七年级数学上册 余角与补角
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质(教案)
-重点二：余角、补角的性质掌握。学生需要熟练掌握互为余角、补角的两个角之间的数量关系，并能运用这些关系进行计算。
-举例：如果∠A和∠B互为余角，且∠A=40°，求∠B的度数。
-重点三：运用余角、补角解决实际问题。培养学生将余角、补角知识应用于实际问题的能力，如平面几何图形的角的求解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角和补角的概念以及它们之间的数量关系。对于难点部分，比如两个角的和的关系，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角、补角相关的实际问题，如直角三角形中的角度关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过剪纸或使用量角器，学生可以直观地观察到余角和补角的形成。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概念。余角是指两个角的和等于90°的两个角，补角是指两个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解和平面角度的计算中非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。在一个等腰直角三角形中，底角的度数如何求解？通过余角的概念，我们可以轻松找到答案。
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质（教案）
一、教学内容
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质。本节课我们将学习以下内容：
1.余角的概念：两个角的和等于90°时，这两个角互为余角。
2.补角的概念：两个角的和等于180°时，这两个角互为补角。
3.余角、补角的性质：
a.互为余角的两个角的和为90°；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
6.3.3 余角和补角 课件 人教版七年级数学上册
所以∠DOE= ∠BOD=75°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+75°=165°.
②如图②所示,因为∠AOB=90°,∠COD=90°,
∠AOC=30°,
所以∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=15°.
所以∠COE=∠COD+∠DOE=90°+15°=105°.
故答案为165°或105°.
解:(1)因为∠BOC=40°,所以∠AOC=140°.
因为 OE 是∠AOC 的平分线,
所以∠AOE= ∠AOC=70°.
(2)题图中与∠COE互余的角有∠COD,∠BOD.
(3)∠COE有补角吗?若有,请把它找出来,并说明理由.
解:(3)∠COE有补角.理由如下:
因为∠AOE=∠COE,∠AOE+∠BOE=180°,
A.互余
B.互补
C.相等D.∠α=90°+∠γ
5.一副三角板按如图所示的方式摆放,则∠1补角的度数为( D )
A.45° B.135°
C.75° D.165°
6.如图所示,已知点O是直线AB上的一点,∠BOC=40°,OD,OE分别是
∠BOC,∠AOC的平分线.
(1)求∠AOE的度数.
(2)写出图中与∠COE互余的角.
B.59°50′
C.149°10′
D.60°10′
2.如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( D )
A.150°
B.90° C.60° D.30°
3.若一个角比它的余角大30°,则这个角等于( B)
A.30° B.60° C.105°
D.120°
七年级数学上《余角和补角》知识解析
《余角和补角》知识解析课标要求：1. 理解余角、补角、互余、互补等概念，在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角。
理解余角（补角）与互余（互补）的区别和联系，会求已知角的余角或补角.2.理解余角（补角）的性质，并能用它解决相关问题。
会用方程的思想方法求有关角的度数.3．理解互余（及互补）两角的等式表示方法，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.知识结构：内容解析：本节课主要学习余角、补角概念，余角、补角的性质，方位角. 余角和补角是在学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的数量关系作进一步探讨，在后面学习对顶角相等及平行线的判定和性质时即将用到，并为今后证明角的相等提供一种依据和方法.另外教材在此已开始对学生提出“简单说理”的要求，为以后推理证明题作准备.方位角的知识学生在小学就有所了解，但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的位置是学生不熟悉的.方位角的知识在“解直角三角形”等内容有广泛的应用，并且为今后学习平面直角坐标系、极坐标等知识奠定基础.教学重点：1. 理解余角、补角的概念，会求已知角的余角或补角.2. 理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数. 教学难点：1.理解余角（补角）的性质，会用性质及建立方程的思想方法求有关角的度数.2. 理解互余（及互补）两角的等式表示方法.教法导引：现代教学论认为数学应加强学生的数学活动，如果能让学生在“做数学”的过程中获得知识和技能，掌握基本数学思想和规律，那将是课堂教学中最理想的境界，也是新课程改革的一个重要目标。
根据以上认识，我的教学思路是：老师的“教”体现在创设情境，激发兴趣，组织探索，引导发现。
学生的“学”体现在操作讨论，探索发现，归纳结论。
另外针对发展学生的逻辑推理能力，教学时注重让学生发表自己的见解，引导学生用数学语言表达自己的思考过程。
本节课主要采用“教师创设问题情境—学生自主探索与小组合作交流—概括明晰”的教学思路，把探索知识的主动权完全交给学生．通过问题情境的设置，激发学生的学习兴趣，营造师生间民主、和谐的学习氛围和每个学生平等参与学习的机会．这种合作学习的方式，使得全体学生都能在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，共同发展．在教学中，要关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念并初步学会应用．并给学生提供探索和交流的空间，使数学活动不是单纯地依赖、模仿与记忆，而是一个生动活泼、积极主动和富有个性的过程，围绕本节课所学的知识，设置有现实意义的具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验。
6.3.3 余角和补角 课件 人教版数学七年级上册
∵∠BOC∶∠AOE=3∶1,
∴∠BOC= ×90°=67.5°.
