7.应力应变状态典型习题解析
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体abc从中间竖直切开后，由于左右对称性，所以截开面ad上的剪应力必为零，即 τ x = 0 。由 剪应力互等定理知db边上切应力也为零。所以，可以确定ad面和db面即是该点的主平面。 由于直角三角形 adb 微体处于平衡状态，于是有
∑ Fx = 0 ，
τ Aab sin 30 D + σ x Aab cos 30 D = 0 ，得
σ3
2
τ σ1
3
τ
σ
4
4 FS=120 kN
题1图 解题分析： 从图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，3 点微体上既有正应力又有切应力。 解：1、画各点处微体的应力状态图 取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。 2、 计算各点处主应力 梁截面惯性矩为 I z =
F=14kN
x
z
y
题7图 解题分析：钢立方体置于钢模中，在 y 方向有应力，x、z 方向限制钢立方体变形，即 ε x = 0 、
ε z = 0 ，以此可求出 σ x 和 σ z 。
解：1、 σ y = −
14 × 10 3 N F =− = −35 × 10 6 Pa = −35 MPa A 20 × 20 × 10 −6 m 2
σ x 、σ y 和 τ x 。微体处于静力平衡状态，所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。
在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出 σ x 、 σ y 和 τ x 。 解：从三角形微体中取出一直角三角形adb，并建立直角坐标系，如图b所示。图b 中，
∠adb = 90 D ，并用Aab表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为 σ x 、切应力为 τ x 。当将微
4
4、量取 τ max = 172.5MPa ５ 在三向应力状态中，如果 σ 1 = σ 2 = σ 3 ，并且都是拉应力，它的应力圆是怎样的？又如果 都是压应力，它的应力圆又是怎样的？
τ τ
O
σ1=σ2=σ3
C
σ
C
σ1=σ2=σ3
O
σ
(a)
题5图 解题分析：当 σ 1 = σ 3 时，应力圆均为点圆。
σ x −σ y 2 σ max σ x + σ y 2 = ± ( ) +τ x σ min 2 2
= 58.6MPa 50 × 10 6 Pa 50 × 10 6 Pa 2 ± ( ) + (22.5 × 10 6 Pa) 2 = − 8.6MPa 2 2
所以 σ 1 = 58.6MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −8.6MPa 4 点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与 1 点相等。所以 4 点的主应力为
3 自受力构件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示， τ x = σ / 3 。试求此点的主应力及主 平面微体。
σ
a a
τ
τ σx
τx
τ
y x
σ/3
σ/3
60o c
60o b d b
σ
σ
σ
(a)
(b) 题3图
3
(c)
解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首先建立直角坐标系并确定
(b)
σ z = σ x = −15 MPa
(压)
6
2τ x 计算时，得 α 0 = −22.5 D 或 α 0 = 67.5 D 。这时往往不 σ x −σ y
能直观判定方位角
α 0 = −22.5 D 对 应 的 是 σ 1 的 方 位 或 是 σ 2 的 方 位 。 采 用 公 式
tan α 0 = −
τx τx 或 tan α 0 = − 计算时，可以避免这一问题。 σ x − σ min σ max − σ y
2、因有钢模限制，所以 x、z 方向的应变均为零。
εx =
σ x − µ (σ y + σ z )
E
=0
σ x − 0.3 × (−35 MPa + σ z ) = 0
(a)
εz =
σ z − µ (σ y + σ x )
E
=0
σ z − 0.3 × (−35 MPa + σ x ) = 0
联立(a)、(b)两式，得
5
