【高考数学】2018最新考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：压轴大题突破练2 Word版含答案
2018年江苏省高考冲刺压轴数学试卷(附答案)
2018江苏省高考压轴卷数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．4.如图，该程序运行后输出的结果为 ．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．9.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=﹣81，且a2，a4，a 3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．10.设定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．11.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12.如图，在△ABC中，已知AN=21AC，P是BN上一点，若AP=m AB+41AC，则实数m的值是．13.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|，则a与2a－b夹角的余弦值为．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x,ax25x9x1x,xsin23，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．15.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．16.在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()2cos cosa b C c B-⋅=⋅.AA1B1C1BCFE（第16题）（1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 的面积为3，求该三角形的周长.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。
2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣3 Word版含答案
回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题(冲刺集合195页)
2018考前三个月高考数学理科（江苏专用）总复习训练题(冲刺集合195页)附加题高分练+解答题滚动练+小题满分练 +中档大题规范练+压轴大题突破练+考前回扣中档大题规范练 1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解 (1)方法一 在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝3，得a 2＋c 2－b 2＝6c ，①b cos A ＝1，则b ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，得b 2＋c 2－a 2＝2c ，②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B ) ＝sin(π－C )＝sin C ， 由asin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin C c，代入上式得 c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得a cos Bb cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan Atan B＝3. 又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33， 解得tan B ＝33.又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A .(1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．解 (1)方法一 在△ABC 中，由正弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos A ， 即sin A ＝2sin A cos A .因为A ∈(0，π)，则sin A ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.方法二 在△ABC 中，由余弦定理及b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝bc cos A ＝3，得bc ＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×23sin π3＝32.3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B .(1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．解 (1)由b sin2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．解 (1)在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 同理可得，sin ∠ACB ＝1213.所以cos B ＝cos[π－(A ＋∠ACB )]＝－cos(A ＋∠ACB ) ＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB ＝BCsin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5.在△BCD 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2.3．空间平行与垂直1．(2017·南京学情调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.证明(1)如图，连结A1C，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 的中点， 因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ， 所以PD ∥OE .因为O 为BD 的中点，所以E 为PB 的中点． (2)在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以OC ＝22AB ， 所以PC ＝OC .因为G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO . 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 因为AC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CG . 因为PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ， 所以CG ⊥平面PBD .3．如图，已知平面PAC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PE ∥CB ，M 是AE 的中点． (1)若N 是PA 的中点，求证：平面CMN ⊥平面PAC ； (2)若MN ∥平面ABC ，求证：N 是PA 的中点．证明 (1)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥平面PAC ，因为M ，N 分别为AE ，AP 的中点，所以MN ∥PE ， 又因为PE ∥BC ，所以MN ∥BC ， 即MN ⊥平面PAC ，又MN ⊂平面CMN ， 所以平面CMN ⊥平面PAC .(2)因为PE ∥CB ，BC ⊂平面ABC ，PE ⊄平面ABC ， 所以PE ∥平面ABC ，设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ，则PE ∥l . 又MN ∥平面ABC ，MN ⊂平面PAE ，所以MN ∥l . 所以MN ∥PE ，因为M 是AE 的中点，所以N 为PA 的中点．4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点． (1)若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； (2)若A 1B ∥平面ADC 1，求BD DC的值．(1)证明 因为AB ＝AC ，点D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC .因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC . 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD .因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解 连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为A 1C 的中点．因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD . 因为O 为A 1C 的中点，所以D 为BC 的中点， 所以BD DC＝1.4．应用题1．(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问：当α为何值时l 最小，并求最小值．解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，DH ＝h ，设AD ＝x .则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.因为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h ，则x ＝S h －htan α， 则l ＝f (α)＝2DC ＋AD ＝S h＋h ⎝⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2.(2)f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α， 令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. 当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋h .答 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh(m)．2．(2017·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2.设∠AOC ＝x rad.