材 1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn (n∈N*)
二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝
Crnan－rbr ，它表示第 r＋1
＝2rCr10·x5－52r，令 5－52r＝0，则 r＝2，T3＝4C210＝180.故选 A.
(2)原等式两边求导得 5(2x－3)4·(2x－3)′＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中 x＝1，得 a1＋2a2
＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
命题角度 2 已知二项展开式某项的系数求参
小题快做 1.思考辨析 (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( × ) (2)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( √ ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等．( √ )
解析 依题意，(x＋y)8 的二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk,0≤k≤8，k∈Z.当 k＝7 时，T8＝C78xy7＝ 8xy7；
当 k＝6 时，T7＝C68x2y6＝28x2y6. ∴(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 项为 x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7，故 x2y7 的系数为－20.
2．[教材改编]x2－x235 展开式中的常数项为__4_0_____．
解析 第 r＋1 项为 Cr5(x2)5－r－x23r ＝Cr5x10－2r(－2)rx－3r＝Cr5(－2)rx10－5r 常数项 10－5r＝0，r＝2，常数项为 40.
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.3二项式定理理
数为
பைடு நூலகம்
.(用数字填写答案)
【解析】因为(x+y)8的展开式的通项为Tk+1=
(0≤k≤8,k∈N),
C8kx8kyk
当k=7时,
当k=6时,T7= x2y6=28x2y6,
所以(x-y)T (8x+C y8 7x )y 8的7展8x开y7， 式中x2y7的项C 为86 x·8xy7+
(-y)·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.
a(0≤a<7),则 A.4320
B( .x -43xa22 0)6
展开式中x-3的系数为 (
C.20
D.-20
)
【解析】选B. 4 8 7 4 9 1 7 C 0 74 9 7 C 1 74 9 8
因为487被7除的余数为a(0≤a<7),所以a=6,
所令C67以64-93( xr=1,-x362,可展)6 得开r式=的3,通所项以为
D.-1-i
(2)设a∈Z,且0≤a<13,若512016+a能被13整除,
则a= ( )
A.0
B.1
C.11
D.12
【解题导引】(1)根据待求式结构特点,联系二项展开 式,逆用二项式定理求解. (2)将512016分解成含有13的倍数的因式的形式.
【规范解答】(1)选D. x 2i 1i, 1i
第三节 二项式定理
【知识梳理】 1.二项式定理 (a+b)n=_______________________________________, 其中右端C 为0 n a (n a +C b1 n )a n n 的1 b 二项 展C k n a 开n k 式b k . C n n b n ( n N * ) 2.二项展开式的通项公式 第k+1项为:Tk+1=_______.
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
§10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1 小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3 (1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3 (1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概
(2015·湖北)已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二
项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
解：∵(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， ∴C3n＝C7n，得 n＝10，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，即 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
∴二项式(1＋x)10 中奇数项的二项式系数和为 29.故选 D.
(2015·重庆)x3＋21 x5的展开式中 x8 的系
数是______(用数字作答)．
解：二项展开式通项为 Tr＋1＝Cr5(x3)5－r21 xr＝ 12rCr5x15－72r，令 15－72r＝8，得 r＝2，故 x8 的系 数为122C25＝52.故填52.
(1)(2015·天津)在x－41x6 的展开式
中，x2 的系数为____________．
解：x－41x6展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r－41xr＝ －14rCr6x6－2r，令 6－2r＝2，得 r＝2，
所以 T3＝－142C26x2＝1165x2，所以 x2 的系数为1156.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.3 二项式定理
1．二项式定理 (a＋b)n＝_______________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项 式 定 理 ． (a ＋ b)n 的 二 项 展 开 式 共 有 _________ 项 ， 其 中 各 项 的 系 数 __________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________ 叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即_____________．通项为展开式 的第__________项． 2．二项式系数的性质 (1)对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，____________，…，Cnn＝C0n.
高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件：第十章 计数原理、概率随机变量及其分布3
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
[ 解析]
2 6 (1) (x＋y)8 的展开式中 xy7 的系数为 C7 ＝ 8 ， x y 的 8
系数为 C6 故(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y8 的系数为 8－28 8＝28， ＝－20. (2)由二项展开式的通项公式得， 1 5r r 5－r－ r 5 r 53－r Tr＋1＝( x) 3 ＝(－1) x2－ 6 ＝(－1) x 6 x 53－r 令 6 ＝0，解得 r＝3. 所以展开式中的常数项为(－1)3＝－10. [ 答案] (1)－20 (2)－10
这个公式叫做二项式定理．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
(2)二项式系数、二项式的通项 在上式中它的右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其
k 中各项的系数 Cn (k∈{0,1,2，„，n})叫做二项式系数，式中的 k n－k k Cn a b 叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项为展开 k n －k k 式的第 k＋1 项：Tk＋1＝Cn a b.
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
2．在(1＋2x)n的展开式中，各项的二项式系数的和为64， 则展开式共有________项( A．5 C．7 ) B．6 D ．8
[解析] 各项二项式系数和为2n＝64，故n＝6，
所以该展开式共有7项．故选C. [答案] C
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点自主回扣
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解法二：(x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个
[解析] 知
2 2 n n 由(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C x ＋ „ ＋ C n n nx ，
nn－1 2 Cn＝15，∴ ＝15，解得 2
n＝6 或－5(舍去)．故选 B.
