期末复习(七)三角函数高一新教材期末考试专题复习资料

期末复习（七）——三角函数一．单选题 1．已知33cos()25πα+=，322ππα-<<-，则cos α的值等于( ) A ．45-B ．925-C ．4425-D ．39252．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )A B C D 3．函数()3sin()cos23f x x x π=+-+在[,]22ππ-上的最小值为( )A ．1-B ．38C ．78D ．14．已知2sin 5αα=，则2sin()cos()(36ππαα+++= ) A ．45-B ．25-C ．0D ．255．将函数2sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位得到函数()f x 的图象．若5()()0412f f ππ-+=，则ϕ的值为( )A ．12πB ．8πC ．6π D ．3π 6．函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( ) A ．[π，2]πB ．9[,)2ππ C ．139[,)122ππD ．917[,)88ππ 7．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ，b R ∈，且0ab ≠，若()|()|4f x f π对一切x R∈恒成立，则( )A ．()()56f f ππ>B ．()4f x π+是奇函数 C ．3()()2f x f x π=-D ．()f x 在区间(0,2)π上有2个极值点8．已知函数()2sin()1(0f x x ωϕω=+->，(0,))ϕπ∈的图象与x 轴的两个交点的最短距离为3π．若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的新函数图象关于(0,1)-中心对称，则(ϕ= ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 二．多选题9．下列各式中，值为12的是( ) A ．22cos sin 1212ππ- B ．2tan 22.5122.5tan ︒-︒C ．2sin195cos195︒︒D10．已知函数()3sin(2)3f x x π=+，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移4π个单位长度得到，则下列关于函数()g x 的说法正确的有( )A ．()g x 的图象关于直线6x π=对称B ．()g x 的图象关于直线3x π=对称C ．()g x 在5[,]2424ππ-单调递增D ．()g x 在[,]63ππ-单调递减11．将函数()sin??(??0)f x x =>的图象向右平移4π单位长度，所得的图象经过点3(4π，0)，且()f x 在[0，1]4上为增函数，则??取值可能为( )A ．2B ．4C ．5D ．612．已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=--<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度得到的图象关于原点对称B ．函数()y f x =在[0，]4π上单调递增C ．函数()y f x =在[0，2]π有且仅有3个极大值点D ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为23π 三．填空题13．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α= ． 14．方程cos2sin 0x x -=在区间[0，]π上的所有解的和为 ． 15．方程1sin 2sin 33tan 2xx x=+在区间[0，2]π上的解为 ．16．设当x θ=时，函数()sin 3cos f x x x =+取得最大值，则cos()4πθ-= ．四．解答题17．已知函数2()cos 222x x xf x =+，[0x ∈，]π．（1）求函数()f x 的值域；（2）若方程()0)f x ωω=>在区间[0，]π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 18．设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1()f x a x x x R π=+-+∈．（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．19．已知函数2()cos 2cos 1222x x xf x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间． 20．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π；②6x π=是函数()f x 的对称轴；③()04f π=且在区间(,)62ππ上单调；（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若[0,]3x π∈，求函数()f x 的最值．21．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，求m 的取值范围．22．已知()2sin cos )cos()44f x x x x x ππ=+-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7[,]1212ππ上有唯一零点，求实数k 的取值范围．期末复习（七）——三角函数答案1．解：因为33cos()25πα+=，所以3sin 5α=；又322ππα-<<-，所以4cos 5α==-．故选：A ． 2．解：顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，0y ∴>，且22191OP y =+=，求得y =，则sin()6y πα+==，1cos()63πα+=-，则11sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666632ππππππαααα=+-=+-+=⨯， 故选：D ．3．