2第二章 应力状态和应变状态(补充)
应力及应变状态
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量 已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下， 应力的数值取决于其所 作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？ 应力和应变分析 变形区域内接触应力 变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件 物理方程 几何方程 边界条件
Extrusion
三维空间问题 （十三个未知数，十三个方程） 轴对称问题 （九个未知数，九个方程） 平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力： 外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等） 内力： 外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。 应力： 变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法 外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
《冲压工艺学》中板材的应力与应变状态及其对应关系图的扩展和补充
《冲压工艺学》中板材的应力与应变状态及其对应关系图的扩展和补充收稿日期：2018-03-12基金项目：国家级大学生创新创业训练计划项目资助（201710066021）作者简介：董鹏霄（1995-），男（汉族），河南漯河人，天津职业技术师范大学机械工程学院，本科生。
通讯作者：袁斌先（1986-），男（汉族），河北清河人，天津职业技术师范大学机械工程学院，讲师，博士，研究方向：板材成形新工艺及材料加工过程中的力学问题。
一、引言在《冲压工艺学》课程中，金属板材变形的应力与应变状态及其对应关系对于后续具体成形工艺的应力与应变状态分析至关重要，也是这门课程的一个核心知识点。
在具体分析时，利用厚向应力为零假设，将金属板材的受力简化为平面应力问题，相对应的应力与应变状态及其对应关系也得到了简化。
但在教学过程中，学生仍反映这部分内容理解起来较为抽象，考试过程中相关知识点的得分率也不高。
因此，本文基于实践教学的经验总结，以教材[1]中的应力与应变状态及其对应关系为基础，从单向受力状态出发，对其进行进一步扩展和补充。
虽然形式上看起来比原图复杂，但逻辑性更强，脉络更加清晰，便于课堂讲授，同时易于学生的理解和记忆。
二、基于单向受力推导的板材应力与应变状态及其对应关系教材[1]中板材的应力与应变状态及其对应关系如图1所示，考虑了板平面双向均有受力的情况，分为4种不同的应力状态：双拉、一拉一压以拉为主、一拉一压以压为主和双压。
但是，实际上对于平面应力问题，总共存在6种不同的应力状态，除了上述4种外还有单向受拉和单向受压的应力状态。
而且，在实际教学实践中发现，如果从单向受力状态出发进行推导，更便于对于应力与应变状态及其对应关系的理解记忆。
下面以从单向受拉的应力状态出发为例，推导以拉伸为主的应力与应变状态及其对应关系。
对于单向受拉的应力状态，其对应的应变状态为一向受拉，另外两个方向受压，如图2所示，这一状态对于做过金属材料单向拉伸实验的学生很好理解。
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
应力和应变状态
由应力圆可计算出： 1 5P， 2 P
例3 已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上 的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应 力。
解：
1 OA1 232.5MPa
3 OB1 107.5MPa
100
max 170MPa R
四、三向应力状态和最大剪应力
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力； 各方向的主应变为：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 2
3 3 1
各平面的剪应变为零
12 23 31 0.
例1、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6 （）。已知： E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对 应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用:
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、 剪应力τα；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa ,σy= 0 , 用图解法求： 1）该点的主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成-450的应力σ-450、τ -450 ？
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
10888.5.（5 MPa）
1 108 .5, 2 0, 3 88.5
t g20
2xy x y
2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系【2024版】
S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)
材料力学性能——第二章
一、缺口效应
（一）缺口试样在弹性状态下的应力分布（厚板）
理论应力集中系数
Kt max
与薄板相比， 厚板在垂直于板厚方向的收缩变形受到 约束，即：
z 0
z
1 E
[ z
(
x
y )]
z ( x y )
y＞ z＞ x
材料力学性能
一、缺口效应
（二）缺口试样在塑性状态下的应力分布（厚板）
一、应力状态软性系数α
(1)较硬的应力状态试验，主要用于塑性金属材料力学性能的测定。 (2)较软的应力状态试验，主要用于脆性金属材料力学性能的测定。
材料力学性能
第二节 压缩
一、压缩试验的特点
(1) 单向压缩试验的应力状态软性系数α=2，所以 主要用于拉伸时呈脆性的金属材料力学性能的测定。
(2) 拉伸时塑性很好的材料，在压缩时只发生压缩 变形而不断裂。
原因：
切应力：引起金属材料产生塑性变形以及韧性断裂。 正应力：引起金属材料产生脆性断裂。
