氢原子轨道矩阵元的递推关系式
量子力学最全名词解释及知识点整理
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
一维Morse势动量算符矩阵元的通项公式
（12）
将 （12） 式代入积分 H j 之中， 则有 Hj = 1 Σ Σ ( 2 ) （ - 1）C A
/2 j （ k - 1）
β= 0 α= 0
/2 j β （ k + 2 n' - 1） j α
∞ 0
∫y
（ k + 2 j - 2 n - 3） /2 - y
e Ln
k -2 n -1
+ p - + j -β （ y） L d y （13） （ k -1-2 /（ 2 y） α- 2 j + 2 ）
Σ α
Aα
（ k - 2 n' - 1） / 2 k - 2 n' + p - 1 L （ k -2 /（ 2 y） α- 1）
}
（8）
Σ Cβ σ
f x） { ddx （ } { ddx
β β
σ-β
σ-βg
β = （ x）， （展开系数 C σ
}
σ！ ） ！ （ ！ β σ - β）
（9）
则 （8） 式经过计算化简可得
^ q | n' 〉= 〈n | p
Q -Q
∫
q -1 q j ^ qψ （ x ） （ iħ ） O x =（ a ） N n N n' Σ B q Hj p ψ（ n x） n'
j=1
q
（4）
)**)?*4?)) * 收稿日期： 作者简介： 龙超云 （19A) R ） ， 男， 副教授， 199A 年四川大学硕士研究生毕业。主要从事量子力学的教学和研究。
（ 2 j - k + 2 n - 1） /2 /2 1 β t β （ k + 2 n' - 1） （ - 1） ［ （ k + 2 j - 2 n - 1） C j Aα / 2］ × Г 2 n -σ （15）
玻尔氢原子轨道半径公式
玻尔氢原子轨道半径公式
当人们谈到物理学时，常常会提到“玻尔模型”。
玻尔模型是描
述氢原子的轨道结构的一种经典模型。
在这种模型中，氢原子的电子
绕着原子核做匀速圆周运动，形成一系列轨道。
在玻尔模型中，我们
可以利用公式得出氢原子不同轨道的半径。
氢原子轨道半径公式为：
r = n²h²/4π²me²Z
其中，r表示氢原子的轨道半径，n表示主量子数，h表示普朗克
常数，me表示电子的质量，e表示元电荷，Z表示氢原子核的原子序数。
这个公式的意义是，氢原子的轨道半径与主量子数的平方成正比，与普朗克常数的平方、电子质量、原子序数成反比。
换句话说，当主
量子数增加时，氢原子轨道的半径也会增加，但是当普朗克常数、电
子质量或原子序数增加时，氢原子轨道的半径则会减小。
氢原子轨道半径公式有很重要的意义。
它帮助我们理解氢原子的
结构和性质，例如氢原子吸收和辐射特定波长的光线的能力取决于电
子跃迁前后轨道半径的差异。
此外，这个公式也可以用来解释其他元
素的原子结构和化学性质，因为这些元素的原子结构都可以用主量子
数和其他参数来描述。
总之，氢原子轨道半径公式是物理学和化学学科中的重要公式之一。
了解这个公式的意义和应用可以帮助我们更好地理解原子的结构和性质，把它应用到更广泛的领域中。
高二物理竞赛氢原子的薛定谔方程课件
和相 S。
S
电子带负电，磁矩的方 向和自旋的方向应相反。
s 10
向（相z对）于S， 外有磁朝场上方
和朝下两种取向。
B
z
S
这一经典图象
受到了泡利的责难。
S
若把电子视为r =10 -16 m的小球，按 S 估 算出的电子表面速度 > c !
面对按经典图象理解所给出的“荒谬”结果， 乌、古二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，
ml B
Bz z
●
原子射线
不加 磁场
加了 磁场
7
斯特恩正在观测
银原子束通过非均 匀的磁场时，分裂
成了两束
8
斯特恩 — 盖拉赫实验 的意义
(1) 证明了空间量子化的存在 原子沉积层不是连续一片，而是分开的线， 说明角动量空间量子化的存在。 (2)提出了新的矛盾 l = 0，应有一条沉积线。 实验结果却有
11
但他们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励 道： “You are both young enough to allow yourselves
some foolishness!”