[答案]
B
3. A．80 C．40
展开式中的常数项为( B．－80 D．－40
)
[解析]
r 2 5－r Tr＋1＝C5· (x ) ·
最大； ， 相等且最大．
1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打 “×”)
n－k k (1)Ck a b 是二项展开式的第 k 项．( n
)
(2) 二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两 项．( )
(3)(a ＋ b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a ， b 无 关．( )
第十章
计数原理、 概率、 随机变量及分布列
第三节
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题.
知 识
梳 理 诊 断
1．二项式定理 (1)展开式
0 n 0 1 n－1 1 k n－k k n 0 n C a b ＋ C a b ＋„＋ C a b ＋„＋ C n n na b 所 (a＋b) ＝ n
(2)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( A．－4 C．3 B．－3 D．4
[ 解 析 ] 2 2 ，
(1)(x2 ＋ 2)
＝ x2
＋
的展开式中的常数项为 2C5 5 的展开式中的常数项为 x2C4 5 的展开式中的常数项
(－1)5＝－2， x2
(－1)4＝5，故二项式(x2＋2) 为－2＋5＝3.
故选 B.
[答案] B
6．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7，那么 a1＋a2 ＋a3＋„＋a7 等于__________．
[解析]
令 x＝1 得(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋„＋a7＝－1.
又∵a0＝1，∴a1＋a2＋„＋a7＝－2.
[答案] －2
考 点
题 型 突 破
(2)(1 － x )6(1 ＋ x )4 ＝ [(1 － x )(1 ＋ x )]4(1 － x )2 ＝ (1 － x)4(1－2 x＋x)． 于是(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数为 C0 1＋C1 (－1)1· 1＝－3. 4· 4·
[答案] (1)D (2)B
角度 3：三项展开式中的特定项或系数 (1)(2015· 新课标全国卷Ⅰ )(x2 ＋ x ＋ y)5 的展开 式中，x5y2 的系数为( A．10 C．30 (2) __________(用数字作答)． ) B．20 D．60 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为
r r 10－5r (－2) · x ＝C5· ， 令
10
2 ( 2) －5r＝0，得 r＝2，故常数项为 C2 × － ＝40. 5
[答案]
C
4．在 项的项数是( A．5 C．7 )
的二项展开式中，二项式系数最大的
B．6 D．5 或 7
[解析]
在
的二项展开式中， 第 6 项的二项
式系数最大．
[答案] B
[ 解析 ]
(1) 依题意， T4 ＝
，∵
n－3 其展开式中第四项为常数项，∴ 2 －1＝0，∴n＝5.故选 B. (2)(2x ＋ · ∴x3 的系数为 C4 5×2＝10. x )5 的 展 开 式 的 通 项 为 Tr
＋
1
＝
1 .令 5－2r＝3，得 r＝4.
[答案]
(1)B
(2)10
角度 2：多项式积的展开式中的特定项或系数 (1)(x2 ＋ 2) ( ) A．－3 C．2 B．－2 D．3 ) 的展开式的常数项是
考点一
展开式中的特定项或系数问题 ——共研型
角度 1：二项展开式中的特定项或系数 (1)(2017· 沧州一中期末 ) 若 开式中第四项为常数项，则 n＝( A．4 C．6 B．5 D．7 ) 的展
(2)(2016· 全国卷Ⅰ )(2x ＋ x )5 的展开式中， x3 的系数是 __________(用数字填写答案)．
5．(2016· 江西九江一中第一次月考)(x2－x＋2)5 的展开式 中 x3 的系数为( A．－20 C．－40 ) B．－200 D．－400
[解析]
式子(x2－x＋2)5＝[(x2－x)＋2]5 的展开式的通项
r 公式为 Tr＋1＝C5 · (x2－x)5－r· 2r，对于(x2－x)5－r，它的通项公式 10 为 Tr′＋1＝(－1)r · Cr · x 5－r
n
表示的定理叫做二项式定理．
k n－k k C b na (2)通项：Tk＋1＝
为第
k＋1
项．
2．二项式系数
k C n (1)定义：式子
叫做二项式系数．
(2)性质
n－k k C ①对称性：Cn＝ n
.
②二项式系数最值问题． a．当 n 为偶数时，中间一项 b． 当 n 为奇数时， 中间两项
n 1 2 n 2 ③C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ . n n n n
[解析]
(1)解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含 y2 的
2 3 2 2 3 5 1 4 1 5 ( x x ) · y . ( x x ) x C x · x C 项为 T3＝C2 ＋ 其中 ＋ 中含 的项为 ＝ 5 3 3x . 1 C 所以 x5y2 的系数为 C2 5 3＝30.
(4)(a＋b)2n 中系数最大的项是第 n 项．(
2 4 1 3 5 (5)C0 ＋ C ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋ C n n n n n n＋„(
) )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
(5)√
2．(2015· 陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中 x2 的 系数为 15，则 n＝( A．7 C．5 ) B．6 D．4
′ ′ －2r－r′
， 其中， 0≤r′≤5－r,0≤r≤5， 或
r ， r′ 都是自然数．令
r＝3， r′＝1.
r＝2， 10 － 2r － r′ 的系数为 C2 · 2 · ( － C ) ＋ C · 2 · ( － C 5 3 5 2)＝－200.