反之亦然
1
材料力学性能
第一节 应力状态软性系数
材料在受到载荷作用时(单向拉伸)， max s
max k
产生屈服 产生断裂
在复杂的应力状态下（用三个主应力表示成σ1、σ2、 σ3 ）
最大切应力理论： max
一、缺口效应 定义
在静载荷作用下，由于缺口的存在，而使其尖端出现应力、应变集中； 并改变了缺口前方的应力状态，由原来的单向应力状态变为两向或三向 应力状态； 并使塑性材料的强度增加，塑性降低。
材料力学性能
一、缺口效应
（一）缺口试样在弹性状态下的应力分布（薄板）
在拉应力σ的作用下，缺口的存在使 横截面上的应力分布不均匀： 轴向应力σy分布：σy在缺口根部最大， 随着距离x↑ ，σy ↓ ，所以在缺口根部 产生了应力集中的现象。 横向应力σx分布：缺口根部可自由变形， σx=0，远离x轴，变形阻力增大， σx↑， 达到一定距离后，由于σy↓导致σx ↓。
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
土力学第二章有效应力.ppt
成层 H
• 轴线附近应力扩散，σz减小
H
• 应力扩散程度与土层刚度比有关
成层
• 随H/B的增大，应力扩散增强
B
均匀 E1
硬层 E2>E1
B
硬层E1 均匀
E2<E1
影响土中应力分布的因素
§3.3 附加应力
非线性和弹塑性
• 对竖直应力计算值的影响不大 • 对水平应力有显著影响
变形模量随深度增大的地基
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
• 水平地基中的 自重应力
基底压力计算
有效应力原理
常规三轴压缩试验
§3.2 自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力
目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体
有侧限应变条件 一维问题
二维应力状态（平面应变状态）
o
y
z
x
y
z zx xy
yz x
z zx xz
x
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，L/B≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
y 0 yx yz 0
地基中的应力状态（2）
§3.1 应力状态及应力应变关系
有效应力原理
土体中的应力计算
第二章：土体中的应力计算
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6
应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理 常规三轴压缩试验
§3.1 应力状态及应力应变关系
zx z+
-
材料力学
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§2.2.4
应力状态
应力矢量与应力分量的关系
pi s ij n j
•公式表明：
已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力
矢量。
•当然可以确定正应力s n与切应力t n。
§2.2.4 应力状态
应力不仅随位置改变而 变化，而且随截面方位 改变而变化。 同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的应 力也不同。 讨论应力分量在坐标变 换时的变化规律。
第二章 应力状态和应变状态
2.1 张量概念 2.2 应力状态 2.3 应变状态
第二章 应力状态和应变状态 张量特征 笛卡儿张量下标 求和定约
2.1 张量概念
偏导数下标记法
特殊张量
第二章 应力状态和应变状态
2.1 张量概念
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——最大正应力、最大切应力以及方位
主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力与应力主方向
• 主应力和主平面
• 主应力分析
(s x s )l t xy m t xz n 0
t xyl (s y s )m t yz n 0 t xzl t yz m (s z s )n 0
2.1 张量概念
显然Biblioteka 11 11 13 1 0 0 ij 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1
克罗内克尔记号是二阶张量 运算规律
ii 11 22 33 3 imam ai imTmj Tij
§2.2.4 应力状态
• 任意斜截面的应力
转轴公式
s i ` j ` s ijnii`n jj`
——应力分量满足张量变化规则
• 应力张量为二阶对称张量
转轴公式表明：新坐标系下的六个应力 分量可通过原坐标系的应力分量确定。
• 应力张量可以确定一点的应力状态。
坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但 是作为整体所描述的应力状态没有变化。
§2.6 主应力与应力主方向
• 应力状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方 向。 • 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条 件等，与坐标轴的选取无关。 • 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是 不随坐标轴的改变而变化的。 • I1 、I2 、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三 不变量。
sij,k ——27个独立变量的集合用三个下标表示
第二章 应力状态和应变状态
两次，则对此下标从1到3求和。
A ak k ak k A
3 k 1
2.1 张量概念
求和定约：张量表达式的某一项内的一个下标出现
a
ij i i j
j
aij i j
哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标：非重复下标 自由标个数表
（2）张量加减
（3）张量与标量乘积
第二章 应力状态和应变状态 2.2
应力状态
研究对象——三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面 的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力 状态，建立平衡微分方程和边界条件。