4、在 D 点向上量取 DD'= CB。 5、 连 D'C 即为应变圆半径， 作应变圆交 ε 轴于 ε 1 和 ε 3 两点， 则 ε 1 和 ε 3 即为主应变数值。 6、连CA'，∠A'C ε 1 =2α0，即可得主应变 ε 1 与 ε 0 的夹角 α 0 。 7、结果 ε 1 = 750 × 10 -6 ， ε 3 = −550 × 10 -6 ， α 0 = 11.3D 讨论 ：可以证明：在直 角三角形 CDD' 及三角形 CBB' 中， CD'= CB'= 应变圆半径。 △CDD'≌△B'BC，故 DD'= CB 7 边长为 20 mm 的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F = 14 kN 作用。已知 µ = 0.3 ，假设 钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。
σ x = −τ / 3 = −σ / 3 (压)
所以该点处主应力为 σ 1 = σ ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −σ / 3 。 ４ 构件中某点 A 为平面应力状态，两斜截面上的应力如图 a 所示。试用应力圆求主应力和 最大切应力。
τ τmax
D(200,100) 100 50 A 200 100 D1(-100,50)
τx 10 MPa ) = arctan(− ) = −22.5 D 40 MPa − 15.9 MPa σ x − σ min
所以主应力 σ 1 对应的方位为 − 22.5 D 。 3、计算最大切应力
τ max =
σ1 − σ 3
2
=
44.1MPa − 0 = 22.1MPa 2
讨论：当采用公式 tan 2α 0 = −
σx +σ y
σ x −σ y
2
τα =
sin 2α + τ x cos 2α 2 （40 − 20）MPa sin 120 D + 10MPa cos 120 D = 3.66MPa = 2
σ x −σ y
2、计算主应力及其方位
σ max =
minLeabharlann Baidu
σx +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
)2 + τ x
My 10 × 10 3 N ⋅ m × 25 × 10 −3 m = = 50 × 10 6 Pa = 50MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
1
τ=
FS S z* 120 ×10 3 N × 60 × 25 × 37.5 ×10 −9 m 3 = = 22.50 × 10 6 Pa = 22.5MPa bI z 60 × 10 −3 m × 500 ×10 −8 m 4
2
⎧44.1MPa （40 + 20）MPa （40 − 20）MPa 2 2 （10MPa） = ± ( ) + =⎨ 2 2 ⎩15.9MPa
所以主应力为
σ 1 = 44.1MPa ， σ 2 = 15.9MPa ， σ 3 = 0
由公式 tan α 0 = −
τx 得 σ x − σ min
α 0 = arctan(−
γ/2
ε3
y
A'
ε3 ε90o
D'
D
C B
2α0 A
ε1 ε
ε45o
11.3o
ε1
ε0o
(a)
x
ε90o
ε45o ε0o
(b)
B'
题6图 解题分析：已知一点处三个方位上的正应变，可完全确定应变圆。 解： 1、确定 ε ，(γ/2)坐标系 2、在 ε 轴上量取 ε 0 值，得点 A；在 ε 轴上量取 ε 45D 值，得点 B；在 ε 轴上量取 ε 90D 值， 得点 D。分别过 A、B、D 点做 ε 轴垂线。 3、平分 AD 得圆心 C。
σ
O C
σ3
σ1
(a)
题4图
(b)
解题分析： 本题应理解为已知了 A 点处微体两个斜截面上的应力，或者说已知了应力圆上 的两个点。但是，已知圆上的两个点并不能确定这个圆，所以还需要补充一个条件。这个补 充条件是：应力圆的圆心必在横坐标轴（即 σ 轴）上。 解：1、建立 σ 、 τ 坐标系(见图 b) 2、在坐标图上确定点D(200，100)和点D1(-100，50)，连接D、D1，做DD1线的中垂线， 交于 σ 轴上C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，即为所求之应力圆。 3、在应力圆上量取 σ 1 = 235MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −110MPa 。
1 点为单向压缩受力状态，所以 σ 1 = σ 2 = 0 ， σ 3 = −100MPa 2 点为纯剪切应力状态， τ =