(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； (2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值？解 (1)因为扇形AOC 的半径为40m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x,0＜x ＜π.在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ， 所以△COD 的面积S △COD ＝12OC ·OD ·sin∠COD＝1600sin(π－x )＝1600sin x ，从而S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π. (2)由(1)知，S (x )＝1600sin x ＋800x,0＜x ＜π， 则S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋12， 由S ′(x )＝0，解得x ＝2π3，从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x )＜0，因此S (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递减．所以当x ＝2π3时，S (x )取得最大值．答 当∠AOC ＝2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．3．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值．解 (1)设一根木条长为x m ，因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x ＞2， 所以42＜4x ＜215.答 四根木条总长的取值范围为(42，215)．(2)方法一 设AB 所在的木条长为a m ，则BC 所在的木条长为(3－a )m. 因为a ∈(0,2)，3－a ∈(0,2)，所以a ∈(1,2)．S 矩形ABCD ＝41－a 24·1－(3－a )24＝4－a 2·4－(3－a )2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20， 设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)， 令f ′(a )＝0，得a ＝32或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去)．当a 变化时，f ′(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a ＝32时，f (a )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4916，即S max ＝74.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二 设AB 所在的木条长为a m ，BC 所在的木条长为b m ．由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0,2)，所以b ＝3－a ∈(0,2)，从而a ，b ∈(1,2)． 由于AB ＝21－b 24，BC ＝21－a 24，S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b24－a 2，因为4－b24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时，S 矩形ABCD ＝74为最大值．答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.4．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m ，要求通行车辆限高4.5m ，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy . (1)若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？隧道口截面面积公式为S ＝23lh.解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10，－32，代入抛物线方程解得a ＝3200， 令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40m.(2)抛物线最大拱高为h m ，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10，－h ＋92，代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400.因为h ≥6，所以92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40.所以S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l3l 2－400(20＜l ≤40)．所以S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2， 当20＜l ＜203时，S ′＜0；当203＜l ≤40时，S ′＞0，即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增，所以S 在l ＝203时取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274m ，拱宽为203m 时，使得隧道口截面面积最小．5．直线与圆1．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13. (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋(－4)2＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0.∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)， 假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程； (2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝(2＋m )22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|<(2－0)2＋(0－1)2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值．解 (1)因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以A (－2,0)，F (1,0)．如图，因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1，±32， 根据对称性，可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3. ①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP＝±32，不妨设OP ：y ＝32x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ，x 24＋y23＝1，解得x ＝2，y ＝62，即P ⎝⎛⎭⎪⎫2，62， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)， 由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb (x 1＋x 2)＋4b 2＝0.(*)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b |k 2＋1，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值 6. 综上，因为6＞2，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4．如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m .在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l ，m ，欲再建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与圆A 相切．(1)当P 距O 处2百米时，求OQ 的长； (2)当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．解 以O 为原点，直线l ，m 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.(1)由题意可设直线PQ 的方程为x 2＋yq ＝1，即qx ＋2y －2q ＝0(q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切， ∴|2－2q |q 2＋22＝1，解得q ＝83，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．(2)设直线PQ 的方程为x p ＋y q＝1， 即qx ＋py －pq ＝0(p ＞1，q ＞2)， ∵PQ 与圆A 相切，∴|p －pq |q 2＋p 2＝1，化简得p 2＝q q －2， 则PQ 2＝p 2＋q 2＝qq －2＋q 2， 令f (q )＝qq －2＋q 2(q ＞2)， ∴f ′(q )＝2q －2(q －2)2＝2(q －1)(q 2－3q ＋1)(q －2)2(q ＞2)，当q ＞3＋52时，f ′(q )＞0，即f (q )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增，∴f (q )在q ＝3＋52时取得最小值，故当公路PQ 长最短时，OQ 的长为3＋52百米．6．圆锥曲线1．(2017·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解 (1)由e ＝ca ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3， 椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)代入，得b 2＝2， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2)由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0， 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2， 从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． 2．