自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍
然和角动量有关。类比轨道角动量的量子化， 可给出自旋角动量的量子化： 轨道角动量 L l(l 1) ， Lz ml
4 r13
er / r1
3
电子的分布概率
p(r) r1
p(r) r 2 2
o r1
r
电子云
4
由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动， 就相当于一个闭合载流线圈一样。
其磁矩为
z( B ) L
v
-e
= is i……电流强度 s……载流线圈面积
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-微扰论】
第10章微扰论10.1 设非简谐振子的Hamilton量表示为为实数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）．解：能量的本征值和归一化本征态（无简并）为利用Hermite多项式的递推关系得对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为能量的二级修正值为由式（6）可知，只当m取（n－3），（n－1），（n＋1），（n＋3）四个值时才有贡献，即由此可得在准确到二级近似下体系能量值为在准确到一级近似下，能量本征函数为10.2 考虑耦合谐振子（λ为实常数，刻画耦合强度）．（a）求出的本征值及能级简并度；（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）；（c）严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论，提示作坐标变换，令称为简正坐标，则H可化为两个独立的谐振子。
【详细分析和解答见《量子力学》卷Ⅰ，518～521页】答：Hamilton量为其中与ａ分别表示两个谐振子的坐标，最后一项是刻画两个谐振子相互作用的耦合项表示耦合的强度，设比较小，把H中的看成微扰，而取为它表示两个彼此独立的谐振子，它的本征函数及本征能量可分别表为令则能量表示式可改为由式（6）可以看出，对于情况，能级是简并的，简并度为（N＋1）．（为什么?）以N=1为例，能级为二重简并，能量本征值为相应的本征函数为与（或者它们的线性叠加）．为表示方便，记并选与为基矢，利用谐振子的坐标的矩阵元公式，可以求得微扰W=的矩阵元如下：可得出能量的一级修正为因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为能级简并被解除，类似还可以求其他能级的分裂，如下图所示．本题还可以严格求解，作坐标变换，令其逆变换为容易证明因此，Schrodinger方程化为令即于是方程（13）变为是两个彼此独立的谐振子，其解可取为相应的能量为当时，由式（14），得此时例如，N=1的情况，（n1，n2）=（1，O）与（0，1），相应的能量分别为能级分裂这与微扰论计算结果式（8）一致．10.3 一维无限深势阱（0<x<a）中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。
氢原子轨道量子化公式
氢原子轨道量子化公式首先，我们需要了解氢原子的哈密顿量（H）的形式：H=-(h^2/8π^2m)(∇^2)-e^2/(4πε_0r)其中，h是普朗克常数，m是电子的质量，Δ^2是拉普拉斯运算符（表示动能），e是元电荷，ε_0是真空介电常数，r是电子与原子核之间的距离。
量子化公式基于薛定谔方程，该方程描述了波函数在不同时间和空间的变化规律。
对于氢原子轨道，薛定谔方程可以简化为：Hψ=Eψ其中，ψ是波函数，E是能量，H是哈密顿量。
为了求解薛定谔方程，我们可以采用分离变量法，将波函数分解为径向部分和角度部分的乘积：ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)其中，R(r)是径向波函数，Y(θ,φ)是角度波函数。
将此波函数形式代入薛定谔方程，可以得到两个方程：径向方程和角度方程。
径向方程可以写作：1/r^2 d/dr (r^2 dR/dr) + [2m/h^2(E - V(r)) - l(l+1)/r^2]R = 0其中，l是角量子数，取值为0、1、2、3…，E是能量，V(r)是势能函数。
角度方程可以写作：d^2Y(θ, φ)/dθ^2 + cotθ dY(θ, φ)/dθ + [l(l+1)/sin^2θ] Y(θ, φ) + 2m/h^2(E-V(r))Y(θ, φ) = 0通过求解这两个方程，我们可以得到氢原子轨道的径向和角度波函数，进而得到能级和能量的信息。
E_n=-(m_ee^4)/(2h^2ε_0^2n^2)其中，E_n是第n个能级的能量，m_e是电子的质量，e是元电荷，h是普朗克常数，ε_0是真空介电常数，n是主量子数，取值为1、2、3…。
总结起来，氢原子轨道量子化公式是描述氢原子电子轨道能级的数学表达式，它基于薛定谔方程，并通过求解径向和角度方程得到氢原子的波函数解。
这个公式揭示了氢原子中电子能级的量子化特性，为我们理解原子结构和量子力学奠定了基础。
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结线性代数是现代数学的一个分支，研究向量、向量空间和线性变换等代数结构的性质与特征。
行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解线性方程组、求逆矩阵以及描述线性变换的性质等方面起到了关键作用。
在这篇文章中，我将总结特殊行列式的特点以及行列式的计算方法。
一、特殊行列式1.恒等行列式：表示为，I，其中I是一个n阶单位矩阵。