3 × 120 × 10 3 N 2 × 60 × 100 × 10 −6 m 2 = 30 × 10 6 Pa = 30MPa （向下）
容易得到， σ 1 = 30MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −30MPa 3 点为一般平面应力状态 弯曲正应力 σ = 弯曲切应力
(b)
解：建立 σ 、 τ 坐标系，设OC=σ1=σ2=σ3，拉应力时见图a，压应力时见图b。 ６ 用 直 角 应 变 花 测 得 构 件 表 面 上 一 点 处 三 个 方 向 的 线 应 变 分 别 为 ε 0 = 700 × 10 ，
-6
ε 45D = 350 × 10 -6 ， ε 90D = −500 × 10 -6 ，试作应变圆，求该点处的主应变数值。
应力、应变状态分析
典型习题解析
1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力FS=120 kN及弯矩 M = 10 kN ⋅ m 。绘出表示 1、2、3 及 4 点应力状态的微体，并求出各点的主应力。b = 60 mm，h = 100 mm。
M=10 kN·m b h 1 2 3 50 mm 中性轴 25 mm 1
σ 1 = 100MPa ， σ 2 = σ 3 = 0
2 试求图示微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大切应力。
y 20 MPa
σ2
40 MPa 22.5 30
o o
x
10 MPa
图2 解题分析： 所要计算的斜截面外法线与 x 轴的夹角 α 为正 60 。斜截面应力计算公式中，α 角正负号规定为自 x 轴正向逆时针转向外法线为正。 解：1、计算斜截面上应力 选取 x y 坐标系，如图示。则该微体各应力为
3 4 m bh 3 60 × 10 −3 × (100 × 10 −3） = = 500 × 10 −8 m 4 12 12
1 点处弯曲正应力（压应力）
σ=
My 10 × 10 −3 N ⋅ m × 50 × 10 −3 m = = 100 × 10 6 Pa = 100MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
D
σ x = 40MPa ， σ y = 20MPa ， τ x = 10MPa
α = 60 D 斜截面上的应力为
σα =
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 （40 + 20）MPa （40 − 20）MPa cos 120 D − 10MPa sin 120 D = 16.3MPa = + 2 2 +
∑ Fx = 0 ，
τ Aab sin 30 D + σ x Aab cos 30 D = 0 ，得
σ3
2
τ σ1
3
τ
σ
4
4 FS=120 kN
题1图 解题分析： 从图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，3 点微体上既有正应力又有切应力。 解：1、画各点处微体的应力状态图 取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。 2、 计算各点处主应力 梁截面惯性矩为 I z =
F=14kN
x
z
y
题7图 解题分析：钢立方体置于钢模中，在 y 方向有应力，x、z 方向限制钢立方体变形，即 ε x = 0 、
ε z = 0 ，以此可求出 σ x 和 σ z 。
解：1、 σ y = −
14 × 10 3 N F =− = −35 × 10 6 Pa = −35 MPa A 20 × 20 × 10 −6 m 2
σ x 、σ y 和 τ x 。微体处于静力平衡状态，所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。
在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出 σ x 、 σ y 和 τ x 。 解：从三角形微体中取出一直角三角形adb，并建立直角坐标系，如图b所示。图b 中，
∠adb = 90 D ，并用Aab表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为 σ x 、切应力为 τ x 。当将微
4
4、量取 τ max = 172.5MPa ５ 在三向应力状态中，如果 σ 1 = σ 2 = σ 3 ，并且都是拉应力，它的应力圆是怎样的？又如果 都是压应力，它的应力圆又是怎样的？
τ τ
O
σ1=σ2=σ3
C
σ
C
σ1=σ2=σ3
O
σ
(a)