(2017·常州期末)已知圆C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B (0，－2)，F (c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B . (1)求t 的值以及椭圆E 的方程；(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？ 解 (1)由题意得b ＝2. 因为C (t,0)，B (0，－2)， 所以BC ＝t 2＋4＝20， 所以t ＝±4.因为t ＜0，所以t ＝－4.因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2， 所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5. 所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.若点P 存在，设P (m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m＝0，所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0， 即2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m )10k 24＋5k 2＋2m ＝0，所以8m －40＝0，所以m ＝5.所以存在定点P (5,0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．3．(2017·无锡期末)已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点(点B 在第一象限)．(1)若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC 面积的最大值； (2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且3y 1＋y 2＝0，求当△OBC 的面积最大时直线l 的方程． 解 (1)直线OB 方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0，设过点C 且平行于OB 的直线l ′方程为y ＝32x ＋b .则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b消去y 整理得3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，此时Δ＝9b 2－12(b 2－3)，令Δ＝0，解得b ＝±23， 当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32； 当b ＝－23时，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－32， 所以△OBC 面积的最大值为12×1＋94×|33＋3|13＝ 3. (2)显然，直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x ＝my ＋n .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋n消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mn3m 2＋4，y 1y 2＝3n 2－123m 2＋4.因为3y 1＋y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3mn3m 2＋4，y 21＝4－n23m 2＋4，从而9n 2m 2(3m 2＋4)2＝4－n 23m 2＋4， 即n 2＝3m 2＋43m 2＋1，所以S △OBC ＝12|n |·|y 1－y 2|＝2|n |·|y 1|＝6|m |n 23m ＋4＝6|m |3m ＋1.因为B 在第一象限，所以x 1＝my 1＋n ＝3m 2n3m 2＋4＋n ＞0，所以n ＞0.因为y 1＞0，所以m ＞0， 所以S △OBC ＝6m 3m 2＋1＝63m ＋1m≤623＝3，当且仅当3m ＝1m ，即m ＝33时取等号，此时n ＝102，4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求AT ·BTMN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P ，若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)由点(b,2e )在椭圆C 上，得b 28＋4e 2b ＝1.因为e 2＝c 2a 2＝8－b 28＝1－b 28，所以b 28＋4b 2＝32.又b 2＜a 2＝8，解得b 2＝4， 所以椭圆C 的标准方程是x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由对称性知N (－x 0，－y 0)，其中y 1＜0. 因为MN ∥AB ，所以AT ·BT MN 2＝－y 1y 24y 20. 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，直线MN 的方程为y ＝kx ，其中k ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以y 1y 2＝－7k21＋2k2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝8消去x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，所以y 2＝8k 21＋2k ，从而得AT ·BT MN ＝732. (3)由AP →＝25TB →，得－x 1＝25(x 2－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2＝8消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－81＋2k 2.又因为－x 1＝25(x 2－1)，所以x 1＝－4k 2＋23(1＋2k 2)，x 2＝16k 2－23(1＋2k 2)，从而－4k 2＋23(1＋2k 2)·16k 2－23(1＋2k 2)＝2k 2－81＋2k 2.整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)．因为k ＞0，所以k ＝ 2.压轴大题突破练 1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1. 当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2， 求得切线方程为y ＝2x －1. (2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e －(a ＋1)．∴当e－(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e .当e－(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e －(a ＋1))＝－e－(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1) ＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立； 又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1)＝ln x －12x ＋12.设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x2x >0恒成立，∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立． 而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立， 函数y ＝g (x )单调递增， ∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件． 2．设函数f (x )＝e x－|x －a |，其中a 是实数． (1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x－|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－x ＋a ，x ≥a ，e x＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1，x ≥a ，e x＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0. 此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x＋1≥1>0，f (x )单调递增， 当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a－a －1≥ka 对任意a <0恒成立， 设g (a )＝e a－(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a－(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e ＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减， 又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意．综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围； (3)求函数f (x )的零点个数． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)， 由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”． 对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)， 由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)， 由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[－1,1]． (3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值． 设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)，所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0，极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0，故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R . (1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.因为a <0，由f ′(x )<0，解得a3<x <－a .