又∵∠BOD=90°,
∴∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,
∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)图中有哪几对角互为补角?
3.若一个角的余角是它的补角的 ,则这个角的补角是
( D )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.(1)已知∠α=24°30',则它的余角等于
65°30' ;
(2)一个角的余角比这个角的补角的 还小10°,求这个
Байду номын сангаас
角的余角及这个角的补角.
解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.
因为∠1+∠2=90°,
∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3.
等角的补角相等:
因为∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180°,
∠1=∠3,
所以∠2=∠4.
注意:①互余、互补指的是两个角的数量关系,互余、
互补的两个角只与它们的和有关,而与它们的位置无
关.
②一般地,锐角α的余角可以表示为(90°-α),一个
(3)∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,
∠AOE与∠BOE,∠DOC与∠BOE,
∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,
∠BOD与∠EOC.
初中数学七年级上册《余角和补角》课件
知识点 1 余角和补角 【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°， 所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互 余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为的两角一定相等.( × ) (2)两个小于90°的角一定互余.( × ) (3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( √ ) (4)相等且互补的两个角分别等于90°.( √ ) (5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( × )
2.余角和补角的性质： 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__， 所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_， 又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
数学人教版七年级上册
4.3.3 余角和补角
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用. 2.正确地根据方位角确定方向.
2024年沪科版七年级数学上册4.5.2 补角和余角类(课件)
(1)如果∠1+∠2= 90°，∠1+∠3= 90
余角
同角（或等角） 的余角相等
°，那么∠2=∠3; (2)如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90
°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4
练习
1. 填表：
∠α
【教材P160 练习 第1题】
50° 45° 60° n°（0＜n＜90）
∠α的余角 40° 45° 30° （ 90-n ）°
随堂练习
1.下列说法不正确的是（ B ） A.任意两直角互补 B.任意两锐角互余 C.同角或等角的补角相等 D.同角或等角的余角相等
2.下列结论正确的个数为（ C ） ①互余且相等的两个角都是45° ②锐角的补角一定是钝角 ③一个角的补角一定大于这个角 ④一个锐角的补角比这个角的余角大90° A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
因为∠3与∠4互余，所以∠4=90°- ∠3. 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4.
【归纳总结】
性质
数学语言
(1)如果∠1+∠2= 180°, ∠1+∠3= 18
补角
同角（或等角） 的补角相等
0°，那么∠2=∠3; (2)如果∠1+∠2=180°,
∠3+∠4=180
°，且∠1=∠3, 那么∠2=∠4
补角
同角（或等角） 的补角相等
那么∠2=∠3; （2）如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
且∠1=∠3，那么∠2=∠4
（1）如果∠1+∠2= 90°，∠1+∠3= 90°，
余角
同角（或等角） 的余角相等
那么∠2=∠3; （2）如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且
人教版七年级上册数学4. 余角和补角课件
4．3.3 余角和补角
课堂导案
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由．
∠3＝∠4 理由：由(1)知∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝90°， 又∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．
4．3.3 余角和补角
＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.其推理
根据是( C )
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
4．3.3 余角和补角
课堂导案
7．如上图，∠AOB＝∠COD＝90°，则下列结论中，
正确的是( B )
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠3
D．∠1与∠3互余
∠BOE，OD⊥OC于点O，则与∠DOE互补的角
是( D )
A．∠EOC
B．∠AOC
C．∠AOE
D．∠BOD
4．3.3 余角和补角
课后练案
16．如上图，点O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，
∠COE＝90°，图中与∠AOC互补的角有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．3.3 余角和补角
4．3.3 余角和补角
课堂导案
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (1)∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由．
∠2与∠3互余． 理由：∵∠1与∠4互余，∴∠1＋∠4＝90°，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2与∠3互余．
课后练案
17．一个角的补角比这个角的余角的3倍少18°，求 这个角．
6.6 余角和补角(课件)青岛版(2024)数学七年级上册
线， OD平分∠AOC， ∠DOE＝90°， OE平分
∠BOC 吗？为什么？
解题秘方：紧扣角平分线的 定义，利用余角的性质说明 两个角相等.