解：()3sin()cos23f x x x π=+-+ 223sin 12sin 32sin 3sin 2x x x x =--++=-+ 2372(sin )48x =-+，[,]22x ππ∈-，sin [1x ∴∈-，1]， ∴当34six =时，7()8max f x =． 故选：C ．4．解：因为2sin 5αα=，可得1sin()35πα-=，则2112sin()cos()sin()cos()sin()sin()3632333555πππππππαααπααα+++=+-++-=----=--=-．故选：B ．5．解：将函数2sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位得到函数()2sin(22)f x x ϕ=-的图象． 若5()()0412f f ππ-+=，则5()()124f f ππ=--，52sin(22)2sin[2()2)]2sin(2)1242πππϕϕϕ∴⨯-=-⨯--=+，即cos(2)cos23πϕϕ-=，1cos22cos22ϕϕϕ=，求得tan 2ϕ=，26πϕ∴=，12πϕ∴=， 故选：A ．6．解：当[0x ∈，2]时，,2444x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，∴592[,)422πππω+∈，∴917[,)88ππω∈． 故选：D ．7．解：由题意函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中a ，b R ∈，0ab ≠．因为()|()|14f x f π=，对一切x R ∈恒成立， 可知()14f π=±，所以42k ππϕπ+=+，k Z ∈，可得4k πϕπ=+，k Z ∈，可得4πϕ=，()sin()554f πππ+， ()sin()664f πππ+， 故()()56f f ππ>，或()()56f f ππ<， 故A 错误；因为()))4442f x x x x ππππ+=++=+=，又因为cos x 是偶函数，所以()f x 为偶函数，故B 错误；由35()sin())244f x x x πππ-=--，故C 错误；当(0,2)x π∈时，可得(44x ππ+∈，9)4π，可得())4f x x π=+有2个极值点，故D 正确． 故选：D ．8．解：函数()2sin()1(0f x x ωϕω=+->，(0,))ϕπ∈的图象与x 轴的两个交点的横坐标满足1sin()2x ωϕ+=， ()f x 的图象与x 轴的两个交点的最短距离为1233ππω=，2ω∴=，()2sin(2)1f x x ϕ=+-． 若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数2sin(2)16y x πϕ=++-的图象，若得到的新函数图象关于(0,1)-对称，则6k πϕπ+=，k Z ∈，(0,)ϕπ∈，56πϕ∴=， 故选：D ．9．解：对于A ，22cos sin cos12126πππ-==对于B ，2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒； 对于C ，12sin195cos195sin390sin302︒︒=︒=︒=；对于D =． 故选：BC ．10．解：函数()3sin(2)3f x x π=+，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移4π个单位长度得到，则函数()3sin(2)3sin(2)236g x x x πππ=-+=-． 令6x π=，求得3()2g x =，不是最值，故()g x 的图象不关于直线6x π=对称，故A 错误；令3x π=，求得()3g x =，是最值，故()g x 的图象关于直线3x π=对称，故B 正确；当[24x π∈-，5]24π时，2[64x ππ-∈-，]4π，()g x 单调递增，故C 正确； 当[6x π∈-，]3π时，2[62x ππ-∈-，]2π，()g x 单调递增，故D 不正确， 故选：BC ．11．解：将函数()sin??(??0)f x x =>的图象向右平移4π单位长度，可得sin()4y x ωπω=-的图象；根据所得的图象经过点3(4π，0)，∴344k ωπωππ-=，k Z ∈，2k ω∴=①． ()f x 在[0，1]4上为增函数，∴142πω⨯，则0??2π<②， 结合①②， 故选：ABD ．12．解：函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=--<<的图象关于直线4x π=对称，则342k ππϕπ⨯-=+，k Z ∈，4πϕ∴=，函数()sin(3)4f x x π=-． 函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，得到3sin(3)sin3124y x x ππ=+-=的图象，显然所得图象关于原点对称，故A 正确；当[0x ∈，]4π，3[44x ππ-∈-，]2π，故函数()y f x =在[0，]4π上单调递增，故B 正确；当[0x ∈，2]π，3[44x ππ-∈-，23]4π，故当342x ππ-=，52π，92π时，函数()f x 取得最大值，故C 正确；若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为()f x 的半个周期，即12233ππ⨯=，故D 错误，故选：ABC ．13．解：由12sin2cos2αα-=，得1cos22sin2αα-=， 即22sin 4sin cos ααα=； 又(0,)απ∈，所以sin 0α≠， 所以sin 2cos 0αα=>；由22222sin cos (2cos )cos 5cos 1ααααα+=+==，解得cos α=．14．解：2cos2sin 12sin sin 0x x x x -=--=， 即22sin sin 10x x +-=， 故(2sin 1)(sin 1)0x x -+=，由于[0x ∈，]π解得：56x =或56π． 所以566πππ+=． 故答案为：π．15．解：原方程右边21sin 21cos 2223sin 2333cos 2x x sin xx x+-=+==，故原方程可化为：222sin 3sin xx -=，即22sin 3sin 20x x +-=，解得()122sinx sinx ==-或舍，故[]1,0,22sinx x π=∈又，∴566x ππ=或． 