所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )． 因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21， 所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)． 因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)， 即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0. 同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0， 两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0， 因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0， 即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2，所以x 1x 2<⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222.从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0.解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4. (3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)， 即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2. 又因为a >0，所以0<a <2. 因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0.令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数．又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，335.2．数 列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n . 解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32.此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16.所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列．(2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列，所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ，即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n .由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3，所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－6n ＋9，所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52.因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89，所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)． (1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n <b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)， 得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)． 又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立． 令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n . (2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4. b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n×(4×2n－4)－2n (8×2n－8＋2n) ＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n－8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8]＝2n⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n－5，当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0，因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0，所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0.所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增，当n ＝1时，f (1)＝－5<0； 当n ＝2时，f (2)＝－34<0； 当n ＝3时，f (3)＝－100<0； 当n ＝4时，f (4)＝－224<0； 当n ＝5时，f (5)＝－360<0； 当n ＝6时，f (6)＝－24<0； 当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设f (k )＝4k2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 则T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列， 则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”． (1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式；(2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n(n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2， 由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52.由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立，即d <3nn －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2， ∴d ＝3，∴a n ＝3n －2.(2)设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，∵{a n }的每一项均为正整数， 且a n ＋1－a n ＝a n q －a n ＝a n (q －1)>2>0， ∴a 1>0，且q >1，∵a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)>a n －a n －1， 即在{a n －a n －1}中，a 2－a 1为最小项， 同理，在{b n －b n －1}中，b 2－b 1为最小项，由{a n }为“A 型数列”，可知只需a 2－a 1>2，即a 1(q －1)>2， 又∵{b n }不是“A 型数列”，且b 2－b 1为最小项， ∴b 2－b 1≤2，即a 1(q －1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得a 1(q －1)＝3， ∴a 1＝1，q ＝4或a 1＝3，q ＝2. ①当a 1＝1，q ＝4时，a n ＝4n －1，则c n ＝4n －1(n ＋1)·2n －5＝2n ＋3n ＋1， 令d n ＝c n ＋1－c n (n ∈N *)，则d n ＝2n ＋4n ＋2－2n ＋3n ＋1＝2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)，令e n ＝d n ＋1－d n (n ∈N *)，则e n ＝2n ＋4·n ＋1(n ＋2)(n ＋3)－2n ＋3·n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3n ＋2·n 2＋n ＋2(n ＋1)(n ＋3)>0，∴{d n }为递增数列， 即d n >d n －1>d n －2>…>d 1，即c n ＋1－c n >c n －c n －1>c n －1－c n －2>…>c 2－c 1， ∵c 2－c 1＝323－8＝83>2，∴对任意的n ∈N *都有c n ＋1－c n >2， 即数列{c n }为“A 型数列”． ②当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3·2n －1，则c n ＝3·2n ＋1(n ＋1)·2n －5＝48n ＋1， 显然，{c n }为递减数列，c 2－c 1<0≤2， 故数列{c n }不是“A 型数列”； 综上所述，当a n ＝4n －1时，数列{c n }为“A 型数列”，当a n ＝3·2n －1时，数列{c n }不是“A 型数列”．小题满分练小题满分练11．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析因为A＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1,1]，所以A∪B＝[－1,2]，所以∁R(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2．(2017·苏州暑假测试)命题“∃x＞1，x2≥2”的否定是________．答案∀x＞1，x2＜2解析根据存在性命题的否定规则得“∃x＞1，x2≥2”的否定是“∀x＞1，x2＜2”．3．若复数z满足z i＝1＋2i，则z的共轭复数是________．答案2＋i解析∵z i＝1＋2i，∴z＝1＋2ii＝2－i，∴z＝2＋i.4．(2017·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据3,6,9,8,4，则该组数据的方差是________．答案265(或5.2)解析这组数据的平均数x＝15(3＋6＋9＋8＋4)＝6，方差s2＝15(9＋0＋9＋4＋4)＝265.5．若流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．答案10000。
2018年江苏省高考冲刺压轴数学试卷(有答案)