感悟新知
知2－练
解：OE平分∠BOC. 理由如下： 因为∠DOE＝90°，∠AOB＝180°， 所以∠DOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠BOE＝90°. 因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC. 所以∠COE＝∠BOE. 所以OE平分∠BOC .
感2悟. 互新为知补角
知1－讲
若两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称
互补，其中一个角叫作另一个角的补角。
数学语言：若∠3＋∠4＝180°，就说
∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，
或∠3与∠4互为补角，如图6.6－2.
延伸拓展：若两个角有一条公共边，另一条边互为反向
延长线，就说这两个角互为邻补角。
B.2 个
C.3 个
D.4 个
感悟新知
知识点 2 余角、补角的性质
知2－讲
1. 余角的性质
同角或等角的余角相等.
(1)如果∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝
∠3； ∠2是∠1的余角 ∠3是∠1的余角 (2) 如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝
∠3，那么∠2＝∠4. ∠2是∠1的余角 ∠4是∠3的余角
感悟新知
知1－讲
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相 等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.
2. 互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是
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余角和补角一、教学目标1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列方程)解决几何问题.3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。
二、教学重点及难点重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念.难点：余角和补角的性质.三、教学过程（一）创设情境，自然引入先观察如图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？A1 2O B再观察如图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？βαA O B（让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）（二）设问质疑，探究尝试教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt∠AOB重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？同样∠α+∠β与∠AOB重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB相等吗？通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念：1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°．2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．（三）归纳总结，概括知识1、试举出互余、互补角的例子．2、30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？(要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变)3、若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″．(在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便)35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″．(在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．)4、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC = Rt∠,OD是∠BOC内的一条射线。
图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。
C DA O B师生共同总结出：同角的余角相等．同理可推出：同角的补角相等再问：如果两个角相等，那么它们的余角和补角有什么关系？由此得到补角和余角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．注意：学生往往对“同角”、“等角”的认识不太清楚，在“同角”的情况时说“等角”，在“等角”的情况时说“同角”，因此要对学生强调指出：“等角是相等的角”，而“同角是同一个角”．另外，这个性质在目前的应用还不太多，但今后的应用是非常广泛的（四）精讲细练，巩固提高例1、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