题5图 解题分析：当 σ 1 = σ 3 时，应力圆均为点圆。
σ x −σ y 2 σ max σ x + σ y 2 = ± ( ) +τ x σ min 2 2
= 58.6MPa 50 × 10 6 Pa 50 × 10 6 Pa 2 ± ( ) + (22.5 × 10 6 Pa) 2 = − 8.6MPa 2 2
所以 σ 1 = 58.6MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −8.6MPa 4 点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与 1 点相等。所以 4 点的主应力为
3 自受力构件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示， τ x = σ / 3 。试求此点的主应力及主 平面微体。
σ
a a
τ
τ σx
τx
τ
y x
σ/3
σ/3
60o c
60o b d b
σ
σ
σ
(a)
(b) 题3图
3
(c)
解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首先建立直角坐标系并确定
(b)
σ z = σ x = −15 MPa
(压)
6
2τ x 计算时，得 α 0 = −22.5 D 或 α 0 = 67.5 D 。这时往往不 σ x −σ y
能直观判定方位角
α 0 = −22.5 D 对 应 的 是 σ 1 的 方 位 或 是 σ 2 的 方 位 。 采 用 公 式
tan α 0 = −
τx τx 或 tan α 0 = − 计算时，可以避免这一问题。 σ x − σ min σ max − σ y
2、因有钢模限制，所以 x、z 方向的应变均为零。
εx =
σ x − µ (σ y + σ z )
E
=0
σ x − 0.3 × (−35 MPa + σ z ) = 0
(a)
εz =
σ z − µ (σ y + σ x )
E
=0
σ z − 0.3 × (−35 MPa + σ x ) = 0
联立(a)、(b)两式，得
5
4、在 D 点向上量取 DD'= CB。 5、 连 D'C 即为应变圆半径， 作应变圆交 ε 轴于 ε 1 和 ε 3 两点， 则 ε 1 和 ε 3 即为主应变数值。 6、连CA'，∠A'C ε 1 =2α0，即可得主应变 ε 1 与 ε 0 的夹角 α 0 。 7、结果 ε 1 = 750 × 10 -6 ， ε 3 = −550 × 10 -6 ， α 0 = 11.3D 讨论 ：可以证明：在直 角三角形 CDD' 及三角形 CBB' 中， CD'= CB'= 应变圆半径。 △CDD'≌△B'BC，故 DD'= CB 7 边长为 20 mm 的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F = 14 kN 作用。已知 µ = 0.3 ，假设 钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。
σ x = −τ / 3 = −σ / 3 (压)
所以该点处主应力为 σ 1 = σ ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −σ / 3 。 ４ 构件中某点 A 为平面应力状态，两斜截面上的应力如图 a 所示。试用应力圆求主应力和 最大切应力。
τ τmax
D(200,100) 100 50 A 200 100 D1(-100,50)
τx 10 MPa ) = arctan(− ) = −22.5 D 40 MPa − 15.9 MPa σ x − σ min
所以主应力 σ 1 对应的方位为 − 22.5 D 。 3、计算最大切应力
τ max =
σ1 − σ 3
2
=
44.1MPa − 0 = 22.1MPa 2
讨论：当采用公式 tan 2α 0 = −
σx +σ y
σ x −σ y
2
τα =
sin 2α + τ x cos 2α 2 （40 − 20）MPa sin 120 D + 10MPa cos 120 D = 3.66MPa = 2
σ x −σ y
2、计算主应力及其方位
σ max =
minLeabharlann Baidu
σx +σ y
2
± (
σ x −σ y
2
)2 + τ x
My 10 × 10 3 N ⋅ m × 25 × 10 −3 m = = 50 × 10 6 Pa = 50MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
1
τ=