绝密★启封前2018江苏省高考压轴卷数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．4.如图，该程序运行后输出的结果为 ．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ． 10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是 ．12.如图，在△ABC 中，已知=21，P 是BN 上一点，若AP =m AB +41，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为 ．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ． 15.如图，在三棱柱1B 1C 1中，，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； （2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 3.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．AA 11C 1B C FE（第16题）数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。
2018考前两个月数学[高考总复习资料]理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣2 Word版含答案
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回扣2 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．曲线y ＝f (x )＝x x 2＋1在点(1，f (1))处的切线方程是____________． 答案 y ＝12解析 ∵f (x )＝x x 2＋1的导数f ′(x )＝1－x 2(1＋x 2)2， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝0， ∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12. 2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝__________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则1＋f ′(1)＝________.答案 －3解析 由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，求导可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，f ′(2)＝4＋3f ′(2)， f ′(2)＝－2，则f ′(x )＝2x －6，f ′(1)＝2－6＝－4，所以1＋f ′(1)＝－3.4．设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，因为e x ＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)， 由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1， 解得－13≤a ≤23. 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.6．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12. 利用图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 7．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0的解集为____________． 答案 (－∞，－2016)解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得 g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数．又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数，所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2018)2f (x ＋2018)＋4f (－2)＜0，可得(x ＋2018)2f (x ＋2018)＜4f (2)，即g (x ＋2018)＜g (2)，所以x ＋2018＜2，故x ＜－2016.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x <1，ln x x 2，x ≥1，则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________． 答案 4解析 当x <1时，f (x )＝12x －1单调递减，且f (x )>－12；当x ≥1时，f (x )＝ln x x 2，则f ′(x )＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当∈[1，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝12e >18，且f (x )≥0，当x 趋近于＋∞时，f (x )趋近于0.作出函数y ＝|f (x )|的大致图象如图所示，由图可知，函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为4.9．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)＜φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min ＜[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x ＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x . ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)＜φ(0)，即t ＞3－e 2＞1； ②当t ≤0时，φ′(x )≥0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)＜φ(1)，即t ＜3－2e ＜0；③当0＜t ＜1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )＜0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若x ∈(t,1]，φ′(x )≥0，φ(x )在(t,1]上单调递增，∴2φ(t )＜max{φ(0)，φ(1)}，即2t ＋1e t ＜max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e .(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e ≤2t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞，使得命题成立． 10．(2017·山东)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2，a ∈R. (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a,0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ； 当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a .②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值；③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a . 综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ； 当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.。
2018最新考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：解答题滚动练7 Word版含答案
解答题滚动练71．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长都相等，且∠ABB 1＝60°，D 为AC 的中点，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD ；(2)AB ⊥B 1C .证明 (1)连结AB 1交A 1B 于点E ，连结DE .因为D ，E 分别为AC ，AB 1的中点，所以DE ∥B 1C .因为DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD .(2)取AB 的中点O ，连结OC ，OB 1.因为BA ＝BB 1，且∠ABB 1＝60°，所以△ABB 1为正三角形，而O 为AB 的中点，所以OB 1⊥AB . 在正三角形ABC 中，O 为AB 中点，所以OC ⊥AB .因为OB 1∩OC ＝O ，且OB 1⊂平面OB 1C ，OC ⊂平面OB 1C ，所以AB ⊥平面OB 1C .又因为B 1C ⊂平面OB 1C ，所以AB ⊥B 1C .2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝t (S n －a n ＋1)(t 为常数，且t ≠0，t ≠1)．(1)证明：{a n }成等比数列；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求t 的值．(1)证明 当n ＝1时，S 1＝t (S 1－a 1＋1)，得a 1＝t ，当n ≥2时，S n ＝t (S n －a n ＋1)，即(1－t )S n ＝－ta n ＋t ，(1－t )S n －1＝－ta n －1＋t ， 所以a n ＝ta n －1，故{a n }成等比数列．(2)解 由(1)知{a n }成等比数列且公比是t ，∴a n ＝t n ， 故b n ＝(t n )2＋t (1－t n )1－t ·t n ，即b n ＝t 2n ＋t n ＋1－2t 2n ＋11－t . 若数列{b n }是等比数列，则有b 22＝b 1·b 3，而b 1＝2t 2，b 2＝t 3(2t ＋1)，b 3＝t 4(2t 2＋t ＋1)，故[t 3(2t ＋1)]2＝(2t 2)·t 4(2t 2＋t ＋1)，解得t ＝12，再将t ＝12代入b n 得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 由b n ＋1b n ＝12知{b n }为等比数列，所以t ＝12. 3．图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中。
【配套K12】2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：压轴大题突破练2 Word版含