恒等行列式的值始终为12.零行列式：当矩阵的其中一行（列）全为0时，行列式的值为0。
3.对角行列式：当一个矩阵只有两条对角线上的元素不为0，其他元素都为0时，该行列式称为对角行列式。
对角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
4.正交行列式：当一个矩阵的行（列）两两正交时，该行列式称为正交行列式。
正交行列式的值为1或-15.上三角行列式和下三角行列式：当一个矩阵上方（下方）所有元素都为0时，该行列式称为上三角行列式（下三角行列式）。
上三角行列式和下三角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
二、行列式的计算方法1.全选定理：对于一个n阶行列式，可以通过全选定理将其划分为n 个部分，每个部分都取自不同行不同列的元素。
根据全选定理，行列式的值等于每个部分的和。
2.代数余子式法：通过将行列式的每个元素都与其代数余子式相乘，并加减得到行列式的值。
代数余子式是从行列式中划去一行一列后剩下的(n-1)阶行列式。
3.列展开法：选择行或列展开，将行列式的展开式记作以第i行（列）展开为Ai，行列式的值可以表示为Ai与其对应的元素的代数余子式的乘积的和。
4.递推关系式：行列式有一个重要的性质，即当对调行（列）的位置时，行列式的值相反。
利用这一性质，可以通过多次对调行（列）将矩阵化简为上三角行列式或下三角行列式，进而求解行列式的值。
5.三角行列式：对于上三角行列式和下三角行列式，可以直接用对角线上的元素的乘积得到行列式的值。
总结：线性代数中的特殊行列式具有一些独特的特点，包括恒等行列式、零行列式、对角行列式、正交行列式以及上三角行列式和下三角行列式。
量子力学习题选解
一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。
实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ]A.随散射角的增加而增大B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ]A.定域的波包B.疏密波C.球面波D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A. B.C. D.6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A. B.15C.10D.1507.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为C.和（是常数）描写的是同一个状态D.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，表示A.在方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳中找到粒子的几率C.在点找到粒子的几率D.在点附近，体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是A.B.C.D.11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔A.和势阱宽度成正比B.和势阱宽度成反比C.和粒子质量成正比D.随量子数增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量A.增大为原来的四倍B.增大为原来的两倍C.减小为原来的四分之一D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为，若令，则波函数形如，其中满足为使时，有限，则值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态，式中、是常数，则在此状态下，测量力学量和，下列结论中正确的是A. 测量有确定值，测量也有确定值B. 测量有确定值，测量没有确定值C. 测量和都没有确定值D. 测量没有确定值，测量有确定值15. 若、是厄密算符，则下列结论中正确的是A. 仍然是厄密算符B. 仍然是厄密算符C. 是对易的D. 、的本征函数是实函数16.一质量为的粒子禁闭在边长为的立方体内，粒子的能量， 、、=1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于，其中、为实常数，为谐振子的第个归一化本征函数，则A. B. C. D.18. 球谐函数，其中是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数和的奇偶性，下列说法正确的是A. 、都是奇函数B. 、都是偶函数C. 是奇函数，是偶函数D. 是奇函数，是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是其中A.构成连续谱，构成分立谱B.构成连续谱，构成分立谱C.构成连续谱，构成分立谱D.构成连续谱，构成分立谱21.氢原子的径向波函数中的是A.拉格朗日函数B.拉普拉斯函数C.缔合勒盖尔函数D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A. B. C. D.23.氢原子核外电子的角分布（即径向附近立体角内找到粒子的几率）A.与有关B.与有关，与无关C.与有关，与无关D.与、皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。
第一节 氢原子的薛定谔方程
斜
0
x
同理，在直角三角形⊿0Bx中： 邻 x cosφ= = 0B 斜