第二章 应力状态和应变状态 §2.2.1 §2.2.2 §2.2.3 §2.2.4 §2.2.5 §2.2.6 §2.2.7
§2.2.4
应力状态
平面应力状态转轴公式
s x ` s x cos2 s y sin 2 2t xy cos sin ) s y ` s x sin 2 s y cos2 2t xy (cos sin ) t x `y ` (s x s y ) cos sin 1 t xy (cos2 sin 2 )
——弹性力学以坐标系定义应力分量；
材料力学以变形效应定义应力分量。
正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同
§2.2.5 边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知——面力边界Ss
面力边界条件——
Fsj s ij ni
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。
其中：
I1 s x s y s z
2 xy
s ij 主元之和
2 yz 2 xz
I 2 s xs y s ys z s zs x t t t
s x t xy t xz I 3 t yx s y t yz t zx t zy s z
代数主子式之和
应力张量元素 构成的行列式
第二章 应力状态和应变状态
二阶对称张量
反对称张量
Tij Tji
Tij T ji
2.1 张量概念
任意一个二阶张量，总是可以分解为一 个对称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到 二阶以上高阶张量。
第二章 应力状态和应变状态 简单张量运算
（1）两个张量相等
2.1 张量概念
•应该注意—— 应力分量是标量 箭头仅是说明方向
§2.2.3 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
§2.2.3 平衡微分方程
平衡微分方程
t yx t zx s x Fbx 0 x y z
s ij , i Fbj 0
应力
F pn lim S 0 S
应力矢量
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
§2.2.2
应力与应力张量
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。
显然，弹性体内某确定点各个截面的应力
——应力状态必然存在一定的关系。
•应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的
应力变化趋势。
应力状态对于结构强度是十分重要的。 准确描述应力状态，合理的应力参数。 为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述 应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
§2.6 主应力与应力主方向
特征方程有三个实数根
s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主 应力。 对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入
第二章 应力状态和应变状态
置换符号eijk
1 eijk 1 0
2.1 张量概念
i，j，k为1， 3的偶排列 2， i，j，k为1， 3的奇排列 2， 有相等下标时
偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数 字而得到的排列 奇排列
e123 e231 e312 1
e132 e321 e213 1
逗号后面紧跟一个下标i时，表示某 物理量对xi求偏导数。
逗号约定:
( ),
i
xi
( )
利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为
ui ,
j
ui x j ui x j xk
e ij, k
e ij xk e ij xk xl
s ij, k
s ij, kl
s ij xk s ij xk xl
§2.2.5 边界条件
混合边界条件
弹性体边界：
S＝Ss＋Su
部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界Ss
不论是面力边界条件，位移边界条件，
还是混合边界条件，任意边界的边界条件
数必须等于3个。
§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律
结构强度分析需要简化和有效的参数
ui , ik
e ij, kl
第二章 应力状态和应变状态
2.1 张量概念
张量的偏导数集合仍然是张量
证明： ui，j如果作坐标变换
ui ',
j'
( ni 'k uk ),
k
j'
xl xl ( ni 'k uk , l ) ( ni 'k uk ), l x j ' x j ' l l k l k
2.2 应力状态
体力和面力 应力与应力张量 二维应力状态与平衡微分方程 应力状态的描述 边界条件 主应力与应力主方向 应力球张量和球应力偏张量
§2.2.1 体力和面力
• 物体外力
• ——分为两类
• 体力 • 面力
• 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面 积的载荷。
§2.2.2
应力与应力张量
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
——整体与描述坐标系无关（客观存在的）
分量需要通过适当的坐标系定义
笛卡儿（Descartes）张量定义 一般张量——曲线坐标系定义
第二章 应力状态和应变状态 笛卡儿（Descartes）张量定义
2.1 张量概念
在笛卡尔坐标的旋转变 换中，设Ox1 x2 x3和Ox'1 x'2 x'3 是 旧的和新的直角坐标系 ，其转换关系为： x1' l11 x1 l12 x2 l13 x3
t xy s y t zy Fby 0 x y z t yz s z t z Fbz 0 x y z
切应力互等定理
s ij s ji
§2.2.4
应力状态
如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1. 应力张量可以描述其它应力参数； 2. 坐标变换与应力张量关系； 3. 最大应力及其方位的确定。
§2.2.5 边界条件
面力边界条件描述弹性体表面的平衡，
平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。