3-4(少)

高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例9
判断曲线
的凹凸性.
y
3 y 4 x , 解
故曲线
说明:
在
上是向上凹的. O
x
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
B
o a f ( x) 0
b
x
o a
f ( x) 0
b x
定理1 设函数 y f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在(a, b) 内可导. （1）若在 (a, b) 内 f ( x) 0 , 则 f ( x) 在[a, b]上单调增加; （2）若在 (a, b) 内 f ( x) 0, 则 f ( x) 在 [a, b] 上单调减少. 说明： 定理中的闭区间可以换成其它类型的区间.
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
曲线凹凸性的判定理
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o a
f ( x ) 递增
b
y 0
x
o
a
f ( x ) 递减
b
y 0
x
定理2 设函数
(1) 在 I 内
在区间I 上有二阶导数
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .
的点与
不
3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 在这些子区间内的符号，并由定
理2得出凹凸区间. 注意上述这些点中若有某些点两 侧的凹凸性一致，则应将两侧合在一起构成一个凹 凸区间. 上述步骤可通过作表辅助完成.
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x
例7 讨论函数 y x 的凹凸性.
3
y
解
2 y 3x , y 6 x 又 D : (, ).
y x3
x
在(,0)内, y 0,
∴ 曲线是凸的；
O
在 (0, ) 内 y 0, ∴ 曲线是凹的.
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第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
x
x 解 y e 1. 又 D : (, ).
在(,0)内, y 0,
∴ 函数单调减少；
在 (0, ) 内 y 0, ∴ 函数单调增加.
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第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
说明： 1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但 在各个部分区间上单调． 2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界 点），驻点可能是单调区间的分界点． y 4）如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例3 确定函数 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2.
的单调区间.
2 解 f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
据此作下表：
x
f ( x) f ( x)
( , 1)
1
0
(1 , 2)
若曲线 的一个拐点.
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或不存在,
但 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例10 求曲线
的拐点.
3
x 解 y 1 3
x
2
2x , y 9
5
3
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
定理 1
设函数
在开区间 I 内可导, 若
在 I 内单调递增 (递减) . 任取
( f ( x) 0) , 则
证
无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故 这说明 在 I 内单调递增.
类似地可以证明 f ( x) 0 的情形.
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性)可导,那么
(1)若在(a,b)内f`(x)单调增加,则曲线弧y=f(x)在[a,b]上 是凹的 (2)若在(a,b)内f`(x)单调减少,则曲线弧y=f(x)在[a,b]上 是凸的
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例1 判定函数 y x sin x 在 [ , ] 上的单调性 解 因为在 ( , )内
y 1 cos x 0,
所以函数 y x sin x在 [0, 2 ] 上的单调增加. 例2 讨论函数 y e x 1 的单调性.
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
π , x (0, 例5 证明 x tan x 2 ).
证
令
则
( x) 1 sec 2 x ) tan 2 x 0 , x (0 , π 2
从而 即
x tan x 0, 亦即 x tan x , x (0, π 2 ).
例8 求曲线 解 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
3 2 y 12 x 12 x ,
36 x( x 2 ) 3
2, 3 11 对应 y1 1 , y2 2 27
3
2) 求拐点可疑点坐标 令 y 0 得 x1 0 , x2 3) 列表判别
(0,1)
11 (2 , ) 3 27
O
yx
3
x
例如,
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
5）函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数 在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性．因此函数 在整个定义域内单调增加.
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因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )

凸
的拐点 .
说明：此例表明二阶导数不存在的点也可能是凹凸区 间的分界点，即在曲线上的对应点处可能有拐点.
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
求函数凹凸区间及拐点的步骤: 1）确定函数 的定义域；
2）在定义域内求出使 存在的点； 的子区间； 4）考察


2 0 1
( 2 , )
2
故
y
2 1
的单调增 区间为
( , 1) , (2 , );
的单调减 区间为 (1 , 2).
O 1 2 x
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例4
y y 3 x2
O
x
说明： 此例表明，导数不存在的点也可能是单调 区间的分界点. 当然导数不存在的点不一 定都是单调区间的分界点.
二、曲线的凹凸性与拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
定义 设函数 (1) 若恒有 图形是凹的;
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3

(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
)上 上向上凹, 在 (0 , 2 故该曲线在 ( , 0) 及 ( 2 , ) 3 3 11 ) 均为拐点. , 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 3 27
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第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
第三章
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第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、 函数单调性的判定法
y
y f ( x)
A
B
y
A
y f ( x)
(2) 在 I 内
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第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例6 解
判定曲线 y e 在 (, ) 上的凹凸性.
x
因为在 (, )内
x x y e 0, y e 0,
所以函数 y e 在 (, ) 上是凹的.
在区间 I 上连续 , 则称
(2) 若恒有
图形是凸的 . 设 是区间 I 内的点，如果曲 线 在经过点 时,
则称
yy 拐点 y
1x 2x2x x x x x1x1x1x 22 x 22
曲线的凹凸性改变了, 那么就称点 O O O 为这曲线的 拐点.
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第三章 微分中值定理与导数的应用
说明： 证明在区间（a, b]上 f ( x) g ( x) 的方法： 1）设 F ( x) f ( x) g ( x) ，证明 F (a) 0. 2）证 F ( x) 0, x (a, b) .