x = OB cosφ 由于，直角三角形⊿0Pz中： 对 zP 0B sinθ= = = r r 斜 则：
φ
Y
B
X
球极坐标与直角坐标
0B = rsinθ
x = 0B cosφ= rsinθcosφ
在直角三角形⊿0Bx中： y 对 sinφ= = 0B 斜 则： y = OB sinφ = r sinθ sinφ 根据勾股定律得知： r2 = OB2 + z2 OB2 = x2 + y2 则：
根据欧拉公式
eix = cosx + isinx
有：
eim2π = eimφ-imφ = 1
eim2π = cos( m 2π)+ i sin( m 2π) = 1
只有当 m = 0，±1，±2 … 时，上式才成立。也就是说，m 的变化 是量子化的（m 称为磁量子数）。 sin( m 2π)= 0 cos( m 2π)= 1
只与经向r有关
d 2mr2 Ze2 1 d 2 [ (r ) R] + （ r + E）+ ħ2 R dr dr 1 + Y ∂ ∂ ∂2 1 1 [ (sinθ )Y ] + [ Y ] ∂θ sinθ ∂θ sin2θ ∂φ2
只与角度有关
= 0
将方程移项得：
d 2mr2 Ze2 1 d 2 [ (r ) R] + （ r + E ）= ħ2 R dr dr
一、直角坐标与球极坐标
A right angle coordinate and sphere Coordinate
量子力学简答100题及答案1概述
量子力学简答100题及答案1概述1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量G在自身表象中的矩阵表示有何特点？4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[a，+a ?]=1，a a N+=，n n n N =?，证明：1-=n n n a 。
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卷 年
第
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氢原 子 轨道 矩阵 元 的 递推 关 系 式
王位 雅
文根旺
摘
一
夏丙不 i
要
,
本文使 用超 维 里定理 与 升 降算 符 方 法 系式
。
,
导 出 了 氢原子 跃 迁矩阵 元 与 平 均 值 计算 的 一 些 递 推关 可从
更 推 荐 广 义 拉 盖 尔 函 数作为 一 切 多 电 子 原 子 计 算 的 出发 点
,
使用 广 义 拉 盖 尔 函 数 建 立的 径 向
.
与类氢 原 子 轨道 波 函 数 除 参数有所 变 化 外
,
形 式 完 全 一致
,
类 氢 体 系 的 计算 公 式
,
只 要 将量 子 数 ,: 与 因此
探 索 形 式 简单而 精度 较 高 的 原 子 体 系 矩 阵元 的计 算 公 式
七 x L之
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在文献 臼」中
,
,
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者 使 用拉 盖 尔 函 数 的 T a 对 o r 均 值 的 普 适计 算式
导 出 了 一 个跃 迁 矩 阵 元 与 径 向 平
,
但 由于计 算过 程 需 要交 替 的双 重 求 和
当算符 的 幂 次 较 高 时
.
会 受到计
算 机 数字 位数 的 限 制而 产生 舍入 误 差 ( 算 符 方法
.
唤 成 相 应 的 有 效量 子 数
,
,
便 可 用 于 解 析量 子 亏 损 理 论 与 模 型势 理 论 的 计
可 以 为 原 子 激 发 态 的现
代 研 究提 供 十 分 有 用 的 计 算 公 式 主 量 子 力 学 建立 的 早 期
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氢 原 子 径 向 平 均值 的 计 算便 是 一 项 十 分 重 要 的 工 作
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引
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,
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( 2一 9 )
由生成 函 数 与微 分 关 系 可 得 两个 有 用 的 递 推 关 系 式
〔 2一 4 )
其 中 归 一 化 常数 N
,
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本文 利 用 超 维 里 定 理 及 升 降
可 克 服 交 替求 和 所 带来 的 舍 入 误
,
导 出 了 几 种 计算 矩 阵元 与平 均 值 的 递 推 关 系 式
2
升 降算 符 的 引入 及矩 阵元计算 的递 推 关系 式
类氢 矩 阵元 的 计算 在于 计 算 下式 的 积 分
,
使 用这些 递 推关 系式 可克 服直接计算 公式 中交替双重 求 和所 带来 的计算机舍入误差
,
少数 J L个 低阶矩 阵 元 出发
求 出任意幕次 径 向算 符的 矩阵 元
.
从而可 为 里 德 堡原 子滋发态结 构的
现代研究提 供必 备 的 高 阶微 扰计 算 公 式
关趁 词
:
氢 原子 ; 跃 迁 ; 平 均 值 ; 递推关 系 式
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19 7 4
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