FS S z* 120 ×10 3 N × 60 × 25 × 37.5 ×10 −9 m 3 = = 22.50 × 10 6 Pa = 22.5MPa bI z 60 × 10 −3 m × 500 ×10 −8 m 4
2
⎧44.1MPa （40 + 20）MPa （40 − 20）MPa 2 2 （10MPa） = ± ( ) + =⎨ 2 2 ⎩15.9MPa
所以主应力为
σ 1 = 44.1MPa ， σ 2 = 15.9MPa ， σ 3 = 0
由公式 tan α 0 = −
τx 得 σ x − σ min
α 0 = arctan(−
γ/2
ε3
y
A'
ε3 ε90o
D'
D
C B
2α0 A
ε1 ε
ε45o
11.3o
ε1
ε0o
(a)
x
ε90o
ε45o ε0o
(b)
B'
题6图 解题分析：已知一点处三个方位上的正应变，可完全确定应变圆。 解： 1、确定 ε ，(γ/2)坐标系 2、在 ε 轴上量取 ε 0 值，得点 A；在 ε 轴上量取 ε 45D 值，得点 B；在 ε 轴上量取 ε 90D 值， 得点 D。分别过 A、B、D 点做 ε 轴垂线。 3、平分 AD 得圆心 C。
σ
O C
σ3
σ1
(a)
题4图
(b)
解题分析： 本题应理解为已知了 A 点处微体两个斜截面上的应力，或者说已知了应力圆上 的两个点。但是，已知圆上的两个点并不能确定这个圆，所以还需要补充一个条件。这个补 充条件是：应力圆的圆心必在横坐标轴（即 σ 轴）上。 解：1、建立 σ 、 τ 坐标系(见图 b) 2、在坐标图上确定点D(200，100)和点D1(-100，50)，连接D、D1，做DD1线的中垂线， 交于 σ 轴上C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，即为所求之应力圆。 3、在应力圆上量取 σ 1 = 235MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −110MPa 。
1 点为单向压缩受力状态，所以 σ 1 = σ 2 = 0 ， σ 3 = −100MPa 2 点为纯剪切应力状态， τ =
3 × 120 × 10 3 N 2 × 60 × 100 × 10 −6 m 2 = 30 × 10 6 Pa = 30MPa （向下）
容易得到， σ 1 = 30MPa ， σ 2 = 0 ， σ 3 = −30MPa 3 点为一般平面应力状态 弯曲正应力 σ = 弯曲切应力
(b)
解：建立 σ 、 τ 坐标系，设OC=σ1=σ2=σ3，拉应力时见图a，压应力时见图b。 ６ 用 直 角 应 变 花 测 得 构 件 表 面 上 一 点 处 三 个 方 向 的 线 应 变 分 别 为 ε 0 = 700 × 10 ，
-6
ε 45D = 350 × 10 -6 ， ε 90D = −500 × 10 -6 ，试作应变圆，求该点处的主应变数值。
应力、应变状态分析
典型习题解析
1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力FS=120 kN及弯矩 M = 10 kN ⋅ m 。绘出表示 1、2、3 及 4 点应力状态的微体，并求出各点的主应力。b = 60 mm，h = 100 mm。
M=10 kN·m b h 1 2 3 50 mm 中性轴 25 mm 1
σ 1 = 100MPa ， σ 2 = σ 3 = 0
2 试求图示微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大切应力。
y 20 MPa
σ2
40 MPa 22.5 30
o o
x
10 MPa
图2 解题分析： 所要计算的斜截面外法线与 x 轴的夹角 α 为正 60 。斜截面应力计算公式中，α 角正负号规定为自 x 轴正向逆时针转向外法线为正。 解：1、计算斜截面上应力 选取 x y 坐标系，如图示。则该微体各应力为
3 4 m bh 3 60 × 10 −3 × (100 × 10 −3） = = 500 × 10 −8 m 4 12 12
1 点处弯曲正应力（压应力）
σ=
My 10 × 10 −3 N ⋅ m × 50 × 10 −3 m = = 100 × 10 6 Pa = 100MPa 500 × 10 −8 m 4 Iz
D
σ x = 40MPa ， σ y = 20MPa ， τ x = 10MPa
α = 60 D 斜截面上的应力为
σα =
cos 2α − τ x sin 2α 2 2 （40 + 20）MPa （40 − 20）MPa cos 120 D − 10MPa sin 120 D = 16.3MPa = + 2 2 +