2．数 列1．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1) ＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1. 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32. 此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16. 所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列， 所以a 2n －32＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ， 即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n . 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3， 所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32×13n －3n 2＋6n －52. 因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89， 所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)．(1)若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n －1}，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n < b 2n －1的所有正整数n 的集合．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a n ＋1＝a 1＋nd ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由b n ＝2(S n ＋1－S n )S n －n (S n ＋1＋S n )(n ∈N *)，得b n ＝2a n ＋1S n －n (2S n ＋a n ＋1)．又由b n ＝0，得2(a 1＋nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2d －n [2na 1＋n (n －1)d ＋a 1＋nd ]＝0对一切n ∈N *都成立，即(d 2－d )n 2＋(3a 1d －d 2－2a 1)n ＋2a 21－a 1d －a 1＝0对一切n ∈N *都成立．令n ＝1，n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，a 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，a 1＝1，经检验，符合题意．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝0或a n ＝n .(2)由题意得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝3×2n －1，S 2n ＝2n －1＋3(2n －1)＝4×2n －4，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝4×2n －4－3×2n －1＝5×2n －1－4.b 2n ＝2a 2n ＋1S 2n －2n (2S 2n ＋a 2n ＋1)＝2×2n ×(4×2n －4)－2n (8×2n －8＋2n )＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n .b 2n －1＝2a 2n S 2n －1－(2n －1)(2S 2n －1＋a 2n )＝6×2n －1×(5×2n －1－4)－(2n －1)(10×2n －1－8＋3×2n －1)＝2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8.所以b 2n －b 2n －1＝2n ＋1(2n ＋2－9n －4)＋16n －[2n －1(30×2n －1－26n －11)＋16n －8] ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1－5n －52＋8＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52. 记f (n )＝22n －1＋8－2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52，即 f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8.记g (n )＝12×2n －⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋52， 则g (n ＋1)－g (n )＝12×2n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫5n ＋152－12×2n ＋5n ＋52＝12×2n －5， 当n ＝1,2,3时，g (n ＋1)－g (n )<0；当n ∈N *时，n ≥4，g (n ＋1)－g (n )＝12×2n －5＞0， 因为当n ＝1时，g (1)＝－132＜0， 所以g (4)<0，且g (6)＝－12<0，g (7)＝532>0. 所以f (n )＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫5n ＋52＋8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增， 当n ＝1时，f (1)＝－5<0；当n ＝2时，f (2)＝－34<0；当n ＝3时，f (3)＝－100<0；当n ＝4时，f (4)＝－224<0；当n ＝5时，f (5)＝－360<0；当n ＝6时，f (6)＝－24<0；当n ＝7时，f (7)＝3400>0，所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围； (3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k ，从而λ<4k 2k . 设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以f (k ＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ<2.②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k . 因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4.综上，λ的取值范围为(－4,2)．(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)，所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12，即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立，故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列．4．若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“A 型数列”．(1)若首项为1，公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”，且其前n 项和为S n ，若对于任意n ∈N *，都有S n <32n 2＋n ，求{a n }的通项公式； (2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数，且{a n }为“A 型数列”，b n ＝23a n ，c n ＝a n (n ＋1)·2n －5，当数列{b n }不是“A 型数列”时，试判断数列{c n }是否为“A 型数列”，并说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >2，由a 1＝1，得S n ＝n ＋n (n －1)2d ，且S 1<52. 由题意，得n ＋n (n －1)2d <32n 2＋n 对n ∈N *均成立， 即d <3n n －1对n ≥2均成立， ∵3n n －1＝3＋3n －1>3， ∴d ≤3，又d ＞2，∴d＝3，∴a n＝3n－2.(2)设数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，∵{a n}的每一项均为正整数，且a n＋1－a n＝a n q－a n＝a n(q－1)>2>0，∴a1>0，且q>1，∵a n＋1－a n＝q(a n－a n－1)>a n－a n－1，即在{a n－a n－1}中，a2－a1为最小项，同理，在{b n－b n－1}中，b2－b1为最小项，由{a n}为“A型数列”，可知只需a2－a1>2，即a1(q－1)>2，又∵{b n}不是“A型数列”，且b2－b1为最小项，∴b2－b1≤2，即a1(q－1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1(q－1)＝3，∴a1＝1，q＝4或a1＝3，q＝2.①当a1＝1，q＝4时，a n＝4n－1，则c n＝4n－1(n＋1)·2n－5＝2n＋3n＋1，令d n＝c n＋1－c n(n∈N*)，则d n＝2n＋4n＋2－2n＋3n＋1＝2n＋3·n(n＋1)(n＋2)，令e n＝d n＋1－d n(n∈N*)，则e n＝2n＋4·n＋1(n＋2)(n＋3)－2n＋3·n(n＋1)(n＋2)＝2n＋3n＋2·n2＋n＋2(n＋1)(n＋3)>0，∴{d n}为递增数列，即d n>d n－1>d n－2>…>d1，即c n＋1－c n>c n－c n－1>c n－1－c n－2>…>c2－c1，∵c2－c1＝323－8＝83>2，∴对任意的n∈N*都有c n＋1－c n>2，即数列{c n}为“A型数列”．②当a1＝3，q＝2时，a n＝3·2n－1，则c n＝3·2n＋1(n＋1)·2n－5＝48n＋1，显然，{c n}为递减数列，c2－c1<0≤2，故数列{c n}不是“A型数列”；综上所述，当a n＝4n－1时，数列{c n}为“A型数列”，当a n＝3·2n－1时，数列{c n}不是“A型数列”．。
2018最新考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：解答题滚动练5 Word版含答案
f(x)的单调增区间为(0,1)，f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．
(2)g(x)＝f(x)－b＋ ＝－x2＋ ＋lnx－b，x∈(0，2018)．
则g′(x)＝－2x＋ ＋ ，
令g′(x)＝0,得x＝2，负值舍去．
当0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)的单调增区间为(0,2)，
1．已知α∈(0，π)，且sin ＝ .