故答案为：566ππ或． 16．解：当x θ=时，函数()sin 3cos )f x x x x x =+= 取得最大值，cos θ∴=，sin θ=，sin 3cos θθ∴+=则cos()sin 4πθθθ-=+=． 17．解：（1）函数2()cos 2sin()2224x x x f x x x x π=+=+，当[0x ∈，]π，[44x ππ+∈，5]4π，sin()[4x π+∈1]，故()2sin()4f x x π=+的值域为[2]．（2）方程()0)f x ωω=>在区间[0，]π上至少有两个不同的解，即sin()4x πω+=在区间[0，]π上至少有两个不同的解．[44x ππω+∈，]4πωπ+，sin 3π，2sin 3π=， 243ππωπ∴+，解得512ω．18．解：（1）因为a =()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+2cos212sin(2)16x x x π=++=++， 令2[2,2]622x k k k Z πππππ+∈-+∈，解得[,]36x k k k Z ππππ∈-+∈， 所以函数的单调递增区间为[,]36k k k Z ππππ-+∈， 函数是频率212f ππ==； （2）因为函数是偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1sin 2cos(22)1a x x a x x ππ-+++=+-+， 即sin2cos2sin2cos2a x x a x x -+=+，所以0a =， 所以()cos21f x x =+，当x R ∈时，cos2[1x ∈-，1]， 所以cos21[0x +∈，2]，故函数()f x 的值域为[0，2]．19．解：（1）函数2()cos 2cos 1cos 2sin()2226x x x f x x x x π=-+=-=-，所以函数()f x 的最小正周期为2π．（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短为原来的12倍（纵坐标不变）， 得到()2sin(2)6h x x π=-的图象， 再向左移动6π个单位得()2sin(2)2sin(2)366g x x x πππ=+-=+的图象， 令222262k x k πππππ-++，求得36k x k ππππ-+，可得函数()g x 的单调增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈． 20．解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=．由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈．由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633Tπππππωω-=⇒⇒<． 若①②成立，则2ω=，6πϕ=，()sin(2)6f x x π=+． 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意．若②③成立，则12()66264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--，k Z ∈与③中的03ω<矛盾，所以②③不成立． 所以，只有①②成立，()sin(2)6f x x π=+． （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ⇒+⇒， 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1；当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12．21．解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=， 解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+； 因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈； 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=， 所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++ 4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -； 又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立， 即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立， 则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩， 解得112m -， 所以m 的取值范围是1[2-，1]．22．解：因为()2sin cos )cos()44f x x x x x ππ=+-+sin 2)cos()sin 2)442x x x x x πππ=+++=+sin 22sin(2)3x x x π==+， （1）令32[2,2]322x k k k Z πππππ+∈++∈， 解得7[,]1212x k k k Z ππππ∈++∈， 故函数()f x 的单调递减区间为7[,]1212k k k Z ππππ++∈； （2）函数()g x 在区间7[,]1212ππ上有唯一零点， 等价于方程()0g x =即()2(2sin 2)f x k x =+在7[,]1212ππ上有唯一实数根，所以12sin(2)sin 2sin 2cos(2)326k x x x x x ππ=+-=-+=+， 设()cos(2)6h x x π=+，7[,]1212x ππ∈，则42[,]633x πππ+∈， 根据函数()h x 在7[,]1212x ππ∈上的图象，要满足2y k =与()y h x =有唯一交点， 只需11222k -<或21k =-，解得1144k -<或12k =-， 故实数k 的取值范围为111(,]{}442--．。