解：设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°．由题意，得 180 – x = 4( 90 – x ) ,解方程，得x= 60º答：这个角的度数为60°．例2、互为余角的两个角的差为15°，求：(1)较大角的补角的度数；(2)较小角的补角与较大角的补角的差.解：(1)设较大的角为x，则较小角为x-15，根据题意有：x+(x-15)=90°解得x＝52.5°∴180°-x＝127.5°(2)仍为15°例3、一个角的补角加上80°的余角后，等于这个角的余角的5倍。
求这个角的补角的度数。
分析：本题要认真审题，弄清各角数量间的关系，本题运用方程的思想，往往事半功倍。
解：设这个角为x0，则这个角的余角为90°－x0，补角为180°－x0。
根据题意有-︒=-︒x-+︒180x90))(580(90)180(:度解得x6565=︒=115︒-︒答：这个角的补角为115°.（五）发散思维，解决问题1．一个角的补角与这个角的余角的差是多少度。
2．一个角是它的补角的一半，求这个角的余角。
3.已知一个角的补角是它的余角的5倍，求这个角的度数.4．已知两角之比为7:3，它们的差为72°，求这两个角的度数.它们互补吗 ?5．甲、乙、丙三人同时从同一地点O出发，甲沿北偏东30°方向走了4千米到达A地，乙沿南偏西30°方向走了3千米到达B地，丙沿南偏东60°方向走了3千米到达C地. 取1cm 表示1千米，在纸上描出A、B、C三地的点.答案：1．90 °2．30°3.67.5°4．设其中一个角为7x，另一个角为3x7x-3x=72°解得：x＝18°∴7x＝126°，3x＝54°∴两角互补5．(如下图)（六）总结串联，纳入系统1、这例题是利用代数方法解决几何问题，关键是正确设出未知数，正确列出方程，求出未知数的值．在设未知数的过程中，可以有不只一种设法．2、注意题目中的隐含条件，若一个角为x时，它的余角为90-x，它的补角为180-x．3、在设未知数的过程中，要注意写单位，但在列方程时，可以不带单位．（七）布置作业，落实目标P139T6 T10四、教学检测(一)请你选一选。
1．一个角的余角和补角也互为补角，这个角的度数是( )。
A.90°B.75°C.45°D.15°2.若∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，则错误的是( )A.∠2＞∠1B.∠2＞∠3C.0°＜∠1＜90°D.∠1＞∠33.如下图,∠DOB为平角，∠AOC为直角，∠AOD=20°，则∠AOD的余角的补角是( )A.20°B.70°C.110°D.160°4．若∠α+∠β=90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是( )。
A.互余B.互补C.相等D.不确定5．如下图所示，O是直线AB上一点，∠BOC是直角，则∠COD的余角是( )。
A.∠BOCB.∠BODC.∠AOCD.∠AOD6.互为补角的两个角( )。
A.是一个锐角、一个钝角或两个都是直角。
B.都是钝角。
C.都是锐角。
D.一定是一个锐角，另一个是钝角。
（二）请你填一填。
1.互余的两个角的度数之比是2∶7，则这两个角的度数分别为和 .2.已知∠α的余角是36°28′，那么∠α= 。
3.4点整时钟上的时针与分针所夹的角是°。
4. 度角的余角比它的七分之二大9°.5.一个角的余角和它的补角之比是2∶5，则这个角是6．48°16′的补角是，72°39′16″的余角是。
7．一个角的补角是它的3倍，则这个角是 。
8．一个角比它的余角大15°，这角是 。
9．一个角等于它的补角的4倍，这个角的补角是 °.10．已知∠α的余角等于∠α的补角的41，则∠α= °。
（三）请你来思考。
1、某火车站的钟楼上装有一电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的刻度都装有一只小彩灯,晚上九点三十五分二十秒时,时针和分针所夹的角之内装有多少只小彩灯?2、如图，图1中有几个角，图2中有几个角，图3中有几个角，则n 条射线可构成几个角？图1 图2 图3答案：(一)请你选一选。
1.C2. D3. C 4．C 5.D 6.A（二）请你填一填。
1.20° 70°2.53°32′3.1204.63°5.30°6．131 °44′，17°20′44″7．45°8．52.5°9．36°10．60°（三）请你来思考。
1、122、3；6；10； 2)1( n n五、数学史话3根指挥棒和12个直角英国发明家瓦特（1736—1819）获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃为波士顿──瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，引起了许多旧贵族的不满。
据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。
”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子但是我可以用这样3根棒子组成12个直角，而你却不能做到。
”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角。
你能拼出12个直角吗？你自己先试试看。
下面我们一起来讨论一下：如果把图1中最下面的一根指挥棒向左平移，就摆成了6个直角（见图2）。
如果把图2中最下面的指挥棒往上平移，就可以摆出8个直角（见图3）。
这时候，我们会发现，在桌面无论怎样摆法，直角数都不会超过8个。
于是，我们可以得出结论：在桌面上，无法用3根指挥棒拼出12个直角。
图1图2 图3但是，瓦特并没有说“我能在桌面上拼出12个直角”！因此，我们应该离开桌面来讨论这个问题。
我们重新来考虑一下：如果把2根指挥棒十字交叉地放在桌面上，另一根指挥棒的一端摆在前2根指挥棒的交叉处并使这根棒与桌面垂直（如图4），这时拼出的直角也是8个。
如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面，紧挨着与桌面垂直的小棒向上方平移（如图5）。
那么，这时我们会发现，12个直角出现了。
图4 图5好了，现在问你另一个问题：我们知道，以3根火柴为边可以组成一个三角形。
那么，用6根火柴能组成4个三角形吗？。