(1)求sin 的值；
(2)求cos 的值．
解 方法一 联立 ⇒4sin2α－( － )sinα－(1＋ )＝0，
解得sinα＝ 或sinα＝－ ，
因为α∈(0，π)，所以sinα＝ ，
所以cosα＝ .
(1)sin ＝sinαcos －cosαsin ＝ × － × ＝ × ＝ .
解得t∈[－ ， ]．
方法二 设过E的切线与圆C切于切点F，EF2＝EM·EN，
又M是线段NE的中点，所以EN＝2MN，EM＝MN，所以EF2＝2MN2，
又EF2＝EC2－CF2＝22＋t2－1＝t2＋3，MN≤2，
所以t2＋3≤8，
所以t∈[－ ， ]．
4．已知函数f(x)＝－x2－(2a＋1)x＋lnx，且该函数在x＝1处取得极值．
在Rt△CBT中，BC＝1，∠CBT＝60°，
得CT＝ .
由(1)知，AD＝ ，所以CT＝T是平行四边形，
所以CN∥TS.
因为TS⊂平面PAB，CN⊄平面PAB，
所以CN∥平面PAB.
3．已知圆O：x2＋y2＝4，两个定点A(a,2)，B(m,1)，其中a∈R，m>0.P为圆O上任意一点，且 ＝k(k为常数)．
所以AD⊥平面PAB.
2018江苏省高考压轴卷 数学 含答案解析
绝密★启封前2018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2.若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），z是z的共轭复数，则z=．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ．9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ． 10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是 ．12.如图，在△ABC 中，已知AN =21AC ，P 是BN 上一点，若AP =m AB +41AC ，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为 ．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．15.如图，在三棱柱1B 1C 1中，，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅.（1）求角C 的大小；（2）若2c =， △ABC 3，求该三角形的周长.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离． 18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．（1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． AA 1B 1C 1BC F E（第16题）20.（16分）已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=e x．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）﹣g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数G(x)=)x(g )x(f，H(x)= ﹣41x+45，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．数学II（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题~ 第23题）。
[推荐学习]2018考前两个月数学高考理科(江苏专用)总复习训练题：考前回扣1 Word版含答案
考前回扣回扣1 函数的图象与性质1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R|y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称；③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点；③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论，忽视a x＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f (f (1))＝________.答案 －2解析 f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.2．函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝x 2－2ax ＋a 2－a 2＋2＝(x －a )2－a 2＋2， ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，且在区间(－∞，1]上递减， ∴a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2017·江苏南通天星湖中学质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1＋2)＝1(1－b )，2a (－2＋2)＝2(2－b )，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.4．(2017·江苏如东中学质检)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意得a ＞2x －2x2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.5．已知函数f (x )＝||x ＋2||x ，且满足f (a －1)＜f (2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2， 即－1＜a ＜3.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2017)＝________. 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2 解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 8．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝__________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3.又由题意得7(3－a )－3<a ，解得a >94，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为__________．答案 2解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x ＜0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6解析 由题意可得函数f (x )的图象如图所示，若存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝k ，则k ∈(－3,4)，不妨令x 1＜x 2＜x 3，则x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，x 2＋x 3＝6，故x 1＋x 2＋x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫113，6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，若当x ∈(0,4]时，t 2－7t2≤f (x )≤3－t 恒成立，则实数t 的取值范围是______________． 答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数无最大值，最小值为－14；当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数最大值为1，最小值为12；当x ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0.综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2.。
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令n＝1，n＝2，解得 或 经检验，符合题意．
所以数列{an}的通项公式为an＝0或an＝n.
(2)由题意得a2n－1＝2n－1，a2n＝3×2n－1，
S2n＝2n－1＋3(2n－1)＝4×2n－4，
S2n－1＝S2n－a2n＝4×2n－4－3×2n－1＝5×2n－1－4.
令a2(n＋1)－λ＝ (a2n－λ)，得a2(n＋1)＝ a2n＋ λ，所以λ＝ .
此时，a2－λ＝ ＋1－ ＝－ .
所以存在λ＝ ，使得数列{a2n－λ}是等比数列．
(2)由(1)知，数列 是首项为－ ，公比为 的等比数列，
所以a2n－ ＝－ n－1＝－ · ，
即a2n＝ .
由a2n＝ a2n－1＋(2n－1)，得a2n－1＝3a2n－3(2n－1)＝ －6n＋3，
b2n＝2a2n＋1S2n－2n(2S2n＋a2n＋1)
＝2×2n×(4×2n－4)－2n(8×2n－8＋2n)
＝2n＋1(2n＋2－9n－4)＋16n.
b2n－1＝2a2nS2n－1－(2n－1)(2S2n－1＋a2n)
＝6×2n－1×(5×2n－1－4)－(2n－1)(10×2n－1－8＋3×2n－1)＝2n－1(30×2n－1－26n－11)＋16n－8.
解(1)设数列{an}的公差为d.
因为2a5－a3＝13，S4＝16，
所以
解得
所以an＝2n－1，Sn＝n2.
(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，
则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k.
代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·2k<4k，从而λ< .
计算得S1＝1，S2＝ ，S3＝－ ，S4＝－ ，
所以满足Sn>0的所有正整数n的值为1和2.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，设数列{bn}满足bn＝2(Sn＋1－Sn)Sn－n(Sn＋1＋Sn)(n∈N*)．
(1)若数列{an}为等差数列，且bn＝0，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n－1}，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n<
即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12.
因为n>m>2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.
因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，
故不存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列．
因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4.
综上，λ的取值范围为(－4,2)．
(3)假设存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，
则(Sm－S2)2＝S2(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，
所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，
b2n－1的所有正整数n的集合．
解(1)设等差数列{an}的公差为d，
所以an＋1＝a1＋nd，Sn＝na1＋ d.
由bn＝2(Sn＋1－Sn)Sn－n(Sn＋1＋Sn)(n∈N*)，
得bn＝2an＋1Sn－n(2Sn＋an＋1)．
又由bn＝0，得2(a1＋nd) －n[2na1＋n(n－1)d＋a1＋nd]＝0对一切n∈N*都成立，
当n＝1,2,3时，g(n＋1)－g(n)<0；
当n∈N*时，n≥4，g(n＋1)－g(n)＝ ×2n－5＞0，
因为当n＝1时，g(1)＝－ ＜0，
所以g(4)<0，且g(6)＝－ <0，g(7)＝ >0.
所以f(n)＝2n ＋8在n≥7(n∈N*)时也单调递增，
当n＝1时，f(1)＝－5<0；
当n＝2时，f(2)＝－34<0；
设f(k)＝ ，则f(k＋1)－f(k)＝ － ＝ .因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，
所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，所以λ<2.
②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，
则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.
代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1，得λ(1－2k)<(2k－1)4k，从而λ>－4k.
1．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝
(1)是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.
解(1)由已知，得a2(n＋1)＝ a2n＋1＋(2n＋1)
＝ [a2n－3(2n)]＋2n＋1＝ a2n＋1.
所以a2n－1＋a2n＝ －6n＋3＋
＝－2 n－6n＋9，
所以S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)
＝－2 －6(1＋2＋…＋n)＋9n＝ －3n2＋6n－1，
从而S2n－1＝S2n－a2n＝ × －3n2＋6n－ .
因为 和－3n2＋6n＝－3(n－1)2＋3在n∈N*时均单调递减，所以S2n和S2n－1均各自单调递减．
所以b2n－b2n－1＝2n＋1(2n＋2－9n－4)＋16n－[2n－1(30×2n－1－26n－11)＋16n－8]
＝2n ＋8＝22n－1＋8－2n .
记f(n)＝22n－1＋8－2n ，即
f(n)＝2n ＋8.
记g(n)＝ ×2n－ ，
则g(n＋1)－g(n)＝ ×2n＋1－ － ×2n＋5n＋ ＝ ×2n－5，
当n＝3时，f(3)＝－100<0；
当n＝4时，f(4)＝－224<0；
当n＝，f(6)＝－24<0；
当n＝7时，f(7)＝3400>0，
所以满足条件的正整数n的集合为{1,2,3,4,5,6}．
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝ (－1)iai，若对一切正整数n，不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；
(3)是否存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，请说明理由．